天津市第一中学2020-2021学年高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
2020-2021学年天津市某校高一(上)第一次月考数学试卷
2020-2021学年天津市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1. 集合{x∈N|x−3<2}，用列举法表示是()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 4}C.{0, 1, 2, 3, 4, 5}D.{1, 2, 3, 4, 5}【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】化简集合，将元素一一列举出来．【解答】解：集合{x∈N|x−3<2}={x∈N|x<5}={0, 1, 2, 3, 4}．故选A．2. 设全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则A∩(∁U B)＝（）A.{−3, 3}B.{0, 2}C.{−1, 1}D.{−3, −2, −1, 1, 3 }【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集、交集的运算即可．【解答】全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则∁U B＝{−2, −1, 1}，∴A∩(∁U B)＝{−1, 1}，3. 若2∈{1, a2+1, a+1}，则a＝（）A.2B.1或−1C.1D.−1【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，再根据元素的互异性进行检验即可．【解答】若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，所以a＝1或−1，当a＝1时，a2+1＝a+1，与元素互异性相矛盾，舍去；当a＝−1时，a+1＝0，a2+1＝2，合题意，故a＝−1．4. “x>2”是“x>1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由x>1，我们不一定能得出x>2；x>2时，必然有x>1，故可得结论【解答】解：由x>1，我们不一定能得出x>2，比如x=1.5，所以x>1不是x>2的充分条件；∵x>2>1，∴由x>2，能得出x>1，∴x>1是x>2的必要条件,∴x>2是x>1的充分不必要条件.故选A．5. 设命题p:∃n∈N，n2>2n，则￢p为()A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n.故选C.6. 下列不等式中成立的是（）A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a>b，则a3>b3【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】对于选项ABC，直接利用不等式的基本性质的应用进行判断，对于选项D利用配方法判断结果．【解答】对于选项A：当c＝0时，由于a>b，所以c2(a−b)＝0，故选项A错误．对于选项B：由于a>b，当a与b互为相反数时，a2−b2＝(a+b)(a−b)＝0，故选项B错误．对于选项C:a<b<0，所以a2>ab>b2，故选项C错误．对于选项D：由于a>b，所以a3−b3＝(a−b)(a2+ab+b2)＝(a−b)[(a+b2)2+34b2]>0，故选项D正确．故选：D．7. 下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)8. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√3【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.9. 一元二次方程ax2+4x+3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.a<0B.a>0C.a<−1D.a>1【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先由已知条件得到{△=16−12a>03a<0，解得a<0，而a<−1能得到a<0，a<0得不到a<−1，所以a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件．【解答】若一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根，则：{a≠016−12a>03 a <0，解得a<0；∴a<−1时，能得到a<0，而a<0，得不到a<−1；∴a<−1是a<0的充分不必要条件，即a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件；10. 已知实数a>0，b>0，+＝1，则a+2b的最小值是（）A. B. C.3 D.2【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在相应横线上）已知命题p:∃x∈R，x2−1>0，那么￢p是________．【答案】∀x∈R，x2−1≤0【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，x2−1≤0，已知a，b，c均为非零实数，集合A={x|x=|a|a +b|b|+ab|ab|}，则集合A的元素的个数有________个．【答案】2【考点】元素与集合关系的判断【解析】通过对a，b的正负的分类讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值的符号然后进行运算，求出集合中的元素．【解答】当a>0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1+1+1＝3，当a>0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1−1−1＝−1，当a<0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1+1−1＝−1，当a<0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1−1+1＝−1，故x的所有值组成的集合为{−1, 3}设集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，则实数m＝________．【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由真子集的定义得m2＝m，再利用集合中元素的互异性能求出实数m．【解答】∵集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，∴m2＝m，解得m＝0或m＝1（舍），故实数m＝0．设集合A={x|0≤x≤3}，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为________．【答案】6【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算得出A∩B={1, 2, 3}，然后根据非空真子集个数的计算公式即可求出A∩B的非空真子集的个数．【解答】∵A={x|0≤x≤3}，B={1, 2, 3, 4, 5}，∴A∩B={1, 2, 3}，∴A∩B非空真子集个数为：23−2=6．给出下列条件p与q：①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0；②p:x2−1＝0，q:x−1＝0；③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．其中p是q的必要不充分条件的序号为________．【答案】②【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】直接利用方程的解法和充分条件和必要条件的应用判断①、②、③的结论．【解答】①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0，解得x＝1或x＝2；，故p＝q，所以p为q的充要条件；②p:x2−1＝0，解得x＝±1，q:x−1＝0；解得x＝1，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，③p：一个四边形是矩形；则对角线相等，q：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，故p是q的充分不必要条件．已知全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}，若A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，则集合A＝________，B＝________．【答案】{2, 4, 8},{3, 4, 7}【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出A∩B＝{4}，由此能求出集合A，B．【解答】全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，∴A∩B＝{4}，集合A＝{2, 4, 8}，B＝{3, 4, 7}．已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则实教a的取值范围是________．