圆压轴八大模型题(2)-切割线互垂(1)
中考数学压轴题：圆中的8个重要模型，有方法更有技巧
中考数学压轴题：圆中的8个重要模型，有⽅法更有技巧
其实在学”隐圆”之前，先要搞懂本⽂罗列的8个重要的圆模型，把握了这些⽅法与技
巧，就能台阶性地提⾼考⽣解决圆问题的能⼒！
关键词：#中考数学# #圆# #模型#
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现在有很多资料是关于”隐圆”的⽅法归纳，其实在学”隐圆”之前，先要搞懂本⽂罗列的8个重要的
圆模型（共30页），学习都是有个循序渐进的过程。
与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第⼆题的位置上，是
试卷中综合性与难度都⽐较⼤的习题。
⼀般都会在固定习题模型的基础上变化与扩展，本⽂结合近年来各省市中考题，整理了这些习
题的常见的结论，破题的要点，常⽤技巧。
把握了这些⽅法与技巧，就能台阶性地帮助考⽣解决中考压轴题中有关圆的考题。
⽂末有获取资料⽅法
≡部分页⾯预览：
类型 1 弧中点的运⽤（部分页⾯）
类型 2 切割线互垂（部分页⾯）
类型 3 双切线组合（部分页⾯）
类型 4 圆内接等边三⾓形（部分页⾯）
类型 5 三切线组合（部分页⾯）
类型 6 圆外⼀点引圆的切线和直径的垂线（部分页⾯）
类型 7 直径在腰上（部分页⾯）
类型 8 阿⽒圆模型（以后专门有分类讨论，本⽂省略了）。
精选圆相关压轴题及答案详解
精选圆相关压轴题参考答案与试题解析1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB 点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：PC=PF；（3）若tan∠ABC=，AB=14，求线段PC的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；（2）由条件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF；（3）易证△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到，又因为tan∠ABC=，所以可得，进而可得到，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC 中，利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2，进而可建立关于k的方程，解方程求出k 的值即可求出PC的长．【解答】（1）证明：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO=∠DAC．∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB．又∵∠DAC=∠CAO，∴∠CAO=∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，∴∠PFC=∠PCF，∴PC=PF；（3）解：∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴．又∵tan∠ABC=，∴，∴，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，∵PC2+OC2=OP2，∴（4k）2+72=（3k+7）2，∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．∴PC=4k=4×6=24．【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，是一道不错的中考题题目．2．已知△ABC中，BC=5，以BC为直径的⊙O交AB边于点D．（1）如图1，连接CD，则∠BDC的度数为90°；（2）如图2，若AC与⊙O相切，且AC=BC，求BD的长；（3）如图3，若∠A=45°，且AB=7，求BD的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）如图1，只需依据直径所对的圆周角是直角就可解决问题；（2）如图2，连接CD，根据条件可得△ACB是等腰直角三角形，从而得到∠B=45°，再根据直径所对的圆周角是直角可得△BDC是等腰直角三角形，然后运用勾股定理就可解决问题；（3）如图3，连接CD，根据条件可得△ADC是等腰直角三角形，从而得到DA=DC，设BD=x，然后在Rt△BDC运用勾股定理就可解决问题．【解答】解：（1）如图1，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°故答案为90°；（2）连接CD，如图2，∵AC与⊙O相切，BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∠ACB=90°．∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∴∠DCB=∠B=45°，∴DC=DB．∵BC=5，∴BD2+DC2=2BD2=52，∴BD=；（3）连接CD，如图3，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∵∠A=45°，∴∠ACD=45°=∠A，∴DA=DC．设BD=x，则CD=AD=7﹣x．在Rt△BDC中，x2+（7﹣x）2=52，解得x1=3，x2=4，∴BD的长为3或4．【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用勾股定理求线段的长度是常用的一种方法，应熟练掌握．3．如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，cosB=，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）如图，作AH⊥BC于H，利用等腰三角形的性质得BH=CH，再利用余弦的定义计算出BH=4，接着利用勾股定理计算出AH=3，然后根据三角形面积公式求解；（2）如图，作PG⊥BD于G，利用垂径定理得BG=DG，再利用余弦的定义计算出BG=x，接着利用勾股定理计算出PG=x，根据三角形面积公式得到S△=x2，然后利用=可表示出y与x的关系式；PBD（3）作CE⊥AB于E，如图，利用面积法求得CE=，则可计算出cos∠EAC=，再证明∠APD=∠EAC得到cos∠APD=，讨论：当∠ADP=90°时，利用cos ∠APD=得到=；当∠PAD=90°时，利用cos∠APD=得到=，而∠APD=2∠B≠90°，然后分别解关于x的方程即可得到对应AP的长．【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H，∵AB=AC=5，∴BH=CH，在Rt△ABH中，∵cosB==，∴BH=4，∴BC=2BH=8，AH==3，∴S=×8×3=12；△ABC（2）如图，作PG⊥BD于G，则BG=DG，在Rt△PBG中，∵cosB==，∴BG=x，∴BD=x，PG==x，=•x•x=x2，∴S△PBD∵=，即∴y=•x2=﹣x2+x（0＜x＜5）；（3）作CE⊥AB于E，如图，=CE•AB，∵S△ABC∴CE=，∴AE==，∴cos∠EAC==，∵PB=PD，AB=AC，∴∠ACB=∠PDB=∠B，∴PD∥AC，∴∠APD=∠EAC，∴cos∠APD=，当∠ADP=90°时，∵cos∠APD=，∴=，解得x=；当∠PAD=90°时，∵cos∠APD=，∴=，解得x=，而∠APD=2∠B≠90°，∴PB的长为或．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和等腰三角形的性质；会利用勾股定理和锐角三角函数的定义进行几何计算；会利用分类讨论的方法解决数学问题．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）填空：①当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；②在①的条件下，BC=6cm时，四边形ADFE的面积是6cm2．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等即可；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．（3）设菱形AEFD的边长为a，易知△AEF、△AFD都是等边三角形，列出方程求出a，再在RT△ACB中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，∵∠E=∠EFA，∴∠FAB=∠CAB，在△ABC和△ABF中，，∴△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．证明：∵∠CAB=60°，∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，∴EF=AD=AE，∴四边形ADFE是菱形．故答案为60．（3）解：∵四边形AEFD是菱形，设边长为a，∠AEF=∠CAB=60°，∴△AEF、△AFD都是等边三角形，由题意：2×a2=6，∴a2=12，∵a＞0，∴a=2，∴AC=AE=2，在RT△ACB中，∠ACB=90°，AC=2，∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，BC==6．故答案为6．【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大，记住等边三角形面积公式=a2（a是边长）．5．