辽宁省沈阳市郊联体2018-2019学年高一下学期期末数学试题

绝密★启用前辽宁省沈阳市郊联体2018-2019学年高一下学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知点()3,1A ，()1,4B -，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ） A.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（ ） A.0.3B.0.55C.0.7D.0.753．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为（ ） A.4B.8C.16D.324．函数()()()tan 0f x x πωω=+>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ） A.0C.15．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第…………○…………线…………○……※※请※※不※…………○…………线…………○……A.24B.48C.56D.64 6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EBA ．3144AB AC B ．1344AB AC C ．3144ABAC D ．1344ABAC 7．已知点P 在正ABC ∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB ++=，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ） A.1:1B.1:2C.1:3D.1:48．已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ） A.2D.19．已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示.则()y f x =的图象，可由函数cos y x =的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位………○…………___________班级：__________………○………… D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位10．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1037=+。

在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于18的概率是（ ） A.15B.1115C.35D.1311．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ） A. B.10D.812．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最大值为（ ）A.2116B.32C.2516D.3○…………外………装……请※※不※※要※※在○…………内………装……第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.14．设向量()3,1a =，()3,1b =-，cos ,a b <>=______.15．如图，在边长为a 的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，E 为BC 中点，则AE BD ⋅=______.16．若()cos f x x x =在[],a a -上是减函数，则a 的取值范围为______. 三、解答题17．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β的终边分别与单位圆交于A 、B 两点.………○…………__________………○…………（1）如果3sin 5α=，点B 的横坐标为513，求()cos αβ+的值；（2）已知点()2C -，函数()f OA OC α=⋅，若()fα=tan α.18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)[)[)90,100,100,110,,140,150 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[)120130,内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[)120130,内的概率． 19．已知向量3sin ,4a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b x =-. （1）当a b 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()()2f x a b b =+⋅，已知在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a =2b =，sin 3B =，求()3cos 20,62f x A x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤++∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的取值范围.20．眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响.…………订…………※※线※※内※※答※※题※…………订…………（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.21．已知ABC ∆的外接圆．．．，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，sin sin sin 4n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥.（1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长.22．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量（单位：克）分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400]中，经统计得频率分布直方图如图所示.（1）现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率；（2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A 方案：所有芒果以10元/千克收购；B 方案：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购. 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？参考答案1．A 【解析】 【分析】根据单位向量的定义即可求解. 【详解】(4,3)AB =-,∴向量AB 的方向相反的单位向量为4343(,)(,)5555||AB AB --=-=-，故选A. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的单位向量的概念，属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求解. 【详解】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25， 所以摸出黑球的概率是1(0.450.25)0.3-+=， 因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件， 所以摸出黑球或红球的概率0.30.450.75P =+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式()()()P AUB P A P B =+，属于中档题. 3．B 【解析】 【分析】根据Y aX b =+，则2()()D Y a D X =即可求解.