数列极限的运算法则

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极限的四则运算(数列极限、函数极限)

极限的四则运算(数列极限、函数极限)


a
k
,lim(C n

an)
Ca

例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解:2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1

x2 2x
) 1
KEY:1) 0(分子分母同除以x4); 2)0(分子有理化) 3)1/4(通分)
例3、(1)求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
(2)求
lim
x1
2x2
x 1
的值
(见课本P87,注意其中的说明。)

3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2

3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5

lim
n
Tn

3 5
[ 1
1
2

5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形,以其四边中点为顶点画 第二个正方形,再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an

bn
)

185(3an

2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)

大学高数极限运算法则

大学高数极限运算法则

1.极限法则:极限是一个数列取极限值的概念,它表示一个数包含在另一个数中时,前者的值趋于后者。

2.链式法则:链式法则是极限的一种计算方法,即从一个已知限的出发,由此推出另外一个极限。

3.运算法则:
(1)可积性法则:假设函数有连续的极限,则在极限中乘以另外一个函数后再求极限,则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相乘;
(2)可逆性法则:假设函数有连续的极限,则在极限中除以另外一个函数后再求极限,则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相除;
(3)可幂次性:假设对函数求极限,则取出的极限结果等于该函数的幂次方的极限。

1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则

1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则

xn

a

lim
n
yn
b

且 a b ,则 N N ,当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1(唯一性)若{ xn } 收敛,则其极限唯一。
证明:用反证法。
假设
lim
n
xn

a

lim
n
xn
b ,( a b),取

ba 2
0,
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2(有界性) 若{ xn } 收敛,则{ xn } 必有界,
即 M 0, n N , 有 xn M 。
注证明:②①:收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命,;题反是之:若有界xn数无列界未,必则收敛xn。发散。
lim
n
n3

lim
n
n(n

1)(2n 6n3

1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
(2) lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解: lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明:可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考:
① 若:{ xn } 收敛,{ yn } 发散, 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何?
② 若:{ xn } , { yn } 都发散呢?

2.5极限运算法则

2.5极限运算法则

(3) lim[Cf ( x)] C lim f ( x) CA ( C 是与x 无关的常数);
xX
xX
lim
f (x)

lim
xX
f (x)

A
(这里要求 B 0).
xX g( x) lim g( x) B
xX
注意: 利用极限四则运算法则求极限时,必须满足定理的条件: 参加求极限的函数应为有限个,每个函数的极限都必须 存在,在考虑商的极限时,还需要求分母的极限不为零。
例1、求极限 lim(3x2 2x 1) x1
解: lim(3x2 2x 1) lim 3x2 lim 2x lim 1
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2lim x lim 1
x1
x1
x1
31 21 1 2
例2、求极限 lim 2x2 x 5 x2 3x 1
xX
x X
lim[ f ( x) g( x)] 是否存在 ? 为什么 ?
xX
答: 不存在 . 否则由
g(x) [ f (x) g(x)] f (x)
利用极限四则运算法则可知 lim g( x) 存在 , 与已知条件 x X
矛盾.
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2. 试确定常数 k 使
lim x
8x2

7x


总结例4可得:
a0
lim
x
a0 xn b0 xm

a1 x n1 b1 x m1



an bm




b0 0

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明work Information Technology Company.2020YEAR数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε>0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n>N的一切Xn,不等式|Xn-A|<ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n>N₁时恒有|An-A|<ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n>N₂时恒有|Bn-B|<ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n>N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|<ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n>N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|<2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n>N时恒有|An-A|<ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|<Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n>N时恒有|C·An-CA|<Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn) (法则1)=limAn+(-1)limBn (引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n>N₁时恒有|An-0|<ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n>N₂时恒有|Bn-0|<ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n>N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| <ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n>N时恒有|An·Bn-0|<ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A) (法则1)=A-A (引理2) =0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2)=B×0+A×0+AB (引理1) =AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明:取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明:设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),正整数N1和正实数ε0,使得对正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对ε>0,正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1);当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1);现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次) =(limAn)的k次方=A的k次方.。