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE=GE；（2）如图2，连接CABG，若∠FGB=∠ACH，求证：CA∥FE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE=，AK=，求CN的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）欲证明KE=GE，只要证明∠EGK=∠EKG即可；（2）欲证明CA∥FE，只要证明∠ACH=∠E即可；（3）作NP⊥AC于P．首先证明AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH==3，AK==a由AK=，推出a=，可得a=1．AC=5，在Rt△APN中，tan∠CAH==，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN==3，推出CP=4b，推出AC=AP+CP=13b，由AC=5，推出13b=5，推出b=，可得CN==4b解决问题；【解答】（1）证明：连接OG．∵EF切⊙O于G，∴OG⊥EF，∴∠AGO+∠AGE=90°，∵CD⊥AB于H，∴∠AHD=90°，∴∠OAG=∠AKH=90°，∵OA=OG，∴∠AGO=∠OAG，∴∠AGE=∠AKH，∵∠EKG=∠AKH，∴∠EKG=∠AGE，∴KE=GE．（2）设∠FGB=α，∵AB是直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=∠ACH，∴∠ACH=2α，∴∠ACH=∠E，∴CA∥FE．（3）作NP⊥AC于P．∵∠ACH=∠E，∴sin∠E=sin∠ACH==，设AH=3a，AC=5a，则CH==4a，tan∠CAH==，∵CA∥FE，∴∠CAK=∠AGE，∵∠AGE=∠AKH，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH==3，AK==a，∵AK=，∴a=，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH==，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN==3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=，∴CN==4b=．【点评】本题考查圆综合题、锐角三角函数、平行线的判定和性质、勾股定理、直径的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，（1）若PD∥BC，求证：AP平分∠CAB；（2）若PB=BD，求PD的长度；（3）证明：无论点P在弧上的位置如何变化，CP•CQ为定值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连接OP，根据切线的性质得到OP⊥PD，根据垂径定理得到CP=BP，证明结论；（2）证明△BOP是等边三角形，根据勾股定理计算；（3）证明△ACP∽△QCA，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】证明：（1）如图，连接OP，∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∵PD∥BC，∴OP⊥BC，∴CP=BP，∴∠PAC=∠PAB，∴AP平分∠CAB；（2）∵PB=BD，∴∠BPD=∠BDP，∵OP⊥PD，∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，∴在Rt△OPD中，PD==6；（3）∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC，∵∠ABC=∠APC，∴∠APC=∠BAC，又∵∠ACP=∠QCA，∴△ACP∽△QCA，∴=，即CP•CQ=CA2=72，即CP•CQ为定值．【点评】本题考查的是圆的知识的综合运用，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、切线的性质定理是解题的关键．7．如图1，等腰△ABC中，AC=BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF=DO+OP；（3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC=，CG=4，求OP的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）如图1中，先判断出∠A+∠BOF=90°，再判断出∠COD=∠EOD=∠BOF，即可得出∠A+∠COD=90°；（2）如图2中，连接OC，首先证明FC=FH，再证明点K在以F为圆心FC为半径的圆上即可解决问题；（3）先求出CH=2CG=8，进而用tan∠CMH==tan∠HDC=，得出，求出MH=，进而CM=，即可得出OD=OF=，再求出OG=MH=，进而得出FG=OF﹣OG=3，再根据勾股定理得，CF=5，借助（2）的结论即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．∵OF⊥BC，∴∠B+∠BOF=90°，∵AC=BC，∴∠A+∠B=90°，∴∠A+∠BOF=90°，∵点D是的中点，∴，∴∠COD=∠EOD=∠BOF，∴∠A+∠COD=90°，∴∠ACO=9°，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线，（2）证明：如图2中，连接OC，∵EF⊥HC，∴CG=GH，∴EF垂直平分HC，∴FC=FH，∵∠CFP=∠COE，∵∠COD=∠DOE，∴∠CFP=∠COD，∵∠CHP=∠COD，∴∠CHP=∠CFP，∴点P在以F为圆心FC为半径的圆上，∴FC=FP=FH，∵DO=OF，∴DO+OP=OF+OP=FP=CF，即CF=OP+DO；（3）解：如图3，连接CO并延长交⊙O于M，连接MH，∴∠∠CMH=∠CDH，∠CHM=90°，∵OF⊥CH于G，∴CH=2CG=8，在Rt△CHN中，tan∠CMH==tan∠HDC=，∴，∴MH=，∴CM==，∴OD=OF=∵∠CGO=∠CHM=90°，∴OG∥MH，∵OC=OM，∴OG=MH=，∴FG=OF﹣OG=3，在Rt△CGF中，根据勾股定理得，CF==5，由（2）知，OP=CF﹣OD=5﹣=．【点评】本题考查了圆的综合知识及勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质的应用等知识，综合性强，难度较大，能够正确的作出辅助线是解答本题的关键．8．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，（1）如图1，求证：PQ=PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB=30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE=3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD=6，连接QC交BC于点M，求QM的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连接OP，过点O作OR⊥QB于R，证明△POE≌△OBR，根据全等三角形的性质证明；（2）连接OP，根据切线的性质得到、结合题意得到∠C=∠EPO，设EF=x，根据正切的定义求出BE，根据正弦的定义解答；（3）连接BG，过点O作OK⊥HB于K，得到四边形POKQ为矩形，得到QK=PO，根据垂直定理得到PE=PD=3，根据圆周角定理、解直角三角形的知识计算即可．【解答】（1）解：连接OP，过点O作OR⊥QB于R，则四边形PORQ是矩形，∴OR=PQ，∵∠POR=90°，∠OEP=90°，∴∠OPE=∠BOR，在△POE和△OBR中，，∴△POE≌△OBR，∴OR=PE，∴PQ=PE；（2）连接OP，∵CP切⊙O于P，∴∠OPC=∠OPQ=90°，∴∠C+∠COP=90°，∵PD⊥AB，∴∠PEO=∠AEF=∠BEF=90°，∴∠EPO+∠COP=90°，∴∠C=∠EPO，在Rt△FEA中，∠GAB=30°，∴设EF=x，则AE=EF÷tan30°=x，在Rt△FEB中，tan∠BFE=3，∴BE=EF×tan∠BFE=3x，∴AB+AE+BE=4x，∴AO=PO=2x，∴EO=AO﹣AE=x，∴在Rt△PEO中，sin∠EPO==，∴∠C=∠EPO=30°；（3）连接BG，过点O作OK⊥HB于K，又BQ⊥CP，∴∠OPQ=∠Q=∠OKQ=90°，∴四边形POKQ为矩形，∴QK=PO，OK∥CQ，∴∠C=∠KOB=30°，∵⊙O中，PD⊥AB于E，PD=6，AB为⊙O的直径，∴PE=PD=3，根据（2）得，∠EPO=30°，在Rt△EPO中，cos∠EPO=，∴PO==6，∴OB=QK=PO=6，∴在Rt△KOB中，sin∠KOB=，∴KB=OB•sin30°=3，∴QB=9，在△ABG中，AB为⊙O的直径，∴∠AGB=90°，∵∠BAG=30°，∴BG=6，∠ABG=60°解△QBG得，QG=3，∵∠ABG=∠CBQ=60°，∴==，∴QM=．【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握相关的判定和性质是解题的关键．9．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D，E为弧BC的中点，连接AE、BE，AE交CD于点F．（1）求证：∠AEC=90°﹣2∠BAE；（2）过点E作⊙O的切线，交DC的延长线于G，求证：EG=FG；（3）在（2）的条件下，若BE=4，CF=6，求⊙O的半径．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连接AC、BC，先根据等弧得：∠AEC=∠BAE，则∠CAB=2∠BAE，再由直径所对的圆周角为直角得：∠ACB=90°，直角三角形的两锐角互余得：∠CAB+∠CBA=90°，等量代换可得结论；（2）如图2，连接EO设∠OEA=∠OAE=α，证明∠GFE=∠GEF=90°﹣α，则GE=GF；（3）如图3，作辅助线，构建直角三角形，证明∠COM=∠BOM则OM⊥BC，由（2）得∠GEM=90°，则CM∥EG，CF=CN=6，设MN=x，则CM=BM=6+x，根据三角函数得：cos∠EBM=，列式求得x的值，在△OBM中，设OM=m，则OE=OB=m+4，根据勾股定理列方程可得结论．