生物统计学第三章概率和概率分布(2)

注意：
0.5时，分布对称； 0.5时，分布偏斜：
概率
0.5时，正偏 0.5时，负偏
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5 二项分布变量的平均数和标准差

平均数
E(X) n

方差和标准差
Var( X ) n (1 )
2
n (1 )
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σ=0.5 σ=1 σ=2
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（5）曲线下和x轴所夹义：μ=0，σ=1时的正态分布称为标准正态分布。 标准正态分布变量记为U，写作 U～N(0,1)。
密度函数： (u) 1 e 2
u
u2 2
分布函数：(u ) P(U u )
2. 二项分布的常用符号
n :贝努利试验的次数（或 样本含量）
x : 在n次试验中事件A出现的次数，即二项分布变量X 的取值
: 事件A发生的概率 (每次试验都是恒定的 )
1 － : 事件A发生的概率
p(x) : X的概率函数即P(X x)
F( x) P(X x) p(xi )
第三章 概率与概率分布

第一节 概率基础知识 第二节 几种常见的理论分布

第三节 统计数的分布
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第二节 几种常见的理论分布
二项分布
泊松分布 离散型变量 超几何分布 负二项分布 连续型变量 指数分布 正态分布
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一、二项分布 （Binomial Distribution）
的第x 1项，所以有“二项分布”这个名称。
0 0 1 1 x x n n [ (1 )]n Cn (1 )n Cn (1 )n1 Cn (1 )nx Cn (1 )0
x x （2） P(x) Cn (1 )nx [ (1 )]n 1n 1 x 0 x 0
xi x
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3. 二项分布的概率函数P(y)

怎样得到P(x)?
以n＝4，x＝2为例，欲求P(x＝2)＝？。
在4次贝努利试验里，获得 2次成功的方式有 C 种：
2 4
ssff
sfsf
sffs
fssf
fsfs
ffss
2 注意：C4 是从四个位置选取两个位置的组合方式。
n! 4! 4 3 2 1 2 依据计算公式C , C4 ＝6 2016/3/6 x!(n x)! 2!2! 2 1 2 1
n
n
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例一，纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德 尔遗传理论，子二代中白猪与黑猪的比率为 3:1。求窝产仔10头，有7头白猪的概率。
解：根据题意，这是一个二项分布的问题， 3 视白猪为成功，有n 10, ＝ 0.75，x 7。 4
P(x 7) P(7) C 0.75 (1 0.75)
1 f (x) e 2 (x )2 2 2
其中，为平均数， 2为方差，则称变量X服从正态分布，记为X ~ N (, 2 )。
f(x）的曲线为 • X的分布函数
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没有更简化 的形式
(x )2 2 2
F (x) P(X x)
x

二项分布变量的一些例子：
（1）连续抛硬币100次，统计总共出现正面的次数。次数X服从二项分布。 （2）调查250名新生婴儿的性别，记男婴的总数为X，则X服从二项分布。 （3）调查n枚种蛋的出雏数，出雏数X服从二项分布。 （4）n头病畜治疗后的治愈数X，X服从二项分布。
2016/3/6 （5）n尾鱼苗的成活数X，X服从二项分布。
x n
每种方式发生的概率为：
P(ssff)
乘法法则
P(s)P(s)P( f)P(f) (1 ) (1 ) 2 (1 ) 2
其它5种方式发生的概率也是如此。
因此，在n 4次试验中取得x 2次成功的概率为
2 2 P(2) C4 (1 ) 42

数学期望与方差

计算程序： P（ X ） =hypgeomdist （ x ， n ，
M，N）
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例子

四川卧龙大熊猫自然保护区共有野生大熊猫 100只，其中10 只做了标记。某小组去调查研究大熊猫的生活习性，随机观 察了15只大熊猫，问这15只大熊猫中有5只做了标记的概率？

解：依题意有N=100，M=10，n=15，y=5，求p（5）
7 10 7
107
10! 0.757 0.253 7!3! 0.2503
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所以，窝产仔10头，有7头白猪的概率是0.2503。
例二，有一批玉米种子，出苗率为 0.67 。现任取 6 粒种子种1穴中，问这穴至少有1粒种子出苗的概率 是多少？
解：根据题意，这是一个二项分布的问题。视出苗为成功，有n 6, ＝0.67。 设出苗的种子数为x, 则x服从二项分布。
1 2

e y
2
/2
dy
密度函数 (u)的曲线：
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3 标准正态分布的概率计算

