北京工业大学2011-2012第一学期数理统计与随机过程(研)试题

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概率论与数理统计答案北邮

习题一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1）掷一颗骰子，出现奇数点. （2）掷二颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.”B =“至少有一次出现正面.”C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件：（1） A 发生，B ，C 都不发生；（2） A 与B 发生，C 不发生；（3） A ，B ，C 都发生；（4） A ，B ，C 至少有一个发生；（5） A ，B ，C 都不发生；（6） A ，B ，C 不都发生；（7） A ，B ，C 至多有2个发生；（8） A ，B ，C 至少有2个发生. 【解】（1） A BC （2） AB （3） ABC（4） A ∪B ∪C =AB C ∪B ∪A BC ∪BC ∪AC ∪AB ∪ABC =ABC (5) ABC =AB C (6) ABC(7) BC ∪AC ∪AB ∪AB C ∪A BC ∪B ∪ABC =ABC =∪∪ (8) AB ∪BC ∪CA =AB ∪AC ∪BC ∪ABC 3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由: (1) A ∪B=(AB)∪B ；(2) B=A ∪B ；(3) B A ∩C=AB C ；(4) (AB)(AB )=；(5) 若AB ，则A=AB ；(6) 若AB=，且CA ，则BC=； (7) 若AB ，则；(8) 若BA,则A ∪B=A.【解】(1)不成立.特例：若Α∩B=φ，则ΑB ∪B=B.所以，事件Α发生，事件B 必不发生，即Α∪B 发生，ΑB ∪B 不发生. 故不成立.(2)不成立.若事件Α发生，则不发生，Α∪B 发生，所以B 不发生，从而不成立. (3)不成立.B A，AB 画文氏图如下:所以,若Α-B 发生,则AB 发生,A B 不发生,故不成立.ΑB 与AB 为互斥事件.Α发生,则事件B 发生,所以ΑB 发生.若事件ΑB 发生,则事件Α发生,事件B 发生. 故成立.(6)成立.若事件C 发生,则事件Α发生,所以事件B 不发生, 故BC=φ.(7)不成立.画文氏图,可知B A ⊂.(8)成立.若事件Α发生,由()A AB ⊂,则事件Α∪B 发生.若事件Α∪B 发生,则事件Α,事件B 发生. 若事件Α发生,则成立.若事件B 发生,由B A ⊂,则事件Α发生.A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )]=1--A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7,求：（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值？（2）在什么条件下P （AB ）取到最小值？【解】（1）当AB =A 时，P （AB ）取到最大值为0.6.（2）当A ∪B =Ω时，P （AB ）取到最小值为0.3.6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p =5332131313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)5 9. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共种取法;从5个次品中取1个,共种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为种,所以所求概率为21455350C C P C =. N 件，其中Mn 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果：（1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的；（3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C CC m n mM N M n N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mmnM M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 在电话号码簿中任取一电话号码，求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0，1，…，9).【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.用10个数去排4个位置,有种排法,故所求概率为4410/10P P =.12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p == *16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯*17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=？19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ ∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x ,y ，则0<x ,y <1.（1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰题22图23.设P （）=0.3,P (B )=0.4,P (A )=0.5，求P （B ｜A ∪）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C CC C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A ）=0.8，P （）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （|）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作AA与B 传递的频繁程度为2∶A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯ 27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（颜色只有黑、白两种，箱中原有什么颜色的球是等可能的）【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,iB ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.则1(0.8)0.9n-≥即为 (0.8)0.1n≤故n ≥1lg 8=11.07，至少必须进行11次独立射击. 32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜)，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦()()()()P AB P B P AB P B =，即()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=- 因此 ()()()P AB P A P B =,故A 与B 相互独立. 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为151314，求将此密码破译出的概率.【解】设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑××××××0.7)×+××××××0.7)××××1。

(完整版)随机过程题库1

随机过程综合练习题一、填空题(每空3 分)第一章1．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g(t)，则X1 X2 X n 的特征函数是。

2．E E(X Y) 。

3．X 的特征函数为g(t)，Y aX b，则Y的特征函数为。

4．条件期望E(X Y)是的函数，(是or不是)随机变量。

5．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g i(t)，则X1 X 2 X n 的特征函数是。

6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。

第二章7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。

8．在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为p(0 p 1)，以X(n)记进行到n次试验为止 A 发生的次数，则｛X(n),n 0,1,2, ｝是过程。