【答案】[1, 2]【考点】集合的包含关系判断及应用并集及其运算【解析】根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，再求出a的取值范围．【解答】因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则B⊆A，则{a≥12a≤4，解得1≤a≤2，所以a的取值范围为[1, 2]．设n∈N∗，一元二次方程x2−4x+n＝0有整数根的充要条件是n＝________．【答案】3或4【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△≥0，n∈N∗，解得n．经过验证即可得出．【解答】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△＝16−4n≥0，n∈N∗，解得1≤n≤4．经过验证n＝3，4时满足条件．若x<53，y＝3x+13x−5，当x＝________43时，y的最大值为________．【答案】,3【考点】基本不等式及其应用【解析】y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由x<53得3x−5<0，y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5≤−2√(5−3x)⋅15−3x+5＝3，当且仅当5−3x=15−3x ，即x=43时取等号，此时y＝3x+13x−5取得最大值3．已知正实数a，b满足a+b＝1，则1a (b+1b)的最小值是________．【答案】2+2√2【考点】基本不等式及其应用【解析】由1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2，然后结合基本不等式即可求解．【解答】∵正实数a，b满足a+b＝1，∴1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2≥2√2ba⋅ab+2=2+2√2，当且仅当2ba =ab且a+b＝1，即a＝2−2√2，b=√2−1时取等号，则1a (b+1b)的最小值2+2√2．三、解答题：（本大题共2个小题，共20分，请用黑色水笔将答案写在规定区域内，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）设集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）若a＝1时，求P∪Q；P∩(∁R Q)；（2）若P∩Q＝⌀，求实数a的取值范围；（3）若P∩Q＝{x|0≤x<3}，求实数a的值．【答案】a＝1时，集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2≤x≤4}．∴P∪Q＝{x|−2<x≤4}，∁R Q＝{x|x<2或x>4}，P∩(∁R Q)＝{x|−2<x<2}．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝⌀，∴当Q＝⌀时，2a>a+3，解得a>3，当Q≠⌀时，{2a≤a+3a+3≤−2或{2a≤a+32a≥3，解得a≤−5或32≤a≤3，∴实数a的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝{x|0≤x<3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）a ＝1时，求出集合Q ．由此能求出P ∪Q ，求出∁R Q ，由此能求出P ∩(∁R Q)．（2）当Q ＝⌀时，2a >a +3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3，由此能求出实数a 的取值范围．（3）推导出P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，由此能求出实数a ．【解答】a ＝1时，集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2≤x ≤4}．∴ P ∪Q ＝{x|−2<x ≤4}，∁R Q ＝{x|x <2或x >4}，P ∩(∁R Q)＝{x|−2<x <2}．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝⌀， ∴ 当Q ＝⌀时，2a >a +3，解得a >3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3， 解得a ≤−5或32≤a ≤3，∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝{x|0≤x <3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．已知集合A ＝{x|2−a ≤x ≤2+a}，B ={x|x ≤1或x ≥4}．(1)当a =3时，求A ∩B ；(2)若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}，B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题补集及其运算交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）a ＝3时化简集合A ，根据交集的定义写出A ∩B ；（2）根据若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈∁R B ”的充分不必要条件，得出关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可【解答】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}， B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件， ∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．。
天津市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学试题
天津一中2019-2020 高三年级一月考数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!一、选择题：1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|l og1 x ≥﹣1}，则A∪B＝（）2A．（﹣1，2）B．（﹣1，2]C．（0，1）D．（0，2）12．对一切θ∈R，3m2﹣2m＞s i nθc o sθ恒成立，则实数m 的取值范围是（）11 A．（﹣，321）B．（﹣∞，﹣31）∪（2，+∞）1 C．（﹣211，）D．（﹣∞，﹣321）∪（3，+∞）13．把函数f（x）＝s i n x图象上所有点的横坐标缩短到原来的2π 倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．x =-π12B．x =π12C．x =π3D．x =7π124．已知a＝30.1，b＝l og32，c＝c o s4，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜aπ1 5．若s i n（α﹣）＝42π，则c o s（2+2α）＝（）3211 A．-B．-C．﹣D．- 43236．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，若f（2+x）＝f（﹣x），f（1）＝3，则f（2018）+f（2019）的值为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．67．用边长为18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm⎧⎪x(e x -e-x ), 8．设函数f（x）＝⎨⎪⎩-x2 -2x -4,x ≥0x <0，若函数g（x）＝f（x）﹣ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）9．已知函数f（x）＝s i n（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，π），其图象关于直线x＝π对2π称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝2π6，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）6A．[kπ-π,kπ+π]（k∈Z）B．[kπ,kπ+π]（k∈Z）622C．[kπ+ π,kπ+5π]（k∈Z）D．[kπ+π,kπ+7π]（k∈Z）361212二、填空题：10．已知复数z＝ai2-i（a∈R）的实部为﹣1，则|z|＝111．已知s i nα-c o sα=(0 <α<π)，则cos4 α+sin4 α的值是．312．已知函数f (x) =(bx -1)e x +a(a,b ∈R)．若曲线y =f (x) 在点(0 ，f (0)) 处的切线方程为y =x ，则a ，b 的值分别为a= ，b= ．13．已知函数f（x）＝|l og3x|，实数m，n 满足0＜m＜n，且f（m）＝f（n），若f（x）在[m2，n]的最大值为2，则n＝．m14．