数学分析第一学期模拟试卷及解析

合集下载

高三数学上学期第一次摸底测试试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学上学期第一次摸底测试试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.集合0，，，那么A.0，B.C.D.2.假设，那么A. B. C. D.3.“二万五千里HY〞是1934年10月到1936年10月中国工农红HY进展的一次HY转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红HY的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事．在中国一共产HY建HY98周年之际某组织了“HY英雄事迹我来讲〞活动，该一共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，那么该校高一年级学生人数为A.720B.960C.1020D.16804.的展开式中含项的系数为A. B. C.6 D.75.函数的图象大致为A.B.C.D.6.等差数列的前n项和为，假设，那么A. B.3 C. D.67.在正方体中，E为的中点，F为BD的中点，那么A. B.C.平面D.平面8.函数，假设是的一个极小值点，且，那么A. B.0 C.1 D.9.执行如下列图的程序框图输出的S的值是10.A.25B.24C.21D.911.偶函数在上为减函数，假设不等式对任意的恒成立，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.12.设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，假设，的面积为，那么A.1B.C.D.213.假设存在，满足，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕14.，为单位向量，且，的夹角为，那么______．15.公比为3的等比数列的各项都是正数，且，那么______．16.，分别为双曲线C：的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆交双曲线C的右支于A，B两点，假设，那么双曲线C的离心率为______．17.在三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，假设三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，那么该球的外表积为______．三、解答题〔本大题一一共7小题〕18.某为理解本校文理科学生的学业程度模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：19.乙样本中数据在的有10个．20.21.求n和乙样本直方图中a的值；22.试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数同组中的数据用该组区间中点值为代表．23.24.25.26.27.28.29.30.在中，，．31.求tan A的值；32.假设，的平分线CD交AB于点D，求CD的长．33.34.35.36.37.38.39.40.图1是由正方形ABCG，直角梯形ABED，三角形BCF组成的一个平面图形，其中，，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．41.证明：图2中的D，E，C，G四点一共面，且平面平面DEC；42.求图2中的二面角的大小．43.过的直线l与抛物线C：交于A，B两点，以A，B两点为切点分别作抛物线C的切线，设与交于点44.求；45.过Q，F的直线交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN面积的最小值．46.47.48.49.50.51.52.53.函数，．54.讨论的单调性；55.是否存在a，b，使得函数在区间的最小值为且最大值为1？假设存在，求出a，b的所有值；假设不存在，请说明理由．参考数据：．56.57.58.59.60.61.62.63.如在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．64.写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；65.假设点Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l的间隔的最小值．66.67.68.69.70.71.72.73.正数a，b，c满足等式证明：74.；75.．76.77.78.79.80.81.82.答案和解析1.【答案】B【解析】解：0，，，．应选：B．可以求出集合B，然后进展交集的运算即可．考察列举法、描绘法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：由，得．应选：B．把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．此题考察复数代数形式的乘除运算，是根底题．3.【答案】C【解析】解：设该校高一年级学生人数为x人，由题意得：，解得．应选：C．设该校高一年级学生人数为x人，由此利用列举法得，由此能求出该校高一年级学生人数．此题考察高一年级学生人数的求法，考察分层抽样的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．4.【答案】A【解析】解：的展开式中含项的系数为，应选：A．把按照二项式定理展开，可得结论．此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于根底题．5.【答案】B【解析】解：函数定义域为；且，函数为偶函数，排除选项D；将表达式的分子分母均乘以，可得且当时，，应选项A，C不成立．应选：B．首先利用函数的奇偶性排除选项D，再将原函数的分子分母同乘进展化简，最后利用特殊值法即可判断．此题考察函数的奇偶性及图象对称性的综合应用，属于中档题6.【答案】A【解析】解：等差数列的前n项和为，，，解得，．应选：A．利用等差数列的前n项和公式推导出，再由，能求出结果．此题考察等差数列的前n项和公式、通项公式的应用，考察等差数列的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，那么0，，1，，2，，0，，0，，在A中，1，，，与不平行，故A错误；在B中，0，，，与不垂直，故B错误；在C中，平面的法向量1，，，与平面不平行，故C错误；在D中，0，，2，，，，，，，平面D.应选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．此题考察线面垂直的证明，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．8.【答案】C【解析】解：，，又，或者，当，时，，在区间上，在区间上，是极大值点，不符合题意．当，时，，在区间上，在区间上，是极小值点，符合题意．，应选：C．先写出导函数，得，又因为，所以或者，分别代入解析式，检验哪个符合题意．此题考察导数的应用，极值，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：初始值，；第一步，，，此时，故；第二步：，，此时，故；第三步：，，此时，故；第四步：，，此时，故；第五步：，，此时，故输出；应选：A．根据程序框图依次写出每次循环的结果，再根据判断框内的条件，确定输出的S的值即可．此题考察程序框图，难度较小，属于根底题．10.【答案】D【解析】解：是偶函数，图象关于y轴对称．在的单调性与的单调性相反，可得在上是增函数．不等式恒成立，等价于恒成立．即不等式恒成立，的解集为R，结合一元二次方程根的判别式，得：且解之得．应选：D．根据偶函数图象关于y轴对称，得在上是单调减函数，且在上单调增，由此结合是正数，将原不等式转化为恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进展处理，即得实数a的取值范围．此题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x的不等式恒成立的问题，着重考察了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于根底题．11.【答案】D【解析】解：如下列图，设l与x轴交于H，且，l：，因为，在直角三角形FBH中，可得，所以圆的半径为，，由抛物线的定义知，点A到准线l的间隔为，所以的面积为，解得．应选：D．根据题意画出图形，结合图形求出，，由抛物线的定义可得点A到准线l的间隔，运用三角形的面积公式可得的面积，从而求出p的值．此题考察了抛物线的定义与性质的应用问题，也考察了数形结合思想应用，是中档题．12.【答案】A【解析】解：设，，那么是单调增函数，且的值域为；设，那么恒过定点，又，，且，存在，不等式时，即，不等式不成立，由此得，解得，所以a的取值范围是．应选：A．设，，，对求导数，利用导数的几何意义列不等式求出a的取值范围．此题主要考察对数函数与不等式的应用问题，也考察了利用导数研究函数的单调性问题，是中档题．13.【答案】【解析】解：，为单位向量，且，的夹角为，，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积的定义求出，再根据求向量的模的方法，求出此题主要考察两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于根底题．14.【答案】3【解析】解：公比为3的等比数列的各项都是正数，且，，且，解得，，．故答案为：3．由公比为3的等比数列的各项都是正数，且，求出，从而，由此能求出的值．此题考察等比数列的第9项的对数值的求法，考察等比数列的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．15.【答案】【解析】解：设，由，且圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，在等腰三角形中，，，可得，那么A的横坐标为，即，代入双曲线的方程可得，由，，可得，由，可得，解得．故答案为：．设，圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，再由等腰三角形的性质和勾股定理，求得A的横坐标，将A的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程即可得到所求值．此题考察双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考察圆和双曲线的对称性，等腰三角形的性质，考察方程思想和运算才能，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意，如下列图，取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，是边长为的等边三角形，外接圆半径为，且，，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，在直角中，平面ABC，且，在直角中，，且，在直角中，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，该球的外表积．故答案为：．取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，外接圆半径为2，且，，求出，，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，由此能求出该球的外表积．此题考察球的外表积的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．17.【答案】解：由频率分布直方图得：乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，那么，解得，由乙样本数据直方图得：，解得．甲样本数据的平均值估计值为：，乙样本数据直方图中前三组的频率之和为：，前四组的频率之和为：，乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，由，解得，中位数为．根据样本估计总体思想，可以估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82．【解析】由频率分布直方图得乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，由此能求出n，由乙样本数据直方图能求出a．利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数．此题考察实数值、平均数、中位数的求法，考察频率分布直方图的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．18.【答案】解：，由正弦定理，可得，，可得，是角平分线，，由，可得，，，由，可得．【解析】由利用正弦定理，三角形内角和定理可得，利用两角差的正弦函数公式，同角三角函数根本关系式可求tan A的值．由可求，利用同角三角函数根本关系式可求sin A，cos A的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据正弦定理即可解得CD的值．此题主要考察了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数根本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考察了计算才能和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：证明：由正方形ABCG中，直角梯形ABED中，．，E，C，G四点一共面．，，，，平面ADG．平面ADG，．在直角梯形ABED中，，可得，同理直角梯形GCED中，可得，．，．，，平面DEG，平面ADB，平面平面DEG．平面平面DEC；解：过点D作的垂线，垂足为O，过点O作BC的垂线，垂足为H，那么，，故以O为原点，如图建立空间直角坐标系，那么0，，0，，2，，2，，0，，1，．所以，．设平面ACE的法向量为y，，由．设平面BCE的法向量为b，，由．，二面角的大小为．【解析】根据面面垂直的断定定理即可证明平面平面DEC；建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角的大小．此题主要考察空间平面和平面垂直的断定，以及二面角的求解，综合考察学生的计算才能．20.【答案】解：设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，可得，即有，，由的导数为，可得的方程为，化为，同理可得的方程为，联立两直线方程解得，，故；由，，，可得，即，，，那么四边形AMBN的面积，当且仅当时，四边形AMBN的面积获得最小值32．【解析】设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求值；求得，的坐标和数量积，可得，即，运用抛物线的弦长公式可得，，由四边形的面积公式，结合根本不等式可得所求最小值．此题考察抛物线的定义、方程和性质，考察直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考察切线方程的求法，以及向量垂直的性质，考察根本不等式的运用：求最值，属于中档题．21.【答案】解：，令，，，在上单调递增，，，假设时，恒成立，即在区间上单调递增，假设时，那么，那么，那么在区间上单调递减，假设，那么，，又在上单调递增，结合零点存在性定理知，存在唯一的实数，使得，当时，，那么，那么在上单调递减，当时，，那么，那么在上单调递增，综上所述：假设时，在区间上单调递增，假设时，在区间上单调递减，假设时，存在唯一的实数，，在上单调递减，在上单调递增．由可得：假设，那么，那么，而，解得满足题意，假设时，那么，那么时，而，解得满足题意，假设时，令，，那么，在上单调递减，，令，，由可知，令，，由可知，，，，，综上：当且，或者当且时，使得在区间的最小值为且最大值为1．【解析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，对a分类讨论，利用的结论即可得出．此题考察了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考察了推理才能与计算才能，属于难题．22.【答案】解：由为参数，消去参数t，可得直线l的普通方程为，由，且，，，得曲线C的直角坐标方程为；点P的极坐标为，那么点P的直角坐标为，点Q为曲线C上的动点，设，那么PQ中点M为，那么点M到直线l的间隔：，点M到直线l的最小间隔为．【解析】直接把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，由结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；化P为直角坐标，设出Q的坐标，由中点坐标公式求得M的坐标，再由点到直线的间隔公式写出间隔，利用三角函数求最值．此题考察点的直角坐标、曲线的直角坐标方程的求法，考察点到直线的间隔的中小值的求法，考察直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．23.【答案】解：要证不等式等价于，因为，，当且仅当时取等号．，，又，，当且仅当时取等号．【解析】利用根本不等式即可证明结论；利用根本不等式即可证明结论．此题考察用分析法证明不等式，关键是寻找不等式成立的充分条件，属于中档题．。

