三角函数的引入和定义

三角函数第一部分1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈. 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角，2α是第 象限角。

5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22cm ）练习：1．下列角中终边与330°相同的角是（ ） Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2．下列命题正确的是（ ）Α.终边相同的角一定相等。

B.第一象限的角都是锐角。

C.锐角都是第一象限的角。

D.小于︒90的角都是锐角。

3.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 4．若α角的终边落在第三或第四象限，则2α的终边落在（ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限5．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）Ａ．2112sin 222R ⎛⎫- ⎪⎝⎭Ｂ．21sin 22RＣ．212RＤ．221sin 22R R -6．若三角形的三个内角的比等于2:3:7，则各内角的弧度数分别为 ． 7．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________． 8．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .9、（2010江苏泰州，12，3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm ，则扇形的弧长为 cm （结果保留π）．10、(2010年眉山市)17．已知圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则这个圆锥的侧面积为__________cm 2．11、用弧度制分别表示第一、二、三、四象限角。

12. 在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）120- （2）640 （3）95012'-13．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）（1） （2） （3）14、（2010珠海）15.如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π） 解：∵弦AB 和半径OC 互相平分 ∴OC ⊥AB OM=MC=21OC=21OA 在Rt △OAM 中，sinA=21=OA OM ∴∠A=30°又∵OA=OB ∴∠B=∠A=30° ∴∠AOB=120° ∴S 扇形＝33601120ππ=⋅⋅6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0yx x α=≠，cot x yα=(0)y ≠。

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

1、已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。

（答：713-）；2. sin2cos3tan4的值 (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定3、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．y =tan|tan ||cos |cos sin |sin |x x x x x ++的值域是 （ ）A ．{1,－1}B ． {－1,1,3}C ． {－1,3}D ．{1,3}7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

如（1）已知f(x)=f(x)的定义域。

（2）若08πθ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____(答：tan sin cos θθθ<<)；（3）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______（答：sin tan ααα<<）；练习：1.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( )yTA xα BSO M P(A) (B) - (C) 或 - (D) 不确定2.设A 是第三象限角，且|sin|= -sin,则是( )(A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角 3.在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是 ( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形4.已知|cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则的终边在( )(A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x 轴上 (D)第二、四象限或x 轴上5．、、的大小关系为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．若是第一象限角，则中能确定为正值的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．2个以上7．若角α终边上有一点P （－3，0），则下列函数值不正确的是 （ ）A ．sin α=0B ．cos α=－1C ．tan α=0D ．cot α=08. 若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第 象限的角;9. 同角三角函数1．同角三角函数的基本关系式包括：平方关系式：sin 2α＋cos 2α＝1；商数关系式：tan α＝sin αcos α.2．商数关系tan α＝sin αcos α成立的角α的范围是{α|α≠k π＋π2，k∈Z}．知识要点一：公式的推导 （1）．设P(x ，y)是角α的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：x ＝cos α，y ＝sin α，y x＝tan α，及单位圆上的点到原点的距离为1，可知x 2＋y 2＝1，即cos 2α＋252525252A 2A2A 2θ1sin 1cos 1tan 1tan 1cos 1sin >>1cos 1tan 1sin >>1cos 1sin 1tan >>1sin 1cos 1tan >>αααααα2cos ,2tan,2cos,2sin ,2sinsin 2α＝1，且y x ＝sin αcos α＝tan α.（2）．由任意角的三角函数的定义也可求得． 设P(x ，y)为角α终边上的任一点，|OP|＝r.则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.易知sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2r 2＝1，tan α＝y x ＝sin αcos α.知识要点二：公式应用时注意的问题 （1）．公式成立的条件sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 均成立，tan α＝sin αcos α仅在α≠k π＋π2(k∈Z)时成立．（2）．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．[例题讲解]题型一：直接用公式求值1、已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．答案： 当α为第二象限角时，sin α＝45，tan α＝－43. 当α为第三象限角时，sin α＝－45，tanα＝43.2、若α是第四象限的角，tan α＝－512，则sin α等于( )A.15 B ．－15 C.315 D ．－5133、已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．答案：－43.题型二：巧妙求值（注意如下2种求值题型） 1、已知tan α＝3，求下列各式的值．(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；答案：(1) 3－33＋3(2)2sin 2α－3sin αcos α. 答案： (2) 910.2、已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.求sin x －cos x 的值．答案：－75.题型三：化简问题1、计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240°＝________.1、若tan θ＝2，则sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ的值为________．3、化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.答案： ⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角).题型四：证明题1、1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ.2、cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.题型五：三角函数与三角形的结合1、若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cos A －7的值．答案： 6或－34.2、已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin Acos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形，还是钝角三角形？答案：(1)－1225.(2)钝角三角形．【练习】1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±432．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°|3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34 C ．1 D.544．若cos α＝－817，则sin α＝________，tan α＝________.5．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－16．A 为三角形ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝1/2，则这个三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形7．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C.－34 D.458．(tan x ＋cot x )cos 2x ＝( )A ．tan xB ．sin xC ．cos xD ．cot x9．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是( )A ．{x |2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z }B ．{x |2k π－π≤α≤2k π，k ∈Z }C ．{x |2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z }D ．只能是第三或第四象限的角10．已知tan α＝－3，则1－sin αcos α2sin αcos α＋cos 2α＝________.11．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值为________．12．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·(1＋1tan θ)＝1sin θ＋1cos θ.10.三角函数诱导公式（2kπα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函数。