数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则

数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则
数列极限的准则、 运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理3(夹逼准则)
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,

lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b

1.5 极限的运算法则

1.5 极限的运算法则
x 0
o
x
例11
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时求 , a0 x m a1 x m 1 am lim 。 n n 1 x b x b x bn 0 1
x m a0 a1 x 1 am x m ) 解 原 式 l i m( n 1 n x x b0 b1 x bn x
单侧极限为 解 x 0是函数的分段点,两个
x 0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
2 x 0
y 1 x
y x2 1
y
左右极限存在且相等,
1
故 lim f ( x ) 1.
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理2.1/2.2 直接得出结论 .
第五节 极限的运算法则
一、极限的四则运算法则 二 、极限的复合运算法则 三、数列极限与函数极限的关系
第一章
一、 极限的四则运算法则
定理 1 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有 证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
证:
试证:
x x0 x x0
x x0
lim R( x)

数列极限的运算法则

数列极限的运算法则

数列极限的运算法则
数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列,而数列的极限是指当数列中的项无限接近某个特定值时,该特定值就是该数列的极限。

数列的极限可以通过一些运算法则来求解,这些运算法则包括以下几个方面。

1. 线性运算法则:如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B,那么对于任意
实数c,数列{can}的极限为cA,数列{an+bn}的极限为A+B,数列{an-bn}的极限
为A-B。

2. 乘法运算法则:如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B,那么数列{anbn}的极限为AB。

3. 除法运算法则:如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B,且B不等于0,那么数列{an/bn}的极限为A/B。

4. 幂运算法则:如果数列{an}的极限为A,且m是一个正整数,那么数列{an^m}的极限为A^m。

5. 复合函数运算法则:如果函数f(x)在x=A处连续,并且数列{an}的极限为A,那么数列{f(an)}的极限为f(A)。

6. 夹逼准则:如果数列{an},{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn,并且数列{an}和{cn}的极限都为A,那么数列{bn}的极限也为A。

7. 极限的唯一性:如果数列{an}的极限存在,那么该极限是唯一的。

这些运算法则可以帮助我们计算数列的极限,使得我们能够更加方便地求解数列的极限问题。

但需要注意的是,这些运算法则只适用于满足一定条件的数列,例如乘法运算法则中要求乘积数列的每一项都存在,除法运算法则中要求除数数列的每一项都不为0等。

在应用运算法则时,我们需要仔细分析数列的性质,确保运算的合理性。

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数列极限的运算法则
(上海教育出版社高中课本数学高二第一学期第二课时)
一.教学目标:
掌握数列极限的运算法则,并会利用这些法则求简单的数列的极限。

二.教学重点:运用数列极限的运算法则求极限
教学难点:无限个数列极限的运算
教学过程:
1. 引入:
今天的主角是古希腊著名的数学家、物理学家阿基米德。

他提出了三次方程的几何解法,发现了以他的名字命名的螺线,他曾求出许多图形的面积和体积,极限的思想能够帮助我们解决很多几何图形面积体积的问题,今天我们也来做一次数学家,研究重现一下他这一贡献的过程。

我们来看这个例子,要计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线x=1所围成的区域的面积S ,这是一个曲边三角形,不能用三角形的面积公式来计算,阿基米德是如何计算的呢首先把区间[0,1]分为两部分,那么作出的这一个矩形的面积必然小于曲边三角形面积,之后我们再尝试继续一分为二,那么作出这三个矩形,其面积比我们刚才计算的要大,但仍小于曲边三角形的面积,继续采取这种方法,增大区间段,不妨设把区间[0,1]分成n 个小区间,即用x 轴上的分点0,1231,,,.....,,n n n n n n
- 分隔;那么在每个小区间上作一个小矩形,使矩形的左上端点在抛物线上,这些矩形的高对应就是
222212310,(),(),(),.....,()n n n n n
-,我们来考虑这些矩形面积的总和: 2222222332
1112111123...(1)(1)(21)(1)(21)0()()....()66n n n n n n n n S n n n n n n n n n n -++++-----=⋅+⋅+⋅+⋅===我们不妨考察n S 与S 之间有何关系,我们尝试使n 越来越大,也就使分的每段区间越来越小,那么矩形可以要多窄有多窄,我们是不是就可以把n S 近似看作S 了呢,n 无限增大,矩形面积的和就可以无限逼近曲边三角形的面积~这就是一种极限的思想,当n 无限增大时,矩形面积的总和n S 可以近似等于曲边三角形的面积,它们之间的差极其小。

