邻接矩阵与可达矩阵计算
可达矩阵快速算法
传递闭包Warshall方法计算可达矩阵简要介绍①在集合X上的二元关系R的传递闭包是包含R的X上的最小的传递关系。
R的传递闭包在数字图像处理的图像和视觉基础、图的连通性描述等方面都是基本概念。
一般用B表示定义在具有n个元素的集合X上关系R的n×n二值矩阵，则传递闭包的矩阵B+可如下计算： B+ =B + B2 + B3 + ……+ (B)n②式中矩阵运算时所有乘法都用逻辑与代替，所有加法都用逻辑或代替。
上式中的操作次序为B，B(B)，B(BB)，B(BBB)，……，所以在运算的每一步我们只需简单地把现有结果乘以B，完成矩阵的n次乘法即可。
/ism/cal_warshall_get_r_mat_detail.phpWarshall在1962年提出了一个求关系的传递闭包的有效算法。
其具体过程如下，设在n个元素的有限集上关系R的关系矩阵为M：（1）置新矩阵A=M;（2）置k=1;（3）对所有i如果A[i,k]=1，则对j=1..n执行：A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j];（4）k增1;（5）如果k≤n，则转到步骤（3），否则停止。
所得的矩阵A即为关系R的传递闭包t(R)的关系矩阵。
在《离散数学》中都提及了该算法。
Warshall算法映射到有向图中设关系R的关系图为G，设图G的所有顶点为u1,u2,…,un，则t(R)的关系图可用该方法得到：若G中任意两顶点ui和uj之间有一条路径且没有ui到uj的弧，则在图G中增加一条从ui到uj的弧，将这样改造后的图记为G’，则G’即为t(R)的关系图。
G’的邻接矩阵A应满足：若图G中存在从ui到uj路径，即ui与uj连通，则A[i,j]=1，否则A[i,j]=0。
这样，求t(R)的问题就变为求图G中每一对顶点间是否连通的问题。
相乘矩阵，就为所有节点的关系图，也就是当前条件下的关系矩阵。
对于相乘矩阵，进行叠代，叠代的过程为，行取值，然后计算值中对应的每一行的值取并集，得到当前行的关系集合。
邻接矩阵求可达矩阵
邻接矩阵求可达矩阵邻接矩阵是图论中一种常用的表示图结构的方法，它将图中的顶点和边转化为一个矩阵。
邻接矩阵求可达矩阵是指通过邻接矩阵来计算图中各个顶点之间的可达关系。
在本文中，我们将详细介绍邻接矩阵的概念、构建方法以及如何通过邻接矩阵求得可达矩阵。
邻接矩阵的定义与构建邻接矩阵是一个方阵，其中行和列表示图中的顶点，而每个元素表示两个顶点之间是否存在边。
对于无向图来说，如果两个顶点之间存在边，则对应的元素值为1；如果不存在边，则元素值为0。
对于有向图来说，如果从顶点i到顶点j存在一条有向边，则对应的元素值为1；否则为0。
下面是一个示例无向图和其对应的邻接矩阵：无向图示例：A/ \B---C---D/ \E-------F邻接矩阵：A B C D E FA 0 1 0 0 0 0B 1 0 1 0 1 0C 0 1 0 1 0 1D 0 0 1 0 0 0E 0 1 0 0 0 1F 0 0 1 0 1 0邻接矩阵的构建方法比较简单，首先需要确定图中顶点的数量n，然后创建一个n×n的矩阵。
接下来，遍历图中的边集合，对于每一条边(u, v)，将邻接矩阵中第u行第v列和第v行第u列的元素置为1。
可达矩阵的定义与求解可达矩阵是通过邻接矩阵计算得到的，用于表示图中任意两个顶点之间是否存在路径。
如果从顶点i到顶点j存在一条路径，则可达矩阵中对应的元素值为1；否则为0。
可达矩阵可以通过邻接矩阵进行计算。
假设邻接矩阵为A，可达矩阵为R，则有以下递推关系式：R = A + A^2 + A^3 + ... + A^n-1其中，A^k表示邻接矩阵A自乘k次。
这个递推关系式的含义是，如果从顶点i到顶点j存在一条长度不超过n-1的路径，则可达矩阵中对应的元素值为1；否则为0。
