函数的最值PPT课件
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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
函数的单调性极值与最值课件
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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推论
如果在区间(a,b)内恒有f ''(x) 0(或f ''(x) 0). 且使得f ''(x) 0的点只是一些离散的点，则函 数曲线y f (x)在区间(a,b)内上凹（或下凹）
综上,f (x)在(0,1)内只有一个零点，即方 程f (x)=0,亦即xex 2在(0,1)内仅有一个实根.
例6 设f (x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内f ''(x) 0,
证明 f (x) f (a) 在(a, b)内单调增加. xa
证明 设F (x) f (x) f (a) , x (a,b) xa
而F ' (x)
f ' (x)(x a) f ' ( )(x a)
(x a)2
f ' (x) f ' ( ) 0,
xa F (x) f (x) f (a) 在(a,b)内单调递增.
最值问题课件
总结词
闭区间上连续函数的性质是求最值的重要依据，通过利用这些性质可以简化最值的求解 过程。
详细描述
闭区间上连续函数具有一些重要的性质，如介值定理和零点定理。介值定理指出，如果 函数在闭区间的两个端点取不同的函数值，则至少存在一个点使得函数在该点的值为两 个端点值的平均值。零点定理指出，如果函数在闭区间的两端取不同的符号，则至少存
最值问题的分类
01
02
03
函数最值
在给定区间上求函数的最 大值或最小值。
极值问题
研究函数在某一点的极值 ，包括极大值和极小值。
约束最值
在满足某些约束条件下， 求数学表达式的最大值或 最小值。
最值问题在数学中的重要性
应用广泛
最值问题在数学、物理、 工程等多个领域都有广泛 应用，是解决实际问题的 重要工具。
VS
统计学中的最值应用
在统计学中，最值的应用非常广泛。例如 ，在统计分析中，我们需要找到一组数据 中的最大值和最小值，以了解数据的分布 情况；在回归分析中，我们需要找到使误 差平方和最小的参数值等。这些问题的解 决都需要利用最值定理和优化算法等数学 工具。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
梯度法的步骤
计算目标函数的梯度，沿着负梯度的 方向搜索，确定步长，更新解的位置 。
牛顿法与最值
牛顿法
基于目标函数的二阶导数（海森 矩阵）信息，通过迭代寻找最优
解的方法。
牛顿法的步骤
计算目标函数的二阶导数（海森矩 阵），求解线性方程组，确定步长 ，更新解的位置。
牛顿法的优缺点
优点是对于凸函数收敛速度快；缺 点是需要计算二阶导数（海森矩阵 ），对于非凸函数可能陷入局部最 优解。
闭区间上连续函数的性质是求最值的重要依据，通过利用这些性质可以简化最值的求解 过程。
详细描述
闭区间上连续函数具有一些重要的性质，如介值定理和零点定理。介值定理指出，如果 函数在闭区间的两个端点取不同的函数值，则至少存在一个点使得函数在该点的值为两 个端点值的平均值。零点定理指出，如果函数在闭区间的两端取不同的符号，则至少存
最值问题的分类
01
02
03
函数最值
在给定区间上求函数的最 大值或最小值。
极值问题
研究函数在某一点的极值 ，包括极大值和极小值。
约束最值
在满足某些约束条件下， 求数学表达式的最大值或 最小值。
最值问题在数学中的重要性
应用广泛
最值问题在数学、物理、 工程等多个领域都有广泛 应用，是解决实际问题的 重要工具。
VS
统计学中的最值应用
在统计学中，最值的应用非常广泛。例如 ，在统计分析中，我们需要找到一组数据 中的最大值和最小值，以了解数据的分布 情况；在回归分析中，我们需要找到使误 差平方和最小的参数值等。这些问题的解 决都需要利用最值定理和优化算法等数学 工具。
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梯度法的步骤
计算目标函数的梯度，沿着负梯度的 方向搜索，确定步长，更新解的位置 。
牛顿法与最值
牛顿法
基于目标函数的二阶导数（海森 矩阵）信息，通过迭代寻找最优
解的方法。
牛顿法的步骤
计算目标函数的二阶导数（海森矩 阵），求解线性方程组，确定步长 ，更新解的位置。
牛顿法的优缺点
优点是对于凸函数收敛速度快；缺 点是需要计算二阶导数（海森矩阵 ），对于非凸函数可能陷入局部最 优解。
人教版高中数学必修一《函数的最大值、最小值》PPT教学课件
3 f2.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2．设定义在 R 上的函数 f(x)＝x|x|，则 f(x)( ) A．只有最大值 B．只有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 解析：选 D.f(x)＝x－2（x2x（≥x0<）0），，画出 f(x)的图象可知(图略)， f(x)既无最大值又无最小值．
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第三章 函数的概念与性质
■名师点拨 函数最大值和最小值定义中的两个关键词
(1)∃(存在) M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数 y＝ x2(x∈R)的最小值是 0，有 f(0)＝0. (2)∀(任意) 最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必 须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有 f(x)≤ M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数 y＝f(x)的图象不能位于直线 y＝M 的上(下)方．
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第三章 函数的概念与性质
(1)写出利润函数 y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【解】 (1)由题意得 G(x)＝2.8＋x， 所以 f(x)＝R(x)－G(x) ＝－ 8.20－.4xx2，＋x3>.25x，－x2∈.8N，. 0≤x≤5，x∈N，
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第三章 函数的概念与性质
3．若函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________． 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数， 所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14， 所以 b＝4. 答案：4
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第三章 函数的概念与性质
本部分内容讲解结束
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函数的基本性质之函数的最值ppt课件演示文稿
2
• ∴a2＋1＞a • 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， • ∴f(a2＋1)＜f(a)成立，故选D.