数学分析竞赛试题参考解答

数学分析竞赛试题参考解答（07—08第一学期）1、设2235172124162n n n x += ，求lim n n x →∞ 解：.以211211-- 乘n x 可得：1212(1)2n n x +=-，所以lim 2n n x →∞=2、设33(1)231n n k n x k +==∑，求lim n n x →∞解：333322(1)1(1)1(1)n n n n n x n n +-++-+≤≤+，由迫敛性知lim 3n n x →+∞=3、设(1)(2)(100)()x x x f x x--⋅⋅⋅-=，求(100)f ' 解：100(1)(2)(100)99!(100)lim (100)100x x x x f x x →---'==-4、计算不定积分2(1)xxe dx x +⎰。

解：222(11)()[]111(1)(1)(1)x x x x x xxe x e e e e e dx dx dx dx C x x x x x x +-'==-==+++++++⎰⎰⎰⎰。

5、设e x y << ，试比较y x 与x y 的大小。

解：比较y x 与x y 的大小 ⇔ 比较ln y x 与ln x y 的大小 ⇔ 比较ln x x 与ln y y 的大小。

设ln ()t f t t =，则21ln ()t f t t -'=，可知t e >时()f t 单调减少，所以y x x y >。

6、证明：lim 1n →+∞= 证：ln 01lim lim ()1ln nn x x n n e e n n=→+∞→+∞-'=== （因ln lim 0n n n →∞=）7、设0n a >，1n n a +∞=∑发散，求证：11n n n a a +∞=+∑发散。

证明：若n a M ≤，则11n n n a a a M≥++，由比较判别法1n a M +∑发散，1n n a a +∑发散。

数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新).