【解答】证明：（1）连接AC、BC，∴∠CEA=∠CBA，∵E为的中点，∴=，∴∠CAE=∠BAE，∴∠CAB=2∠BAE，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴2∠BAE+∠AEC=90°，∴∠AEC=90°﹣2∠BAE；（2）连接EO，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，设∠OEA=∠OAE=α，∵EG为切线，∴OE⊥EG，∴∠OEG=90°，∴∠GEA=90°﹣∠AEO=90°﹣α，∵DG⊥AB，∴∠FDA=90°，∴∠FAD+∠AFD=90°，∴∠AFD=90°﹣α=∠GFE，∴∠GFE=∠GEF=90°﹣α，∴GE=GF；（3）如图3，连接CE、CB、OE、OC，CB与AE交于点N，CB与OE交于点M，∵E为的中点，∴∠COM=∠BOM，∵OC=OB，∴OM⊥BC，∴∠OMB=90°，由（2）得∠GEM=90°，∴CM∥EG，∴∠GEF=∠CNF，∵∠GFE=∠GEF，∴∠CFE=∠CNF，∴CF=CN=6，设MN=x，则CM=BM=6+x，cos∠EBM=，∴=，解得：x1=2，x2=﹣11（舍），MB=6+x=6+2=8，由勾股定理得：ME===4，在△OBM中，设OM=m，则OE=OB=m+4，OM2+MB2=OB2，即m2+82=（m+4）2，∴OM=m=6，∴OE=OB=6+4=10．则⊙O的半径为10．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的切线的性质、勾股定理、三角函数、圆周角定理、垂径定理等知识，在圆中求线段的长常利用三角函数或勾股定理列等式求解，本题也是如此，第三问设未知数列方程是关键．10．如图，在⊙O中，弦AC、BD相交于点E，AF⊥BD于点F，AE=AB，连接AB、CD．（1）如图1，求证：CD+BD=2DF；（2）如图2，当BD经过圆心O时，连接AO并延长，交⊙O于点G，连BC，求证：∠D=∠DOG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EG、CG，当OF=1，EG=4时，求CG的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）只要证明DC=DE，EF=FB，再根据线段的和差定义即可解决问题；（2）只要证明∠D=∠AOB，即可解决问题；（3）如图3中，设OA=OB=r，EC=y，AE=EB=x．想办法构建方程组求出y2=1，即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵AE=AB，AF⊥EB，∴EF=FB，∠AEB=∠B，∵∠AEB=∠DEC，∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DC=DE，∴CD+BD=DE+DE+BE=2（DE+EF）=2DF．（2）证明：如图2中，∵∠C=∠DEC=∠AEB=∠B，∴∠D+2∠C=180°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠AOB+2∠ABO=180°，∵∠C=∠ABO，∴∠D=∠AOB，∵∠DOG=∠AOB，∴∠D=∠DOG．（3）解：如图3中，设OA=OB=r，EC=y，AE=EB=x．则FB=EF=r﹣1，OE=R﹣2，∴DE=DC=2，由△DCE∽△AEB，可得：=，即=①，由△DCE∽△OAB，可得=，即=②，∵AF2=OA2﹣OF2=AE2﹣EF2，可得：r2﹣12=x2﹣（r﹣1）2③由①②③解得y2=1，∵AG是直径，∴∠ECG=90°，∴CG===．【点评】本题考查圆综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．11．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF，∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°，∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE，∵OA=OD∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴，∵Rt△ABD中，tanA==∴=∴AE=2DE，DE=2BE∴AE=4BE∴AB=3BE；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=x∵OF=1，∴OE=1+2x在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA 是解本题的关键．12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．（1）∠ACB=90°，理由是：直径所对的圆周角是直角；（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；（3）若AB=8，AD=6，求BD．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，点C在⊙O上利用直径所对的圆周角是直角即可得到结论；（2）根据∠ABC的平分线与AC相交于点D，得到∠CBD=∠ABE，再根据AE 是⊙O的切线得到∠EAB=90°，从而得到∠CDB+∠CBD=90°，等量代换得到∠AED=∠EDA，从而判定△EAD是等腰三角形．（3）证得△CDB∽△AEB后设BD=5x，则CB=4x，CD=3x，从而得到CA=CD+DA=3x+6，然后在直角三角形ACB中，利用AC2+BC2=AB2得到（3x+6）2+（4x）2=82解得x后即可求得BD的长．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）（2）△EAD是等腰三角形．证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，∴∠CBD=∠ABE∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°∴∠AEB+∠EBA=90°，∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，∵∠CBE=∠ABE，∴∠AED=∠EDA，∴AE=AD∴△EAD是等腰三角形．（3）解：∵AE=AD，AD=6，∴AE=AD=6，∵AB=8，∴在直角三角形AEB中，EB=10∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE∴△CDB∽△AEB，∴===∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，∴CA=CD+DA=3x+6，在直角三角形ACB中，AC2+BC2=AB2即：（3x+6）2+（4x）2=82，解得：x=﹣2（舍去）或x=∴BD=5x=【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中涉及到了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，难度中等偏上．13．如图所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E 在BA边上移动，动点F在AC边上移动．（1）当点E，F分别为边BA，AC的中点时，求线段EF的长；（2）当∠EOF=45°时，①设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式；②若以O为圆心的圆与AB相切（如图），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）当E、F分别为BA、AC中点时，EF为三角形ABC中位线，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出EF的长；（2）①根据题意利用等式的性质得到一对角相等，再由一对角为45°，利用两对角相等的三角形相似得到三角形BOE与三角形OCF相似，由相似得比例列出y与x间的函数解析式，并求出x的范围即可；②EF与圆O相切，理由为：由①得出的三角形BOE与三角形COF相似，得比例，把CO换为BO，变形后利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形BEO与三角形OEF相似，利用相似三角形对应角相等得到∠BEO=∠FEO，利用角平分线定理得到O到EB、EF的距离相等，而AB与圆O相切，可得出∠OFE=90°，即OF与AC垂直，且OF为半径，即可确定出EF与圆O 相切．【解答】解：（1）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，根据勾股定理得，BC==2，∵点E，F分别为边BA，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线．∴EF=；（2）①在△OEB和△FOC中，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=45°．∵∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，∴∠FOC=∠OEB．又∵∠B=∠C，∴△OEB∽△FOC．∴=．∵BE=x，CF=y，OB=OC=，∴=，即y=，（1≤x≤2）；②解：直线EF与⊙O相切，理由：如图，记直线AB与⊙O相切的切点为G，过点O作OH⊥AC于H，∵△OEB∽△FOC，∴=．