分式方程无解和增根
分式方程的增根和无解
分式方程的增根和无解
增根和无解是分式方程中常见的两种情况。
增根是指分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为$0$的根。
分式方程的增根问题是分式方程去分母的过程中，方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式，致使未知数的取值范围扩大。
无解是指分式方程本身就是一个矛盾等式，不论未知数取何值都不能使方程两边的值相等。
分式方程无解包括两种情况：一种情况是分式方程变形后，整式方程本身无解；另一种情况是整式方程有解，但这个解使原方程的分母为$0$，即为分式方程的增根，所以原分式方程无解。
总的来说，分式方程的增根和无解是两个不同的概念，增根是分式方程的一种特殊情况，而无解则是分式方程的一种极端情况。
分式方程的增根与无解-(教师版)
分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
分式方程的增根与无解教师版
分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2019湖北荆门）若方程32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
分式方程中无解与增根有什么区别,做题时有什么不同的
分式方程中无解与增根有什么区别,做题时有什么不同的
解分式方程一般都要去分母化为整式方程,而整式方程只有：有解与无解二种情况.
当整式方程无解时,那么原来的分式方程也一定无解.
当整式方程有解时,原来的分式方程就不一定也有解,因为分式方程有产生增根的可能,
若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中,只要有一个分母为0,
这个整式方程的解就不是原分式方程的根,它是一个增根.
若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中全不为0,这个整式方程的解
才是原分式方程的解.
若整式方程的所有解都不是原分式方程的根（即都是增根）,这时才能说
此分式方程无解.
无解与增根的关系不太大,有增根不一定无解,无解也不一定是因为有了增根才无解的.
这与解题毫无关系.。
(完整版)分式方程的增根与无解详解
分式方程的增根与无解讲解2 4x 3例1解方程上 二—.①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).② 解这个方程，得x=2 .经检验：当x=2时，原方程无意义，所以 x=2是原方程的增根.所以原方程无解.x 13 x 例2解方程2 .x 22 x解：去分母后化为 x — 1 = 3- x + 2 (2 + x ). 整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 口 = 旦 无解，则m 二——x 2 2 x解：原方程可化为方程两边都乘以 x — 2,得x — 3=— m. 解这个方程，得x=3 — m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2 ,所以2=3 — m,解得m=1 故当m=1时，原方程无解.2例4当a 为何值时，关于x 的方程 ---------x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2) 整理得(a — 1) x = — 10②若原分式方程有增根，则 x = 2或—2是方程②的根. 把x = 2或一 2代入方程②中，解得，a = — 4或6. 若将此题“会产生增根”改为“无解” ，即：此时还要考虑转化后的整式方程(a — 1) x =— 10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2)2当a 为何值时，关于x 的方程门 axx 2 4①无解?axx 2 4①会产生增根?整理得(a—1) x = —10 ②若原方程无解，则有两种情形:（1 ）当a - 1 = 0 （即a = 1）时，方程②为Ox = - 10,此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为 =2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出 a =- 4或6.综上所述，a = 1或a =—4或a = 6时，原分式方程无解. 例5: （2005扬州中考题）A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1 分析：使方程的最简公分母 （x+1）（x-1）=0 则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零须是所化整式方程的根。
无解≠增根
陈峰
分式方程的无解和增根令许多初学分式 增根和整式方程无解这两种情况讨论。
方程的同学头疼，无解是不是一定意味着这个
解 ：将 方 程 两 边 同 时 乘 x（x-1），得 x
方程有增根？本文试通过几道例题来谈谈它 （x-a）-3（x-1）=x（x-1），
们的差别。
整理方程，得（a+2）x=3。
又∵分式方程无解，∴x=1 即为增根。
不能等于 1，而对于变形后的方程来说，x=1。
当增根为 1 时，得 a+2=3，解得 a=1。
因此 x=1 是在去分母过程中“增加”的根，这个
综上所述，当 a=-2 或 a=1 时，该分式方程
根原本是不存在的，这样的根就是增根。
无解。
例1
若方程
x x-3
-2=
m x-3
二、无解可能出现增根，也可能真没解
分式方程的根如果是增根，则分式方程无
解。反之却不一定成立。如果分式方程无解，
还有可能是化为整式方程后，整式方程就是无
解的。
例2