数列极限类1.证明: .证因为又,由迫敛原理得.2.设,证明有极限,并求此极限的值.证由均值不等式得,即有下界.又,即单调减,于是存在,且由极限的保号性可得.对已知递推公式,令和极限的唯一性得,解得(负根舍去,即有.单调性的证明也可如下完成:,或.3.设,试证数列存在极限,并求此极限.证由知, .假设,则,由归纳法知为单调下降数列.又显然有,所以有下界.由单调有界原理知,数列收敛.所以可令,对两边取极限得,解得或(舍去,故.4.设,当时,有且.求证极限与存在且等于.证由得,由迫敛原理得,再由及可得存在且等于.5. 设.求证: (1 与均有极限; (2 .证因为,所以,即单调减少有下界,而,即单调增加有上界.所以与都收敛.在两边取极限得.6. 设,且,求证收敛且.证因为,对给定的,当时,有,所以,当时,有,由迫敛原理得.闭区间上连续函数的性质7.证明方程在内至少有一个根.证令,则在上连续,且,,即.由根的存在性定理得至少存在一点,使得,即方程在内至少有一个根.8.证明方程至少有一个小于的正根.(10分证令,则在上连续且,由闭区间上连续函数的零点存在定理,，使得.9. 设函数在上连续,且满足.若在上能取到负值,试证明:(1 ,使得; (2 在上有负的最小值.证由条件可设且,由,存在使得,由根的存在性定理,得,使得.(1得证.(2 由,存在使得当时,有.又在上连续,故,使得.而当时,,故对有.所以结论成立.10. 设为正整数,为个实常数,且.求证多项式函数在内至少有两个零点.证因为,又,所以存在,使得,又在和上都连续,由根的存在性定理,和,使得,所以,结论成立.11. 设,求的表达式,并指明的间断点及其类型. 解: ,所以为第一类可去间断点;为第二类无穷间断点.12. 设在上连续,且满足,求证:,使得.证明:令,则在上连续,.由连续函数的零点定理,必存在,使得,故使得. 13. 设是上的连续函数,且满足条件.证明存在,使得.证明: 令,则在上连续,且,.若,则存在或使得.若与都不为零,则由连续函数的零点定理,必存在,使得,故使得.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号.14. 设函数在上连续,且满足,若存在,使得,求证:(1 使得;(2 在上有负的最小值.证明: (1 因为,由函数的局部保不等式性,存在充分大的(不妨设,使得时,有,所以当时,在上连续且,由连续函数的零点存在定理,存在使得.(2 又在上连续,故由最值定理,存在,使当时,,而,且时,.所以在上有负的最小值.15. 设,若,求证.证法1（用导数定义）因为.又,所以,所以.证法2（用重要极限1）所以.导数与微分证明16.设证明: 在处可微; 在处不可微证因为,所以函数在处可导,由可导与可微的关系知在处可微;又当时, ,而极限不存在,故在处不可导, 由可导与可微的关系知在处不可微;17. 设存在,证明:证:18. 设为内的可导函数,周期为.求证:也是以为周期的函数. 证明:因为,所以也是以为周期的函数.中值定理的应用19.设,证明多项式在内至少有一个零点.证作辅助函数,则在闭区间满足罗尔中值定理的三个条件,故存在使得,故在内至少有一个零点.20.设都是可导函数,且,证明当时,证因为严格单调增.当时, .又由柯西中值定理得,存在使得.21. 对任意的,有,且等号只在时成立.证明: 令存在,使得,而,当且仅当时,所以结论成立.22. 设在上连续,在内可导,且满足,求证:存在,使得.提示:令,用罗尔中值定理可证.23.设函数在上连续,在内二阶可导,连结点与点的直线交曲线于点,其中.证明:存在,使得. 证因为三点共线,所以.在及上分别应用中值定理得:存在,使;存在,使,即.由于二阶可导,故函数在区间上满足罗尔中值定理的条件,故,使得.24. 设,证明不等式:.提示:在上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25. 设,证明不等式.26. 设,证明不等式.证将要证的不等式变形为,令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,于是使得,又由与在上的连续性与单调性可得,所以,故要证的不等式成立.27. 已知在的某邻域内有二阶连续导数,且,证明:存在唯一的一组实数,使当时,是比高阶的无穷小量.证法1 （洛比达法则）令,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到(2因为,故(2有唯一非零解.故结论成立.28.设函数在内可导,且及都存在.证明. 证当时,由条件知,函数在区间上连续可导,故,使得.因为及都存在,所以=.29. 证明;当时,证令,则.令,所以在内单调增,则当时, ,从而,所以在内单调增,则当时, .用单调性证明不等式30. 证明;当时,证令,,当时,,所以在内单调增,故当时,因而得在内单调增, 故当时, .31. 设,证明不等式:.32. 设，证明不等式。

高考数学高三模拟试卷第一学期高三摸底考试文科数学试题和参考答案及评分标准

高考数学高三模拟试卷第一学期高三摸底考试文科数学试题和参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．设集合2{|1}P x x ==，那么集合P 的真子集个数是（） A ．3 B ．4 C ．7D ．8 【答案】A【解析】211x x =⇒=±，所以{}1,1P =-．集合{}1,1P =-的真子集有{}{},1,1∅-共3个．故A 正确．2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（） A ．（2,4） B ．（3,5）C ．（1，1） D ．（－1，－1）【答案】C ．【解析】()(1,1)DA AD AC AB =-=--=． 3．设()2112i iz +++=，则z =（） A ．3 B ．1 C ．2 D ．2 【答案】D【解析】根据题意得121z i i i =-+=+，所以2z =．4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）【答案】D【解析】所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的对角线，在侧视图中的矩形的自左下而右上的一条对角线，因在左侧不可见，故而用虚线，所由上分析知，应选D.5．如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为 3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为（） A ．117 B ．217 C ．317 D ．417【答案】B【解析】直角三角形的较短边长为 3，则较长边为5，所以小正方形边长为2，面积为4，所以向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为423417=，故选B ．6．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件． A.46 B.40 C.38 D.58 【答案】A为：(10,38)，又在回归方程y bx a =+上，且2b =-， ∴3810(2)a =⨯-+，解得：58a =,∴258y x =-+，当x=6时，265846y =-⨯+=．故选：A ．7．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面,下列命题中正确的是（） A ．若αβ⊥,,m n αβ⊂⊂,则m n ⊥B ．若α∥β,,m n αβ⊂⊂,则n ∥m C ．若m n ⊥,,m n αβ⊂⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,n ∥m ,n ∥β,则αβ⊥【答案】D【解析】位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定，故A 错；分别在两个平行平面内的两条直线可平行也可以异面，故B 错；由m α⊥,n ∥m 得n α⊥，因为n ∥β,设,n l γλβ⊂=，则//n l ，从而l α⊥，又l β⊂，故αβ⊥，D 正确．考点：空间直线和直线、直线和平面，平面和平面的位置关系． 8．已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（） A ．图象关于点(,0)3π-中心对称B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5[,]126ππ--单调递增D ．在[,]63ππ-单调递减【答案】C【解析】∵函数f （x ）=sin2x 向左平移6π个单位，得到函数y=g （x ）=sin2（x+6π）=sin（2x+3π）；∴对于A ：当x=3π时，y=g （x ）=sin （32π+3π）=23≠0∴命题A 错误；对于B ：当x=6π时，y=g （x ）=sin （3π+3π）=0≠±1，∴命题B 错误；对于C ：当x ∈5[,]126ππ--时，2x+3π∈[2π，0]，∴函数y=g （x ）= sin （2x+3π）是增函数，∴命题C 正确；对于D ：当x ∈[,]63ππ-时，2x+3π∈[0，π]，∴函数y=g （x ）= sin （2x+3π）是先增后减的函数，∴命题D 错误．9．阅读上图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）.A ．123 B.38 C ．11D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：依此程序框图，变量a 初始值为1，满足条件a ＜10，执行循环，a=12+2=3，满足条件a ＜10，执行循环，a=32+2=11，不满足循环条件a ＜10，退出循环，故输出11．故选C ．10．己知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（） A ．20142015B ．20122013 C ．20132014 D ．20152016【答案】D【解析】由已知得，'()2f x x b =+，函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线斜率为'(1)23k f b ==+=，故1b =，所以2()f x x x=+，则1111()(1)1f n n n n n ==-++，所以111111(1)())122311n S n n n =-+-+-=-++…+(，故2015S =20152016． 11．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 30x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（） A ．12B ．312C ．32D 31【答案】D ．【解析】设(,0)Fc -0y +=的对称点A 的坐标为(m,n)，则(1022n m cmc n ⎧⋅=-⎪⎪+-+=，所以2c m =，2n =，将其代入椭圆方程可得22223441c c a b +=，化简可得42840e e -+=，解得1e =-，故应选D ．12．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，，则关于x 的方程x x f =)(解的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】由已知得，lg 4x x =-，104x x =-，在同一坐标系中作出10xy =，lg y x =以及4y x =-的图象，其中10xy =，lg y x =的图象关于y x =对称，直线y x =与4y x =-的交点为（2，2），所以4a b +=，2420()2,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，，当0x ≤时，242x x x ++=，1x =-或2-；当0x >，2x =，所以方程x x f =)(解的个数是3个．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若224432,32S a S a =+=+，则q =．【答案】23【解析】由已知可得2322+=a S ，23224+=q a S ，两式相减得)1(3)1(222-=+q a q a 即0322=--q q ，解得23=q 或1-=q （舍），答案为23. 14．已知函数()()1623++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是【答案】63>-<a a 或【解析】因为()()1623++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则说明导函数()()2'3260f x x ax a =+++=有两个不同的实数根，即为2(2)43(6)0a a ∆=-⨯⨯+≥解得为63>-<a a 或.15．已知实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥++0005y y x y x ，则241z x y =++的最小值是____________【答案】14【解析】作出不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥++0005y y x y x 组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+4y+1可得421z x y +-=， 4z 表示直线421zx y +-=在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y=2x+z 经过点A 时，z 最小由⎩⎨⎧=-=++005y x y x 可得A （25-，25-），此时141254252-=+⨯-⨯-=z ．故答案为：14． 16．若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为．【答案】1【解析】试题分析：已知抛物线28y x =，则其焦点F 坐标为(2,0)双曲线2213x y n-=的右焦点为(3,0)n +所以32n +=，解得1n =，故答案为1．三、解答题:本大题共8小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