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3 个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i （i＝1，2）个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数ξi（i＝1，2），则E（ξ1）+E（ξ2）的值为15．已知函数f（x）＝s i n2x﹣2c o s2x+1，有以下结论：①若f（x1）＝f（x2），则x1﹣x2＝kπ（k∈Z）：②f（x）在区间[﹣7π 3π，﹣84]上是增函数：③f（x）的图象与g（x）＝﹣2c o s（2x﹣2π ）图象关于x 轴对称：3π ④设函数h（x）＝f（x）﹣2x，当θ＝12π时，h（θ﹣2）+h（θ）+h（θ+2）＝﹣．2其中正确的结论为．])三、解答题：16．已知 0 < α < π ， cos(α+ π=2 45（1）求 t a n(α+ π) 的值；4（2）求 s i n(2α+ π) 的值．317．已知函数 f (x ) = 2 s in x - x c os x - x ， f '(x ) 为 f (x ) 的导数．（Ⅰ）求曲线 y = f (x ) 在点 A (0 ， f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）证明： f '(x ) 在区间 (0,π) 上存在唯一零点；（ Ⅲ ） 设 g (x ) = x 2 - 2x + a (a ∈ R ) ， 若 对 任 意 x ∈ [0 ， π] ， 均 存 在 x ∈ [1 ， 2] ， 使 得12f (x 1 ) >g (x 2 ) ，求实数 a 的取值范围．π π18．已知函数 f (x ) = sin(2ωx + ) + sin(2ωx - 3 3) + 2 cos 2 ωx ，其中ω> 0 ，且函数 f (x ) 的最小正周期为π （1）求ω的值；（2）求 f (x ) 的单调增区间（3）若函数 g (x ) = f (x ) - a 在区间 [- π ， π上有两个零点，求实数 a 的取值范围． 4 4x 19．设椭圆 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的右顶点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的离心率为 ，a 2b 2 3| AB |=（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的 3 倍，求的值.20．已知函数 f (x ) = lnx ， g (x ) = a x 2+ bx - 1 ， (a , b ∈ R )（Ⅰ）当 a = -1 ， b = 0 时，求曲线 y = f (x ) - g (x ) 在 x = 1 处的切线方程；（Ⅱ）当 b = 0 时，若对任意的 x ∈ [1 ， 2] ， f (x ) + g (x ) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）当 a = 0 ， b > 0 时，若方程 f (x ) = g (x ) 有两个不同的实数解 x 1 ， x 2 (x 1 < x 2 ) ，求证：x 1 + x 2 > 2 ．参考答案：一．选择题（共9 小题）1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|l og x≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：B．2．【解答】解：对一切θ∈R，3m2﹣m＞s i nθc osθ恒成立，转化为：3m2﹣m＞s i nθc osθ的最大值，又θ∈R 知s i nθc osθ∈[﹣，]，s i nθc osθ的最大值为；所以3m2﹣m＞；可得m＜﹣或m＞．故选：B．3．【解答】解：函数f（x）＝s i n x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y＝s i n2x，再把所得曲线向右平移个单位长度，可得y＝s i n2（x）＝s i n（2x﹣）由对称轴方程2x﹣＝，k∈Z当k＝﹣1 时，可得一条对称轴x＝故选：A．4．【解答】解：∵30.1＞30＝1，0＝log31＜log32＜log33＝1，，c os4＜0；∴c＜b＜a．故选：C．5．【解答】解：∵s i n（α﹣）＝，则c os（+2α）＝﹣c os[π﹣（+2α）]＝﹣c os（﹣2α）＝﹣c os（2α﹣）＝﹣1+2＝﹣1+2×＝﹣，故选：C．6．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），又f（2+x）＝f（﹣x），∴f（2+x）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2018）+f（2019）＝f（4×504+2）+f（4×504+3）＝f（2）+f（3），又f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，∴f（2018）+f（2019）＝﹣3．故选：A．7．【解答】解：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意得，V＝x（18﹣2x）2（0＜x＜9），V′＝12（3﹣x）（9﹣x），令V′＝0，则在（0，9）内有x＝3．故当x＝3 时，V 有最大值；故选：C．8．【解答】解：由y＝f（x）﹣ax 恰有两个零点，而当x＝0 时，y＝f（0）﹣0＝0，即x＝0 是函数的一个零点，故当x≠0 时，必有一个零点，即函数与函数y＝a 必有一个交点，作出函数h（x）图象如下所示，由图可知，要使函数h（x）与函数y＝a 有一个交点，只需0＜a＜2 即可．故实数a 的取值范围是（0，2）．故选：A．9．【解答】解：已知函数f（x）＝s i n（ωx+θ），其中ω＞0，0∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|m in＝＝•，∴ω＝2．再根据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝s i n（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝s i n（2x++）＝cos2x 的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：B．二．填空题（共6 小题）10．【解答】解：∵z＝＝，∴，即a＝5．∴z＝﹣1+2i，则|z|＝．故答案为：．11．【解答】解：把s i nα+c osα＝，两边平方得：（s i nα+c osα）2＝1+2s i nαc osα＝，即2sinαcosα＝﹣，则s i nαc osα＝﹣，则c os4α+s i n4α＝（s i n2α+c os2α）2﹣2s i n2αc os2α＝1﹣2（）2＝．故答案为：．12．【解答】解：f (x) =(bx -1)e x +a 得f '(x) =e x (bx +b -1)，曲线y =f (x) 在点(0 ，f (0)) 处的切线方程为y =x ．f '(0) =1，f (0) =0，即b -1=1，-1+a =0，解得a =1，b =2 ，故答案为：1，2．13．【解答】解：∵f（x）＝|l og3x|，正实数m，n 满足m＜n，且f（m）＝f（n），∴﹣log3m＝log3n，∴mn＝1．∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f（x）在[m2，1）上是减函数，在（1，n]上是增函数，∴﹣log3m2＝2，或log3n＝2．若﹣log3m2＝2 是最大值，得m＝，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意条件．那么：同理：若log3n＝2 是最大值，得n＝9，则m＝，此时﹣log3m2＝4，不满足题意条件．综合可得m＝，n＝3，故，故答案为9．14．【解答】解：甲盒中含有红球的个数ξ1 的取值为1，2，则P（ξ1＝1）＝，P（ξ1＝2）＝．则E（ξ1）＝；甲盒中含有红球的个数ξ2 的取值为1，2，3，则P（ξ2＝1）＝＝，P（ξ2＝2）＝＝，P（ξ2＝3）＝＝．则E（ξ2）＝．∴E（ξ1）+E（ξ2）＝．故答案为：．15．【解答】解：函数化简可得f（x）＝s i n2x﹣2c os2x+1＝2s i n（2x﹣），对于①：若f（x1）＝f（x2），可知x1，x2 关于对称轴是对称的，即x1+x2＝，∴①不对；对于②：令2x﹣，可得；∴f（x）在区间[﹣，﹣]上是增函数：②正确；对于③：f （x ）的图象关于 x 轴对称，可得 y ＝﹣2s i n （2x ﹣）＝﹣2c o s （2x ﹣) ))）；∴③对；对于④：设函数 h （x ）＝f （x ）﹣2x ＝2s i n （2x ﹣）﹣2x当θ＝时，h （θ﹣2）＝2s i n （2（θ﹣2）﹣）﹣2（θ﹣2）＝2s i n （2θ﹣4﹣）﹣（2θ﹣4）h （θ）＝2s i n （2θ﹣）﹣2θh （θ+2）＝2s i n （2θ+4﹣）﹣（2θ+4）∴h （θ﹣2）+h （θ）+h （θ+2）＝﹣． 故答案为：②③④三．解答题（共 5 小题）16 ．【 分 析 】（ 1 ） 由 题 意 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 得 ， s i n(α+ π) 的 值 ， 可 得4t a n(α+ π ) 的值． 4（2）先求得 t a n α 的值，再利用二倍角公式求得 s i n 2α 、 c o s 2α的值，再利用两角和的正弦公式求得 s i n(2α+ π) 的值．3【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 已 知 0 < α < π， cos(α+ π =， 2 45π ∴ s i n(α+ ) ==，4∴ tan(α+ π = s i n(α+ π 4 π= 2 ． 