∴=，即=．又∵∠B=∠EOF=45°，∴△BEO∽△OEF．∴∠BEO=∠OEF．∵AB切⊙O于G，∴OG⊥AB，∵OH⊥AC∴OG=OH，∴直线EF与⊙O相切（到直线的距离等于半径）．【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，以及直线与圆相切的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．14．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD=BC，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2=CE•AC；（2）若AE=2EC，求之值；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S△=9，求EC之长．ACH【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）先判断出∠BDC=∠DAC，进而判断出△CDE∽△CAD，即可得出结论；（2）设出CE=x，进而表示出AC，AE，借助（1）的结论得出CD，进而求出BC，再判断出△BOC是等边三角形，利用三角形的中位线表示出AD，即可得出结论；（3）先判断出∠CHB=30°，进而判断出△ACH的面积是△BOC面积的3倍，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵CD=BC，∴，∴∠BDC=∠DAC，∵∠DCE=∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2=CE•AC；（2）设CE=x，∵AE=2CE，∴AE=2x，∴AC=AE+CE=3x，由（1）知，CD2=CE•AC，∴CD2=x×3x=3x2，∴CD=x，∴BC=CD=x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，根据勾股定理得，AB==2x，∴OA=OB=AB=x，∴OB=OC=BC，∴△BOC是等边三角形，∵，∴OC ⊥BE ，∴OE=OB=x ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°=∠OEB ，∴OE ∥AD ，∵OA=OB ，∴AD=2OE=x ， ∴==1；（3）由（2）知，△BOC 是等边三角形，∴∠BOC=60°，∵CH 是⊙O 的切线，∴∠OCH=90°，∴∠CHO=30°，∴OH=2OC ，∵OH=OB +BH=OC +BH ，∴OB=BH ，∴OA=OB=BH ，∴S △ACH =3S △BOC =9， ∴S △BOC=3， ∵S △BOC =OB 2=×（x ）2=3， ∴x=﹣2（舍）或x=2，∴EC=2．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，等边三角形的面积公式，三角形的中位线定理，表示出CD是解本题的关键．15．在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4，以B为圆心，BA 为半径作⊙B交BC于点D，旋转∠ABD交⊙B于点E、F，连接EF交AC、BC 边于点G、H．（1）若BE⊥AC，求tan∠CGH的值；（2）若AG=4，求△BEF与△ABC重叠部分的面积；（3）△BHE是等腰三角形时，∠ABD逆时针旋转的度数是22.5°或45°．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）先判断出AC∥BF，进而得出∠CGH=F=45°，即可得出结论；（2）易知当AG=4时，点G为AC中点，与点E重合，如图2，过点H作HN ⊥BE于N，△BEF与△ABC重叠部分的面积就是△EBH的面积，只需运用三角函数求出HN，即可解决问题；（3）只需将△BHE的三个内角分别作为等腰三角形的顶角进行分类讨论，就可解决问题．【解答】解：（1）如图1，∵BE⊥AC，BE⊥BF，∴AC∥BF，∴∠CGH=∠F=45°，∴tan∠CGH=tan45°=1，（2）∵∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4，∴AC=8．∵AG=4，∴点G是AC的中点，此时E与G重合，△ABE是等边三角形，如图2．过点H作于HN⊥BE于N，∠BEF=45°，BE=BF，∴∠EHN=90°﹣45°=45°=∠BEF，∴EN=HN设HN=x，则EN=x，NB=4﹣x，在Rt△HNB中，由tan∠NBH=得，，解得．=∴S△EBH即△BEF与△ABC重叠部分的面积为，（3）（3）①若∠HEB是等腰△BHE的顶角，如图3，则有∠EBH=∠EHB==67.5°，∴∠ABE=90°﹣67.5°=22.5°．②若∠EHB是等腰△BHE的顶角，如图4，则有∠EBH=∠HEB=45°，∴∠ABE=90°﹣45°=45°．③若∠EBH是等腰△BHE的顶角，则∠EBH=180°﹣45°﹣45°=90°，此时点E与点A重合，没有旋转，故舍去．综上所述：△BHE是等腰三角形时的旋转角的度数为22.5°或45°，故答案为：22.5°或45°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，利用三角函数求出HN是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想是第（3）小题的关键，当等腰三角形的顶角不确定时，常常需要分类讨论．16．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC 于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若BC=2，sin∠BCP=，求直径AC的长及点B到AC的距离；（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP 判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．（3）在直角△BCD中，利用勾股定理可以求得CD=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴，∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．（3）在Rt△BCF中，CF==2，∴AF=AC﹣CF=5﹣2=3，∵BF∥CP，∴，，∴CP=，BP=∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，构造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本题的关键．17．如图，已知⊙O是以AB为直径的圆，C为⊙O上一点，D为OC延长线上一点，BC的延长线交AD于E，∠DAC=∠DCE．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）求证：DC2=ED•DA；（3）若AB=2，sinD=，求AE的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠DAC=∠DCE，∠DCE=∠BCO∴∠DAC=∠BCO，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO∴∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°．∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）解：∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD，∴，∴CD2=DE•AD；（3）解：在Rt△AOD中，OA=AB=1，sinD=，∴OD==3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD==2，∵CD2=DE•AD，∴DE==，∴AE=AD﹣DE=2﹣=．【点评】此题是圆的综合题，主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．18．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC，垂足为H，连接OB．（1）如图1，求证：∠DAC=∠ABO；（2）如图2，在弧AC上取点F，使∠CAF=∠BAD，在弧AB取点G，使AG ∥OB，若∠BAC=60°，求证：GF=GD；（3）如图3，在（2）的条件下，AF、BC的延长线相交于点E，若AF：FE=1：9，求sin∠ADG的值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；（2）想办法证明∠GDF=∠GFD=60°即可；（3）如图3，延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．由AF：FE=1：9，设AF=k，则FE=9k，AE=10k，在△AHE 中，∠E=60°，推出AH=5k．设NH=x，则AN=5k﹣x与，由ON⊥AD，推出AD=2AN=10k﹣2x，想办法构建方程，求出x与k的关系，再根据sin∠ADG=sin ∠R=，求出AG、AR（用k表示）即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．∵BQ是⊙O直径，∴∠QAB=90°．∵AD⊥BC，∴∠AHC=90°．∵弧AB=弧AB，∴∠AQB=∠ACB，∵∠AQB+∠ABO=90°，∠ACB+∠CAD=90°∴∠ABO=∠CAD．