数学分析(1)期末模拟考试题(填空部分)

填空题一、函数 1. 设()(]()⎩⎨⎧+∞∈∞-∈=.,0,,0,,0x x x x f ()(]()⎩⎨⎧+∞∈-∞-∈=.,0,,0,,02x x x x g 则()()=x g f 答: ()()0=x g f ; ()()=x f g (]()()⎩⎨⎧=+∞∈-∞-∈x g x x x .,0,,0,,022. 函数101log 5y x =-的定义域为 ()()()(),44,55,66,-∞⋃⋃⋃+∞ .3. 设函数()()2sin 1f x x =+,则()f f x =⎡⎤⎣⎦ ()22sin sin11x⎡⎤++⎣⎦.4.函数1ln x y x-=+的定义域为 ()(]0,11,4⋃ .5. 函数()239,33x f x x x ≤=-<<⎪⎩的定义域是 ()4,4- .6. 函数()5sin y x π=的最小周期是 2 .7. ()()()28f x x x =--,则()3f f =⎡⎤⎣⎦ 6 .8. 99log 3log y =+的反函数是 429x - .9. 若()11x f e x -=+，则()f x 的定义域为 ()1,-+∞ .二、数列极限1.22lim 1nn n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4e .2. 极限()=-+∞→n n n n 2lim1/2 .3. 设R k ∈,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→nn n k 1lim ke- .4. 已知a 为常数,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→nn a n a n lim ae 2 .5. 已知极限9lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→nn a n a n ,则常数=a 3ln .6. 极限()=+-+-∞→2sin212lim1πn n nnn 2 .7. 极限=⎪⎭⎫⎝⎛-++++∞→2221lim n n n n 21- .8. 极限()[]=⋅-∞→πn nn cos 21lim 0 . 9. 极限=+∑=∞→nk n kn 121lim1 .10. 极限=∑=∞→nnk n k221lim0 .11. 2limn →∞= 3 .12. 123lim 22n nn n→∞++++⎛⎫-=⎪+⎝⎭-1/2.三、函数极限 1. 35lim 1xx k e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则k =53.2. 0lim cot 2x x x →= 1/2 .3. 设82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ,则常数=a 2ln .4. 极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→xx x x 1sin lim 1 .5. 极限()[]=++→x x x 21ln 1lim 2e .6. 设82lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ,则常数=a2ln 21 .7. 0sin limx x x→= 1 ,01lim sinx x x→= 0 .8. 2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭12 .9. 设函数()221lim1xxt t t e f x e→-=+,则()f x = 1,01,0x x -≤⎧⎨>⎩ .10 若lim100ln 1x x →=+,则()0lim x f x →= 200 .10. 当0x →时x 的32阶无穷小量.11若当x →∞时,()222351px f x qx x -=+++为无穷大量,则p 为任意常数 ,q 为非零常数 .四、连续函数1. 函数()23f x x x =--的连续区间是 [)()1,33,⋃+∞ ,间断点是 .2 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=.0,,0,arcsin 12tan x ae x x e x f x x 在0=x 处连续,则常数=a 1- .3 设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=.0,,0,2arcsin12tan x ae x xe xf xx在0=x 处连续,则=a -2 . 4 若()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=.0,,0,12sin 2x a x xe x xf ax 在()+∞∞-,内连续,则=a -2 .5 函数()()211xef x x x -=-的可去间断点为 0 .五、导数与微分 1 sin 2y x =,则()11y= 112cos 2x - .2 若等式35x dx ad ⎛⎫=-⎪⎝⎭成立,则a = -5 . 3 设(ln y x x=+,则y '= (ln x ++4 若()k a f =',则()()=-+→sinhlima f h a f h k .5 若()k a f =',则()()()=++--→h h a f h a f h 1ln limk 2- .6 若()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→txx x t t f 211lim ,则()='t f ()t e t212+ . 7 设()x y y =在任意点()+∞-∈,1x 满足()x x xy y ∆+∆+=∆ 1,若()20=y ,则()='1y 2 .8 设1lnarctan 22+-=x xxee e y ,则==1x dxdy112+-e e .9设x y xarcsin 2=,则='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅211arcsin 2ln 2xx x. 10 ='⎪⎭⎫ ⎝⎛-xe x x cos sin xe x /cos 2 . 11设xay 1arctan=,则='y xaxa 1a r c t a n21ln +-.12设()()()321131x x x y --+=,则='y ()()()()()()1313113113222323-+--++--x xx x xxx x .13设函数()x y y =由方程22ln arctanyx xy +=确定,则()='x yyx y x -+ .14=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x d ln . 15设()1ln 2++=x x y ,则=dy 16设函数0,sin >=x xy x,则=dy ()dx x x x x xx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+sin ln cos sin . 17设f 为可导函数,⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1cos ,则=dy dx x f x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-1cos 1sin2123. 18. 函数x x y sin 2=的100阶导数是 x x x x x sin 9900cos 200sin 2-- .19. 设()2312+-=x x x f ,则()()=x fn ()()().2,1,1!2!111≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++x n n x n n n n. 20. 设()x y y =在任意点[]1,1-∈x 满足()()x xy xy ∆++⋅∆=∆ 21c o s ,其中[]1,1-∈∆+x x .若()00=y ,则()=1y 4a r c s i n π.(注:需微分方程的知识)21. 设()x y y =在任意点()+∞-∈,1x 满足()x xx y y ∆++∆⋅=∆ 1.若()20=y ,则()='1y2 .(注:需微分方程的知识).22. 设()x f 在0x 的某邻域内有定义,且a x ,20≠为常数.若满足()()()()2000021x x a x x x x f -+-+=∆π,则()='0x f()021x +π .23. 设非负函数()x y y =由方程222y x e xy +=确定,则==0x dydx 21 .24 设()xx x f -+=12,则()()=x fn()11!3+-⋅n x n .25．若()x f 为奇函数，且()50='x f ，则()=-'0x f 5 。

