辅助角公式的推导
三角恒等变换之辅助角公式
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ϕ=sin ϕ,则asin θ+bcos θθcos ϕ+cos θsin ϕ)θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a)②=sin ϕ=cos ϕ,则asin θ+bcos θθsin ϕ+cos θcos ϕθ-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ϕ=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知 sin ϕ=b rcos ϕ=a r=.所以asin θ+bcos θϕ sin θϕcos θ)θϕ+.(其中tan ϕ=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sinϕ=ar,cosϕ=b rasinθ+bcosθsin cos cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中tanϕ=ab)例3cosθθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OPϕ=12,cosϕ=2.∴cosθθ+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ+).tanϕ=3.26kπϕπ=+,cosθθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ+,(其中tanϕ=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θϕ-,(其中tanϕ=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.则sin2ϕ=-,1cos2ϕ=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则1sin2ϕ=,cos2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zϕππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kαααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθϕ+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1ϕ,则12kϕϕπ=+.由诱导公式(一)知1 sin cos))a bθθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈，1tan baϕ=，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定，1ϕ的大小由1tan baϕ=决定．类似地，sin cos )a b θθθϕ+=-，ϕ的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθϕθϕ+=-=-，其中2(0,2)ϕπ∈，2tan abϕ=，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan abϕ=确定．注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-． 解：（１）1cos sin cos )222(sin cos cos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-１），而取的是点Ｐ１）．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1(cos(),)32b x π=+-r ,(sin(),0)3c x π=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()22h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中心角为45︒,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=. 04πθ<<Q ,111arctan 2arctan .222πθϕ∴<+<+2min 322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对角线l的最小值为12-.θNBMAQPO图3。
辅助角公式的推导
利用三角函数的倍角公式推导
三角函数的倍角公式也是推导辅助角 公式的重要工具，通过将复杂的三角 函数表达式转化为简单的三角函数倍 角形式，可以进一步简化计算。
利用三角函数的倍角公式，可以将形如 $sin(2x)$或$cos(2x)$的表达式转化为 $2sinx*cosx$或$cos^2x-sin^2x$的形式 ，从而将问题简化为已知的三角函数形式 。
在现代数学和工程领域，辅助角公式已经成为解决各种复杂问
题的基本工具之一，其应用范围不断扩大。
02
辅助角公式的推导过程
利用三角函数的和差化积公式推导
三角函数的和差化积公式是推导辅助 角公式的重要基础，通过将复杂的三 角函数表达式转化为简单的三角函数 和差形式，可以进一步简化计算。
VS
利用三角函数的和差化积公式，可以 将形如$sin(x+y)$或$cos(x+y)$的表 达式转化为$sinx*cosy+cosx*siny$ 的形式，从而将问题简化为已知的三 角函数形式。
辅助角公式推导
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导过程 • 辅助角公式的应用举例 • 辅助角公式的扩展与推广 • 辅助角公式的注意事项与限制条
件
目录
01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
辅助角公式是三角函数中用于 将一个复杂三角函数式转化为 简单三角函数式的一组公式。
它通过添加或减去一个或多个 角，将给定的角转换到易于处 理的位置，从而简化计算过程。
辅助角公式通常以正弦、余弦、 正切等基本三角函数形式表示。
辅助角公式的应用场景
解决三角函数问题
辅助角公式在解决涉及三角函数 的数学问题中非常有用，例如求 解三角函数的值、化简复杂的三 角函数表达式等。
三角函数cos辅助角公式(一)
三角函数cos辅助角公式(一)三角函数cos辅助角公式基本信息•类型：数学公式•相关概念：三角函数、余弦、辅助角、三角恒等式•适用范围：高中数学、大学数学1. 辅助角公式介绍辅助角公式是三角函数中的一种常用公式，用于简化三角函数的计算和变形。
其中，cos辅助角公式主要针对余弦函数（cos）的辅助角进行推导和运用。
2. 相关公式以下是三角函数cos辅助角公式的相关公式：和差角公式•公式1：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB说明：和差角公式表示两个角的和或差的余弦等于各自角余弦的乘积与正弦的乘积之差。
二倍角公式• 公式2：cos (2A )=cos 2A −sin 2A说明：二倍角公式表示角的两倍的余弦等于角的余弦的平方减去角的正弦的平方。
半角公式• 公式3：cos (A 2)=√cosA +12说明：半角公式表示角的一半的余弦等于角的余弦加1再除以2的平方根。
3. 公式示例以下是三角函数cos 辅助角公式的示例：和差角公式示例若已知cosx =23，siny =35，求cos (x −y )。