若关于 x 的分式方程
x-a x-1
-
3 x
=
1
无解，则 a=
。
【分析】分式方程无解，需要分分式方程有
技巧点评：已知分式方程无解，可先考虑
去分母，将它们化成整式方程，然后讨论是整
x=
k
5
3
。
因为
x＜0，所以
k
5
3
＜
k
5
3
≠-3，所以 k≠-12。
所以当 k＜3 且 k≠-12 时，原分式方程的解
为负数。
（作者单位：海安高新区仁桥初级中学）
46 策略方法
分式方程的增根与无解
甲：如此说来，从方程 ①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那 么，如何知道从整式方程 ②解出的未知数的值是或不是原方程 ①的解呢?乙：很简单，两个字：检验。
可以把方程 ②解出的未知数的值一一代入去分母时方程乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于 0,如果公分母为0,则说明这个值是增甲：啊？！为什么会无解呢?乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x 取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解,乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看:乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。
甲：那为什么会出现这种情况呢?甲：增根是什么?了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如 根，否则就是原方程的解。
例1、解方程: 。
① 甲：那么，这个题中x = 0就是增根了，可原方程的解又是什么呢?为了去分母，方程两边乘以 gQ ，得収= J ②乙：原方程无解。
乙 可是当 so 时，原方程两边的值相等吗?又如对于方程，不论x 取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。
甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。
哟！当宫-D 时，原方程有的项的分母为0，甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢? 乙：因为原来方程 ①中未知数x 的取值范围是且筈#2|,而去分母化为整式方程② 去分母后化为，解得蛊・3或疋=-1|,此时，I 翌=-1|是增根，但原方程并不后，未知数x 的取值范围扩大为全体实数。
这样，从方程②解出的未知数的值就有可 能不是方程①的解。
是无解，而是有一个解 解，但原方程也没有增根。
，而方程天，去分母后化为0 x =，原方程虽然无分式方程的增根与无解甲：原方程的解是X-CI 。
没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦?因为原方程的最简公分母是（金-1液十2）|,所以方程的增根可能是x = l|^x = -2|乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的常客”它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应解之，得x 4 m.因为原方程无解，所以x 4 m为方程的增根.又由于原方程的增根为x 3.所以考虑增根，例如:---- =m例4、已知关于x的方程K-了无解，求m的值。
分式方程的增根和无解
分式方程的增根和无解黄石市白马山学校 胡优武知识重点：同学们在平时解答分式方程时，经常对分式方程的增根和无解混淆不清，容易错解、漏解。
为了学生好区分这两个概念，特制定以下例子加以说明。
（一）所求出的根使分式方程分母为零，这个根叫增根。
假定分母为零的值不一定是分式方程的增根。
例1：若解关于x 的分式方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值． 解：方程两边都乘最简公分母（x+2）（x-2），得2（x+2）+mx=3（x-2）∵最简公分母为（x+2）（x-2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=-4．把x=-2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=-4或6．本例具有常规性，一般学生都可以看出增根是x=±2，从而求出两个m 的值。
例2：关于分式方程xx x x x +=-+-2227163增根的情况，说法正确的是（ ） A ．有增根是0和-1 B ．有增根是0和1、-1C ．有增根是-1D ．有增根是1一般的学生会假定最简公分母x(x+1)(x-1)=0，得出B 选项，那么就错了。
大家先看看解答过程。
解：方程两边乘以最简公分母为x （x+1）（x-1），得3（x+1）-6x=7（x-1），x=1；当x=1时，x （x+1）（x-1）=0，x=1是增根．原方程无解故选D ．以上说明面对分式方程增根时，不能通过假定分母为零的所有x 的值是方程增根，必须动手计算。
（二）分式方程得的无解，要从两个角度分析，①无解：使分式方程分母为零的根叫增根，此时分式方程无解。
②无解：分式方程化成整式方程ax=b ， 当 a=0 ,b ≠0时，方程无解。
例3：若关于x 的分式方程131=---xx m x 无解，求m 的值． 解：方程两边同时乘以x （x-1）得，x （x-m ）-3（x-1）=x （x-1），整理得 (m+2）x=3①当x=0时原分式方程无解，此时0=3，无意义；②当x=1时原分式方程无解，此时解得m=1．③当m+2=0时，即m=-2时，整式方程(m+2）x=3无解，即原分式方程无解．故m=1或-2．上面的第③步，是学生最容易遗漏的。