高三高考文科数学《直线与圆》题型归纳与汇总

高考文科数学题型分类汇总《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。

故做题时应考虑此情形 【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。

不要漏解。

题型三 直线位置关系的判断例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ）A. 2-或1-B. 2或1-C. 2-或1D. 2或1【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+=化简为23201k k k -+=⇒= 或2 故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。

首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k 不存在）；其次垂直时应为：121-=k k （斜率均存在）或21k k ，中一为0，一不存在若用0:1=++c by ax l ，0:2=++t ny mx l 垂直的充要条件：0=+bn am ，则避免上述问题【思维点拨】 直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。

一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k 不存在的情况）。

在做题时应该考虑全面，避免少解题型四 对称与直线恒过定点问题例1 点()2,4关于直线230x y +-=的对称点的坐标为_________．【答案】()2,2-【解析】设对称点坐标为()00,x y ，则对称点与已知点连线的中点为0024,22x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意可得()00004122{ 2423022y x x y -=-++⨯+-=，解得002{ 2x y =-= 所以对称点坐标为()2,2-．【易错点】此题求点可以设点，利用对称（实则用中垂线），建立方程组求解；亦可先求过该点与已知线垂直的直线方程，联立求交点，反推对称点（中点坐标公式）即可【思维点拨】对称问题像点关于点对称点关于直线对称，直线关于直线对称，其本质都是点点对称。

当点运动则轨迹（曲线）得到而已。

点点对称根据中点坐标公式转化，有时候利用中垂线特性（垂直，平分）进行求解例2 直线()32y kx k k R =-+∈必过定点（ ）．A. ()3,2B. ()3,2-C. ()3,2--D. ()3,2-【答案】A【解析】()32y k x =-+，当3x =时， 2y =，直线过()3,2定点，故选A ．【易错点】对直线方程的常见表达式应熟悉熟练，并能进行恰当变形【思维点拨】直线过定点关键是把所有参数提出来，保证参数后面为零。

即可求得题型五 圆的方程例1 若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y -+=B ．22(5x y ++=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 【答案】D【解析】设圆心(,0)(0)O a a <，=，即||5a =，解得5a =-，所以圆O 的方程为22(5)5x y ++=．例2圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．【答案】22(2)(1)4x y -+-=【解析】设圆心为(2,)b b ，则圆的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以0b =>，解得1b =，所以圆C 的标准方程为 22(2)(1)4x y -+-=．例3 已知圆经过点()1,2-A ，圆心在直线02=+y x 上且与直线:1l 01=--y x 相切，求圆的方程.【答案】见解析【解析】设圆的方程为()()()0222>=-+-r r b y a x . ∵圆心在直线x y 2-=上，∴a b 2-=，即圆心为()a a 2,-.又圆与直线01=--y x 相切，且过点()1,2-，∴r a a =-+212，()()222212r a a =+-+-，即()()()2222122213a a a +-+-=-， 解得1=a 或9=a .∴1=a ，2-=b ，2=r 或9=a ，18-=b ，338=r ，故所求圆的方程为：()()22122=++-y x ，或()()33818922=++-y x .此题也可设出圆心所在直线方程0:2=++t y x l ，联立21l l 与求圆心P ,利用P 到A 的距离与到1l 距离相等求解t 。

则方程可求【易错点】圆方程求解需要对圆的方程形式（标准式与一般式，其适用范围，两者转化）充分熟悉。

在解题时采用合适的方法（或代数法，或几何法）进行相关求解 【思维点拨】求解圆的方程问题可以采用代数方法：设合适的方程，根据条件进行转换。

变形解方程等求解；也可以采用几何法（勾股定理，相似等）进行求解题型六 直线、圆的综合问题例1 直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =4=. 例2 已知点()b a M ,在圆O ：122=+y x 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【解析】因为()b a M ,在圆O ：122=+y x 外，所以122>+b a ，而圆心O 到直线1=+by ax 的距离1122<+=b a d ，故直线与圆O 相交.例3 直线l ：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21x k y 与圆C ：122=+y x 的位置关系为( ) A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切 D. 相交【答案】D【解析】由于圆心()0,0 ，半径等于1，圆心到直线l ：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21x k y的距离为112d r ====＜＜， 故直线和圆相交，故选D ．例4已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A．4 B1 C．6-【答案】D【解析】圆1C ，2C 的圆心分别为1C ，2C ，由题意知11-≥PC PM ，32-≥PC PN ， ∴421-+≥+PC PC PN PM ，故所求值为421-+PC PC 的最小值．又1C 关于x 轴对称的点为()3,23-C ， 所以421-+PC PC 的最小值为425423-=-C C ，故选A ．【易错点】此题可以采用联立方程（∆）求解；也可以采用圆心到直线的距离与半径大小比较求解；还可以利用直线l 恒过⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，易得（可作草图）该点在圆内，故应为相交。

