分式方程有增根和无解
分式方程的增根和无解
分式方程的增根和无解
增根和无解是分式方程中常见的两种情况。
增根是指分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为$0$的根。
分式方程的增根问题是分式方程去分母的过程中，方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式，致使未知数的取值范围扩大。
无解是指分式方程本身就是一个矛盾等式，不论未知数取何值都不能使方程两边的值相等。
分式方程无解包括两种情况：一种情况是分式方程变形后，整式方程本身无解；另一种情况是整式方程有解，但这个解使原方程的分母为$0$，即为分式方程的增根，所以原分式方程无解。
总的来说，分式方程的增根和无解是两个不同的概念，增根是分式方程的一种特殊情况，而无解则是分式方程的一种极端情况。
分式方程有增根-无解-有解教学内容
分式方程有增根-无解-有解收集于网络，如有侵权请联系管理员删除【分式方程有关内容】解方程：(1)4321222-=+--x x x (2)x x x -=+--23221 (3)114112=---+x x x注：可化为一元一次方程的分式方程可能有一个解，也可能无解。
增根：分式方程有增根满足两个条件①分式方程化为整式方程后是整式方程的解②使分式方程最简公分母为0的未知数的值例题1：关于x 的分式方程)1(163-+=-+x x mx x x 有增根，求m 的值解题步骤整理： 练习：关于x 的分式方程)1)(1(11-+=--x x m x x 有增根，求m 的值分式方程无解：增根不等同于无解分式方程无解：①分式方程化为整式方程后整式方程本身无解 ②整式方程的解使最简公分母为零是增根而舍去，无解 例题2：关于x 的分式方程131=---xx a x 无解，求a 的值解题步骤整理： 练习：关于x 的分式方程xx x m 2132=--+无解，求m 的值例题3：关于x 的分式方程xx k x x -=-+2121有解，求k 的取值范围解题步骤整理： 练习：关于x 的分式方程323-=--x mm x x 有解m 的取值范围例题4：关于x 的分式方程112=-+x m 的解为正数（非负数，负数，非正数）， 求m 的取值范围解题步骤整理： 关于x 的分式方程112=++x a 的解为非正数，求a 的取值范围能力提升：2.若关于x 的分式方程)1)(2(21221+-+=+----x x ax x x x x 的解是正数，求a 的取值范围？ 3.若关于x 的方程115=++m 无解，求m 的值？ 5.关于x 的分式方程0)1(163=-+--+x x m x x x 有解，求k 的取值范围？收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。
分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
分式方程中增根及无解问题
分式方程有增根、无解等问题【真题演练】1．（2021秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（）A．0B．2或3C．2D．32．（2021秋•开福区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣63．（2021秋•庄浪县期末）若关于x的方程＝2有增根，则m的取值是（）A．0B．2C．﹣2D．14．（2021秋•黔西南州期末）若关于x的方程+2＝有增根，则m的值是（）A．﹣2B．2C．1D．﹣15．（2022春•原阳县月考）分式方程+2＝有增根，则m＝．6．（2022春•靖江市校级月考）已知关于x的分式方程有增根，则m＝．7．（2021秋•新田县期末）解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是．8．（2021秋•平江县期末）若关于x 的分式方程有增根，则m 的值是 ．【真题演练】9．（2022春•江都区校级月考）若关于x 的分式方程无解，则实数a 的值为（ ） A ．7B ．3C ．3或7D ．±710．（2022春•西峡县校级月考）若关于x 的分式方程无解，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣10C ．0或﹣6D ．﹣6或﹣1011．（2021春•南召县期中）若关于的x 方程无解，则a 的值为（ ） A ．或B ．0或3C ．或3 D ．0或12．（2021秋•晋安区期末）若关于x 的分式方程＝无解，则k 的值为（ ） A ．1或4或﹣6B ．1或﹣4或6C ．﹣4或6D ．4或﹣613．（2021秋•两江新区期末）若关于x 的方程＝1无解，则a ＝（ ） A ．3B ．0或8C ．﹣2或3D ．3或814．（2021秋•官渡区期末）若关于x的方程无解，则a的值为（）A．2B．C．1或2D．2或15．（2022•南海区一模）若关于x的方程无解，则a ＝．16．（2021秋•虎林市校级期末）若关于x 的分式方程无解，则a 的值为（）A．﹣2B．1C．﹣2或1D．1或0【真题演练】17．（2022春•海陵区校级月考）关于x的方程有正数解，则m取值范围是．18．（2022•禅城区一模）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为．19．（2022•仁寿县模拟）已知关于x的方程＝5的解不是正数，则m的取值范围为．20．（2022•任城区一模）关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是．21．（2021秋•北安市校级期末）关于x的方程的解不小于1，则m的取值范围为．22．（2021秋•绵阳期末）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于．23．（2022春•普宁市校级月考）若分式方程的解为整数，则整数a＝（）A．a＝±2B．a＝±1或a＝±2C．a＝1或2D．a＝±124．（2021秋•南沙区期末）若正整数m使关于x的分式方程的解为正数，则符合条件的m的个数是（）A．2B．3C．4D．525．（2021秋•合川区期末）若a≥﹣4，且关于x的分式方程+3＝有正整数解，则满足条件的所有a的取值之积为．。
专题12 分式方程的无解与增根（含答案）