•
总结评述：(1)本题为选择题，故还可用 排除法解之，如令 a ＝ 1 ，则有 f(a) ＞ f(2a) ， f(a2)＝f(a)，可排除A、B，令a＝0可排除C. • (2)此类问题的解法依据是增函数、减函数 的定义．即若 f(x) 在区间 I 上具有单调性， 则欲比较f(x2)与f(x1)的大小，(x1，x2∈I)， 则只须比较x1与x2的大小． • 因此，比较两个实数大小时，我们可将这 两个实数转化为同一函数在同一单调区间 上的两个函数值，再利用单调性比较大 小．
• 若 函 数 y ＝ f(x) 在 R 上 单 调 递 增 ， 且 有 f(a2)>f(－a)，则实数a的取值范围是 ( ) • A．(－∞，－1) B．(－∞，－1)∪(0， ＋∞) 2 [ 解析 ] 由条件知， a >－a， D．(－1,0) • C．(0，＋∞) a>0 a<0 • [答案 ] B ∴a(a＋1)>0，∴ 或 ，
• (4) 若将 (1) 中的“ f(x)≤M”改为“ f(x)≥M”， 则需将最大值定义中的 “最大值”改为 “最小值”．这就是函数 f(x) 的最小值的 定义． • 2．一次函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在闭区间[m， n]上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、 f(m)，当a＜0时，最大值和最小值则为f(m)， f(n)． • 3 ．单调性是函数的重要性质，应用它可 以解决许多函数问题．如判断函数在给定 区间上的单调性；求函数在给定区间上的 最大值、最小值；求已知函数的单调区间；
－3 5 －3
2－2x－3在[－2,0]上的最小值为 • (4) 函数 y ＝ x 0. 0 －4 ，最大值为 ；在[2,3]上的最小 值为 ，最大值为 ；在[－1,2]上 的最小值为 ，最大值为
• ∴a2＋1＞a • 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， • ∴f(a2＋1)＜f(a)成立，故选D.
•
总结评述：(1)本题为选择题，故还可用 排除法解之，如令 a ＝ 1 ，则有 f(a) ＞ f(2a) ， f(a2)＝f(a)，可排除A、B，令a＝0可排除C. • (2)此类问题的解法依据是增函数、减函数 的定义．即若 f(x) 在区间 I 上具有单调性， 则欲比较f(x2)与f(x1)的大小，(x1，x2∈I)， 则只须比较x1与x2的大小． • 因此，比较两个实数大小时，我们可将这 两个实数转化为同一函数在同一单调区间 上的两个函数值，再利用单调性比较大 小．
• 若 函 数 y ＝ f(x) 在 R 上 单 调 递 增 ， 且 有 f(a2)>f(－a)，则实数a的取值范围是 ( ) • A．(－∞，－1) B．(－∞，－1)∪(0， ＋∞) 2 [ 解析 ] 由条件知， a >－a， D．(－1,0) • C．(0，＋∞) a>0 a<0 • [答案 ] B ∴a(a＋1)>0，∴ 或 ，
• (4) 若将 (1) 中的“ f(x)≤M”改为“ f(x)≥M”， 则需将最大值定义中的 “最大值”改为 “最小值”．这就是函数 f(x) 的最小值的 定义． • 2．一次函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在闭区间[m， n]上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、 f(m)，当a＜0时，最大值和最小值则为f(m)， f(n)． • 3 ．单调性是函数的重要性质，应用它可 以解决许多函数问题．如判断函数在给定 区间上的单调性；求函数在给定区间上的 最大值、最小值；求已知函数的单调区间；
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2－2x－3在[－2,0]上的最小值为 • (4) 函数 y ＝ x 0. 0 －4 ，最大值为 ；在[2,3]上的最小 值为 ，最大值为 ；在[－1,2]上 的最小值为 ，最大值为
函数的值域与最值复习PPT优秀课件
达式有明显的几何意义.
26
走进高考
学例1 (2009·湖 南 卷 ) 函 数
y=2tanx+tan( -x)(0<x< )的
最小值是 2
2
2.
2
因为0<x< 2 ，所以tanx>0,
所以y=2tanx+ 1 ≥
tan x
2 ,当2 且仅当
tanx= 时2 “=”成立.
2
27
学例2 (2009·海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
12
不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)， 可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可 知，A、B、C错误，选D.
点评 1. 函 数 的 值 域 是 函 数 值 的 集 合 ，
函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数
时 ， D=[N ， M] ， 其 中 N=f(x)min ， M=f(x)max.