2021-2022年高三上学期一诊模拟考试理数试题含解析

2021年高三上学期一诊模拟考试理数试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数的值为（） A.-2 B.1 C.2 D.1或-2 【答案】A考点：复数的相关概念． 2.已知集合，，则（）A. B.(1,3) C. D.(1,2) 【答案】D 【解析】试题分析：由，得，所以，又，所以，故选D ．考点：1、函数的定义域与值域；2、集合的交集运算．3.直线过点(0,2)，被圆0964:22=+--+y x y x C 截得的弦长为，则直线的方程是（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】试题分析：将圆的方程化为标准方程为：，所以圆心为，半径为2．由弦长公式，得，解得．显然直线的斜率存在，设的方程为，即，则由点到直线的距离公式，得，解得或，所以直线的方程为或，故选D ．考点：1、点到直线的距离；2、弦长公式；3、直线的方程．【知识点睛】求直线与圆相交所得弦的长主要是有两种方法，一是直接利用弦长公式，其中为圆的半径，为圆心到直线的距离，其次运用根与系数的关系及弦长公式：＝2212121[()4]k x x x x ++-.4.执行如图所示的程序框图后，输出的结果为（）A. B. C. D. 【答案】C考点：程序框图．5.已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则=（） A.1 B.8 C.4 D.2 【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列的公差为，则由题意，得0)(3237277=++--d a a d a ，解得或（舍去），所以33738107774()()8b b b b b q b q b q==，故选B ．考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的通项公式．6.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则)2016()2015()2014(f f f +-+的值为（）A.-1B.-2C.2D.1 【答案】A 【解析】试题分析：因为对于任意的实数，都有，所以当，是以2为周期的函数，又是定义在上的奇函数，所以(2014)(2015)(2016)f f f +-+＝＋＝2(0)(1)(0)(1)log 21f f f f -+=-=-=-，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、周期函数．【知识点睛】(1)若函数为偶函数，则函数在轴两侧单调性相反；若函数为奇函数，则函数在原点两侧的单调性相同；(2)利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．7.对于函数，现有下列命题：①函数是奇函数；②函数的最小正周期是；③点是函数的图象的一个对称中心；④函数在区间上单调递增，其中是真命题的为（） A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 【答案】B考点：1、命题真假的判定；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性；4、函数的图象与性质．8.设满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（）A. B. C. D.4 【答案】A 【解析】试题分析：作出满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点取得最大值12，即，亦即，所以＝131325()666b a b a a b a b ++≥+=，当且仅当，即时等号成立，故选A ．考点：1、简单的线性规划问题；2、基本不等式．【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知﹙﹚求的最小值，通常转化为＝（)，展开后利用基本不等式求解．9.在中，内角的对边长分别为，已知，且＝，则（）A.6B.4C.2D.1【答案】C考点：1、两角和与差的正弦；2、正余弦定理．10.已知正三棱锥的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是（）A. B. C. D.6【答案】D考点：1、棱锥的三视图；2、棱锥的侧面积．11.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A.2B.C.1D. 【答案】B 【解析】试题分析：过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，连接，设，，则由抛物线定义，得，，所以．在中由余弦定理得：222222cos120AB a b ab a b ab =+-︒=++，所以＝222a ba b ab +++＝≤，当且仅当时等号成立，故选B ．考点：1、抛物线的定义；2、余弦定理；3、基本不等式．12.若函数在上的值域为，则称函数为“和谐函数”.下列函数中：①；②；③；④，“和谐函数”的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C考点：1、新定义；2、函数的单调性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数则_____________．【答案】【解析】试题分析：1331111((()))((log ))((1))(2)()log 3322f f f f f f f f f -==-===．考点：分段函数求值．【方法点睛】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值．另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用．14.二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．【答案】-20 【解析】试题分析：由题意知，展开式中有7项，．因为rr r r r rrr xC xx C T 262666612)1()21()2(---+-=-=，令，得，所以常数项为．考点：二项式定理．15.中，，的平分线交边于，且，，则的长为___________．【答案】考点：余弦定理．【一题多解】由题意三点共线，且，则，根据角平分线的性质，所以，222221214416()339999AD AD AC AB AC AB AC AB ==+=++⋅=，所以.16.四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是____________．【答案】20 【解析】试题分析：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为，则有2222222254150a b a c a b c ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得，，，所以三棱锥的体积为－＝20．考点：1、棱锥的体积；2、长方体的性质．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列的首项，且满足)(0)1(11*++∈=+-N n a a a n n n ．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和．【答案】（1）；（2）．考点：1、等差数列的定义；2、数列的通项；3、错位相减法．【易错点睛】用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．18.（本小题满分12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如图所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在记2分，用表示抽取结束后的总记分，求的分布列和数学期望．【答案】（1）分数在的有人，并且的可能取值为0,1,2,3,4. ......................7分则；，590207)2(260227118115=+==C C C C P ξ；；. ..........................9分所以的分布列为...................................11分1.2590514295813590207211827111870)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . ........................12分考点：1、频率分布直方图；2、平均分；3、分布列；4、数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱，是侧棱的中点.（1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）见解析；（2）．试题解析：（1）证明：如图，在矩形中，E为中点且，，（2）解：方法一：因为平面，所以平面⊥平面，所以只需在平面内过点作于，而平面. 如图，过作于，连接，则就是二面角的平面角. .....................8分在中，55211111=⋅==BC B C EB BC S EF EBC △，所以5532211=-=EF E C F C . 在中，1030sin 1111=⋅=∠⋅=AC AB F C G FC F C FG . ..................10分设平面的一个法向量为，则，同理可得，平面的一个法向量为， ..................10分代入公式有：515353,cos =⋅>=<n m ，所以二面角的平面角的正切值大小为. .................12分考点：1、空间垂直关系的判定；2、二面角．20.（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，作直线交椭圆于两点，为线段的中点，为坐标原点，设直线的斜率为，直线的斜率为，.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与轴交于点，且满足，当的面积最大时，求椭圆的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（2）由（1）知，得，可设椭圆的方程为：，设直线的方程为：，代入椭圆的方程有06634)32(222=-+-+c my y m ，.......6分因为直线与椭圆相交，所以0)66)(32(448222>-+-=∆c m m ，由韦达定理：，．又，所以，代入上述两式有：，..........8分所以32)66)(32(448232*********+-+-=∆=-=∆m c m m a y y OD S OPQ ..................9分2633211832182≤+=+=m m m m， .......................10分当且仅当时，等号成立，此时，代入，有成立，所以所求椭圆的方程为：. .........................12分考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式．【方法点睛】直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去后得到关于的一元二次方程．当时，直线与圆锥曲线相交，设交点为，，直线的斜率为，则直线被圆锥曲线截得的弦长212||()AB x x =+．21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若恒成立，试确定实数的取值范围；（2）证明：)2,(410)11(1ln 154ln 83ln 32ln 22≥∈++<++-+⋅⋅⋅+++*n N n n n n n n n ．【答案】（1）；（2）见解析．考点：1、导数与最值的关系；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】由函数的极值、最值逆求参数的值(或取值范围)问题，往往需要对参数进行分类讨论，如何划分参数讨论的区间成为思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数的符号能够确定为正或为负．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，在中，于，于，交于点，若，．（1）求证：；（2）求线段的长度．【答案】（1）见解析；（2）．即3053532=⨯+⨯=⋅+⋅=BE BF CD CF BC ， ........................8分所以. . ..................10分考点：1、四点共圆；2、割线定理．23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线的参数方程为：为参数），直线的参数方程为：为参数），点，直线与曲线交于两点.（1）写出曲线和直线在直角坐标系下的标准方程；（2）求的值．【答案】（1）曲线的标准方程为：；直线的标准方程为：．（2）．考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与椭圆的位置关系．24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）设函数a x x x f --++=21)(的定义域为，试求的取值范围；（2）已知实数满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）．考点：1、绝对值不等式的解法；2、柯西不等式．。

数学分析课程模拟试卷

浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷1一、（10分）1．求极限。

2．设求二、（10分）1．设，试证明2．设在上上连续，在内存在，试证明存在，使得三、（15分）1．求数项级数的和S。

2．试证明是（）上的连续函数。

四、（15分）1．设方程组，确定了可微函数试求.2.设求.五、（30分）1．计算定积分.2．求以曲面为顶，以平面为底，以柱面为侧面的曲顶柱体的体积V.3．设表示半球面的上侧，求第二类曲面积分六、（20分）1．将函数展开成Fourier级数。

2．求级数的和3．计算广义积分浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷2一、（20分）1、证明：数列是收敛的，其中表示以自然底数为底的对数。