专题12 分式方程的无解与增根知识解读1.分式方程增根的定义方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 2.分式方程无解有两种可能（1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x =1”的形式，即整式方程无解；（2）整式方程求得的解，使得原分式方程的分母等于0，即求得的根为增根。
3.验根的方法（1）代人原方程检验，看方程左、右两边的值是否相等，如果相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根；（2）代人最简公分母检验，看最简公分母的值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根.前一种方法虽然计算量大，但是能检查解分式方程中有无计算错误，后一种虽然简单，但不能检查解方程的过程有无计算错误，所以在使用后一种检验方法时，应以解方程的过程没有错误为前提。
培优学案典例示范一、分式方程增根的讨论 例1若方程233x mx x -=--有增根，则m 的值为 （ ） A. -3 B .3 C .0 D .以上都不对【提示】如果这个方程有增根，则这个增根为x =3，x =3虽然不是233x mx x -=--的解，但却是这个方程去分母之后得到的整式方程的解。
【技巧点评】方程有增根，一定存在使公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤：①把分式方程化成整式；方程；②令公分母为0，求出x 的值；③把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值。
跟踪训练1.当m 为何值时，解方程225++111mx x x =--会产生增根？二、分式方程的无解 例2若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = . 【提示】分式方程无解，需要就分式方程有增根和整式方程无解两种情况讨论。
【技巧点评】已知分式方程的无解，可先考虑去分母，将它化成整式方程，然后讨论是整式方程无解，还是分式方程的根为增根。
跟踪训练2.当k 时，分式方程，0111x k x x x x +-=--+无解.三、分式方程解的讨论 例3 已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为 。
(完整版)分式方程的增根与无解详解
分式方程的增根与无解讲解2 4x 3例1解方程上 二—.①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).② 解这个方程，得x=2 .经检验：当x=2时，原方程无意义，所以 x=2是原方程的增根.所以原方程无解.x 13 x 例2解方程2 .x 22 x解：去分母后化为 x — 1 = 3- x + 2 (2 + x ). 整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 口 = 旦 无解，则m 二——x 2 2 x解：原方程可化为方程两边都乘以 x — 2,得x — 3=— m. 解这个方程，得x=3 — m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2 ,所以2=3 — m,解得m=1 故当m=1时，原方程无解.2例4当a 为何值时，关于x 的方程 ---------x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2) 整理得(a — 1) x = — 10②若原分式方程有增根，则 x = 2或—2是方程②的根. 把x = 2或一 2代入方程②中，解得，a = — 4或6. 若将此题“会产生增根”改为“无解” ，即：此时还要考虑转化后的整式方程(a — 1) x =— 10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2)2当a 为何值时，关于x 的方程门 axx 2 4①无解?axx 2 4①会产生增根?整理得(a—1) x = —10 ②若原方程无解，则有两种情形:（1 ）当a - 1 = 0 （即a = 1）时，方程②为Ox = - 10,此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为 =2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出 a =- 4或6.综上所述，a = 1或a =—4或a = 6时，原分式方程无解. 例5: （2005扬州中考题）A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1 分析：使方程的最简公分母 （x+1）（x-1）=0 则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零须是所化整式方程的根。
分式分式方程有增根或无解
例： k为何值时，分式方程
x k x 0 x 1 x 1 x 1
无解？
解： 方程两边都乘以(x-1)(x+1),得
x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0 解，得 x k
k2
• 当x=1时,原方程无解，则k=-1
• 当x=-1时，k值不存在
• 当k=-2时，k+2=0, 原方程无解
∴当k=-1或k=-2时，原方程无解
A.方程的解为 x m 5 B.当 m 5 时，方程的解为正数
C.当 m 5 时，方程的解为负数
D.无法确定
c 4.若分式方程
xa x 1
a无解，则a的值是
（
）
A.－１
B. 1 C. ±1 D.-2
6.解关于x的方程
x-3 x-1
=
m
x-1 产生增根,则常
数m的值等于( ) (A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2
7.当m为何值时，方程 x 2 m 无解？
有解呢？
x3
x3
1.解方程
当堂检测
X=2是增根原方程无解
2.关于x的方程
有增根,则a＝_7_ 。
c 3.解关于x的方程 m 1 下列说法正确的是（ ） x5
A、2
B、-1
•
C、2或-1 D、无法确定
• 3、关于x的分式方程
1 1 k x2 x2
• 有增根，则k= 1 。
例
（例2变式)
解关于x的方程
2 ax 3 x 2 x2 4 x 2
无解，则常数a= 。
方法总结：1.化为整式方程. 2.把整式方程分两种情 况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根.