9．正交增量过程满足的条件是。

10．正交增量过程的协方差函数C X (s,t) 。

第三章11．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为；方差函数为。

12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1， 2 ，3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。

13．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0的齐次泊松过程，( t)n e n! 14．n15．240000 16．复合；17．71 4eP X(t s) X(s) n14．设{X(t), t ≥0} 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n的数学期望15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。

16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t) 相互独立，则在[0 ，t]内到达汽车总站的乘客总数是(复合or 非齐次)泊松过程．17．设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过 3 人的概率是．第四章18．无限制随机游动各状态的周期是。

(完整)随机过程复习试题及答案,推荐文档

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

证明：当12n 0t t t t <<<<<L 时，1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x )≤L =n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n P(X(t)x X(t )=x )≤3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p pl l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

证明：{}(n)ij k IP P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U ={}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑ ={}{}k IP X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑g =(l)(n-l)ik kjPP ∑，其意义为n 步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。

4.设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变量，且与{}N(t),t 0≥独立，令N(t)k k=1X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若21E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=。

北京工业大学2010-2013学年数理统计与随机过程(研)试卷

北京工业大学2010-2011学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

数据结果保留3位小数。

考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。

考试时允许使用计算器。

考试时间120分钟。

考试日期：2011年1月4日1.某茶叶制造商声称其生产的一种包装茶叶平均每包重量不低于150克，已知茶叶包装重量服从正态分布，现从一批包装茶叶中随机抽取100包，经计算得到样本均值为149.7,样本标准差为0.9,试在α＝0.01的显著性水平上检验该制造商的说法是否可信？2. 某食品市场的经理将根据预期到达商店的顾客来决定职员分配数目以及收款台的数目。

为检验工作日上午顾客到达数（用5分钟时间段内进入商店的顾客数来定义）是否服从泊松分布，随机选取了一个由3周内工作日上午的128个5分钟时间段组成通过这些样本，请你帮忙分析到达顾客数服从泊松分布吗？（取显著性水平）3.一家关于MBA 报考、学习、就业指导的网站希望了解国内MBA 毕业生的起薪是否与各自所学的专业有关，为此，他们在已经在国内商学院毕业并且获得学位的MBA 学生中按照专业分别随机抽取了5人，调查了他们的起薪情况，数据如下表所示（单位：万元），根据这些数据他们能否得出专业对MBA 起薪有影响的结论？（取显著性水平050.=α）4．为定义一种变量,用来描述某种商品的供给量与价格之间的相关关系.首先要收集（1）试确定（2）对回归方程进行显著性检验（α=0.05）；（3）当x=20时,求y 的95％的预测区间。

5．6．设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，其一步转移概率矩阵为 3104411142431044P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其初始状态的概率分布为01(0)(),0,1,2,3i i p P X i i ====求：（1）求2{1}P X =；（2）求2{2|1}n n P X X +==；（3）求012{1,2,1}P X X X ===；（4）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。

北京工业大学研究生《概率论与数理统计》2013-2014考题

北京工业大学2013-2014学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

数据结果保留3位小数。

考试时允许使用计算器。

考试时间120分钟。

一、（10分）设学生某次考试成绩服从正态分布),(2σμN ，现从中随机抽取36位的考试成绩, 算得平均分为66.5，标准差为15分。

问在显著性水平0.05下，从样本看，(1)是否接受“70=μ”的假设？ (2)是否接受“2216≤σ”的假设？解：已知 05.0,36,15,5.66====αn S X（1）70:,70:10≠=μμH H由书中结论知，检验问题的拒绝域为)1(702-≥-n t nSX α4.13615705.6670=-=-nSX ，查表得0301.2)35()1(025.02==-t n t α，所以，接受原假设。

，（2）22122016:,16:>≤σσH H检验问题的拒绝域为)1(16)1(222-≥-n S n αχ7617.301615)136(16)1(2222=-=-S n ，802.49)136()1(205.02=-=-χχαn ，所以，接受原假设。

二、（15分）在某公路上观察汽车通过情况，取15秒为一个时间单位，记下锅炉汽车分布？(显著性水平取0.05α=)解：805.020014113282681920ˆ=*+*+*+*+*==x λ并组后k=4,而此处r=1,故自由度为k-r-1=2,200.932-200=0.932<991.5)2(205.0=χ,所以是Poisson 分布三、（15分）为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，安排了一组试验，测得甲醇浓度x(1)建立“缩醇化度” y 对甲醇浓度x 的一元线性回归方程； (2)对建立的回归方程进行显著性检验：（取01.0=α）； (3)在0x =36时，给出相应的y 的预测区间（取01.0=α）。

