椭圆的几何性质知识点归纳及典型

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（一）椭圆的定义：

1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。

对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；

（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：

22

22

2222

x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2

2

2

a c

b =+。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的

焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2

项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：

椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只

要22

22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222

y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：

几点说明：

（1）长轴：线段

12

A A，长为2a；短轴：线段

12

B B，长为2b；焦点在长轴上。

（2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0

由于

222

2

1

c a b b

e

a a

-

===-，所以e越趋近于1，b越趋近于0，椭圆越扁平；e 越趋近于0，b越趋近于a，椭圆越圆。

（3）观察下图，

22

||,||

OB b OF c

==，所以

22

||

B F a

=，所以椭圆的离心率e = cos ∠OF2B2

（三）直线与椭圆：

直线l：0

Ax By C

++=（A、B不同时为0）

椭圆C：

22

22

x y

1(a b0)

a b

+=>>

那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：

22

22

1

Ax By C

x y

a b

++=

?

?

?

+=

??

消去y得到关于x的一元二次方程，化简后形式如下

20(0)mx nx p m ++=>， 24n mp ?=-

（1）当0?>时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当0?=时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当0?<时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。

注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，那么线段AB 的

长度（即弦长）为||AB =k ，

可得：||AB ==

12|x x -，然后我们可通过求出方程的

根或用韦达定理求出。

典型例题一

例1 椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当()02，

A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11

42

2=+y x ； （2）当()02，

A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：

116

42

2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

典型例题二

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

解：3

1

222??=c a c ∴223a c =， ∴3

331-=

e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．

典型例题三

例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB

中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为12

22=+y a

x ，

由?????=+=-+1012

22y a

x y x ，得()021222=-+x a x a ，

∴222112a a x x x M +=+=，211

1a x y M M +=-=， 41

12===

a

x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14

22

=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

典型例题四

例4椭圆

19252

2=+y x 上不同三点()11y x A ，，??

? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．

（1）求证821=+x x ；

（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：

a

c x c

a AF =

-12

， ∴ 115

4

5x ex a AF -=-=． 同理 25

4

5x CF -

=． ∵ BF CF AF 2=+，且5

9=BF ， ∴ 5

1854554521=??? ??-+??? ??-

x x ， 即 821=+x x ．

（2）因为线段AC 的中点为??

?

?

?+2421

y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422

12

121---=

+-

x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，

x ，代入上式，得 ()

2122

21024x x y y x --=-

又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，

∴ ()212

125259

x y -=

(

)

2

2

222525

9x y -= ∴ ()()21212

22125

9x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 25

3640-

=-x ∴ 4

540

590=--=x k BT

．

典型例题五

例5 已知椭圆

13

42

2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，

请说明理由．

解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得

2=a ，3=b ，∴1=c ，2

1

=

e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：

11

121

2x ex a MF -=-=， 1122

1

2x ex a MF +=+=．

∵212

MF MF MN ?=， ∴()??

? ??+??? ??

-

=+11212122124x x x ． 整理得04832512

1=++x x ． 解之得41-=x 或5

12

1-

=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②

则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设()

θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

典型例题六

例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点??

?

??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ?

?

-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得

()()

02

3

21222122

2

2

=+-+--+k k x k k

x k ．

由韦达定理得2

2212122k k

k x x +-=+．

∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2

1-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．

分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从

而求斜率：

2

12

1x x y y --．

解法二：设过??

? ??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得

?

????????=+=+=+=+④

1.

③1②12

①1221212

2222

121y y x x y x y x ，，， ①－②得

02

2

2212

221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得

212121-=--x x y y ，即直线的斜率为2

1

-．

所求直线方程为0342=-+y x ．

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

典型例题七

例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，

； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482

=a ，

372

=b ，在得方程

13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程137

1482

2=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122

22=+b

x a y ．

由已知b a 2=． ①

又过点()62-，

，因此有

()16222

22=-+b a 或()12622

22

=+-b

a ． ② 由①、②，得1482=a ，372=

b 或522=a ，132

=b ．故所求的方程为

13714822=+y x 或113

522

2=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182

=a ．故所求方程

为

19

182

2=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置

是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或122

22=+b

x a y ．

典型例题八

例8 椭圆112

162

2=+y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率2

1

=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF e

AM 1

+

均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以2

1

=e ，右准线

8=x l ：．

过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．

显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所

以()

332，M ．

说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，2

1

=

e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．

典型例题九

例9 求椭圆13

22

=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

解：椭圆的参数方程为???==.

sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为

(

)

θθsin cos 3，，则点到

直线的距离为

2

63sin 226sin cos 3+??