2、计算：。

二、（15分）设是闭区间[]上的的连续函数，对任一点，存在趋于零的数列{}，使得证明函数为一线性函数。

三、（15分）设是（）上的无处可导的连续函数，试以此构造连续函数，在（）上仅在两点可得，并且说明理由。

四、（15分）设1，求以及；2，问，在原点是否连续？在原点是否可微？试说明理由。

五、（20分）设在[]的任何闭子区间[]上黎曼可积，且收敛，证明：对于常数，成立六、（15分）计算曲面积分其中，常数。

七、（15分）设V为单位球：，又设为不全为零的常数，计算：。

八、（20分）设函数，证明级数收敛。

九、（15分）设在[]上可微，。

若有常数，使得对任意，有。

证明在。

浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷3一、（10分）计算定积分。

二、（10分）设在[0，1]上Riemann可积，且，计算：。

三、（15分）设为实数，且。

试确定的值，使得。

四、（15分）设在[]上连续，且对每一个，使得。

证明：存在，使得。

五、（20分）（1）设在[]上连续，且收敛。

证明：存在数列，条件。

（2）设在[]上连续，，且。

问：是否必有？为什么？五、（15分）设在[]上具有二阶连续导续，且已知和均为限数。

证明：、（1）对任何的，均成立；（2）也是有限数，并且满足不等式.七、（10分）设在任何有限区间上Riemann可积，且收敛。

数学分析(1)期末模拟考试题(单项选择部分)