求解可达矩阵的算法如下：1.初始化可达矩阵R为邻接矩阵A。
2.对可达矩阵R进行n-1次自乘运算，即R = R + A^2 + A^3 + … + A^n-1。
系统工程大作业资料讲解
系统工程大作业系统工程大作业班级：工程1301姓名：韦天伦学号：201304060123基于ISM/AHP方法的大学生就业难对策研究高校大学生是国家宝贵的人才资源,其就业问题, 关系到我国经济建设、社会稳定和人民群众的根本利益, 关系到高等教育的持续健康协调发展, 是我们党的执政能力建设的重要组成部分。
做好高校大学生的就业工作, 力争让每一名大学生都能及时、充分地将其所学的知识技能应用于社会实践, 既是社会主义现代化建设事业的现实要求, 也是中华民族生存发展的长远需要。
一.大学生就业难的实际情况现实中，中国大学生在数量、质量、结构上的供给均与用人单位的要求存在一定程度上的错位，从而导致大学生就业市场供求关系失去平衡。
从经济学角度上来说，就是供过于求。
每年毕业生的人数比社会上所需要的就业岗位数量多得多，而且这个差距还在逐年的增大。
有关资料表明，从2001年至2006年全国高校毕业生从110万增加到410万，是扩招前的四倍，而2009年更是达到了610万的新高度，然而用人岗位增加比例却远远小于此数目。
不仅在数量上，这种差距在结构和质量上也越来越明显，专业扎堆现象严重，热门专业人才过剩。
2007 年, 我国大学毕业生历史性地超过了495 万人, 随着大学扩招人数的激增, 一提到大学生就业难, 人们很容易把责怪的矛头对准近几年的高校扩招, 然而, 笔者认为, 高校扩招并不是大学大学生就业难的根本原因。
从高校扩招的目的来看扩招在于让更多人受到良好的教育; 从长远来看, 扩招将会制造出更多的高素质人才, 他们将为中国创造出更多的就业机会。
大学生就业难虽然已成为一个社会性问题, 但远没有达到不可救药的程度, 只是一个相对性暂时的难题。
二.解析递阶模型（ISM）的建立①相关因素的确定A 外部原因。
（1）我国整体就业形势的严峻。
（2）高等教育结构的不合理。
（3）学校缺乏对毕业生的有针对性的就业指导。
（4）社会和家人的观念。
邻接矩阵和可达矩阵关系
邻接矩阵和可达矩阵关系
邻接矩阵与可达矩阵关系如下：
一、邻接矩阵
1、定义：邻接矩阵是一种用来表示图的矩阵数据结构。
边的存在与否用元素值1和0来标识，其中元素a[i,j] = 1表示顶点vi与vj间存在一条边，反之则表示不存在。
2、特点：邻接矩阵有反对称性，即对角线全为0，除了主对角线外，其余的元素都有对称的地方。
另外，每一行或每一列之和均为图中顶点的度数。
二、可达矩阵
1、定义：可达矩阵也称为传递闭包矩阵，是用来描述某一图中任意2点之间是否可以通过一系列边建立起连接关系的矩阵数据结构。
2、特点：可达矩阵就是标识任意2点间可达和不可达。
如果任意一点i到任意另一点j都可以通过一系列边连接到，则A[i,j]=1并且A[i,j]>0,反之A[i,j]=0，表示不可达。
三、关系
1、邻接矩阵是用来表示边的存在与否，而可达矩阵用来描述任意2点之间是否可以通过一系列边建立起连接关系。
2、可达矩阵是由邻接矩阵推演得出，可达矩阵本质上是邻接矩阵的“幂”，即可以将可达矩阵看作是邻接矩阵的有向图的传递闭包。
3、邻接矩阵中任意元素a[i,j]=1,表示顶点vi和vj间存在一条边，而可达矩阵中任意元素A[i,j]=1,表示2个点可以通过一系列边建立起连接关系。
4、可达矩阵反映的是可达关系，而邻接矩阵反映的是边的存在关系。
小学科学课程多学科融合设计的ISM分析方法——以STEAM科学项目为例
-063-2021年第10期（总第262期）教学案例JIAOXUE ANLI引 言2017年，教育部重新修订的《义务教育小学科学课程标准》明确指出，小学科学课程应重视对学科综合素质的培养，并鼓励教师在教学实践中尝试运用STEAM 教育理念。