?

??-=

+-=

θπθθd ． 当13sin -=??

?

??-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

典型例题十

例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=

e ，已知点??

?

??230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．

分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是122

22=+b y a x ，其中0>>b a 待定．

由22

222222

1a

b a b a a

c e -=-=

=可得 2

1

43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则

4931232

2222

22+-+???

? ??-=??? ??-+=y y b y a y x d 342134933422

22++??? ?

?

+-=+--=b y y y b

其中b y b ≤≤-． 如果2

1<

b ，则当b y -=时，2

d （从而d ）有最大值． 由题设得

()

2

2

237??? ?

?

+=b ，由此得21237>-=b ，与21

因此必有21≥b 成立，于是当2

1-=y 时，2

d （从而d ）有最大值． 由题设得

()3472

2

+=b

，可得1=b ，2=a ．

∴所求椭圆方程是11

42

2=+y x ． 由21-

=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点??? ??--213，，点??? ?

?

-213，到点??

?

??230，P 的距离是7． 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是???==θθ

sin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，

πθ20≤≤，θ为参数．

由2

222222

1??

? ??-=-==a b a b a a c e 可得

2

1

43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点??

? ??

230，P 的距离为d ，则

2

222

2

2

23sin cos 23??? ?

?

-+=??? ??-+=θθb a y x d

4

9

sin 3sin

342

22+--=θθb b b

3421sin 32

2

2

++??? ?

?+-=b b b θ

如果

121>b ，即2

1

2

2

237??? ?

?

+=b ，由此得21237>-=b ，与21

21≤b 成立．

于是当b

21sin -=θ时2

d （从而d ）有最大值． 由题设知

()3472

2

+=b

，∴1=b ，2=a ．

∴所求椭圆的参数方程是??

?==θ

θ

sin cos 2y x ．

由21sin -

=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是??? ?

?

--213，

，??? ??-213，． 典型例题十一

例11 设x ，R ∈y ，x y x 6322

2

=+，求x y x 22

2

++的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 6322

2

=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++22

2

，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

解：由x y x 6322

2

=+，得

123492322

=+?

????

? ??

-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在??

? ??023，

点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．

设m x y x =++22

2，则

()112

2

+=++m y x

它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．

在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即1

1=

+

m，此时0

=

m；当圆过（3，0）点时，半径最大，即4

1=

+

m，∴15

=

m．∴x

y

x2

2

2+

+的最小值为0，最大值为15．

典型例题十二

例12已知椭圆()0

1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

C：，A、B是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦P

P'，求证：不论a、b如何变化，

120

≠

∠APB．（2）如果椭圆上存在一个点Q，使

120

=

∠AQB，求C的离心率e的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB

∠和AQB

∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a

x≤，b

y≤，根据

120

=

∠AQB得到3

2

2

2

2

-

=

-

+a

y

x

ay

，将2

2

2

2

2y

b

a

a

x-

=代入，消去x，用a、b、c表示y，以便利用b

y≤

列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．

解：（1）设()0，

c

F，()0，

a

A-，()0，

a

B．

??

?

?

?

?

?

?

?

?

=

+

=

a

b

c

P

b

a

y

a

x

b

c

x2

2

2

2

2

2

2

，

于是()a

c

a

b

k

AP+

=

2

，()a

c

a

b

k

BP-

=

2

．

∵APB

∠是AP到BP的角．

∴()()()

222

2

24

2

221tan c

a a c a

b a

c a b a c a b APB -=-++-

-=∠ ∵2

2c a > ∴2tan -<∠APB

故3tan -≠∠APB ∴

120≠∠APB ．

（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=

，a

x y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．

∴2

222

2

221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++-

-=∠ ∵

120=∠AQB ， ∴

322

22-=-+a y x ay

整理得()

0232

22=+-+ay a y x

∵2

222

2

y b

a a x -=

∴02132

22=+???