4 cos(α+ )4对于③：f（x）的图象关于x 轴对称，可得y＝﹣2s i n（2x﹣）＝﹣2c o s（2x﹣) ( ( ) π α+ 1（2） t a n(α+ ) = tan 1= 2 ，∴ t a n α = ，4 1 - tan α 3∴ s i n 2α = 2 s i n αc o s α = 2 t a n α 3c o s =2 α- s i n =2 α 1 - t a n =2α 4 = ， c o s 2α= = = ，sin 2 α+ cos 2 α t a n 2 α+ 1 5 s i n 2 α+ cos 2 α tan 2 α+ 1 5π + s i n(2α+ ) = 3 ． 3 1017．【分析】（Ⅰ）求出 f '(x ) ，推出 f '(0) = 0 ， f (0) = 0 ，然后求解曲线 y = f (x ) 在点 A (0 ，f (0)) 处的切线方程．（Ⅱ）设g (x ) = f '(x ) ，则 g (x ) = c os x + x sin x - 1 ， g '(x ) = x c os x ．求出函数的导数，得到函数的单调区间，然后转化求解函数的零点．（ Ⅲ ） 由 已 知 ， 转 化 为 f (x )min > g (x )min ， 求 出 g (x )min = g （ 1 ） = a - 1 ． 设 为 x 0 ， 且 当x ∈ (0, x 0 ) 时， f '(x ) > 0 ；当 x ∈ (x 0 ，π) 时， f '(x ) < 0 ，求出函数的最小值，然后求解 a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ） f '(x ) = c os x + x sin x - 1 ，所以 f '(0) = 0 ， f (0) = 0 ， 从而曲线 y = f (x ) 在点 A (0 ， f (0)) 处的切线方程为 y = 0 ． （Ⅱ）设 g (x ) = f '(x ) ，则 g (x ) = c os x + x sin x - 1 ， g '(x ) = x c os x ．当 x ∈ (0,π时， g '(x ) > 0 ；2当 x ∈ π,π) 时， g '(x ) < 0 ，2π π所以 g (x ) 在 (0, ) 单调递增，在 ( ,π) 单调递减．2 2又 g (0) = 0, g π> 0, g (π) = -2 ，2故 g (x ) 在 (0,π) 存在唯一零点．所以 f '(x ) 在 (0,π) 存在唯一零点．（Ⅲ）由已知，转化为 f (x )min > g (x )min ，且 g (x )min = g （1） = a - 1 ．由（Ⅱ）知， f '(x ) 在 (0,π) 只有一个零点，设为 x 0 ，且当 x ∈ (0, x 0 ) 时， f '(x ) > 0 ； 当 x ∈ (x 0 ，π) 时， f '(x ) < 0 ，所以 f (x ) 在 (0, x 0 ) 单调递增，在 (x 0 ，π) 单调递减．] ( )] 又 f (0) = 0 ， f (π) = 0 ，所以当 x ∈ [0 ，π] 时， f (x )min = 0 ． 所以 0 > a - 1 ，即 a < 1 ， 因此， a 的取值范围是 (-∞,1) ．18 ．【 分 析 】（ 1 ） 利 用 三 角 函 数 恒 等 变 换 的 应 用 化 简 函 数 解 析 式 可 得f (x ) ωx + π ) + 1 ，利用三角函数周期公式可求 ω的值．4（2）由正弦函数的单调性可求 f (x ) 的单调增区间．（ 3 ） 作 出 函 数 y = f (x ) 在 [- π ， π 上 的 图 象 ， 从 图 象 可 看 出 f (0) = f π= 2 ， 4 4 4π π π f ( ) =+ 1 ， 可 求 当 曲 线 y = f (x ) 与 y = a 在 x ∈ [- ， ] 上 有 两 个 交 点 时 ，8 4 42 a < 1 ，即可得解实数 a 的取值范围．【解答】（本题满分为 12 分）π π 解：（1） f (x ) = sin(2ωx + ) + sin(2ωx - 3 3) + 2 cos 2 ωx= 1 s i n 2ωx + o s 2ωx + 1 s i n 2ωx - o s 2ωx + 1 + c o s 2ωx 2 2 = s i n 2ωx + c o s 2ωx + 1π=ωx + ) + 1 ， ⋯3 分 4T = 2π= π ，2ω∴ω= 1⋯ 4 分（2）由 2k π - π 2x + π 2k π + π， k ∈ Z ， ⋯6 分2 4 2解得： - 3π + k π x π+ k π ， k ∈ Z ， ⋯7 分8 8可得 f (x ) 的单调增区间为： [- 3π + k π， π+ k π] ， k ∈ Z ， ⋯8 分8 8（3）作出函数 y = f (x ) 在 [- π ， π 上的图象如右： 4 4]函数 g (x ) 有两个零点，即方程 f (x ) - a = 0 有两解，亦即曲线 y = f (x ) 与 y = a 在 x ∈ [- π，4π ] 上有两个交点， 4π π从图象可看出 f (0) = f ( ) = 2 ， f ( ) = 1 ，4 8所以当曲线 y = f (x ) 与 y = a 在 x ∈ [- π ， π 上有两个交点时， 4 4则 2 a < 1 ，即实数 a 的取值范围是 [2 ， 1) ． ⋯12 分19．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为 ，由已知得∴ ， ，所以，椭圆的方程为． （II ）设点，，由题意，且由的面积是面积的 3 倍，可得，所以，从而，所以，即．易知直线 的方程为 ，由消去 ，可得由方程组消去 ，可得．由，可得，整理得，解得 ，或 ．当时， ，符合题意；当时， ，不符合题意，舍去． 所以， 的值为．20．【分析】（Ⅰ）求出 y = f (x ) - g (x ) 的导函数，求出函数在 x = 1 时的导数得到切线的斜率， 然后用一般式写出切线的方程；（ Ⅱ） 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， f (x ) + g (x ) 0 都 成 立 ， 则 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， a - x 2lnx + x 2 ， 恒 成 立，构造函数 h (x ) = - x 2lnx + x 2 (1 x 2) ，求出 h (x ) 的最大值可得 a 的范围；（Ⅲ）由 f (x ) = g (x ) ，得 lnx - bx + 1 = 0 ，构造函数 F (x ) = lnx - bx + 1(x > 0) ，将问题转化为证明 F ( 2b 2 - x 1 ) > 0 = F (x 1 ) ，然后构造函数证明 F ( b - x 1 ) > F (x 1 ) = 0 = F (x 2 ) 即可．【解答】解：（Ⅰ）当 a = -1 时， b = 0 时， y = lnx + 1 x 2 + 1 ，∴ 当 x = 1 时， y = 2 ，∴ y ' = 1 - 2，∴ 当 x = 1 时， y ' = -1 ，x x 3∴ 曲线 y = f (x ) - g (x ) 在 x = 1 处的切线方程为 x + y - 3 = 0 ；（ Ⅱ ） 当 b = 0 时 ， 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， f (x ) + g (x ) 0 都 成 立 ， 则 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， a - x 2lnx + x 2 恒成立，令 h (x ) = - x 2lnx + x 2 (1 x 2) ，则 h '(x ) = -2xlnx + x ．令 h '(x ) = 0 ，则 x =∴ 当 1 < x <， h '(x ) > 0 ，此时 h (x ) 单调递增；当< x < 2 时， h '(x ) < 0 ，此时 h (x ) 单调递减，∴ h (x )= h= e，∴ a e ， max22∴ a 的取值范围为 [ e, +∞) ；2（Ⅲ）当 a = 0 ， b > 0 时，由 f (x ) = g (x ) ，得 lnx - bx + 1 = 0 ，方程 f (x ) = g (x ) 有两个不同的实数解 x 1 ， x 2 (x 1 < x 2 ) ，1 1 令 F (x ) = lnx - bx + 1(x > 0) ，则 F (x 1 ) = F (x2 ) = 0 ， F '(x ) = - b ，令 F '(x ) = 0 ，则 x = ，x b∴ 当 0 < x < 1时， F '(x ) > 0 ，此时 F (x ) 单调递增；当 x > 1 时， F '(x ) < 0 ，此时 F (x ) 单调b b递减，∴ F (x )= F (1 ) > 0 ，∴ 0 < b < 1 ，又 F (1) = - b < 0 ， F （1） = 1 - b > 0 ，max bee1 12 1 ∴ < x 1 < 1 < ，∴ - x 1 > ，e b bb2 2 2∴ 只要证明 x 2 > - x 1 ，就能得到 x 1 + x 2 > > 2 ，即只要证明 F ( - x 1 ) > 0 = F (x 1 ) ， b b b2b (x - 1)2令 G (x ) = F ( 2 - x ) - F (x ) = ln ( 2 - x ) - lnx + 2bx - 2(0 < x 1 ) ，则 G '(x ) = b b b∴ G (x ) 在 (0, 1 ) 上单调递减，则 G (x ) > G (1 ) = F ( 2 - 1 ) - F (1) = 0 ，b x (x - 2)b< 0 ， b b b b bG (x ) = F ( 2 - x ) - F (x ) > 0 ，∴ F ( 2- x ) > F (x ) = 0 = F (x ) ， ∴ 1 b 1 1 b 1 1 2x > 2- x ，∴ x + x > 2 > 2 ，即 x + x > 2 ，证毕． ∴ 2 b 11 2 b 1 2。