单项选择题一、函数 1. 设()⎩⎨⎧>≤=.1,0,1,1x x x f 则()[]{}x f f f 等于( B ).(A) 0; (B) 1; (C) ⎩⎨⎧>≤.1,0,1,1x x ; (D) ⎩⎨⎧>≤.1,1,1,0x x2. 设()⎩⎨⎧>+≤-=.0,2,0,2x x x x x g ()⎩⎨⎧≥-<=.,,0,2x x x x x f 则()[]=x f g ( D ).(A) ⎩⎨⎧≥-<+.0,2,0,22x x x x ; (B) ⎩⎨⎧≥+<-.0,2,0,22x x x x ; (C) ⎩⎨⎧≥-<-.0,2,0,22x x x x ; (D) ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x3. 若f 为连续奇函数,则()x f sin 为( A ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.4. 若f 为连续奇函数,则()x f cos 为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.5. 若()()()x f x f x g --=,则g 为( A ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.6. 若f 为连续偶函数,则()x x f sin -为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.7. 若f 为连续偶函数,g 为非负偶函数,则g f 为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.8. 设()xex x x f cos sin ⋅=,则在()+∞∞-,上()x f 是( D )(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 偶函数. 8. 设()⎩⎨⎧>+≤=.0,,0,22x x x x x x f 则( D ).(A) ()()⎩⎨⎧>+-≤-=-.0,,0,22x x x x x x f (B) ()⎩⎨⎧>-≤+-=-.0,,0),(22x x x x x x f(C) ()⎩⎨⎧>-≤=-.0,,0,22x x x x x x f (D) ()⎩⎨⎧≥<-=-.0,,0,22x x x x x x f9.设()1,0∈x 则下列选项正确的是( B ).(A) ()x x ln ln sin <; (B) ()x x ln ln sin >; (C) ()x x ln ln sin ≤; (D) (A)、（B ）、（C ）都不正确.10 设1121x f x x ⎛⎫-=⎪-⎝⎭,则()f x =( C )(A)11x+; (B) 1x-; (C)11x-; (D) 以上都不对.11 下列各对函数中,相同的是( D )(A) ()cos f x x =与()g x = (B) ()f x =()g x =;(C) ()x f x x=与()1g x =; (D) ()()2ln 1x x f x x-与()()ln 1x g x x-=.12. 将函数()22f x x =--表示为分段函数时,()f x =( B ) (A) 4,0,x x x x -≥⎧⎨<⎩; (B) 4,2,2x x x x -≥⎧⎨<⎩; (C) 4,04,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩; (D) 4,24,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩ .13. 设()132x f x x -=-与()g x 的图形关于直线y x =对称,则()g x =( A )(A)123x x ++; (B) 132x x --; (C)312x x++; (D)213x x--.14. 已知()f x 的定义区间是()0,1,则函数( D )的定义区间仍为()0,1. (A) ()()11f x f x ++-; (B) ()2f x ; (C) ()()11f x f x +⋅-; (D) 11x f x -⎛⎫⎪+⎝⎭. 15. 函数()y f x =与()y f x =-的图形关于( A )(A) x 轴对称; (B) y 轴对称; (C) 原点对称; (D) y x =对称.16. 设函数(()log 0,1a y x a a =+>≠,则该函数是( A )(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非奇非偶函数; (D) 既是奇函数又是偶函数.二、数列极限1. 已知2lim >=∞→A a n n ,则正确的选项是( B ).(A) 对+N ∈∀n ,有2>n x ; (B) +N ∈∃N ,当N n >时,有2>n a ;(C) N N N >∃N ∈∀+0,,使20=N x ; (D) 对2,≠N ∈∀+n a n .2. 设+N ∈∃N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞→lim ,B b n n =∞→lim .则正确的选项是: ( A ).(A) B A ≥; (B) B A ≠; (C) B A >; (D) A 和B 的大小关系不定. 3. 若()0tan 1lim1cos1≠=---∞→a neknn π,则 ( A )(A) 2=k 且π21=a ; (B) 2-=k 且π21=a ;(C) 2=k 且π21-=a ; (D) 2-=k 且π21-=a ;4. 设32lim 1knn en -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则k =( C )(A) 3/2; (B) 2/3; (C) -3/2; (D) -2/3.5. 设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=,则下列命题正确的是( D )(A) 若{}n x 发散,则{}n y 必然发散; (B) 若{}n x 无界,则{}n y 必然有界; (C) 若{}n x 有界,则{}n y 必为无穷小量; (D) 若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为无穷小量,则{}n y 必为无穷小量.三、函数极限 1. 极限=+-∞→3321213limx x x ( D ).(A)323; (B) 323-; (C) 323±; (D) 不存在.2. 极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→210sin lim x x x x ( A )(A) 13e-; (B) 13e ; (C) 3e -; (D) 不存在.3. 极限=-→xxx x sin lim( B ).(A) 等于1; (B) 等于1-; (C) 不存在; (D) 等于21.4. 极限()=+-+∞→122lim22x x x x ( D )(A) 221; (B) 21; (C) 221-; (D) 不存在.5. 极限=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1x x e x ( A )(A) 1; (B) 1-; (C) 0; (D) 不存在. 6 若极限()x f x x 0lim →存在,则( B )(A)()()00lim x f x f x x =+→;(B) ,0>∃M 及0>δ,当()δ;00x Ux ∈时,()M x f ≤;(C) ,0>∃M 及0>δ,当()δ;0x U x ∈时,()f x M >; (D),0>∃M ()M x f ≤.7. 若()A x f x x =-→0lim ,且0<A ,则( C )(A) ∃0>δ,当()δ;0x U x ∈时,恒有()0<x f ; (B) ∃0>δ,当δ<-0x x 时,恒有()0<x f ; (C) ∃0>δ,当00<-<-x x δ时,恒有()0<x f ; (D) ∃0>δ,当δ->-0x x 时,恒有()0<x f . 8．设f 在()U 内有定义.()x f x +∞→lim存在的充要条件是:对数列{}⊂n x()U且=∞→n n x lim,()lim n n f x →∞都且相等.正确的选项是( C )(A) 0x ,∃,0x ,∞,∀; (B) ∞,∀ ,∞,0x ,∃;(C) ∞+,∀,∞+,+∞,∃; (D) ∞+,∃,∞+,0x ,∃.9. 设k 为正整数,极限=-++→xkx x e xe 2132lim( D )(A)32; (B) 0; (C) 与k 的奇偶性有关; (D) 不存在.10 若()32211lim21x xa bx x →∞+++=-+,则常数,a b 分别为( C ).(A) 0,2; (B) 1,-2; (C) -1,-2; (D) 以上对不对. 11 已知212lim31x x ax x →-+=-,则当1x →时,22x ax -+( B )(A) 与1x -是等价无穷小; (B) 与1x -是同阶无穷小但不等价; (C) 是比1x -较高阶的无穷小量; (D) 是比1x -教低阶的无穷小量.12. 若()()()97350211lim81x x ax x→∞++=+,则常数a =( C )(A) 1; (B) 8; (C) 2; (D) 以上都不对.13. 函数()()1122,1ln 1,11,sin ,1x ex f x x x x x x -+⎧<-⎪⎪=--<<⎨⎪≤⎪⎩当( D )时为无穷大量.(A) x →-∞; (B) x →+∞; (C) 1x →; (D) 1x →-. 14. 若()()lim ,lim x ax af xg x →→=∞=∞,下列式子成立的是( D )(A) ()()lim x a f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦; (B) ()()lim 0x a f x g x →-=⎡⎤⎣⎦; (C) ()()1lim0x af xg x →=+; (D) ()1lim0x af x →=.15. 设()232xxf x =+-,则当0x →时( B )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 ; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小量; (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量. 16. 下列各式正确的是( C )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭; (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ;(C) 11lim 1xx e x -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭; (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.17. 当0x →时,等价的无穷小量是( A )(A) x ; (B) 2x ; (C) 2x ; (D) 22x .18. 若当0x →时,11x ax e bx +-+是2x 的高阶无穷小,则( D )(A) 0,0a b ==; (B) 1,1a b ==; (C) 11,22a b =-=; (D) 11,22a b ==-.四、连续函数 1. 设函数()bxea x x f +=在()+∞∞-,内连续,且()0lim =-∞→x f x ,则常数b a ,满足( D ).(A) 0,0<<b a ; (B) 0,0>>b a ; (C) 0,0>≤b a ; (D) 0,0<≥b a .2. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.0,0,0,sin 11x x xex f x则0=x 是函数()x f 的( D )(A) 连续点; (B) 第一类间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.3. 设()xxe x e x xf 2152sin 1++++=,则0=x 是()x f 的（ B ）（A ）可去间断点；（B ）跳跃间断点；（C ）无穷间断点；（D ）震荡间断点. 4. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧==≠≠-=-.10,01,0,111x x x x e x f x x或且则( B )(A) 0=x 与1=x 均为()x f 的可去间断点;(B) 0=x 为()x f 的无穷间断点;1=x 为()x f 的第一类间断点,但不为可去间断点; (C) 0=x 为()x f 的无穷间断点;1=x 为()x f 的可去间断点; (D) 0=x 和1=x 均为()x f 的第一类间断点.5. 设()x f 与()x ϕ均为()+∞∞-,上有定义的函数,()x f y =在()+∞∞-,上连续且()0≠x f ,()x y ϕ=有间断点,则下列选项中正确的是( D )(A)()[]x f ϕ有间断点；(B)()()x f ϕ有间断点; (C) ()[]2x ϕ有间断点; (D)()()x f x ϕ有间断点.6. 设()x y y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足处始条件()()000='=y y 的特解,则当0→x 时,函数()()x y x 21ln +的极限( C ).(A) 不存在; (B) 等于1 ; (C) 等于2; (D) 等于3. 7. 方程x e x =--21在()+∞,0内实根的个数为( B ). (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3.8 函数()()1,12ln 10,11,2x x x f x x x ⎧>≠⎪-⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩且的连续区间是( C )(A) [)1,+∞; (B) ()1,+∞; (C) [)()1,2,2,+∞; (D) ()()1,2,2,+∞.9. 设()ln,1,1,1x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()f x 在1x =处( D ) (A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 连续且()10f '=; (D) 连续且()11f '=.10. 设()21cos sin ,0,1,0x x x f x xx x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩则0x =是()f x 的( D ) (A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 振荡间断点; (D) 连续点.11 设函数()()1,0,0mx kx x f x a x ⎧⎪+≠=⎨=⎪⎩,若函数()fx 在0x =连续,则常数a =( D ).(A) m e ; (B) k e ; (C) km e -; (D) km e .五、导数与微分 1. 若极限()()A eh a f ha f hh =-+--→1lim222,则函数()x f 在a x =处( A )(A) 不一定可导; (B) 不一定可导,但()A a f ='+; (C) 不一定可导,但 ()2A a f ='-; (D) 不一定可导,但()A a f ='-.2. 若极限()1lim1h f a f a h A →+∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-,则函数()x f 在a x =处( C ) (A) 可导,且()2A a f =' (B) 不一定可导,但()2A a f ='+;(C) 不一定可导,但 ()2A a f ='-; (D) 不一定可导,但()A a f ='-.3. 若极限()()A eh a f ha f hh =-+--→1lim222,()()B ha f ha f h =--→22lim则函数()x f 在a x =处( B )(A) 不可导; (B) ()A B a f -='+; (C) ()A B a f -='-; (D) ()B A a f -='-. 4. 设函数f 是可导函数,则( A )(A) f 为奇函数时,f '为偶函数; (B) f 为单调函数时,f '为单调函数; (C) f 为非负函数时,f '也为非负函数; (D) f '为连续函数.5. 设()x f ,0>δ在区间()δδ,-内有定义,若当∈x ()δδ,-时,恒有()2x x f ≤,则0=x 必是f 的( C )(A) 间断点; (B) 连续而不可导的点; (C) 可导点,且()00='f ; (D) 可导的点,且()0≠'x f .6. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2,1,112x x x x x f 则在1=x 处,函数()x f ( ) (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续7. 设雨滴为球体状,若雨滴聚集水份的速率与表面积成正比,则在雨滴行成过程中(一直保持球体状),雨滴半径的增加率( D )(A) 与球体体积的立方根成正比 (B) 与球体半径成正比 (C) 与球体体积成正比 (D) 为一常数.解因为表面积()24,S r t π=体积()343Vrt π=，其中t 为时间,球体体积增长的速率()()24V rt r t π''=，而已知()24V kSk rt π'==，故答案为D 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第1学期模拟试卷１一、填空题（１5分,每小题3分）１. 252limsin 32x x x x→∞+=+ ．２. 用( , )L M 语言叙述lim ()x f x →-∞=+∞的定义 :3．数集(1)1n n n N n +⎧⎫--↓∈⎨⎬+⎩⎭的上确界是，下确界是 . 4．设1(1)1y x x =≠-+,则n 阶导数=)(n y ． 5．定积分1251||(sin )x x x dx -+=⎰ .二、选择题（15分，每小题３分）1. 设1(), ()11xf xg x x-==+则当1x →时 ( ) ．（A ）()f x 与()g x 为等价无穷小;(B ）()f x 与()g x 为同阶无穷小但不等价;（C)()f x 是()g x 的高阶无穷小；（Ｄ)()f x .是()g x 的低阶无穷小；2.. 当x →+∞时 ()f x 不以a 为极限的定义是( ） (A ）；0, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∀>-≥;(B ）000, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∃>-≥;ﻩ （C ）00000, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∃>-<； (D ）0000 0, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∃>-≥. 3．数集{}(1,0.1) 0 ( 0.1 ,1 )A =--的所有聚点的集合是 ( )(Ａ)A ；（B){} [1,0.1 ] 0 [ 0.1 ,1 ]--；ﻩ(Ｃ) [1,0.1 ][ 0.1 ,1 ]-- ；（D) (1,0.1)( 0.1 ,1 )--；4. 设)(x f 在0x =处二阶可导,且 0()lim1x f x x→'=, 则( )．（Ａ)0x =是)(x f 的极小值点； (B ）0x =是)(x f 的极大值点;(Ｃ）(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点；（Ｄ). 以上都不是。