【详解】因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，21(1,2,10)i i y x i =-=所以1y ，2y ，…，10y 的方差为()(21)4()8D y D x D x =-==，故选B. 【点睛】本题主要考查了方差的概念及求法，属于容易题. 4．C 【解析】 【分析】根据题意可知函数周期为3π，利用周期公式求出ω，计算即可求值. 【详解】由正切型函数的图象及相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π知， 3T ππω==，所以3ω=，()tan(3)tan 112124f ππππ=+⨯==，故选C.【点睛】本题主要考查了正切型函数的周期，求值，属于中档题. 5．B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可知从左到右的前3个小组的频率之和，再根据频率之比可求出第二组频率，结合频数即可求解. 【详解】 由直方图可知，从左到右的前3个小组的频率之和为1(0.01250.0375)510.250.75-+⨯=-=， 又前3个小组的频率之比为1:2:3，所以第二组的频率为20.750.256⨯=， 所以学生总数120.2548n =÷=，故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率，频数，总体，属于中档题. 6．A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 7．C 【解析】 【分析】根据向量满足的条件确定出P 点的位置，再根据三角形有相同的底边，确定高的比即可求出结果. 【详解】因为PA PB PC AB PB PA ++==-， 所以2PC PA =-， 即P 点在边AC 上，且13AP AC =， 所以P 点到AB 的距离等于C 点到AB 距离的13， 故ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比为1:3.选C. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，三角形的面积，属于中档题. 8．B 【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+1372=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】根据图象可知1A =，根据周期为π知=2ω，过点(,1)12π求得3πϕ=，函数解析式()sin(2)3f x x π=+，比较解析式cos sin()2y x x π==+，根据图像变换规律即可求解.【详解】由()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象可得1A =,11244126T πππω=⋅=+，解得=2ω，图象过点(,1)12π，代入解析式得1sin(2)12πϕ=⨯+， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，故()sin(2)3f x x π=+，因为cos sin()2y x x π==+，将函数图象上点的横坐标变为原来的12得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移12π个单位得sin[2()]sin(2)()1223y x x f x πππ=-+=+=的图象，故选B.【点睛】本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】找出不超过15的素数，从其中任取2个共有多少种取法，找到取出的两个和小于18的个数，根据古典概型求解即可. 【详解】不超过15的素数为2,3,5,7,11,13，共6个，任取2个分别为2,3（），2,5（），2,7（），2,11（），2,13（），3,5（），3,7（），3,11（），3,13（），5,7（），5,11（），5,13（），7,11（），7,13（），11,13（），共15个基本事件，其中两个和小于18的共有11个基本事件，根据古典概型概率公式知1115P=. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于中档题. 11．D 【解析】 【分析】b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-，可求出||2b ≥，求22a b -的最小值即可得出结果. 【详解】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b -≥+⨯=，即28a b -≥，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题. 12．A 【解析】 【分析】以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A 、B 、C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求解. 【详解】 如图所示：以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，过点B 做BN x ⊥轴，BM y ⊥轴，因为AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=，1AB AD ==，所以1cos 602AN AB =︒=，sin 602BN AB =︒= 13122DN ∴=+=， 32BM ∴=，tan 302CM BM ∴=︒=，DC DM MC ∴=+=3(1,0),(,22A B C ∴,设(0,)E m ，3(1,),(,22AE m BE m m ∴=-=--≤≤，22321(22416AE BE m m m ⋅=+-=-+∴，当m =时，取得最小值2116. 【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的思想，属于中档题. 13．05 【解析】 【分析】根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可. 【详解】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05.本题主要考查了简单随机抽样中的随机数表法，属于容易题. 14．12-【解析】 【分析】利用向量夹角的坐标公式即可计算. 【详解】311cos ,222||||a b a b a b ⋅-+<>===-⨯.【点睛】本题主要考查了向量夹角公式的坐标运算，属于容易题.15．24a -【解析】 【分析】选取,AB AD 为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可. 【详解】 因为111()()222AE AC AB AB AD AB AB AD =+=++=+, BD AD AB =-,∴AE BD ⋅=22111()()222AB AD AD AB AD AB AD AB +⋅-=-+⋅， 又||||AD AB a ==，1cos ,cos32AD AB π<>==∴ 22211112224AE BD a a a ⋅=-+⨯=-.【点睛】本题主要考查了向量的加法减法运算，向量的数量积，属于中档题. 16．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】化简函数解析式，()2cos()3f x x π=+，[],x a a ∈-时，[,]333x a a πππ+∈-+是余弦函数单调减区间的子集，即可求解. 【详解】()cos 2cos()3f x x x x π==+,[],x a a ∈-时，[,]333x a a πππ+∈-+,且()cos f x x x =在[],a a -上是减函数，∴[,][2,2]33a a k k πππππ-+⊆+ k Z ∈，223322233k a a k a k a k πππππππππ⎧⎧≤-≤-⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪+≤+≤+⎪⎪⎩⎩，k Z ∈因为0,0a a a k -<∴>= 解得03a π<≤.【点睛】本题主要考查了函数的三角恒等变化，余弦函数的单调性，属于中档题. 17．