等差数列单元测试题(一)百度文库

一、等差数列选择题

1．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸

D ．二丈二尺五寸

2．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（） A ．8

B ．10

C ．12

D ．14

4．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4 5．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（）

A ．a 5＝4

B ．a 6＝4

C ．a 5＝2

D ．a 6＝2

6．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n -

B ．

n - C ．

3122

n - D ．

n + 7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11

B ．12

C ．23

D ．24

8．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（） A ．4S

B ．5S

C ． 6S

D ． 7S

9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则3810b b b =（ )

A ．1

B ．8

C ．4

D ．2

10．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<，则n 的最大值为（） A ．2m

B ．21m +

C ．22m +

D ．23m +

11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（） A ．

钱 B ．

钱 C ．

钱 D ．

钱

12．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237

n n S n T n =+，则6

3a b 的值为

（） A ．

B ．38

C ．1

D ．2

13．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（） A ．60

B ．11

C ．50

D ．55

14．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列

{}n a ，已知11a =，2

=，且满足()211+-=+-n

n n a a （n *∈N ），则该医院30天入

院治疗流感的共有（）人

A ．225

B ．255

C ．365

D ．465

15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =.定义数列{}n b 如下：

()*1m m b m m

+∈N 是使不等式()

n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++

+=（）

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

16．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（） A ．25

B ．11

C ．10

D ．9

17．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若(

111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）

A ．0m S <且10m S +>

B ．0m S >且10m S +>

C ．0m S <且10m S +<

D ．0m S >且10m S +<

18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：

①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（） A ．60

B ．120

C ．160

D ．240

20．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2

15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）

A ．7

B ．8

C ．7或8

D ．9

二、多选题

21．设数列{}n a 满足11

a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（） A ．

a << B ．{}n a 是递增数列

C ．2020312

a <<

D ．

20203

a << 22．若数列{}n a 满足112,02

121,1

n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

（） A ．

B ．

C ．

D ．

23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（） A ．12

d =

B ．12

d =-

C ．918S =

D ．936S =

24．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减

D ．数列{}n S 有最大值

25．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S +=

B ．27S S =

C ．5S 最小

D ．50a =

26．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（） A ．1n n a a d +=+（d 为常数）

B ．数列{}n a -是等差数列

C ．数列1n a ??

????

是等差数列

D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项

27．定义11222n n

n a a a H n

-++

为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优

值”2n

n H =，前n 项和为n S ，则（）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．

20202023

20202

S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列

28．数列{}n a 满足11,121

n n a a a a +=

=+，则下列说法正确的是（） A ．数列1n a ??

????

是等差数列

B ．数列1n a ??????

的前n 项和2

n S n =

C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-

D ．数列{}n a 为递减数列

29．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（）.

A ．数列{}n a 是递增数列

B ．数列{}n na 是递增数列

C ．数列{

a n

是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列

30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（） A ．109S S >

B ．170S <

C ．1819S S >

D ．190S >

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一、等差数列选择题 1．D 【分析】

由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为

985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差

数列性质求得后5项和．【详解】

由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()

19959985.52

a a S a +=

==（尺），所以59.5a =（尺），由题知

1474331.5a a a a ++==（尺），

所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-，则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）．故选：D ． 2．A 【分析】

利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】

由等差数列的性质可得1742a a a +=，所以1474339a a a a ++==，解得：413a =，故选：A 3．C 【分析】

利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，

S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=，所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=，所以62612a =?=. 故选：C 4．A 【详解】由()()184588848162

a a a a S +?+??====.故选A.

5．C 【分析】

利用等差数列的性质直接计算求解【详解】

因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 6．C 【分析】

根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】

因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为313

a a d -=

=，因此通项公式为()331

11222

n a n n =+-=-. 故选：C. 7．C 【分析】

由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】

32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+?=，

故选：C. 8．B

【分析】

根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】

依题意55647560

0000

a a a a a a a d >?>??

?+=+

，所以015n a n >?≤≤，所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 9．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，

所以2

7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；

又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，

所以3

3810371178b b b b b b b ===.

故选：B. 10．C 【分析】

首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】

由21<，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++=

+，

()()()1232322323<02

m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02

m m m m m a a S m a a ++++++=

++.

故选:C.

【点睛】

关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11

,1n n n S S n a S n --≥?=?

=?，判断数列的项的正负，

第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 11．C 【分析】

根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为

2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】

设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，

则根据题意有(2)()()(2)5

(2)()()(2)

a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=??

-+-=++++?，

解得116a d =???=-??

，

所以戊所得为223

a d +=，故选：C . 12．C 【分析】

令2

2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则

a b 可得．【详解】

令2

2n S n λ=，()37n T n n λ=+，

可得当2n ≥时，()()2

21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，

()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，

当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，

()232n b n λ=+

故622a λ=，322b λ=，故

1a b =. 【点睛】

由n S 求n a 时，11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符

合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 13．D 【分析】

根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】

因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，

所以()

1111161111552

a a S a +===.