一、小学科学课程中STEAM 科学项目内容分析中存在的问题在STEAM 科学项目中，教学设计应体现跨学科融合的概念。
但在科学教学实践中，很少有教师能够独立进行教学设计，大多数教师直接借用他人的教案或对他人的教案进行加工处理，缺乏深入的思考和分析［1］。
针对STEAM 科学项目，教师在分析教材、设计教案的过程中，往往无法凭借以往的直观经验判断各学科知识在项目中的层级结构，进而无法确定教学层级。
教师在不清楚各目标层级结构的情况下，直接沿用传统的教学方案，不仅无法达到STEAM 项目应有的教学效果，还容易出现学科间知识不融合的情况。
教师应重视科学实践项目，学会把一体化的STEAM科学项目目标分解到对应学科中，分析项目中各知识点的关系，对各学科内容和目标的教学层次进行科学划分。
二、ISM 分析法及思路解释结构模型（Interpretive Structural Model），简称ISM 分析法，作为一种系统建模的分析工具，可以将教材的系统知识结构还原并清晰地呈现出来，帮助教师从整体上聚焦知识点、发挥教材的整体性功能。
ISM 分析法已被证实有助于教师进行教学设计。
利用ISM 分析法进行教材分析的最大优势是把教材中知识要素之间支离破碎、杂乱无章的关系梳理成客观、清晰的多级递阶结构模型，使教材分析由主观研究直接转化为量化研究，提高了项目分析的科学性，尤其适用于STEAM 项目中多学科融合的内容分析。
本文以2017年人民教育出版社和湖北教育出版社出版的小学科学三年级教科书为例，针对其中第六单元的“动力小车”进行ISM 分析。
三、应用ISM 分析法进行科学项目分析的操作过程第一步，找出影响系统问题的主要元素，抽取教学子目标；第二步，考虑因果等关系的传递性，建立反映诸要素间关系的邻接矩阵；第三步，寻找元素之间的其他通路，即通过邻接矩阵求可达矩阵；第四步，对可达矩阵进行数据处理，得到层级关系，并画出层级结构图。
关于由邻接矩阵求可达性矩阵的方法
关于由邻接矩阵求可达性矩阵的方法
邻接矩阵是一种用于表示无向图和有向图的数据结构。
它使用于在连通图中查询结点
的连接关系，因此很多算法都要使用它。
邻接矩阵可以用来求可达性矩阵，所谓可达性矩
阵是指在一个有向图中，能够从给定的起点到达任何一个节点的可达性矩阵。
这种矩阵描
述了给定起点与任意顶点之间的可达性问题。
求可达性矩阵需要根据邻接矩阵来推导和求解，求可达性矩阵的关键是确定对应可达
性概率，可以记为A。
通常我们用Aij来表示从结点Vi出发可以到达结点Vj的概率大小。
如果某组Vi和Vj之间有有向边，则Aij=Cij，其中Cij表示边(Vi,Vj)上概率参数权重；否则Aii=1，即起点终点相同时概率为1；而Aij=0，即表明Vi和Vj之间没有有向边，穿越Vj无法到达Vi。
以上就是求可达性矩阵的基本概念，由邻接矩阵求可达性矩阵的方法是：
1.用邻接矩阵表示每条边的概率权重，构建C矩阵；
2.初始化A矩阵，Aii=1，Aij=Cij(Vj-->Vi)；
3.重复执行以下步骤：
1)计算A*A矩阵，即表示从Vi出发可以到达Vj的概率大小；
2)用A*A与原A矩阵进行比较，如果结果发现A*A大于A，则将A*A赋值给A；
3)重复2)步骤，直到A*A与原A矩阵相等，表明A矩阵的收敛；
4.最终的A矩阵就是可达性矩阵。
由邻接矩阵求可达性矩阵有着很高的计算效率，因为它不需要遍历图中每条边，也不
需要维护额外的变量表示路径。
因此，使用邻接矩阵来求可达性矩阵是一种非常高效的方法，也是很多算法中使用得最多的方法。
邻接矩阵求可达矩阵
邻接矩阵求可达矩阵孙悟空一、引言邻接矩阵是图论中常见的图表示方法之一。
可达矩阵则是在邻接矩阵的基础上进行扩展，用于表示图中任意两个顶点之间的可达性。
本文将深入探讨邻接矩阵求可达矩阵的算法原理与实现方法，以及应用场景和优缺点。
二、邻接矩阵邻接矩阵是一个二维矩阵，用于表示图中各个顶点之间的连接关系。