（2）证明：如图2，∵AG∥OB，∴∠ABO=∠BAG，∵∠ABO=∠CAD，∴∠CAD=∠BAG，∵∠BAC=60°，∴∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠BAG=60°，∵∠BAD=∠CAF，∴∠CAF+∠CAD=60°，∴∠GAD=∠DAF=60°，∠GAF=120°，∵四边形AGDF内接于⊙O，∴∠GDF=60°，∵弧GD=弧GD，∴∠GAD=∠GFD=60°，∴∠GDF=∠GFD=60°，∴GD=GF．（3）解：如图3，延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK ⊥AE，垂足为P、K．∵AF：FE=1：9，∴设AF=k，则FE=9k，AE=10k，在△AHE中，∠E=60°，∴AH=5k．设NH=x，则AN=5k﹣x，∵ON⊥AD，∴AD=2AN=10k﹣2x又在△AQF中，∵∠GAF=120°，∴∠QAF=60°，AF=k，∴AQ=，FQ=k，由（2）知：∠GDF=∠DAF=60°，∴△GDF是等边三角形，∴GD=GF=DF，∵∠GAD=∠DAF=60°，∴DP=DK，∴△GPD≌△FKD，△APD≌△AKD∴FK=GP，AP=AK，∠ADK=30°，∴AD=2AK=AP+AK=AF+AG∴AG=10k﹣2x﹣k=9k﹣2x，∵作OM⊥BC，ON⊥AD，∴OM=NH=x，∵∠BOD=∠BOC=∠BAC=60°∴BC=2BM=2x，∵∠BOC=∠GOF，∴GF=BC=2x在△GQF中，GQ=AG+AQ=k﹣2x，QF=k，GF=2x，∵GQ2+FQ2=GF2，∴（k﹣2x）2+（k）2=（2x）2，∴x1=k，x2=﹣k（舍弃），∴AG=9k﹣2x=k，AR=2OB=4OM=4x=7k，在△GAR中，∠RGA=90°，∴sin∠ADG=sin∠R==．【点评】本题考查圆综合题、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x 轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（﹣2，0），求⊙F的半径；（3）在（2）的条件下求线段CE的长度．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连接EF．欲证明BC是⊙F的切线，只要证明BC⊥EF即可；（2）连结FD．在Rt△DFO中，根据DF2=FO2+DO2，构建方程即可解决问题；（3）过点F作FH⊥AD于H．四边形CEFH是矩形，只要求出FH的长即可解决问题；【解答】（1）证明：连结EF∵在⊙F中，EF=FA，∴∠FEA=∠FAE，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠EAC，∴∠FEA=∠EAC，∴EF‖AC，∴∠BEF=∠C=90°，∴EF⊥BC于E，∴BC是⊙F的切线．（2）连结FD．∵A（0，﹣1），D（﹣2，0），∴OA=1，OD=2，设⊙F的半径为R，则OF=R﹣1∵AG⊥OD于O，∴∠FOD=90°，∵在Rt△DFO中，DF2=FO2+DO2，∴R2=（R﹣1）2+22 解得R=2.5，∴⊙F的半径为2.5．（3）过点F作FH⊥AD于H．由（2）得AO=1，OD=2，∴在Rt△AOD中，AD===，∵在⊙F中，FH⊥AD于H∴AH=AD=，∠FHC=∠FHA=90°，∴在Rt△AHF中，FH===，由（1）得∠BEF=90°∴∠CEF=90°∵∠FHC=∠C=∠BEF=90°∴四边形CEFH是矩形∴CE=FH=．【点评】本题考查圆综合题、切线的判定、垂径定理、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．20．定义：如果一个四边形的两条对角线相等且相互垂直，则称这个四边形为“等垂四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为“等垂四边形．根据等垂四边形对角线互相垂直的特征可得等垂四边形的一个重要性质：等垂四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息解答下列问题：（1）矩形不是“等垂四边形”（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，若⊙O的半径为6，∠ADC=60°，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，作OM⊥AD于M．请猜想OM与BC的数量关系，并证明你的结论．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）矩形的对角线相等，不一定垂直，所以矩形不一定是等垂四边形．（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H，利用垂径定理求出AC的长即可解决问题；（3）连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC于E，只要证明△OAM≌△BOE即可解决问题；【解答】解：（1）矩形的对角线相等，不一定垂直，所以矩形不一定是等垂四边形．故答案为：不是；（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H．在△AOH中，∠AOH=∠ADC=60°，OA=6∴AH=3∴AC=2AH=6∵四边形ABCD是等垂四边形∴AC=BD=6=•AC•BD=××6=54．∴S四边形ABCD（3）连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC于E，显然∠BOE=∠BAC，∠AOM=∠ABD∵BD⊥AC∴∠ABD﹢∠BAC=90°．∵∠AOM﹢∠OAM=90°∴∠OAM=∠BOE在△OAM中与△BOE中，∴△OAM≌△BOE∴OM=BE∵BE=BC，∴OM═BC．【点评】本题考查圆综合题，全等三角形的判定和性质、垂径定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形以及全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21．如图，⊙O的直径AB=2，AM、BN是它的两条切线，CD与⊙O相切于点E，与BN、AM交于点C、D，设AD=x，BC=y．（1）求证：AM∥BN．（2）求y关于x的函数关系式．（3）若x、y是关于t的方程2t2﹣5t+m=0的两根，且xy=，求x、y的值．。
中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习及答案解析
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，∴△OAC是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；∴AC=1OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，2而OC是⊙O的半径，故PC与⊙O的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，3优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3）；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．3．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan A=12，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．【解析】试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DE BE BDAE DE AD==．∵Rt△ABD中，tan A=BDAD=12，∴DE BEAE DE==12，∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x．∵OF=1，∴OE=1+2x．在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（32x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣29（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．4．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求CE的长；（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．【答案】（1）证明见解析（2）33）4π【解析】【分析】（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=12BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF•AE，即42=CE•（16﹣CE），继而可求得CE长；（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG的长度.【详解】（1）如图1，连接AD，OD；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴DE为⊙O的切线；（2）如图2，连接BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴BF∥DE，∵CD=BD，∴DE=12BF ，CE=EF ， ∵∠A=30°，AB=16，∴BF=8，∴DE=4，∵DE 为⊙O 的切线，∴ED 2=EF•AE ， ∴42=CE•（16﹣CE ），∴CE=8﹣43，CE=8+43（不合题意舍去）；（3）如图3，连接OG ，连接AD ， ∵BG ∥DF ，∴∠CBG=∠CDF=30°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠OBG=75°﹣30°=45°，∵OG=OB ，∴∠OGB=∠OBG=45°，∴∠BOG=90°，∴BG 的长度=908180π⨯⨯=4π．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.5．如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB=CD ．(1)如图(1),求证:AD ∥BC ；(2)如图(2),点F 是AC 的中点,弦DG ∥AB,交BC 于点E,交AC 于点M,求证:AE=2DF ；(3)在(2)的条件下,若DG 平分∠3∠3,求⊙O 的半径。