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。
天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(理科)试卷有答案
∴ 为非零常数，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）当 时， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 是递增数列，
因而最小值为 ．
由（1）知， ，
要使 对一切 成立，
即 对一切 恒成立；
当 时， ， 对一切 恒成立，
只需 ．
∵ 单调递增，
∴当 时， ．
∴ ，且 ，∴ ．
综上所述，存在实数 满足条件．
令 ，则 ．
．
①当 时， ， 在 上递减．
，不合题意．
②当 时， ．
若 ，记 ，则 在 上递减．
在此区间上有 ，不合题意．
因此有 ，解得 ，
所以，实 的取值范围为 ．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若 ，当 时，求数列 的前 项和 的最小值；
（3）若 ，问是否存在实数 ，使得 是递增数列？若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由。
19．已知椭圆 的焦距为 ，其上下顶点分别为 ，点 ， ，
。
（1）求椭圆 的方程及离心率；
（2）点 的坐标为 ，过点 任意作直线 与椭圆 相交于点 两点，设直线 的斜率依次成等差数列，探究 之间是否满足某种数量关系，若是，请给出 的关系式，并证明；若不是，请说明理由。
∵直线 的斜率依次成等差数列，
∴ ，
由于
，
∴ ，化为： ．
20．解：（1） ，
时， ， ， ， ．
在 处的切线方程为 ．
（2） ，
，
所以 ，所以 ．
（3）由 ，解得 ， ，
∵ ，∴ ．
而 在 上单调递增，
∴ 在 上单调递增．
∴在 上， ．
所以，“存在 ，使不等式 恒成立”等价于“不等式 恒成立”，
2020届天津一中高三上学期第一次月考数学试题 PDF版
天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷（理）本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!一、选择题：1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |12log x ≥﹣1}，则A ∪B ＝（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．（0，1）D ．（0，2）2．对一切θ∈R ，3m 2﹣12m ＞sinθcosθ恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣13，12）B ．（﹣∞，﹣13）∪（12，+∞）C ．（﹣12，13）D ．（﹣∞，﹣12）∪（13，+∞）3．把函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．712x π=4．已知a ＝30.1，b ＝log 32，c ＝cos4，则（）A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a5．若sin （α﹣4π）＝12，则cos （2π+2α）＝（）A ．34-B ．23-C ．﹣12D ．13-天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷6．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若f （2+x ）＝f （﹣x ），f （1）＝3，则f （2018）+f （2019）的值为（）A ．﹣3B ．0C ．3D ．67．用边长为18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm8．设函数f （x ）＝2(),024,0x xx e e x x x x -⎧-≥⎪⎨---<⎪⎩，若函数g （x ）＝f （x ）﹣ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．（0，2）B ．（0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2π），其图象关于直线x ＝6π对称，对满足|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2的x 1，x 2，有|x 1﹣x 2|min ＝2π，将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递减区间是（）A ．[,62k k ππππ-+]（k ∈Z ）B ．[,2k k πππ+]（k ∈Z ）C ．[5,36k k ππππ++]（k ∈Z ）D ．[7,1212k k ππππ++]（k ∈Z ）二、填空题：10．已知复数z ＝2aii-（a ∈R ）的实部为﹣1，则|z |＝11．已知1sin cos 3αα-=(0)απ<<，则44cos sin αα+的值是．12．已知函数()(1)(,)x f x bx e a a b R =-+∈．若曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为y x =，则a ，b 的值分别为a =，b =．13．已知函数f （x ）＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f （m ）＝f （n ），若f （x ）在[m 2，n ]的最大值为2，则n m＝．14．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i （i ＝1，2）个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数ξi （i ＝1，2），则E （ξ1）+E （ξ2）的值为15．已知函数f （x ）＝sin2x ﹣2cos 2x +1，有以下结论：①若f （x 1）＝f （x 2），则x 1﹣x 2＝k π（k ∈Z ）：②f （x ）在区间[﹣78π，﹣34π]上是增函数：③f （x ）的图象与g （x ）＝﹣2cos （2x ﹣23π）图象关于x 轴对称：④设函数h （x ）＝f （x ）﹣2x ，当θ＝12π时，h （θ﹣2）+h （θ）+h （θ+2）＝﹣2π．其中正确的结论为．三、解答题：16．已知02πα<<，5cos()45πα+=．（1）求tan()4πα+的值；（2）求sin(23πα+的值．17．已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：()f x '在区间(0,)π上存在唯一零点；（Ⅲ）设2()2()g x x x a a R =-+∈，若对任意1[0x ∈，]π，均存在2[1x ∈，2]，使得12()()f x g x >，求实数a 的取值范围．18．已知函数2()sin(2sin(22cos 33f x x x x ππωωω=++-+，其中0ω>，且函数()f x 的最小正周期为π（1）求ω的值；（2）求()f x 的单调增区间（3）若函数()()g x f x a =-在区间[4π-，]4π上有两个零点，求实数a 的取值范围．19．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为3，||AB =（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.20．已知函数()f x lnx =，2()1ag x bx x =+-，(,)a b R ∈（Ⅰ）当1a =-，0b =时，求曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0b =时，若对任意的[1x ∈，2]，()()0f x g x + 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a =，0b >时，若方程()()f x g x =有两个不同的实数解1x ，212()x x x <，求证：122x x +>．一．选择题（共9小题）1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|log x≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：B．2．【解答】解：对一切θ∈R，3m2﹣m＞sinθcosθ恒成立，转化为：3m2﹣m＞sinθcosθ的最大值，又θ∈R知sinθcosθ∈[﹣，]，sinθcosθ的最大值为；所以3m2﹣m＞；可得m＜﹣或m＞．故选：B．3．【解答】解：函数f（x）＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y＝sin2x，再把所得曲线向右平移个单位长度，可得y＝sin2（x）＝sin（2x﹣）由对称轴方程2x﹣＝，k∈Z当k＝﹣1时，可得一条对称轴x＝4．【解答】解：∵30.1＞30＝1，0＝log31＜log32＜log33＝1，，cos4＜0；∴c＜b＜a．