分式方程的增根与无解详解
分 式 方 程 的 增 根 与 无 解 讲 解例1解方程—24x 3•①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).②解这个方程，得x=2.经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根.所以原方程无解.例2解方程x 13 x2 .x 22 x解：去分母后化为x — 1 = 3— x + 2 (2+ x ).整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 王卫二―丄无解，则m= ------------ .x 22 x解：原方程可化为x 3二—m.x 2 x 2方程两边都乘以x — 2，得x — 3=— m解这个方程，得x=3— m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2，所以2=3— m 解得m=1.故当m=1时，原方程无解.ax例4当a为何值时，关于x的方程齐厂齐①会产生增根?解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原分式方程有增根，则x= 2或-2是方程②的根.把x = 2或一2代入方程②中，解得，a = —4或6.若将此题“会产生增根”改为“无解”，即:2 ax 3当a为何值时，关于x的方程厂2 厂门①无解?此时还要考虑转化后的整式方程（a—1）x二—10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原方程无解，则有两种情形:（1）当a—1 = 0 （即a= 1）时，方程②为0x =一10，此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为x = 2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出a= —4或6.综上所述，a= 1或a = —4或a=6时，原分式方程无解.例5: （2005扬州中考题）6A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1分析：使方程的最简公分母(x+1)(x-1)=0 则x=-1或x=1，但不能忽略增根除满足最简公 分母为零,还必须是所化整式方程的根。
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分式方程有增根:
指的是解分式方程时，在把分式方程转化为 整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了 一个可能使分母为零的整式，扩大了未知数 的取值范围产生的未知数的值；从而使分式 方程无解。
（1）整式方程有解
（2）整式方程的解使最简公分母=0 从而使分时方程产生了增根 从而使 分式方 程无解。
例2
例1 解方程：
2 4x 3 2 ① x2 x 4 x2
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）得 2（x+2）-4x=3（x-2）② 解之得 x=2． 检验：当x=2时（x+2）（x-2） =0 ∴ x=２是原方程的增根． ∴原方程无解．
方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．去分母后 方程②中未知数x的取值范围扩大为全体数． ∴当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根． 本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零， 所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．
。
无解，则m= 6，10
2 x 1x xa 2 2x a 1 例4：关于x的方程 x2 x 1 ( x 2)(x 1) x 1
的解是正数，求a的取值范围。
谢谢指导！
再见
2012、3、10
解关于x的方程 2 ax 3 无解，求 a。 2 x2 x 4 x2 （例2变式) 2 ax 3 解：变形为：x 2 ( x 2)( x 2) x 2 例3
两边乘 （x+2）（ x-2）化简得
原分式方程无解分两种情况： 整式方程无解 当a-1=0时 解得a=1原分式方程无解。
则常数m的值等于( A )
(A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2
x m （ 4） 当m为何值时，方程x 3 2 x 3
无解？
例4Βιβλιοθήκη 2x a 1的解是正数，求 若分式方程 x2
a
.