(1) 1665-；(2) tan 2α=【解析】 【分析】（1）根据条件求出,αβ的正余弦值，利用两角和的余弦公式计算即可（2）利用向量的数量积坐标公式运算可得cos 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()f α=α即可求解. 【详解】 （1）3sin 5α=，α为锐角，则4cos 5α==， 点B 的横坐标为513，即有5cos 13β=，12sin 13β=，则()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-453121651351365=⨯-⨯=-；（2）由题意可知，()cos ,sin OA αα=，()2OC =-，则()232sin f OA OC ααα=⋅=-4cos 6πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭即cos 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由02πα<<，可得2663πππα<+<， 则64ππα+=，即有12πα=．tan tan 246ππα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了单位圆，三角函数的定义，同角三角函数之间的关系，向量数量积的坐标运算,属于中档题.18．(1) 0.3，直方图见解析；(2)121；(3) . 【解析】 【分析】（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[)120130,内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；（3）先计算[110120，）、[120130，）分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120130，）为事件A ，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件A 包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可. 【详解】(1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，0.3==0.0310频率组距，补全后的直方图如下：(2)平均分为：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121. (3)由题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15＝9人，[120,130)分数段的人数为：60×0.3＝18人．∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ； 在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a ，b ，c ，d ；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ，则基本事件有：(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )，(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )共15种．事件A 包含的基本事件有：(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )共9种，∴()93155P A ==.19．(1)85；(2) ⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）由共线向量的坐标运算化简可得tan x ，将2cos sin 2x x -化切后代入即可（2）利用向量的坐标运算化简()f x ，利用正弦定理求A ,根据角的范围求值域即可. 【详解】（1）∵3sin ,4a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b x =-，且a b ； ∴3cos sin 04x x +=，∴3tan 4x =-； ∴2222cos 2sin cos cos sin 2sin cos x x x x x x x --=+212tan 1tan x x -=+23124314⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭85=； （2）∵()()2f x a b b =+⋅()()32sin cos cos 2114x x x ⎛⎫=+⋅+⨯-⨯- ⎪⎝⎭212sin cos 2cos 2x x x =++1sin 2cos 212x x =+++3242x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B=，∴3sin 22A ==， ∴4A π=，或34A π=； 又∵b a >，∴4A π=，∴()33cos 223cos 264246f x A x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭323sin 426x ππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；∴sin 214x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭即()3cos 26f x A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围是⎡-⎣． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标运算，三角恒等式，sin()y A x ωϕ=+型函数的值域，属于中档题. 20．(1)0分概率127；2分概率49；(2) 1081【解析】 【分析】（1）记“甲队总得分为0分”为事件A ，“甲队总得分为2分”为事件B ，分析可知A 事件三人都没有答对，按相互独立事件同时发生计算概率，B 事件即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，由n 次独立事件恰有k 次发生计算即可（2）记“乙队得1分”为事件C ，“甲队得2分乙队得1分”为事件D ，分别有互斥事件概率加法公式及相互独立事件乘法公式计算即可. 【详解】（1）记“甲队总得分为0分”为事件A ，“甲队总得分为2分”为事件B ，甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率()3211327P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率()222431339P B ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）记“乙队得1分”为事件C ，“甲队得2分乙队得1分”为事件D ； 事件C 即乙队三人中有2人答错，其余1人答对， 则()2212211(1)1(1)332332P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-+⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22151133218⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 甲队得2分乙队得1分即事件B 、C 同时发生，则()()()451091881P D P B P C ==⨯=． 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率计算，涉及n 次独立事件中恰有k 次发生的概率公式的应用，互斥事件的概率加法公式，属于中档题.21．(1) 3C π=. (2) max S =【解析】 【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长. 【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=， ∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤，所以，max S =，此时，ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。