故选：C．5．【解答】解：∵sin（α﹣）＝，则cos（+2α）＝﹣cos[π﹣（+2α）]＝﹣cos（﹣2α）＝﹣cos（2α﹣）＝﹣1+2＝﹣1+2×＝﹣，故选：C．6．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），又f（2+x）＝f（﹣x），∴f（2+x）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2018）+f（2019）＝f（4×504+2）+f（4×504+3）＝f（2）+f（3），又f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，∴f（2018）+f（2019）＝﹣3．故选：A．7．【解答】解：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意得，V＝x（18﹣2x）2（0＜x＜9），V′＝12（3﹣x）（9﹣x），令V′＝0，则在（0，9）内有x＝3．故当x＝3时，V有最大值；故选：C．8．【解答】解：由y＝f（x）﹣ax恰有两个零点，而当x＝0时，y＝f（0）﹣0＝0，即x＝0是函数的一个零点，故当x≠0时，必有一个零点，即函数与函数y＝a必有一个交点，作出函数h（x）图象如下所示，由图可知，要使函数h（x）与函数y＝a有一个交点，只需0＜a＜2即可．故实数a的取值范围是（0，2）．故选：A．9．【解答】解：已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，0∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝＝•，∴ω＝2．再根据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2x++）＝cos2x的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：B．二．填空题（共6小题）10．【解答】解：∵z＝＝，∴，即a＝5．∴z＝﹣1+2i，则|z|＝．故答案为：．11．【解答】解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝﹣，则sinαcosα＝﹣，则cos 4α+sin 4α＝（sin 2α+cos 2α）2﹣2sin 2αcos 2α＝1﹣2（）2＝．故答案为：．12．【解答】解：()(1)x f x bx e a =-+得()(1)x f x e bx b '=+-，曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为y x =．(0)1f '=，(0)0f =，即11b -=，10a -+=，解得1a =，2b =，故答案为：1，2．13．【解答】解：∵f （x ）＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f （m ）＝f （n ），∴﹣log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1．∵f （x ）在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f （x ）在[m 2，1）上是减函数，在（1，n ]上是增函数，∴﹣log 3m 2＝2，或log 3n ＝2．若﹣log 3m 2＝2是最大值，得m ＝，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意条件．那么：同理：若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝，此时﹣log 3m 2＝4，不满足题意条件．综合可得m＝，n＝3，故，故答案为9．14．【解答】解：甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1，2，则P（ξ1＝1）＝，P（ξ1＝2）＝．则E（ξ1）＝；甲盒中含有红球的个数ξ2的取值为1，2，3，则P（ξ2＝1）＝＝，P（ξ2＝2）＝＝，P（ξ2＝3）＝＝．则E（ξ2）＝．∴E（ξ1）+E（ξ2）＝．故答案为：．15．【解答】解：函数化简可得f（x）＝sin2x﹣2cos2x+1＝2sin（2x﹣），对于①：若f（x1）＝f（x2），可知x1，x2关于对称轴是对称的，即x1+x2＝，∴①不对；对于②：令2x﹣，可得；∴f（x）在区间[﹣，﹣]上是增函数：②正确；对于③：f （x ）的图象关于x 轴对称，可得y ＝﹣2sin （2x ﹣）＝﹣2cos （2x﹣）；∴③对；对于④：设函数h （x ）＝f （x ）﹣2x ＝2sin （2x ﹣）﹣2x当θ＝时，h （θ﹣2）＝2sin （2（θ﹣2）﹣）﹣2（θ﹣2）＝2sin （2θ﹣4﹣）﹣（2θ﹣4）h （θ）＝2sin （2θ﹣）﹣2θh （θ+2）＝2sin （2θ+4﹣）﹣（2θ+4）∴h （θ﹣2）+h （θ）+h （θ+2）＝﹣．故答案为：②③④三．解答题（共5小题）16．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得，sin()4πα+的值，可得tan()4πα+的值．（2）先求得tan α的值，再利用二倍角公式求得sin 2α、cos 2α的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(23πα+的值．【解答】解：（1）已知02πα<<，cos()45πα+=，25sin()45πα∴+==，sin(4tan(24cos()4παπαπα+∴+==+．（2）tan 1tan()241tan πααα++==- ，1tan 3α∴=，2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα∴===++，222222cos sin 1tan 4cos2sin cos tan 15ααααααα--===++，343sin(2)310πα++=．17．【分析】（Ⅰ）求出()f x '，推出(0)0f '=，(0)0f =，然后求解曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程．（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos sin 1g x x x x =+-，()cos g x x x '=．求出函数的导数，得到函数的单调区间，然后转化求解函数的零点．（Ⅲ）由已知，转化为()()min min f x g x >，求出()min g x g =（1）1a =-．设为0x ，且当0(0,)x x ∈时，()0f x '>；当0(x x ∈，)π时，()0f x '<，求出函数的最小值，然后求解a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x '=+-，所以(0)0f '=，(0)0f =，从而曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程为0y =．（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos sin 1g x x x x =+-，()cos g x x x '=．当(0,)2x π∈时，()0g x '>；当(,)2x ππ∈时，()0g x '<，所以()g x 在(0,2π单调递增，在(,)2ππ单调递减．又(0)0,()0,()22g g g ππ=>=-，故()g x 在(0,)π存在唯一零点．所以()f x '在(0,)π存在唯一零点．（Ⅲ）由已知，转化为()()min min f x g x >，且()min g x g =（1）1a =-．由（Ⅱ）知，()f x '在(0,)π只有一个零点，设为0x ，且当0(0,)x x ∈时，()0f x '>；当0(x x ∈，)π时，()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 单调递增，在0(x ，)π单调递减．又(0)0f =，()0f π=，所以当[0x ∈，]π时，()0min f x =．所以01a >-，即1a <，因此，a 的取值范围是(,1)-∞．18．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得())14f x x πω=++，利用三角函数周期公式可求ω的值．（2）由正弦函数的单调性可求()f x 的单调增区间．（3）作出函数()y f x =在[4π-，4π上的图象，从图象可看出(0)()24f f π==，()18f π=+，可求当曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点时，21a < ，即可得解实数a 的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）2()sin(2)sin(22cos 33f x x x x ππωωω=++-+ 11sin 22221cos 222x x x x x ωωωωω=++-++sin 2cos 21x x ωω=++)14x πω=++，3⋯分22T ππω== ，14ω∴=⋯分（2）由222242k x k πππππ-++ ，k Z ∈，6⋯分解得：388k x k ππππ-++ ，k Z ∈，7⋯分可得()f x 的单调增区间为：3[8k ππ-+，]8k ππ+，k Z ∈，8⋯分（3）作出函数()y f x =在[4π-，4π上的图象如右：函数()g x 有两个零点，即方程()0f x a -=有两解，亦即曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点，从图象可看出(0)(24f f π==，()18f π=，所以当曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点时，则21a < ，即实数a 的取值范围是[21)．