圆综合的八大模型
F
A
B
E
C
O D
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20
模型七：过弧的中点的半径垂直于弦的 问题
• 【例7】．△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作
⊙O交AP于C点，弧
CF
= CB
，过C作AF的垂线，垂
足为M，MC的延长线交BP于D.
• （1）求证：CD为⊙O的切线； • （2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求EF 的值。
• （1）求证：AC与⊙O相切；
• （2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长
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A
D E
H
B
OF
C
23
模型八：综合性的问题
• 【例8】．（2012•十堰）如图1，⊙O是△ABC的 外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC， OD交⊙O于点E．
• （1）求证：BD是⊙O的切线；
• （1）求证：△ABC∽ΔOFB；
• （2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；
• （3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点 Q始终是线段BF的中点.【解决问题的思维方法是】
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9
• 【练习1】（2011四川绵阳22，12）如图，
在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以 AD为直径的半圆O与BC相切.
• （1）求证：D是弧AE 的中点；
• （2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
• （3）若 ，且AC=4，求CF的长．
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25
• 【练习2】（2012•成都）如图，AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线 交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．
中考数学专题复习 圆压轴八大模型题学生用word文档良心出品
圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型1弧中点的运用CD⌒F E.⊥是AD的中点，CEAB于点在⊙O中，点C PABEO中，你会发现这些结论吗？1）在图1（；CP＝FP①AP＝H＝AD；②CH2. AB·CB＝AE②AC·＝AP·AD＝CF ABC相似的三角形吗？2）在图2中，你能找出所有与△（1）（图【典例】，AB，CD，E在⊙O⊥上，＝的直径，点（2018·湖南永州）如图，线段AB为⊙OC．CD与线段相交于点F垂足为点D，连接BE，弦BE＝BF；CF（1）求证：．求证：的半径为6＝4，⊙OABEcos∠BM＝，在AB的延长线上取一点M，使2（）若O的切线．直线CM是⊙【变式运用】是半圆的直径，AB如图，·四川宜宾）1.（2018EAB于点AC的中点，DE⊥是一条弦，ACD是，＝，于点交，于点交且DEACFDBACG若）1-2（图则＝．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别·泸州）（.20182平分∠BAD和∠ADC。
(1)求证：AE⊥DE；(2)设以AD为直径的半圆交AB于F，连接FG值。
＝8，求，已知CD＝5，AEDF交AE于G AFAD G F CBE9图）（图1-3AD的中点，弦CE⊥ABO的直径，C是（2017·泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙3.于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。
(1)求证：P是线段AQ的中点；的长。
＝CEO的半径为5，AQ，求弦若⊙(2)，相交于点EBDOABCD内接于⊙，AB是⊙O的直径，AC和?4．（2016泸州）如图，四边形2?且DC＝CECA．1）求证：CD；BC＝（作APAB（2）分别延长，DC交于点，过点，OBPB的延长线于点F，若＝CDCDAF⊥交的长．CD＝DF，求5．（2015?泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；的长．，求OF6，CD＝5（2）若AE＝ACABABPABOC5. ＝是⊙＝的直径，、13是弧，6.如图，上的两点，PAPAB是弧的长；的中点，求(1)如图①，若PAPBC. 是弧的长(2)如图②，若的中点，求ODDABABCOOACBO作⊙内接于⊙的平分线交⊙，且为⊙7.如图，△，过点的直径．∠于点FCDEBBFCDCAPDPAAE，过点于点于点的切线作交的延长线于点．，过点作⊥⊥ABDP；（1）求证：∥PDBCAC 8，求线段的长．（2）若＝6，＝圆压轴题八大模型题（二）往往位于许多省市中考题中的倒数第二题与圆有关的证明与计算的综合解答题，引言：一般都会在固定习题模型的基础上变化是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(学生用)(word文档良心出品)
圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型1 弧中点的运用 在⊙O 中，点C 是⌒AD 的中点，CE ⊥AB 于点E .（1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ；②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B .（2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的三角形吗？【典例】（2018·湖南永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，＝，CD ⊥AB ，垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F ． （1）求证：CF ＝BF ；（2）若cos ∠ABE ＝，在AB 的延长线上取一点M ，使BM ＝4，⊙O 的半径为6．求证：直线CM 是⊙O 的切线．【变式运用】1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若＝，OHP F EDCBA（图1）（图1-2）则＝ ．2.（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC 。
(1)求证：AE ⊥DE ；(2)设以AD 为直径的半圆交AB 于F ，连接DF 交AE 于G ，已知CD ＝5，AE ＝8，求FGAF值。
3. （2017·泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD 的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。
压轴题秘籍04圆的综合(原卷版)
圆的综合圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高．多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.右图为圆的综合问题中各题型的考查热度.题型1：切线的判定解题模板：1.（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．求证：CD是⊙O的切线；【变式11】（2022•鄂尔多斯）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．求证：DE是⊙O的切线；【变式12】（2022•荆门）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC ＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．（1）求证：BE是⊙O的切线；题型2：圆中求线段长度解题模板：2.（2022•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．（1）求证：四边形EMFC是矩形；（2）若AE＝，⊙O的半径为2，求FM的长．【变式21】（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠F AB．（1）求证：BG与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．【变式22】（2022•聊城）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC 相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD．