三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：函数的综合及其应用

函数的综合及其应用

一、选择题

1．（2017天津）已知函数23,1,

()2

, 1.x x x f x x x x ⎧-+⎪

=⎨+>⎪

⎩

≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16

-

B ．4739

[,]1616-

C

．[- D

．39

[]16

- A 【解析】解法一 根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示

当1x ≤时，若要()|

|2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需2

3()2

x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21

()4(3)02a ∆=--+≤，解得

4716a -≥；当1x >时，若要()||2x

f x a +≥恒成立，结合图象，只需22

x x a x ++≥，

即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当2

2x x

=，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47

[,2]16

-

．选A ． 解法二 由题意()f x 的最小值为114，此时12

x =．不等式()||2x

f x a +≥在R 上恒成立

等价于11

|

|24

x a +≤在R 上恒成立．

当a =-1

2

x =

，11||

|28x -=>，不符合，排除C 、D ； 当3916a =

时，令12x =，394311

||||216168

x +=>，不符合，排除B ．选A ． 二、填空题

x

1．（2017山东）若函数e ()x

f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单

调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 ． ①()2

x

f x -=

②2

()f x x

=

③()3

x

f x -=

④()cos f x x =

①④【解析】①()2()2

x x x x e e f x e -=⋅=在R 上单调递增，故()2x

f x -=具有M 性质；

②()3()3

x x x x e e f x e -=⋅=在R 上单调递减，故()3x

f x -=不具有M 性质；

③3

()x

x

e f x e x =⋅，令3

()x g x e x =⋅，则3

2

2()3(2)x

x

x

g x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，

∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，

∴3()x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，

故()3

f x x =不具有M 性质；

④2

()(2)x

x

e f x e x =+，令()()

22x g x e x =+，

则22

()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++⋅=++>，

∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．

2．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x D

f x x x D

⎧∈=⎨

∉⎩其中集合1

{|,}n D x x n n

-==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．

8【解析】由于，则需考虑的情况，

在此范围内，且时，设，且互质， 若，则由，可设，且,m n 互质， 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，

因此，

()[0,1)f x ∈110x ≤

x p q p p

=

∈≥N ,p q lg x ∈Q lg (0,1)x ∈*lg ,,,2n

x m n m m

=

∈≥N 10n m

q p

=

10()n

m q p =lg x ∉Q

因此不可能与每个周期内对应的部分相等， 只需考虑与每个周期的部分的交点，

画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分， 且处，则在附近仅有一个交点，

因此方程的解的个数为8．

3．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC

的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，

CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。当ABC ∆的边长变

化时，所得三棱锥体积(单位：3cm )的最大值为_______．

OE 交AC 于G ，由题意OE AC ⊥，设等边三角形ABC 的边长

为x （05x <<）

，则6

OG x =

，56GE x =-．

lg x x D ∈lg x x D ∉(1,0)x D ∉1x =11

(lg )1ln10ln10

x x '=

=<1x =()lg 0f x x -

=

F

G O

D F

E

C

B

A