5. 设)(x f 是周期为T 的连续函数，则下列函数为周期函数的是( ). (A)0()()x F x f t dt =⎰; (B)0()()x TF x f t dt +=⎰;( C ) 0()()x F x f t T dt =+⎰; （D ）()()x T xF x f t dt +=⎰．三、求极限(12分,每小题６分）１.11lim()1ln x x x x→-- 2. tan 01lim xx x +→⎛⎫⎪⎝⎭四、求不定积分（1２分,每小题6分) 1．5sin x dx ⎰ 2.ln(1) x x dx +⎰．五、计算定积分（12分,每小题6分）１． 2．10x ⎰六、(8 分)设21sin x +是)(x f 的一个原函数，求4(2) x f x dx π'⎰七、(10分)设曲线 2y x =(01)x ≤≤ 和直线 1 , 0y x == 围成平面图形D 。

（ 1 ) 求D 的面积; ( 2 )求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积; ( ３ ) 求D 绕直线 1x = 旋转而成的旋转体的体积. 八、(８分)设)(x f 在[] 0, 1 上二阶可导，(0)(1) , (1)1,f f f '==求证：( 0, 1 )ξ∃∈ 使 ()2f ξ''=.九、(8分). 利用确界存在定理证明闭区间套定理:设 {}, n n a b ⎡⎤⎣⎦ 为闭区间套,则{},n n ab ⎡⎤⎣⎦ 必存在唯一的公共点。

第1学期模拟试卷１答案一、填空题（１5分，每小题３分）1． 252limsin 32x x x x →∞+=+232. 用( , )L M 语言叙述lim ()x f x →-∞=+∞的定义 :0, 0, , ()L M x M f x L ∀>∃>∀<->3．数集(1)1n n n N n +⎧⎫--↓∈⎨⎬+⎩⎭的上确界是 13 , 下确界是2-４．设1(1)1y x x =≠-+，则n 阶导数=)(n y 1(1)!(1)n n n x +-+. 5.定积分1251||(sin )x x x dx -+=⎰12二、选择题（15分，每小题3分)１. B 2．. D 3. C 4. A 5. D 三、求极限（１２分,每小题6分）1.11lim()1ln x x x x→-- ＝1111ln 1ln 11ln ln 11lim lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 22ln (1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→→→→-++-+====-+-++- 2． tan 01lim xx x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭＝20001sin ln ln sin lim (tan ln )limlimlim limcos csc csc cot cos 1x x x x x x x xxx x x x x x x x x e e eee+++++→→→→→---=====四、求不定积分（12分,每小题6分）1．5sin x dx ⎰ﻩ422sin (cos )(1cos )(cos )xd x x d x =-=--⎰⎰243521(12cos cos )(cos )cos cos cos 35x x d x x x x C =--+=-+-+⎰ﻩ2. ln(1) x x dx +⎰.=222111ln(1)()ln(1)2221x x d x x x dx x+=+-+⎰⎰2221111ln(1)(1)ln(1)ln(1)22124x x x x dx x x x x C x ⎡⎤=+--+=++-+-+⎣⎦+⎰ 五、计算定积分（12分,每小题６分) 1．24204cos sin (cos sin )(sin cos )1)x x dx x x dx x x dx ππππ=-=-+-=⎰⎰⎰2．1x⎰.（sin x t =) 2222200011sin cos cos sin 2(1cos 4)48t t tdt tdt t dt πππ===-⎰⎰⎰=2011sin 8416t t ππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦六、（8 分）设21sin x +是)(x f 的一个原函数,求4(2) x f x dx π'⎰解１()2()1sin sin 2 ,f x x x '=+=4440011 (2) (2) (2) (2)22x f x dx x f x d x x df x πππ''===⎰⎰⎰解2 ()2()1sin sin 2 , 2 , 2d d f x x x x t x t '=+===42200011 (2) () ()44x f x dx t f t dt t df t πππ''==⎰⎰⎰[]220011()()44tf t f t dt ππ=-⎰ [][]22200011111sin 2sin 2cos 2(cos cos 0)44884t t tdt t ππππ=-==-=-⎰ 七、（10分)设曲线 2y x =(01)x ≤≤ 和直线 1 , 0y x == 围成平面图形D 。

（ 1 ) 求D 的面积; ( ２ )求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积;( 3 ）求D 绕直线 1x = 旋转而成的旋转体的体积.解 1312002(1)133x A x dx ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰122014()55x V x dx πππππ=-=-=⎰21112000(1,5(1(16dV dy dy V dy dy y dy πππππππ=-=-=-+-=⎰⎰⎰另解平移坐标 1,,x u y v =+= 曲线方程为2(1),1,v u u =+=11251)(16V dv v dv πππππ=-=-+-=⎰⎰ 八、(8分)设)(x f 在[] 0, 1 上二阶可导，(0)(1) , (1)1,f f f '==求证：( 0, 1 )ξ∃∈ 使 ()2f ξ''=.证1 令2()(),F x f x x x =-+ 则 []()0,1(0,1),F x C D ∈ (0)(1)F F =由洛尔定理知 (0,1), ()0F ηη'∃∈=()()21F x f x x ''=-+, []()0,1(0,1)F x C D '∈, (1)(1)10()F f F η'''=-==由洛尔定理知 (0,1), ()0, ()()2, ()2F F x f x f ξξξ''''''''∃∈==-= 证2 令2()(),F x f x x =- []()0,1(0,1),F x C D ∈ 由拉格朗日定理知(0,1), ()()(10)(1)(0)1,F F F F ηηη''∃∈=-=-=-[]()0,1(0,1),F x C D '∈ (1)(1)21(),F f F η'''=-=-= 由洛尔定理知 (0,1), ()0, ()()2, ()2F F x f x f ξξξ''''''''∃∈==-= 证3 在1x =展开为一阶泰勒公式2111()(1)(1)(1)()(1), (,1)2f x f f x f x x ξξ'''=+-+-∈ 1(0)(1)(1)(), (0,1)2f f f f ξξ'''=-+∈ 因(0)(1) , (1)1,f f f '== 故 (0,1), () 2 f ξξ''∃∈=证4 令 21()()()2F x f x x =--, 用两次洛尔定理。

证5 令 2()()()F x xf x x f x '=--, 用一次洛尔定理。

九、（8分). 利用确界存在定理证明闭区间套定理：设{},n n ab ⎡⎤⎣⎦ 为闭区间套，则 {}, n n a b ⎡⎤⎣⎦ 必存在唯一的公共点。

证 (存在性) 因[]{},n n a b 为闭区间套,故1221n n a a a b b b ≤≤≤<≤≤≤因{}n a 有上界1b ,故由确界存在定理知{}n a 必有上确界，设它为ξ; 则由上确界定义有, ;n n N a ξ+∀∈≤因()n b n N +∀∈都是{}n a 的上界，而ξ是的最小上界,故, n n N b ξ+∀∈≤; 因此,,, n n n N a b ξ+∀∈≤≤，从而有[]1,.n n n a b ξ∞=∃∈(惟一性) 若另 []1,.n n n a b η∞=∃∈, 则0n n b a ξη≤-≤-, 因lim()0n n n b a →∞-=故,ξη= 从而有[]{}1,.n n n a b ξ∞==。