查表法：附表1（260页）列出了标准正态变量的累积分布 函数值，即U小于某个值u的概率：P(U<u)
例如，抛硬币4次，获得的正面数记为X，则X服从二项分布。 X的概率分布表为 X P(x)
n 4, 0.5,
0 P(0) C4 0.50 0.54 0.062
0
1 2 3
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0.062
0.250 0.375 0.250 0.062
4
X的概率分布图为
二项分布 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 获得正面的次数y 3 4
1. 在什么情形下应用泊松分布
泊松分布是一种用来描述一定的空间或时间里稀有事件发生次 数的概率分布。 服从泊松分布的变量的一些例子：
• 一定畜群中某中患病率很低的非传染性疾病患病数或死亡数。 • 畜群中遗传的畸形怪胎数 • 单位空间内某些野生动物或昆虫数
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• 每升饮水中的大肠杆菌数
2. 泊松分布的概率函数与特征数
1.贝努利试验和在什么情形下应用二项分布
•贝努利试验（Bernoulli trial）：试验只有两种可能的结果，
并且发生每种结果的概率是一定的。
例如：抛一枚硬币，看得到正面还是反面； 掷一次骰子，看得到6还是没有得到6； 随机抽查一名婴儿的性别，看是男是女 在贝努利试验里，两种结果可分别称为“成功”和“失败”，
p （ 5 ） =hypgeomdist （ x ， n ， M ， N ） =hypgeomdist

（5，15，10，100）=0.00569
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三、正态分布 （Normal Distribution）
正态分布是一种最重要的连续型变量的概率分布。
• 在生物科学研究里，有许多变量是服从或近似服从正态
分布的，如水稻产量、小麦株高、玉米百粒重等；
• 许多统计分析方法是以正态分布为基础的。 • 不少随机变量的概率分布在样本容量增大时趋于正态分 布。 因此，在统计学里，正态分布无论在理论研究上还是在实际
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应用中均占有重要的地位。
1 正态分布的定义与主要特征

定义：若变量X的概率分布的密度函数为
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二项分布的程序计算方法

二项分布函数Binomdist（k,n,p,false/true） 某数阶乘的计算函数Fact 从给定元素数目m的集合中抽取若干n元素的排 列组合数C n m 计算函数Combin（m，n）
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二、 泊松分布 （Poisson Distribution）
1 f (x)dx 2

x

e

dx

正态分布曲线的主要特征：
（1）曲线是单峰、对称的“悬钟”形曲线，对称轴是x=μ （2）曲线是非负函数，以x轴为渐近线，分布从－∞到∞ （3）曲线在x=μ±σ处各有一个拐点，即在[μ-σ, μ+σ]范围 内是上凸，其余是下凸。 （4）曲线有两个参数：μ和σ。 μ代表平均数，σ代表标准差， μ和σ一起决定曲线的位置和形状。 μ越大，则曲线沿x轴 越向右移动；反之向左。 σ是变异度参数， σ愈大则曲线 愈“胖”；反之则愈瘦。
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二项分布
（实例）
【例】已知 100 件产品中有 5 件次品，现从中任取一件，有 放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的 概率 解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则根据二项分 布公式有
P X 2 C32 (0.05)2 (0.95)32 0.007125
例三，某树种幼苗成材率为 70％，现种植 2000 株，问成材幼苗数的平均值和标准差是多少？
解：设2000株幼苗的成材数为X, 则X服从二项分布。
根据题意， n 2000 , 0.70。
平均数 n 2000 0.70 1400
标准差 n(1 ) 2000 0.7 0.3 20.49
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大约有 100 P( X 3) 100 0.4232 42.32(张)
程序计算
Poisson（x,µ ,true or false）

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超几何分布

适用范围：多次完全相同并且相互独立的 重复试验，如果在有限总体中不重复抽样， 抽样成功的次数X的概率分布服从超几何分 布，如福利彩票
另外一种方法： P(至少有1粒出苗)＝1－P(没有出苗)＝1 P( y 0)