数理统计与随机过程例题精选

数理统计与随机过程例题精选
例1：设ζ，η为相互独立，数字期望均为0、方差均为1的随机变量，令ζ（t）=ζ+ηt，求ζ（t）的均值、方差和相关函数。
解：
1 (t ) E[ (t )] E ( ) tE() 0;
(t ) D[ (t )] D( t ) D( ) t D( ) 1 t ;
0 0 3 4 P 1 1 4 2 0 1
1 4 1 2 3 4
2 0 1 4 1 4
1 2 3
P X 0 0, X 2 1, X 4 1 P X 2 1, X 4 1| X 0 0 P X 1 0, X 2 0, X 3 0, X 4 0 | X 0 0
(4) E[N(5)]=5 , D N 5 5 , Cov[ N (5), N (12)] D N 5 5.
例3：证明:正弦波X (t ) Acos( t ) t , 2 x, 0 x 1 其中是常数, A与相互独立, A~f ( x) , 0, 其它在(0, 2 )上均匀分布,是平稳过程; 并判断其是否为各态历经过程.
（2）ξt的均值函数;(3) ξt的相关函数。
解：（1）P{在[0，t]内发生偶数次“随机点”}
( t ) 2 ( t ) 4 p0 (t ) p2 (t ) e t {1 } 3 t cosht 2! 4!
（2）显然
E (t ) 1 e t cosht (1) e t sinh t e t (cosht sinh t ) e t e t e 2 t
3/4 1/4 0 3/4 1/4 0 0

2012年_随机过程试题

2010级计算机应用技术专业研究生《随机过程》课程试题1 设电话总机在(0，t )内接到电话呼叫数X (t )是具有强度(每分钟)为λ的泊松过程，求 (1) 两分钟内接到3次呼叫的概率；(2) “第二分钟内收到第三次呼叫”的概率。

2 设到达某路口的绿、黑、灰色汽车的到达率分别为λl ，λ2，λ3，且均为怕松过程，它们相互独立。

若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度，无延时)，求 (1) 相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度； (2) 汽车之间的不同到达时刻的间隔概率密度。

3 某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，在8时顾客平均到达率为5人／时，11时到达率达最高峰20人／时。

从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人／时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人。

假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30一9：30问无顾客到达商店的概率是多少?在这段时间内到达商店的顾客数的数学期望是多少? 第3章264 设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居，即λ＝2。

如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户二人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。

5 已知随机游动的转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.005.05.05.0005.05.0P求三步转移概率矩阵P (3)及当初始分布为{}{}{}13021000======X P X P X P ，时，经三步转移后处于状态3的概率。

6 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==6.02.02.02.07.01.01.01.08.0)4.0,2.0,4.0()0(P P T，；(2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07.0)3.0,3.0,2.0,2.0()0(P P T ，；求下一、二个月的销售状态分布。

2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题-2007

北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试题学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请将答案写在答题本上并写明题号与详细解题过程。

考试时间120分钟。

考试日期：2008年1月10日一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？二、（15分）在数 14159263.=π的前800位小数中, 数字93210,,,,, 各出现的次数记录如下检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.=α）三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α，计算结果保留三位小数.四、（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数.五、（15分）设}),({0≥t t N 是强度为3的泊松过程，求（1）})(,)(,)({654321===N N N P ；（2）})(|)({4365==N N P ；（3）求协方差函数),(t s C N ，写出推导过程。

六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，一步转移概率矩阵为 12141420135250P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求}|,,,,{202021054321======X X X X X X P ；（2）求}|{122==+n n X X P ；（3）证明此链具有遍历性（不必求其极限分布）。

随机过程习题及答案

随机过程习题及答案第二章随机过程分析1.1学习指导1.1.1要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1.随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。

可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2.随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。

ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ξ(t 1)≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1,t 1)=P [ξ(t 1)≤x 1](2-1)如果F 1(x 1,t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1)≤x 1和ξ(t 2)≤x 2同时成立的概率称为随机过程?(t )的二维分布函数。