12⋯分19．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得∴，，所以，椭圆的方程为．（II ）设点，，由题意，且由的面积是面积的3倍，可得，所以，从而，所以，即．易知直线的方程为，由消去，可得由方程组消去，可得．由，可得，整理得，解得，或．当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．所以，的值为．20．【分析】（Ⅰ）求出()()y f x g x =-的导函数，求出函数在1x =时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；（Ⅱ）对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x + 都成立，则对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+ ，恒成立，构造函数22()(12)h x x lnx x x =-+ ，求出()h x 的最大值可得a 的范围；（Ⅲ）由()()f x g x =，得10lnx bx -+=，构造函数()1(0)F x lnx bx x =-+>，将问题转化为证明112()0()F x F x b ->=，然后构造函数证明1122()()0()F x F x F x b->==即可．【解答】解：（Ⅰ）当1a =-时，0b =时，211y lnx x=++，∴当1x =时，2y =，312y x x '∴=-，∴当1x =时，1y '=-，∴曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程为30x y +-=；（Ⅱ）当0b =时，对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x + 都成立，则对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+ 恒成立，令22()(12)h x x lnx x x =-+ ，则()2h x xlnx x '=-+．令()0h x '=，则x =∴当1x <<，()0h x '>，此时()h x 2x <<时，()0h x '<，此时()h x 单调递减，∴()2max e h x h ==，2e a ∴ ，a ∴的取值范围为[,)2e+∞；（Ⅲ）当0a =，0b >时，由()()f x g x =，得10lnx bx -+=，方程()()f x g x =有两个不同的实数解1x ，212()x x x <，令()1(0)F x lnx bx x =-+>，则12()()0F x F x ==，1()F x b x '=-，令()0F x '=，则1x b=，∴当10x b <<时，()0F x '>，此时()F x 单调递增；当1x b>时，()0F x '<，此时()F x 单调递减，∴1()()0max F x F b =>，01b ∴<<，又1(0bF e e =-<，F （1）10b =->，∴1111x e b <<<，∴121x b b->，∴只要证明212x x b >-，就能得到1222x x b +>>，即只要证明112()0()F x F x b->=，令221()()()()22(0)G x F x F x ln x lnx bx x b b b =--=--+-< ，则212()()02()b x b G x x x b -'=<-，()G x ∴在1(0,b 上单调递减，则1211()((()0G x G F F b b b b >=--=，∴1112()()()0G x F x F x b =-->，∴1122()()0()F x F x F x b ->==，∴212x x b >-，∴1222x x b+>>，即122x x +>，证毕．。
天津市第一中学2020-2021学年度第一学期高三第一次月考数学试题(图片版,无答案)
6. 为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，则分配方案共有 .A. 264种B. 224种C. 250种D. 236 种7. 已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式f(2x+3)- f(1)<0的解集为（ ） A. (-2，+∞) B. (-1，+∞) C. (-2，-1) D. (-∞，-1)8. 设函数212()52x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ）A. ()16,32B. (18，34)C. (17，35)D. (6，7)9. 已知函数(](]13,1,01(),0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪+=⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =---在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 91,20,42⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B. 111,20,42⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C. 92,20,43⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D. 112,20,43⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、填空题10. 设复数z 满足：(2)5z i +=，则z i -=11. 已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中x 的值为12. 命题“x R ∀∈，2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是13. 已知1cos 4α=，则sin(2)2πα-= 14. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 15. 设函数2172()2,04(),0k x x f x x x ⎧+-+≤⎪=⎨⎪>⎩，4()()(0)3g x k x k =->，若存在唯一的整数使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 .17. 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加。
天津市经济技术开发区第一中学2021届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析
当 时， 时， ，当 时， ， 是极大值点．
∴ 极大值 ．
（3）由（2）知 时， 的极大值为 ，
∴ ，即 ，
设 ，易知函数 在 上是增函数，而 ，
∴由 得 ．
【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键．本题属于中档题．
2Hale Waihona Puke .已知函数（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若关于 的不等式 恒成立，且 的最小值是 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）证明见解析．
【答案】
【解析】
【分析】
不等式变形为 （ ），然后求出函数 的最小值即可得．
【详解】∵ ，∴不等式 可化为 ，
设 ， ，
当 时， ， 递减， 时， ， 递增，
∴ ，
不等式 在 上恒成立，则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，转化为求函数的最值．
16.函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 ，满足 ，且当 时， ，则 __________．
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假判断，考查了充分不必要条件的定义，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性与对称性等知识，属于中档题．
8.将函数 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的 ，再把所得图象上的所有点向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若函数 在 处取得最大值，则函数 的图象（）
A 关于点 对称B. 关于点 对称
10.函数 ，若函数 恰有 个零点，则 的取值范围为（）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
天津市第一中学2021届高三上学期第一次月考数学试题
当 x→-∞时，f′（x）＞0，即在 x 轴最左侧，函数 f（x）为增函数，排除 D，
故选 B．
5．D
6．A
【解析】
【分析】
分类计数，考虑选取 1 名医生 2 名护士和选取 2 名医生 1 名护士两类情况求解.