根据和差角公式，可以得到：cos (x −y )=cosxcosy +sinxsiny代入已知条件，得到：cos(x−y)=23⋅35+sinx⋅35进一步简化，得到最终结果：cos(x−y)=615+sinx⋅35二倍角公式示例若已知cosx=14，求cos(2x)。
根据二倍角公式，可以得到：cos(2x)=cos2x−sin2x 代入已知条件，得到：cos(2x)=(14)2−sin2x进一步简化，得到最终结果：cos(2x)=116−sin2x半角公式示例若已知cosA=35，求cos(A2)。
根据半角公式，可以得到：cos(A2)=√cosA+12代入已知条件，得到：cos(A2)=√35+12进一步简化，得到最终结果：cos(A2)=√852=2√5以上是三角函数cos辅助角公式的示例说明，通过运用这些公式，可以简化计算，求解和转化三角函数的问题。
辅助角公式
辅助角公式Revised on November 25, 2020推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。
辅助角公式
辅助角公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b 在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
辅助角公式讲解
辅助角公式讲解辅助角公式是在解决三角函数运算的过程中常用的一种方法，可以帮助我们简化一些复杂的三角函数式子，使其更易于计算。
本文将对辅助角公式进行详细的讲解，包括其定义、性质、应用等方面的内容。
一、辅助角公式的定义辅助角公式是指在三角函数运算过程中，通过引入一个新的角度来简化三角函数式子的方法。
这个角度通常是由原来的角度加上或减去一个固定的值，使得三角函数式子变得更容易计算。
具体来说，辅助角公式有以下几种形式：① sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)② cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)③ tan(a+b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))④ cot(a+b) = (cot(a)cot(b) - 1) / (cot(a) + cot(b))其中，a和b均为任意角度。
二、辅助角公式的性质1. 余角公式：若a+b=90°，则sin(a+b)=cos(a)，cos(a+b)=sin(a)，tan(a+b)=cot(a)，cot(a+b)=tan(a)。
2. 差角公式：sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)，cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)，tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))，cot(a-b)=(cot(a)cot(b)+1)/(cot(b)-cot(a))。
3. 和差角公式：sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b)，cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b)，tan(a+b)-(tan(a-b))=2tan(a)tan(b)，cot(a+b)+cot(a-b)=2cot(a)cot(b)。
4. 二倍角公式：sin2a=2sinacos(a)，cos2a=cosa-sina，tan2a=(2tana)/(1-tana)，cot2a=(cota-1)/(2cot(a))。
《辅助角公式》 讲义
《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。
为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。
二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。
这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。
三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。
三角函数辅助角公式 推导过程是什么
三角函数辅助角公式推导过程是什么辅助角公式是一种高等三角函数公式，下面小编整理了三角函数辅助角公式公式及推导过程，供大家参考！1 三角函数辅助角公式是什幺辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]（a>0）。
虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。
设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) (tanM=b/a)以下是证明过程：设asinA+bcosA=xsin(A+M)∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)由题,（a/x) +(b/x) =1,sinM=a/x,cosM=b/x∴x=√(a +b )∴asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a1 三角函数辅助角公式推导过程三角函数辅助角公式推导：asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφasinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同. 简单例题：（1）化简5sina-12cosa5sina-12cosa=13(5/13sina-12/13cosa)。
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辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型,即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式,进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+＝)θϕ+或sin cos a b θθ+cos()θϕ-，让一．教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 求证α+cos α=2ｓｉｎ(α+6π)=２cos(α－3π)．其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”，使等式得到证明,并得出结论： 可见,α＋cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,a ｓin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解: asin θ＋bc ｏｓθsin θcos θ）,①=ｃos ϕ=s ｉn ϕ,则ａsin θ+bco ｓθｉn θco ｓϕ+ｃos θsi ｎϕ)ｎ（θ+ϕ）,(其中tan ϕ=ba)②=sin ϕ＝c ｏｓϕ,则asin θ＋b ｃo ｓθｓin θs ｉn ϕ＋c ｏｓθcos ϕ)ｏs(θ-ϕ)，（其中tan ϕ=ab)其中ϕ的大小可以由ｓin ϕ、ｃo ｓϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出.