（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的长．题型3：圆中的最值问题解题模板：技巧精讲：1、辅助圆模型3.（碑林区校级模拟）问题提出：（1）如图①，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△P AB的面积最大值是．问题探究：（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．问题解决：（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．证：A、B、C、D四点共圆．小吉同学的作法如下：连结AC，取AC的中点O，连结OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程；【问题解决】如图②，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连结AE，AF，作EP⊥AF于点P．（1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为；（2）如图③，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，则MN的最小值为．（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上．∴∠AEB＝∠ACB＝°．（2）若BE＝2，求CF的长．（3）线段AE最大值为；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为．4.如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt △ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为a（0°＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1＝CE1；（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，则旋转角为a＝（直接写结果）（3）连接P A，△P AB面积的最大值为（直接写结果）【变式41】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为BC边上的动点，将△FCE沿直线EF翻折，点C落在点P处，求点P到边AB距离的最小值．【变式42】如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为（3，0），点P 为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作ME⊥CP于点E，交BP于点N，连结AN．（1）求⊙M的半径长；（2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；（3）当点P运动时，求线段AN的最小值．5.问题发现（1）如图1，在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，试猜想△ABC面积的最大值为；问题探究（2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝BC，∠C＝120°，连接BD，求cos∠ADB的值；问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，DC＝2AD，AB＝10，C为AB为直径的半圆上一点，O为圆心，请问四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求这个最大值；若不存在，试说明理由．有怎样的数量关系？并说明理由．问题解决：如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．1.（2022•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．2．（2022•锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF＝∠BAC．（1）求证：BF为⊙O的切线；（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半径．3．（2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB 的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝∠ABC．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半径．4．（2022•菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．（1）求证：直线HG是⊙O的切线；（2）若HA＝3，cos B＝，求CG的长．5．（2022•枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AD的长．6．（2022•兰州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC 与OD相交于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠OAC＝，AD＝，求⊙O的半径．7．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE ⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．8．（2022•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．（1）求证：BF与⊙O相切；（2）若AP＝OP，cos A＝，AP＝4，求BF的长．9．（2022秋•黄埔区期末）如图1，⊙O为△ABC的外接圆，半径为6，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D 为优弧上异于B、C的一动点，连接DA、DB、DC．（1）求证：AD平分∠BDC；（2）如图2，CM平分∠BCD，且与AD交于M．花花同学认为：无论点D运动到哪里，始终有AM＝AC；都都同学认为：AM的长会随着点D运动而变化．你贽同谁的观点，请说明理由．（3）求DA+DB+DC的最大值．10．（2022秋•江都区月考）在半径为5的⊙O中，AB是直径，点C是直径AB上方半圆上一动点，连接AC、BC．（1）如图1，则△ABC面积的最大值是；（2）如图2，如果AC＝8，①则BC＝；②作∠ACB的平分线CP交⊙O于点P，求长CP的长．（3）如图3，连接AP并保持CP平分∠ACB，D为线段BC的中点，过点D作DH⊥AP，在C点运动过程中，请直接写出DH长的最大值．11．（2022秋•姑苏区校级期中）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作PC⊥l，垂足为点C，PC与⊙O交于点D，连接P A，PB，设PC的长为x（2＜x ＜4）．（1）当x＝3时，求弦P A，PB的长度；（2）用含有x的代数式表示PD•CD，并求出当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？12．（2022•嵩县模拟）如图，Rt△ABC的中，∠BAC＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm，点G是边AB上一动点，以AG为直径的⊙O交CG于点D，E是边AC的中点，连接DE．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）填空：①当AG＝3cm时，⊙O与直线BC相切；②当点G在边AB上移动时，△CDE面积的最大值是cm2．13．（1）如图，△ABC中，OA＝OB＝OC，试求∠ACO和∠ABC的关系．（2）已知△ABC中，∠A和∠B都是锐角，D和E在AB上，满足：AD＝BD，CE⊥AB，已知∠ACD＝∠BCE，试判断△ABC的形状．14．（2021秋•自贡期末）在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥BC，垂足为C，∠BDC＝∠BAC，AC与BD交于点E．（1）如图1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的长；（2）如图2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分别为M，N，CN＝4，求DB+DC的长．15．（2021秋•越秀区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．（1）判断△ABD的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若BQ＝2，DQ＝3，∠BQD＝75°，求AQ的长；（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数量关系，并说明理由．。
2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)
《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。