件的实数a、b.
综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在.
25
方法提炼
1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元 技巧转化为二次函数，要特别注意自变量 和新变量的范围.
最大值、最小值问题PPT课件
例1 解
计算
比较得
实际问题求最值应注意: (1)建立目函数;(2)求最大值或最小值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值
即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租 金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为多少可获得最大收入？ 解 租出去的房子有 套，
每月总收入为
（唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高. 最大收入为
例4
解 如图,
解得
最大值、最小值问题
一、最大值、最小值的求法 二、应用
一、最值的求法
步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大 小,其中最大的就是函数在所求区间的最大值,最 小的就是函数在所求区间的最小值; 注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
二、应用
计算
比较得
实际问题求最值应注意: (1)建立目函数;(2)求最大值或最小值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值
即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租 金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为多少可获得最大收入？ 解 租出去的房子有 套，
每月总收入为
（唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高. 最大收入为
例4
解 如图,
解得
最大值、最小值问题
一、最大值、最小值的求法 二、应用
一、最值的求法
步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大 小,其中最大的就是函数在所求区间的最大值,最 小的就是函数在所求区间的最小值; 注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
二、应用
函数的最值(1)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
例3：分别根据下列条件，求实数a的值：
(1)函数f (x) x2 2ax 1 a在区间[0，1]上有最大值2.
(2)函数f (x) ax2 2ax 1在区间[3，2]上有最大值4.
图象
(2)解： f (x) a(x 1)2 1 a, 对称轴x 1,
当a
0时，开口向上，ymax
f
(2)
分析： f '(x) a 1时，f '(
1
(
x a1
x 1)a2
,
x) 1 (x 1)2
x 0, (x 1)2 0恒成立，
1
f (x)在[0， ）上单调递增， f (x)min f (0) a.
当a 1时，f (x) x 1 a 1 2 a 1, x 1
当且仅当x 1 a ,即x x 1
措施五
小结：求函数最值常用旳措施有：
基本函数法（单调性）、导数法、 鉴别式法、基本不等式法、换元法、 反函数法、配措施、数形结正当.
例2：请你恰当选择措施求下列函数旳最值.
（1）已知0 t 1 ,则1 t的最小值是 ____ . 4t
（2）函数y 4x2 8x 13 (x 0)的最小值是 ____ 6(1 x)
15 . 4
返回
(2)解：y 4x2 8x 13 4(x 1)2 9 (x 0)
6(1 x)
6(1 x)
2 (x 1) 3 2,此时 2 (x 1) 3
3
2(x 1)
3
2(x 1)
即x
1 2
时ymin
2.
另解：令y 4x2 8x 13 ,则4x2 (8 6 y)x 13 6 y 0
8a 1
4, a
3. 8
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观察函数图象： 1、函数y=x2-2x-3定义域为R 2、在（-，1] 函数为减函数，在（1，+） 函数为增函数 3、当x=1时，函数y=x2-2x-3有最小值ymin=-4
配方法： y=x2-2x-3
=(x-1)2-4 因为在R内 (x-1)2 ≥0in=-4
2018/7/22
练习：P36 3
作业：P43
5
2018/7/22
2018/7/22
例2：求函数y=x2-2x-3在区间[-2，2] 的最大、最小值.
解：观察图象，1[-2，2]，
所以函数在顶点处取得最小值ymin=-4
又x=-2,y=5,x=2,y=-3 所以函数在x=-2时取得最大值ymax=5 即 当x=1时, ymin=-4,当x=-2时,ymax=5
2018/7/22
例3：求函数y=x2-2x-3在区间[-2，0]的最大、 最小值
解：观察图象，1[-2，0]，
当x≤1时，函数y=x2-2x-3为单调减函数
在[-2，0]内，函数y=x2-2x-3为单调减函数 又x=-2,y=5,x=0,y=-3
当x=-2时，函数取得最大值ymax=5
当x=0时，函数取得最小值 ymin=-3 小结：对二次函数y=f(x)求最值 1、如果函数图象顶点在所给闭区间内，则在顶点处取得最 小（大）值，在闭区间端点之一处取得最大（小）值 2、如果函数图象顶点在所给闭区间外，则利用函数单调性， 2018/7/22 分别在闭区间两个端点处取得最大、最小值
函数的最值
2018/7/22
例1：作出函数y=x2-2x-3的图象,讨论其单 调性，并求函数的最大（小）值.
解：首先做出函数y=x2-2x-3的图象 1）画出函数对称轴 2）寻找顶点（-b/2a,（4ac-b2）/4a） 3)寻找函数图象与x轴交点，即求一元二次方 程x2-2x-3=0的解
2018/7/22
练习：分别求函数y=8+2x-x2在[-2，4]和[2，0]的最值
答案：在[-2，4]，当x=1时，ymax=9 当x=-2或4时， ymin=0
在[-2，0]，当x=0时，ymax=8
当x=-2时，ymin=0
2018/7/22
例4：已知函数
2 y ( x [2, 6]) x 1
，求函
数的最大值与最小值。