云南省曲靖市罗平县富乐第一中学2022年高三数学理期末试题含解析

云南省曲靖市罗平县富乐第一中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, 的长度. 用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，当时,不等式解集区间的长度为，则的值为A． B． C． D．网参考答案：B略2. 若点P（x，y）满足线性约束条件，点，O为坐标原点，则?的最大值为( )A．0 B．3 C．﹣6 D．6参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设z=?，根据数量积的公式计算出z，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：设z=?，则z=3x+y，即y=﹣x+，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+=3+3=6，故?的最大值为6，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据数量积的公式将条件化简，以及利用数形结合是解决本题的关键．3. 已知角的终边上一点的坐标为(,)，则角的最小正值为（）A. B. C.D.参考答案：D4. （3分）“tanx=﹣1”是“x=﹣+2kπ（k∈Z）”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件参考答案：考点：函数奇偶性的性质．专题：简易逻辑．分析：得出tan（=﹣+2kπ）=﹣1，“x=﹣+2kπ”是“tanx=﹣1”成立的充分条件；举反例tan=﹣1，推出“x=﹣+2kπ（k∈Z）”是“tanx=﹣1”成立的不必要条件．解答： tan（﹣+2kπ）=tan （﹣）=﹣1，所以充分；但反之不成立，如tan =﹣1．故选：B点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断．充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，要理解好其中的概念．5. 已知集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|x－1≤0}，则A∪B等于（A）(－∞，3] （B）(－∞，3)（C）[2，3] （D）(－3，2]参考答案：B略6. 已知函数的定义域为[0,1]，则函数的定义域为A. [－1,0]B. [0,1]C. [1,2]D. [3,4]参考答案：A7. 命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1∪[3，+∞，则A．“p或q”为假B．p假q真C．p真q假D．“p且q”为真参考答案：8. 命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，参考答案：D略9. 设函数的图象为，下面结论中正确的是（）．A．函数的最小正周期是B．图象关于点对称C．图象向右平移个单位后关于原点对称D．函数的区间上是增函数参考答案：B项．的最小正周期，故项错误；项．，所以的图象关于点对称对称，故项正确；项．向右平移个单位后得到的图象，不关于原点对称，故项错误；项．时，，当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，故错误．综上，故选．10. 函数的定义域是（A ） （B ） （C ） （D ）参考答案： A 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，点P 是不等式组 所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x+y=0上的任意一点，O 为坐标原点，则的最小值为________．参考答案：12. 已知n 次多项式=．如果在一种算法中，计算(k=2，3，4，…，n)的值需要k-1次乘法，计算的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算的值共需要 次运算．下面给出一种减少运算次数的算法： =P n+1()=P n ()+(k=0,l ，2，…，n-1)．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 次运算． 参考答案：答案：65；2013. 已知等差数列的前项和为，且，则________.参考答案： 44 略14. 已知为复数，为实数，，且,则= 。

参考答案：15. 已知双曲线，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B ，F 分别是双曲线的左顶点和左焦点．若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为 ．参考答案：略16. 设x 1，x 2∈R，函数f （x ）满足e x =，若f （x 1）+f （x 2）=1，则f （x 1+x 2）最小值是 ．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由条件求得f （x ）的解析式，再由f （x 1）+f （x 2）=1，可得=++3，运用基本不等式可得≥9，再由函数的单调性，即可得到最小值．【解答】解：由e x =，可得f （x ）==1﹣，由f （x 1）+f （x 2）=1，可得+=，即为=++3，由+≥2，即有≥2+3，解得≥3，即为≥9，当且仅当x1=x2，取得等号，则f（x1+x2）=1﹣≥1﹣=．即有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查指数函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．17. （5分）已知正实数a，b满足=3，则（a+1）（b+2）的最小值是．参考答案：【考点】：基本不等式．不等式的解法及应用．【分析】：正实数a ，b 满足=3，可得，b+2a=3ab．展开（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2，即可得出．解：∵正实数a ，b满足=3，∴，化为，当且仅当b=2a=时取等号．b+2a=3ab ．∴（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2．故答案为：．【点评】：本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值参考答案：（1）∵点到抛物线准线的距离为，∴，即抛物线的方程为．（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，设，，∴，∴ ，∴．．法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，联立方程组，得，∵∴，．同理可得，，∴．（3）法一：设，∵，∴，可得，直线的方程为，同理，直线的方程为，∴，，∴直线的方程为，令，可得，∵关于的函数在单调递增，∴．法二：设点，，．以为圆心，为半径的圆方程为，①⊙方程：．②①-②得：直线的方程为．当时，直线在轴上的截距，∵关于的函数在单调递增，∴．19. （本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若，求的值。

参考答案：解：（Ⅰ）已知函数即，……………………3分令，则，即函数的单调递减区间是；…………………………6分（2）由已知，………………9分当时，.……………………12分20. 长方形ABCD中，，沿对角线AC将折起，使D点到P点的位置，且二面角P-AC-B为直二面角。

（1）求PB长；（2）求三棱锥P-ABC外接球的表面积；（3）求二面角A-PB-C的平面角的余弦值。

参考答案：（1）；（2）；（3）（1）过P作PE⊥AC交AC与E，连接BE，则∠PEB为直角，而PE=|AB|×|BC|÷|AC|=,又|BE|=，所以|PB|=；……………………3分（2）AC中点即为外接球球心，球半径R=2，；……………………6分（3）在平面图中，过D作DE垂直于AC，垂足为E，延长交AB于H，……，以EH为X轴，EC为Y 轴，EP为Z轴建立空间直角坐标系（如图），………………7分易得：………………9分设平面PAB的法向量为：，则，令z=1，得…………………………11分设平面PBC的法向量为：，则，令x=1，得…………………………13分设二面角A-PB-C的平面角为，则…………14分21. （本小题满分12分）已知{}是公差不为零的等差数列，＝1，且，，成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{}的前n项和.参考答案：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由＝1，，，成等比数列得＝，………………………4分解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n.……7分(Ⅱ)由（Ⅰ）知，………………………………9分由等比数列前n项和公式得＝………………………………12分22. 已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，代入切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性即可；（Ⅲ）问题等价于在[1，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当 a=1时，，…（2分），…（3分）所以，函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为即：5x﹣4y﹣4=0…（4分）（Ⅱ）函数的定义域为：{x|x≠0}…（1分）…（2分）当0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增当a＞2时，令f′（x）=0，即：ax2+2﹣a=0，，f′（x）＞0，x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，x1＜x＜0或0＜x＜x2，所以，f（x）单调递增区间为，单调减区间为．…（4分）（Ⅲ）因为f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，则．令g′（x）=0，则…（2分）若，即a=1时，g′（x）≥0，函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；…（3分）若，即a＜1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为，因为g（1）=0，所以不合题意．…（4分），即a＞1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）又因为g（1）=0，所以f（x）≥2lnx恒成立综上知，a的取值范围是[1，+∞）．…【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．。