【详解】
平均每月进行训练的天数
x
x5
5 x 20
x 20
人数
10
60
30
（1）以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的 人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽 取 4 个人，求恰好有 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的概率；
16．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ．已知 a cos C ( 2b c) cos A ．
（1）求 A ；
3
（2）若 a 2 5,b 2 2 ， （ⅰ）求边c 的值 ；
（ⅱ）求 ABC 的面积．
17．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为 此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运 动的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计 表；
xa lnx
，求证：当
1
a
0
时，
g x 在 1, 上存在极小值.
4
20．已知函数 f (x) xex1 a(x ln x) ， a R .
（1）当 a=1时，求函数 f x 的单减区间；
（2）若 f (x) 存在极小值，求实数 a 的取值范围；
（3）设 x0 是 f (x) 的极小值点，且 f (x0 ) 0 ，证明： f x0 2 x02 x03 .
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【答案】B
【解析】
【分析】
先由函数零点的个数排除选项A,C;再结合函数的单调性即可得到选项.
【详解】由f（x）=0得x2+tx=0，得x=0或x=-t，即函数f（x）有两个零点，排除A，C，
函数的导数f′（x）=（2x+t）ex+（x2+tx）ex=[x2+（t+2）x+t]ex，
当x→-∞时，f′（x）＞0，即在x轴最左侧，函数f（x）为增函数，排除D，
【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的众数、中位数的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12.命题“ 恒成立”是假命题，则实数 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
试题分析：根据命题的否定可知“ ， ”为真命题，所以有 或 ，解得 或 .
【解析】
【分析】
利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较 的大小.
【详解】∵ ， ， ，
∴ .
故选：B.
【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.
4.函数 （实数 为常数，且 ）的图象大致是（ ）
A. B.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据余弦的二倍角公式和正弦的和角公式将原式化简得 ，再将其两边平方和运用正弦的二倍角公式可得选项.
【详解】因为 ， ， ，
， ， ，
， ，
故选：D.
【点睛】本题考查运用正弦、余弦的二倍角公式，正弦、余弦的和差角公式进行化简求值，关键在于熟练记忆三角恒等变换所需的公式，属于基础题.
2.“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
当 ”时，则 或
此时 可能无意义，故 不一定成立，
而当 时，则 或 ，“ ”成立
故“ ”是 的一个必要不充分条件．
故答案选
3.已知 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
6.为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，则分配方案共有( )
A. 264种B. 224种C. 250种D. 236种
【答案】A
【解析】
【分析】
分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解.
11.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中 ________．
【答案】4.
【解析】
【分析】
根据茎叶图，求得甲组数据的众数是 ，乙组数据的中位数为 ，列出方程，即可求解．
【详解】由题意，根据茎叶图可得，甲组数据 众数是 ，乙组数据的中位数为 ，
因为甲的众数与乙的中位数相等，所以 ，解得 ．
【详解】当选取的是1名医生2名护士，共有 种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 种，即一共 种方案；
当选取的是2名医生1名护士，共有 种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 种，即一共 种方案.
2020-2021学年天津一中高三（上）月考数学试卷（一）
一、选择题
1.已知全集 ， ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题首先可以求出 ，然后根据交集的相关性质即可结果.
【详解】因为全集 ， ， ，
所以 ， ，
故选：A.
【点睛】本题考查集合的运算，主要考查补集和交集的相关性质，交集是两集合中都包含的元素所组成的集合，考查计算能力，是简单题.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出函数 的图象，不妨令 ，则 ．结合图象可得 ，从而可得结果．
【详解】画出函数 的图象如图所示．
不妨令 ，则 ，则 ．
结合图象可得 ，故．
∴ ．
故选：B．
【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
【详解】解： ，
则 是偶函数，
，
当 时， ，即函数在 ， 上为增函数，
则不等式 得 ，即 ，
则 ，得 ，得 ，
即不等式的解集为 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
8.设函数 ，若互不相等的实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
综上所述：分配方案共有264种.
故选：A
【点睛】此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强.
7.已知函数 ，则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在 ， 上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
故选B．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5.若 ，且 ，则 的值为（）.
A. B. C. D.
9.已知函数 内有且仅有两个不同 零点，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
【分析】
试题分析：令 ，分别作出 与 的图像如下，
由图像知 是过定点 的一条直线，当直线绕着定点转动时，与 图像产生不同的交点.当直线 在 轴和直线 及切线和直线 之间时，与 图像产生两个交点，此时 或
故答案选 .
考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.
二、填空题
10.设复数 满足 ，则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】
把已知等式变形，根据复数代数形式的乘除运算进行化简，再由复数模的计算公式求 .
【详解】解：∵ ，∴ ，
则 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.