? ??-ay y b a

∵0≠y ， ∴2

2

32c ab y = ∵b y ≤， ∴

b c ab ≤2

2

32 232c ab ≤，()

222234c c a a ≤-

∴04444

2

24

≥-+a c a c ，04432

4

≥-+e e ∴2

32≥

e 或22

-≤e （舍），∴136<≤e ． 典型例题十三

例13 已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12

-=k c ．由2

1

=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92

=a ，82

+=k b ，得k c -=12

．

由21=

e ，得4191=-k ，即4

5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4

5

-=k ．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．

典型例题十四

例14 已知椭圆1422

22=+b

y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线

的距离．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

解法一：由1422

22=+b

y b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．

由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得

b b b PF b PF 34421=-=-=．

由椭圆第二定义，

e d PF =1

1，1d 为P 到左准线的距离，

∴b e

PF d 3211==

，

即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵

e d PF =2

2，2d 为P 到右准线的距离，2

3==

a c e ， ∴

b e

PF d 3

3

222=

=

． 又椭圆两准线的距离为b c a 3

3

822=?．

∴P 到左准线的距离为

b b b 323

3

2338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

典型例题十五

例15 设椭圆???==.

sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π

=∠POx ，求

P 点坐标．

分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．

解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为

3

π

， ∴α

α

π

cos 4sin 323

tan

=

，即2tan =α．

而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =

α，5

52sin =α， ∴P 点坐标为)5

15

4,554(

． 典型例题十六

例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆122

22=+b

y a x

)0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离

分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．

分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化

为点到相应准线距离．

解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，c

a x PQ 2

0+=，

由椭圆第二定义，

e PQ

PF =1，

∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．

说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．

典型例题十七

例17 已知椭圆15

92

2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．

(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；

(2) 求22

3

PF PA +

的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=

AF ，设P 是椭圆上任一点，由

6

221==+a PF PF ，

2

2AF PF PA -≥，

∴

26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组???=+=-+4595,022

2y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)214

15

75,2141579(2

-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，

2PF PA +取最大值26+．

(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=

e ．由椭圆第二定义知3

22==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴

PQ PA PF PA +=+

22

3

，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为2

9

=x ．

∴A 到右准线距离为27

．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标

相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,5

5

6(． 说明：求21

PF e

PA +

的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．

典型例题十八

例18 (1)写出椭圆14

92

2=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．

分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

解：(1) ??

?==θ

θ

sin 2cos 3y x )(R ∈θ．

(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设

)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)2

0(π

<θ<，

则122sin 12sin 2cos 34≤=??=θθθS

故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

典型例题十九

例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且?=∠6021PF F ． (1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ?的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为

122

22=+b

y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1

212=+-=

?PF PF PF PF K K K K ，设

),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212

12

1=--+c cy y x ．又122

122

1=+b

y a x ，两方程联立消去21x 得03234122

12=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ?的面积，但这一过程很繁．

思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ?中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ?的面积．

思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．

解：(法1)设椭圆方程为122

22=+b

y a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，

0>c ，

则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ?中，由余弦定理得

)

)((24)()(2160cos 112

2121ex a ex a c ex a ex a -+--++=

=?， 解得2

2

22

134e

a c x -=． (1)∵],0(2

2

1a x ∈，

∴22

22340a e

a c <-≤，即042

2≥-a c ． ∴2

1≥=

a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,2

1[∈e ．

(2)将2

222

134e a c x -=代入122

22=+b

y a x 得 24

2

13c b y =，即c

b y 321=．

∴2221333221212

1b c

b c y F F S F PF =??=?=?． 即21F PF ?的面积只与椭圆的短轴长有关．

(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F

PF ，β=∠21F PF ， 则?=+120βα．

(1)在21F PF ?中，由正弦定理得

?

==60sin 2sin sin c n m βα． ∴

?

=++60sin 2sin sin c

n m βα

∵a n m 2=+， ∴

?

=+60sin 2sin sin 2c

a βα，

∴2

cos 2sin 260sin sin sin 60sin β

αβαβα-+?

=

+?==

a c e 212

cos

21≥-=βα．

当且仅当βα=时等号成立．

故椭圆离心率的取值范围是)1,2

1[∈e ． (2)在21F PF ?中，由余弦定理得：

?-+=60cos 2)2(222mn n m c

mn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=

∵a n m 2=+，

∴mn a c 3442

2

-=，即2223

4

)(34b c a mn =-=

． ∴2

3

360sin 2121b mn S F PF =?=

?．

即21F PF ?的面积与椭圆短轴长有关．

说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现

21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问

题找到解决思路．

典型例题二十

例20 椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，

使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．

分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：设椭圆的参数方程是?

?

?==θθ

sin cos b y a x )0(>>b a ，

则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴

1cos sin cos sin -=-?a

a b a b θθθθ，

即0cos cos )(2

2

2

2

2

=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或2

22

cos b

a b -=θ， ∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），112

2

2

<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022

<

a ，

∴22>

e ，又10<

12

2

<

2

(

，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？

［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10；