设图G有n个顶点，则邻接矩阵A的大小为n × n。
其中，A[i][j]的值代表顶点i和j之间的连接关系，通常为0或1。
当A[i][j]为1时，表示顶点i和j之间存在一条边；当A[i][j]为0时，表示顶点i和j之间不存在边。
2.1 邻接矩阵的表示方法邻接矩阵可以用二维数组来表示。
如果图中的顶点用数字0到n-1表示，那么可以用一个二维数组G[][]来表示邻接矩阵，其中n为图的顶点个数。
2.2 邻接矩阵的性质邻接矩阵具有以下性质： 1. 对于无向图，邻接矩阵是对称的，即A[i][j] =A[j][i]。
2. 对于有向图，邻接矩阵不一定是对称的，A[i][j]表示从顶点i到顶点j的边的存在性。
三、可达矩阵可达矩阵是在邻接矩阵的基础上进行扩展，用于表示任意两个顶点之间的可达性。
可达矩阵R的大小和邻接矩阵A相同，即为n × n。
R[i][j]的值为1时，表示顶点i能够通过一条或多条路径到达顶点j；R[i][j]的值为0时，表示顶点i无法到达顶点j。
3.1 可达矩阵的计算方法可达矩阵的计算通常采用传递闭包的方法。
传递闭包表示一个图中顶点对之间的传递关系。
如果存在从顶点i到顶点j的路径，那么传递闭包的结果中R[i][j]的值为1。
可达矩阵的计算方法如下： 1. 初始化可达矩阵R为邻接矩阵A。
2. 对于每一对顶点i和j，检查是否存在顶点k，使得R[i][k]和R[k][j]都为1。
如果存在，则令R[i][j] = 1。
3. 重复步骤2，直到R不再变化为止。
3.2 可达矩阵的应用场景可达矩阵在许多实际问题中都有广泛的应用，例如： 1. 社交网络中的好友关系分析：可达矩阵可以用于判断两个人之间是否存在友谊链，即是否通过一系列人的关系形成连接。
基于ISM的可达矩阵简易算法及实现
基于ISM的可达矩阵简易算法及实现作者：姚道洪来源：《价值工程》2015年第28期摘要：系统解释结构模型（ISM）是系统工程中广泛运用的一种分析方法，根据邻接矩阵求可达矩阵是建立多级递阶结构模型的一个重要步骤.本文从邻接矩阵和可达矩阵的定义出发，介绍了一种求可达矩阵的简易方法，并通过MATLAB编程实现。
Abstract： Interpretative Structural Modeling（ISM） is an analytic method and it is widely used in system engineering， and the calculation of reachability matrix is also the most important step of ISM. Starting from the definition of adjacency matrix and reachability matrix， this paper introduces a simple algorithm of reachalility matrix， and attached to program code.关键词：解释结构模型；邻接矩阵；可达矩阵；MatlabKey words： interpretative structural modeling；adjacency matrix；reachability matrix；Matlab中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）28-0212-030 引言解释结构模型法（Interpretative Structural Modeling Method，简称ISM），是系统分析中常用的结构模型化技术。
它将复杂系统化整为零，充分利用专家知识，将子系统结合计算机技术构建多级递阶结构模型。
在要素较多，关系错综复杂的情况下，ISM能发挥重要作用，利用有向图、矩阵、计算机技术定性地对要素间层次结构做一解释，以助于对系统做出合理评价。