故选：D. 14．B 【分析】

直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【详解】

解：当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==???==，

2430,,,a a a ???是以2为首项，2为公差的等差数列，

所以30132924301514

()()1515222552

S a a a a a a ?=++???++++???+=+?+?=，故选：B 15．B 【分析】

先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121

k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，可得21n a n =-，

因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12

m n +≥

，当21m k =-，（*

k N ∈）时，1

m b k m

+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++，即2121

k k b --=

，从而()135191

13519502

b b b b ++++=

++++=.

故选：B. 16．D 【分析】

利用等差数列的性质直接求解．【详解】因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，

故选：D ． 17．D

【分析】

由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】

由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()

m m m a a S ++++=<. 故选：D. 18．D 【分析】

由()

1213n n n n S S a n +++=+-+得到()

1132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得

到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】

因为()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，

所以()

1132n n n a a n ++=-+-，

所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，

从而15941a a a a ===???=，

22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，

则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，

()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，

()()20

1411820622

k k =+?=-=

∑1220，

故①②③正确. 故选：D 19．B 【分析】

利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】

因为7916+=a a ，

所以由等差数列的性质得978216a a a +==，解得88a =，

所以()

11515815151581202

a a S a +===?=．故选：B 20．C 【分析】

215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．

【详解】

152251524n S n n n ??=-=--

?，

∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线2

1522524y x ??=--

?上的横坐标为正整数的离散的

点．

又抛物线开口向上，以15

2x =为对称轴，且1515|

7822

-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值．故选：C

二、多选题

21．ABD 【分析】

构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】

由()1ln 2n n n a a a +=+-，11

a << 设()()ln 2f x x x =+-，则()11122x

f x x x

-'=-

=--，所以当01x <<时，0f x

，

即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2?? ???

为单调递增函数，

即()

()102f f x f ??

<< ???

，

即()131

ln 2ln ln 1222

f x <<<

+<+=，

所以()1

f x << ，即

1(2)2

n a n <<≥，所以

2112a <<，20201

a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在0,1上为单调递增函数，

n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 231

32131113ln(2)ln ln 222234

a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333

144

a a a ∴<><>，故D 正确故选：ABD 【点睛】

本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 22．ABC 【分析】

利用数列{}n a 满足的递推关系及13

a =

，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列{}n a 满足112,02

121,1

2n n n n n a a a a a +?

≤≤??=??-<

211215a a =-=

，32225a a ==，43425a a ==，5413

215

a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234

,,,5555

. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 23．BD 【分析】

由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ．【详解】

因为1937538a a a a +=+=+=，

所以()199998

3622

a a S +?=

==．因为35a =，73a =，所以公差731

732

a a d -==--．故选：BD 24．ABD 【分析】

由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】

根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确；由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；

由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD. 25．BD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则81187

88282

S a d a d ?=+

=+，91198

99362

S a d a d ?=+

=+，因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，

解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()21

9122

n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=?=，()2

88942

d S d -?=

=-，A 选项错误；对于B 选项，()2

29272

d S

d -?=

=-，()2

79772

d S

d -?=

=-，B 选项正确；

对于C 选项，()2

298192224n d d S n n n ??

??=-=--?? ???????

若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确.

故选：BD. 【点睛】

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 26．ABD 【分析】

由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】

A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；

B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么

()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；

C.1111

11n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ??????

不是等差数列，故C 不正确；

D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 27．AC 【分析】由题意可知112222n n n

n a a a H n

-++

+==，即112222n n n a a a n -+++=?，则2

n ≥时，()()1

112

21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数

列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】解：由112222n n n

n a a a H n

-++

+==，

得112222n n n a a a n -++

+=?，①

所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-?，②

得2n ≥时，()()1

112

21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，

即2n ≥时，1n a n =+，

当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．

所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()

n n n S +=

，所以2020202320202S =，故C 正确．

25S =，414S =，627S =，故D 错，

故选：AC ．【点睛】

本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 28．ABD 【分析】首项根据11,121n n n a a a a +=

=+得到

1112n n a a +-=，从而得到1n a ??

????

是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.

【详解】

对选项A ，因为121

n n a a a +=

+，11a =，所以

121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n

a a +-= 所以1n a ??

???

是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：

1121

21n

n n a

数列1n a ??????

的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.

对选项C ，因为

21n n a =-，所以121

n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为1

n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 29．AD 【分析】

根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】

0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，

()()2

111n na n a n d dn a d n =+-=+-????，当12d a n d -<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确， 1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n 不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，

故选：AD 【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题. 30．ABD 【分析】

先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则

190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质

和求和公式可知()0117917917

217

172

a a a S a <+??=

=，()11910191019

219

1902

a a a S a +??=

=>，故BD 正确. 【详解】

根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，

∴前9项的和最小，故A 正确；

()117917917217

1702

2a a a S a +??=

==<，故B 正确； ()1191019

1019219

1902

a a a S a +??=

=>，故D 正确； 190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确.

故选：ABD . 【点睛】

本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.