或由tan ϕ＝ba和（a ，b)所在的象限来确定．推导之后,是配套的例题和大量的练习．=co ｓϕ=s ｉｎϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错！二．让辅助角公式sin cos a b θθ+)θϕ+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些？这是我多少年来一直思考的问题.2０0９年春.我又一次代2008级学生时，终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时,sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ａb ≠0. １.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b ）如图1所示，则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设OP=ｒ由三角函数的定义知sin ϕ＝brco ｓϕ=ar=.所以ａs ｉn θ+bco ｓθϕ si ｎθｉn ϕc ｏs θ)θϕ+.(其中ｔan ϕ=ba)2．若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P （ｂ，ａ),如图2所示，则总有一个角ϕ的终边经过点Ｐ（b ，a),设OP=r,则由三角函数的定义知s ｉn ϕ=ar，cos ϕ=b rasi ｎθ+ｂｃｏｓθsin cos cos ϕθϕθ+s()θϕ-. (其中ｔａn ϕ=ab)例３cos θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点P(,1),设角ϕ的终边过点P,则ＯP =r ＝2.si ｎϕ=12，cos ϕ=2.∴cos θθ+=2cosϕsinθ+2sinϕｃosθ＝2si ｎ(θϕ+).tanϕ=3. 26k πϕπ=+,cos θθ+=2s ｉn(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式 asiｎθ＋ｂcosθ=(s ｉnθcos θ)θϕ+，(其中tan ϕ=ba ).或者a ｓin θ＋bcosθｓi ｎθcosθ)＝)θϕ-，(其中tan ϕ＝ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多，而且也更容易理解ａs ｉn θ+bｃos θsin θc ｏｓθ)的道理，以及为什么只有两种形式的结果.例4化sin αα-为一个角的一个三角函数的形式.解法一：点在第四象限．O Ｐ=2.设角ϕ过Ｐ点．则sin 2ϕ=-，1cos 2ϕ=．满足条件的最小正角为53π，52,.3k k Z ϕππ=+∈1sin 2(sin cos )2(sin cos cos sin )22552sin()2sin(2)2sin().33k αααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点P （－,1）在第二象限,ＯP=２,设角ϕ过P 点.则1sin 2ϕ=,cos 2ϕ=-.满足条件的最小正角为56π，52,.6k k Z ϕππ=+∈1sin 2(sin cos )2(sin sin cos cos )22552cos()2cos(2)2cos().66k αααααϕαϕαϕαππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助角的范围问题由sin cos )a b θθθϕ+=+中，点P(ａ,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限）.设满足条件的最小正角为1ϕ,则12k ϕϕπ=+．由诱导公式（一)知1sin cos ))a b θθθϕθϕ+=+=+．其中1(0,2)ϕπ∈,1tan baϕ=，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定,1ϕ的大小由1tan baϕ=决定.类似地，sin cos )a b θθθϕ+=-,ϕ的终边过点Ｐ(b ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθϕθϕ+=-=-,其中2(0,2)ϕπ∈,2tan ab ϕ=，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan abϕ=确定. 注意：①一般地，12ϕϕ≠；②以后没有特别说明时,角1ϕ（或2ϕ)是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析,还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθϕ+=+的形式或2sin cos )a b θθθϕ+=-的形式.可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．（cos αα-；(2)sin()cos()6363ππαα-+-． 解: (１）1cos sin cos )222(sin cos cos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-(2)sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（1)小题中，a =1b =-，我们并没有取点Ｐ），而取的是点）.也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时.我们可以取Ｐ(a ，b ）,或者Ｐ（b ，a).这样确定的角1ϕ（或2ϕ)是锐角，就更加方便．例6 已知向量(cos(),1)3ax π=+,1(cos(),)32b x π=+-, (sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++＝21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++＝22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++max()22h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试．五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7 如图３，记扇OAB 的中心角为45︒，半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值．解:连结ＯM,设∠ＡOM=θ．则M Ｑ＝sin θ，ＯＱ=cos θ,OP=ＰN=sin θ．PQ=OQ-ＯＰ＝cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin(cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+＝13sin(2)22θϕ-+,其中11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11arctan 2ϕ=.04πθ<<,111arctan2arctan .222πθϕ∴<+<+2min322l∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时， 矩形的对角线l的最小值为12-．θNBMAQPO图3。