的取值范围
解：两边乘（x-2）得: 2x+a=-(x-2)
解得 由题意得不等式组： 且x-2 ≠0 ∴ x≠2
有增根，则增根为（ C ） A、 2 B、-1 C、2或-1 D、无法确定
随堂练习
• 2、若分式方程
mx 1 1 x 1
•
有增根，求m的值
随堂练习
• 3、关于x的分式方程
2 kx 3 x4 4 x
有增根，求k的值 因增根产生无解。那么无解是否都是由增根 造成的？ 无解和增根一样吗？
2 ax 3 2 解关于x的方程 产生增根,求 x2 x 4 x2 2 ax 3 解：变形为： x 2 ( x 2)( x 2) x 2
a
两边乘 （x+2）（ x-2）化简得 ∵有增根 ∴ （x+2）（ x-2）=0 ∴ x=2或x=-2是 的根.
∴ x=2或x=-2
xa 3 1无解 3. 关于x的方程 x 1 x 则a ______
x 1 x 2 2 x a 4：关于x的方程 x 2 x 1 ( x 2)(x 1)
的解是非负数数，求a的取值范
随堂练习
• 4、若关于x的分式方程
m x 1 5 m3 2x 1
解得：
且
方法总结：1.化整式方程求根，且不能是增根. 2.根据题意列不等式组.
例2：k为何值时，关于x的方程
1 k 2 3 x2 2 x
解为正，求k的取 值范围？
a 1.若方程 ------= 1的解是负数,求a X+1 的取值范围.
2. a为何值时,关于x的方程 a-1 ------ = 2 的解为非负数 x-1
整式方程的解为分式方程的增根时（x+2）（ x-2）=0 ∴ x=2或x=-2 ∴ x=2或x=-2是 整式方程的根. 当x=2时 2（a-1） =-10， 则a= -4 当x=-2时-2（a-1）=-10，解得a=6. ∴ a=-4或a=6时.原方程产生增根.原分式方程无解。
综上所述：当 a= 1或-4或6时原分式方程无解. 方法总结：1.化为整式方程. 2.把整式方程分两种情况讨 论，整式方程无解和整式方程的解为增根.而无解
随堂练习
• 1、若分式方程
mx 1 1 x 1
•
有无解，求m的值
随堂练习
• 2、关于x的分式方程
2 kx 3 x4 4 x
有无解，求k的值
随堂练习
m x 0无 • 3、若分式方程 2m x 1
解，则m的取值是（ A ） • • A、-1或 C、-1
1 2
1 B、 2
(4)写出原方程的根.
解方程： x 1 3 x (1) 2 x2 2 x
X=1
x2 16 (2) 2 1 x2 x 4
X=-2 不是分式方程的解 是分式方程的增根
.
∴原分式方程的无解
学习目标:
1.掌握分式方程的增根与无解这两个概念； 2.掌握增根与无解有关题型的解题方法；
当x=2时 2（a-1） =-10， 则a= -4.
当x=-2时-2（a-1）=-10，解得a=6.
∴ a=-4或a=6时.原方程产生增根. 方法：1.化为整式方程。
2 有增根使最简公分母为零时，求增根
3.把增根 代入整式方程求出字母的值。
随堂练习
• 1、分式方程
• • • •
1 m x 2 x 1
复习回顾
1.解分式方程的思路是：
分式 方程 转化 去分母
整式 方程
2.解分式方程的一般步骤
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
“一化 二 解 三验 四结”
(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最 简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
x 1 3 x 2 例2 解方程： x2 2 x
解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解．
分式方程化为整式方程，整式方程本身就无解 当然原分式方程肯定就无解了．
∴分式方程无解不一定是因为产生增根．
分式方程无解:
则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边 的值等．它包含两种情形： （一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但 这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增 根，从而原方程无解．
1 或0 D、 2
随堂练习
• 4、分式方程
● x2 x 1 1- x
• 中的一个分 子被污染成了●，已知 这个方程无解，那么被污染的分子 ●应该是 。
X-4 1 X=5 （1）方程 x-5 = X-5 有增根，则增根是___ 1-X 1 -2 X=2 （ 2） 有增根，则增根是 ___ x-2 = 2-X x-3 m = 解关于 x 的方程 产生增根 , x-1 （ 3） x-1
反思小结
1.有关分式方程增根求字母系数的问题：
2.有关分式方程无解求字母系数的问题： 3.数学思想：
当 堂 检 测
作业；
1 10 2 1.如果分式方程 有增根，那么增 x 5 x 25
根可能是_____.
2 mx 3 2.当m为何值时,方程 会产生增 2 x 2 x 4 x 2 根.