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圆压轴题八大模型题（二）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型2 切割线互垂在Rt △ABC 中，点E 是斜边AB 上一点，以EB 为直径的⊙O 与AC 相切于点D ，与BC 相交于点F .【分析】(1)在Rt △ADO 中，(10+r)2=r 2+202,得r=15. (2)由DO ∥BC,得DO AO BC AB =,∴402440rr-=得：r=15. (3)在Rt △ADO 中，DO=r ，AO=10+r ，由DO ∥BC ，AD AOAC AB=得，r=15. (4)连结DO,DO=BO,∠ODB=∠OBD;由DO ∥BC得∠CBD=∠ODB,∴∠ABD=∠CBD.(5)由Rt △BCD ∽Rt △BDE 得BD 2=BC ⋅BE.(6)由△ADE ∽△ABD 得AD 2=AE ⋅AB.【分析】(1)AD=20,AE=10,求r; (2)AB=40,BC=24,求r. O F E D C B A (3)AC=32，AE=10，求r. (4)∠ABD=∠CBD. (5)DB 2=BC ⋅BE; (6)AD 2=AE ⋅AB. (7)△DCF ≌△DGE; (8)DF 2=CF ⋅BE; (9)AG:AC=1:2,BD=10.求r. (10)DC=12,CF=6, 求r 和BF. O F E D C B A (11)DC=12,CF=6,求CO 上任意线段的长. 图(1) 图(2) 图(3)图(4) 图(5) 图(6) A B C GE OF D(7)由∠EBD=∠FBD 得DE=DF,∴DE=DF,又∠DFC=∠DEG,∠C=∠DGE=90°得△DCF ≌△DGE. (8)由△CDF ∽△DBE 得CF DE DF BE=,且DE=DF,∴DF 2=CF ⋅BE. (9)由△ADG ∽△ABC 得AG:AC=DG:BC=1:2,设DG=k,则DC=DG=k,BC=2k,DB=5k=10,∴k=25,∴BG=BC=2k=45,由Rt △DBG ∽Rt △EBD 得DB 2=GB ⋅EB,∴102=45⋅EB, ∴EB=55,r=55. (10)∠C=∠CFG=∠CDG=90°得矩形DGFC,∴DG=CF=6,DC=GF=GE=12,∴在Rt △GEO 中，GO 2+EG 2=EO 2,∴(r-6)2+122=r 2. ∴r=15.GO=15-6=9，由中位线定理得BF=2GO=18.(11)如图，在Rt △DCO 中，CO=221215+=341，GO=15-6=9,由D0∥CB 得,6293CF CP GO OP ===,∴PO=35CO=941. 同理可得图中CO 上其它线段的长度.【典例】（2018·四川成都）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接OF 交AD 于点G .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）设AB ＝x ，AF ＝y ，试用含x ,y 的代数式表示线段AD 的长； （3）若BE ＝8，sin B ＝513，求DG 的长.【分析】（1）连接OD ，由AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD 与AC 平行，得到OD 与BC 垂直，即可得证；（2）连接DF ，由（1）得到BC 为圆O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD 与三角形ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD ；（3）连接EF ，设圆的半径为r ，由sin B 的值，利用锐角三角函数定义求出r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF 与BC 平行，得到sin ∠AEF ＝sin B ，进而求出DG 的长即可． 解：（1）证明：如图，连接OD ，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD ， ∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵∠C ＝90°，∴∠ODC ＝90°，∴OD ⊥BC ， ∴BC 为圆O 的切线；（图2-1）A OGF EDCB图bPAB C G EO FD 图a（2）连接DF，由（1）知BC为⊙O的切线，∴∠FDC＝∠DAF，∴∠CDA＝∠CFD，∴∠AFD＝∠ADB，∵∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF ，∴AB AD AD AF=，即，AD2＝AB·AF＝xy，则AD ＝xy（3）连接EF，在Rt△BOD中，sin B＝513 ODOB=，设圆的半径为r，可得5813rr=+，解得：r＝5，∴AE＝10，AB＝18，∵AE是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∴sin∠AEF＝513 AFAE=，∴AF＝AE•sin∠AEF＝10×550 1313=，∵AF∥OD，∴501013513 AG AFDG OD===，即DG＝1323AD，∵AD＝5030131813AB AF=⨯=，则DG＝1330133013 23⨯=.【点拨】利用直角三角形、相似三角形的边与边之间的和差倍分关系，勾股定理的关系，比例线段的关系等设元建方程求线段的长度；因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基本图形模型，如母子型相似，共边角相似，8字型相似，A字型相似等。
当出现求线段的一部分，还要考虑用局部占总体的比例来求解。
【变式运用】1.（2018⋅泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．（1）求证：CO2＝OF•OP；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．解：（1）证明：∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥PC ，∴∠PCO ＝90°， ∵AB 是直径，EF ＝FD ，∴AB ⊥ED ，∴∠OFD ＝∠OCP ＝90°， ∵∠FOD ＝∠COP ，∴△OFD ∽△OCP ， ∴＝，∵OD ＝OC ，∴OC 2＝OF •OP ．（2）解：如图作CM ⊥OP 于M ，连接EC 、EO ．设OC ＝OB ＝r ． 在Rt △POC 中，∵PC 2＋OC 2＝PO 2， ∴（4）2＋r 2＝（r ＋4）2，∴r ＝2，∵CM ＝＝，∵DC 是直径，∴∠CEF ＝∠EFM ＝∠CMF ＝90°， ∴四边形EFMC 是矩形， ∴EF ＝CM ＝，在Rt △OEF 中，OF ＝＝， ∴EC ＝2OF ＝，∵EC ∥OB ，∴＝＝，∵GH ∥CM ，∴＝＝， ∴GH ＝．2.（2018·云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ． （1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD ＝4，AF ＝2，求⊙O 的半径．解：（1）证明：连接OC ，如图，∵AC 平分∠BAD ， ∴∠1＝∠2，∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，∴OC ∥AD ， ∵ED 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥DE ， ∴AD ⊥ED ；图 c（图2-2）（图2-3）（2）解：OC交BF于H，如图，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，易得四边形CDFH为矩形，∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，∴OH⊥BF，∴BH＝FH＝4，∴BF＝8，在Rt△ABF中，AB ＝＝＝2，∴⊙O 的半径为．3.（2018·江苏苏州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接O C．（1）求证：CD＝CE；（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．证明：（1）连接AC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO，∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，在△CDA和△CEA中，∵，∴△CDA≌△CEA（AAS），∴CD＝CE；（2）证法一：连接BC，∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠ECA＝∠ECG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG，∵∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°，∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°，∴∠AOC＝2∠F＝45°，（图2-4）图e图d∴△CEO是等腰直角三角形；证法二：设∠F＝x，则∠AOC＝2∠F＝2x，∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠AOC＝2x，∴∠CGA＝∠OAF＋∠F＝3x，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠EAC＝∠CGA，∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG，∴∠EAC＝∠CGA，∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x，∵∠DAC＋∠EAC＋∠OAF＝180°，∴3x＋3x＋2x＝180，x＝22.5°，∴∠AOC＝2x＝45°，∴△CEO是等腰直角三角形．。