那么这个极限我们上节课已经学过了,结果是多少哇(1/3)非常好,这是大学中非常重要的一种积分的思想,我们看到了极限的重要性,那么大家更要认真学习,积极理解。

那么我们就来回顾一下上节课介绍的常见的三种数列极限。

(提问)不错,功课做的很足~我们上节课呢,介绍的f(n)/g(n)模型是常考点,但除此之外还有很多复杂的数列,他们的极限比较复杂,那么应该如何求呢我们学过实数的四则运算,今天我们就来探讨一下数列极限的四则运算性质:
揭示主题:数列极限的四则运算性质。

2. 概念详细讲解:
如果数列}{},{n n b a 极限存在,记作A ,B ,,lim ,lim B b A a n n n n ==∞
→∞→那么 B A b a n n n ±=±∞→)(lim B A b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim )0(lim ≠=∞→B B A b a n
n n 特别地,如果当C b n =,C 是常数时,那么CA a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞
→lim lim )(lim 。

我们可以发现,和的极限可以转化成极限的和,加法运算与极限运算可以交换等等,但一定要注意必须保证}{},{n n b a 极限存在才能运用性质。

我们来看一下,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→是B A b a n n n ±=±∞
→)(lim 的什么条件 充分条件显然,非必要条件,举反例:n b n a n n -==,
那么如果把B A b a n n n ±=±∞→)(lim 换成B A b a n n n ⋅=⋅∞
→)(lim 呢 n b n a n n 1
,==
最后注意,运算法则可以推广到有限个数列的情况,比如,lim ,lim ,lim C C B b A a n n n n n n ===∞→∞→∞→那么
C B A C b a n n n n ±±=±±∞
→)(lim ,这里要注意必须要推广的话保证数列个数有限~ 那么我们来用今天的运算法则证明一下昨天我们所学的()()n g n a f n =
型极限的计算方法,由于分子分母()f n 、()g n 为n 的多项式,由于分子分母单独分离看极限都不存在,所以数列极限的运算性质不能直接利用,要想让它通过变形变化成我们前面熟悉的极限,不妨考虑1lim
0n n →∞=的类型,将分子分母同除以n 的最高次幂,那么发现分子分母每项的极限都存在了,这时就可以运用运算性质,直接根据系数比也可以得到这个结果,如果大家一时忘记了结论的话,可以采取分子分母同除以n 的最高次幂的方法,将分子分母转化成极限存在的形式,之后再利用性质求得极限值。

3. 巩固练习,在题目中强调几点注意点,接下来我们来做几个练习:
)43(lim n n -∞→ 已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ,求)43(lim n n n b a -∞→和n
n n n n b a b a +-∞→lim 。

)3
21(lim +-∞→n n n 13
23
443lim +++∞→+-n n n n n 求解指数型极限时,分子、分母同时除以分子、分母各项中底数绝对值最大的项的一个最高次幂,使得分子、分母中能出现n q (|q|<1)从而利用)1|(|0lim <=∞→q q n
n 求解。

讨论无限问题:
判断43页2.
)23741(lim 2222n
n n n n n -++++∞→K 是不是和上题相同,结果也是0呢 请做44页练习。

括号内每一项虽然都有极限,但括号内有有n 项,当n 趋向于无穷大时,括号内的项数不是有限的,因此不能直接利用和的极限性质,而应先求出括号内n 项的和,使其变成一个式子,再用性质求极限。

4. 最后我们来小结一下今天的内容:运算性质必须满足极限都存在、有限项;。

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