直线（含参数）过定点特征应有所熟悉，高考中常有涉及【思维点拨】直线与圆位置关系通常采用圆心到直线距离d 与圆半径r 大小确定。

圆:C ()()222x a y b r -+-=，直线l ：0=++C By Ax ，圆心()b a C ,到直线l 的距离为d ，则：1.r d >，直线与圆相离。

可求圆上动点到直线距离范围（最大最小）问题2.r d =，直线与圆相切。

依此可求过圆C ：222r y x =+上某点),(00y x P 的切线方程：200r y y x x =+； 一般地，过圆C ：()()222r b y a x =-+-上某点),(00y x P 的切线方程：()()()()200r b y b y a x a x =--+--. 3.r d <，直线与圆相交。

此时常用勾股定理2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=AB d r （AB 为相交弦）来求解相关问题. 【巩固训练】题型一 倾斜角与斜率1.经过()0,2-A ，()3,5-B 两点的直线的斜率是_______，倾斜角是_______．【答案】见解析【解析】经过()0,2-A ，()3,5-B 两点的直线的斜率()12503-=----=k ，故倾斜角为︒135． 2.设点()3,2-A ，()2,3--B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A. 43≥k 或4-≤k B. 434≤≤-k C. 443≤≤-k D. 以上都不对 【答案】A【解析】求得43,4=-=PB PA k k ,结合图像知k 的范围为434≥-≤k k 或 3.直线l 过点()2,1A ，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( )A.0B.1C.21 D.2 【答案】D【解析】如图，2=OA k ，0='l k ，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故[]2,0∈k .故直线l 的斜率k 的最大值为2.题型二 直线方程1.过点()3,1A 且倾斜角为120︒的直线方程为（ ） A. 34y x =-- B. 34y x =-+ C. 32y x =-- D. 32y x =-+ 【答案】B【解析】倾斜角为120︒的直线斜率为3-.利用点斜式可得()133y x -=--.整理得34y x =-+. 2.直线l 过点()2,1-且与直线0432=+-y x 垂直，则l 的方程是( )A ．0123=-+y xB ．0723=++y xC ．0532=+-y xD ．0832=+-y x【答案】A【解析】设023:=++t y x l ，代入()2,1-.得1-=t3.已知()2,1A ,()1,3B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）．A. 0524=+-y xB. 0524=--y xC. 052=-+y xD. 052-=-y x【答案】B【解析】AB 中点为M )232(，,21-=AB k .则中垂线斜率2=k .方程为).2(223-=-x y 化简得： 0524=--y x4.已知直线l 过点()2,1，且在x 轴截距是在y 轴截距的2倍，则直线l 的方程（ ）A.052=-+y xB.052=++y xC.02=-y x 或052=-+y xD.02=-y x 或032=+-y x【答案】C【解析】当直线过原点时，又过点()2,1，∴所求直线方程为02=-y x .当直线不过原点时，由已知设直线方程为12=+my m x ，又过点()2,1，∴所求直线方程为052=-+y x ∴选C题型三 直线位置关系的判断1.已知直线20x y --=与直线0mx y +=垂直，那么m 的值是（ ）．A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C【解析】利用垂直的条件：0)1(11=-⋅+⋅m ，得1=m2.若直线()1:34350l m x y m +++-=与直线()2:2580l x m y ++-=平行，则m 的值为（ ）． A. 133-B. 1-或7-C. 6-D. 7- 【答案】D【解析】∵12l l ，∴()()3524m m +⋅+=⨯，解得1m =-或7-，又当1m =-时，两条直线重合， 故7m =-．3.直线3x y +=和直线2x y +=的位置关系是（ ）． A. 垂直 B. 相交不垂直 C. 平行 D 重合．【答案】A【解析】∵110⨯+⨯=，∴两条直线相互垂直．故选A ．题型四 对称与过定点1.直线2130x my m -+-=，当m 变化时，所有直线都过定点（ ） A. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】直线2130x my m -+-=，化为()2130x m y +-+=，令210{ 30x y +=+=，解得1,32x y =-=-，当m 变动时，所有直线都通过定点1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选D. 2.直线()():220l m n x m n y m n ++--+=，对任意,m n R ∈直线l 恒过定点_______．【答案】()1,1-【解析】()()220m n x m n y m n ++--+=可化为：()()2120m x y n x y +-+-+=，若要让m,n “失去作用”，则210{ 20x y x y +-=-+=，解得1{ 1x y =-= ，即定点为()1,1-. 3.已知直线l 经过点()6,4P ，斜率为k（1）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；（2）若1k =-，一条光线从点()6,0M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回点M ，求光线所经过的路程.【答案】（1）:230l x y -=或:2160l x y +-=；（2）【解析】（1）由题意得0k ≠。