如果存在，则称f 2(x 1,x 2;t 1,t 2)为随机过程?(t )的二维概率密度函数。

对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程?(t )的n 维分布函数。

如果存在，则称f n (x 1,x 2,…,x n ;t 1,t 2,…,t n )为随机过程?(t )的n 维概率密度函数。

3.随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。

随机过程?(t )在任意给定时刻t 的取值?(t )是一个随机变量，其均值为其中，f 1(x ,t )为?(t )的概率密度函数。

随机过程?(t )的均值是时间的确定函数，记作a (t )，它表示随机过程?(t )的n 个样本函数曲线的摆动中心。

北方工业大学概率论与数理统计课后答案(全)PPT课件

销}，试说明下列事件的含义： A , B , A B , AB ； A B, AB , AB , A \ B ．
12 12
2解: A ={甲产品不畅销}， B ={乙产品不畅销}；
A B ＝{甲、乙两种产品至少有一种畅销}； AB ＝{甲、乙两种产品都畅销}；
A B AB ＝{甲、乙两种产品至少有一种不畅销}；
29 29
3.
4.1 X: C k 5 1 3 k 3 2 5k
k0,1,2,3,4,5
k= 0 1
2
3
4
5
p= 32 80 80 40 10 1
/243
4.2 Y:
k1, p1/ 3 k2, p2/ 3
30
30
5
5．某人有五发子弹，射一发命中的概率为 0.9，如果命中了就停止射击，如果不命中就一直射到子弹用尽。求耗用子弹数 X 的概率分布。
0
F(
x)
11
/ /
4 2
3 / 4
1
x 2 2 x0
0 x 1 1 x 2
2 x
35
35
15
15．设连续型随机变量 X 的分布函数
0,
F
x
Ax
2
,
1,
x0 0 x 1
x 1
（1）确定系数 A ；（2）求 X 的密度函数；
（3）求 P0.7 X 0.9。
36 36
37
15. F(1)1 A1
19 19
20解.
A82/A1202/84 50.622 A22/A1201/450.0222 2A8 1A2 1/A 1201/64 50.3556 (A 2 1 A 1 1 A 8 1 A 2 1 )/A 1 2 09 /4 5 0 .2

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北京工业大学2011-2012学年第一学期期末
数理统计与随机过程(研) 课程试卷
学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

数据结果保留3位小数。

考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛
骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。

考试时允许使用计算器。

考试时间120分钟。

考试日期：2012年1月10日
1.(10分)某种导线要求其电阻的标准差不得超过0.005（Ω），今在生产的一批该种导线中取9根，测得)(007.0Ω=s . 设总体服从正态分布，问从这些样本看这批导线是否合格？（取显著性水平α=0.05）
2. (15分)袋中装有8只球,其中红、白球若干.在其中任取3只,记录红球的个数X ,然后放回，再任取3只，记录红球的个数，然后放回。

如此重复进行了112次。

其结果如下：
试检验假设:
{}.3,2,1,0,38335:3
83350=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-k k k C C C k X P X H k k 服从超几何分布：
是否成立？（取显著性水平050.=α）
3.
(1) (2) 因素A 和因素B 各包含几个水平？总共涉及了多少个观测数据？
(3) 从这个方差分析表中可以做出那些假设检验？取显著性水平050.=α,结论是什
么？分别写出完整的推断依据.
4．
（1）（2）对回归方程进行显著性检验（取显著性水平α=0.05）；
（3）求y 的置信水平为95％的预测区间,并计算若x=5时y 的95％的预测区间。

5．(15分)假定某天文台观察到的流星流是一个强度为λ的泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星。

试求：
（1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率？
（2）从零点开始，该天文台观察首次观察到第一颗流星的时间的分布函数？
6．(15分)根据市场调查，3月份甲型洗衣粉占有市场0.35, 乙型洗衣粉占有市场0.3,其他各型号(简记为丙)占有市场0.35. 4月份再调研得到的结果是：甲保持原有顾客的60%，分别获得乙、丙顾客的15%和30%；乙保持原有顾客的70%，分别获得甲、丙顾客的10%和20%；丙型号洗衣粉保持原有顾客的50%，分别获得甲、乙型号洗衣粉顾客的30%和15%.令状态1代表甲型，状态2代表乙型，状态3代表丙型。

求：
（1）求5月份各型号洗衣粉的市场占有率；
（2）求转移步数为2时，从状态2到状态3的概率；
（3）若市场按照这种态势发展，求稳定状态时的市场占有率。

7．(15分)设有随机过程 Y X t Y t X t Z ,,sin cos )(其中+=是相互独立同分布的随机变量,具有概率分布列为
问：（1）)(t Z )(t Z。