初高中数学衔接知识点总结讲课稿
初高中数学衔接讲义
初高中数学衔接讲义一、课程简介本讲义旨在帮助初高中学生顺利衔接高中数学知识，提高数学成绩。
本讲义涵盖了初中数学的基础知识，并在此基础上增加了高中数学的新内容，包括函数、数列、不等式等。
通过本讲义的学习，学生将掌握高中数学的基本概念和方法，培养数学思维和解决问题的能力。
二、课程目标掌握初中数学基础知识，包括代数、几何等。
了解高中数学的新内容，包括函数、数列、不等式等。
培养数学思维和解决问题的能力，为高中数学学习打下基础。
激发学生对数学的兴趣和热情，培养自主学习能力。
三、课程内容初中数学知识回顾初中数学知识是高中数学的基础，因此在本讲义的开始，我们将对初中数学知识进行回顾。
包括代数基础知识（如代数式、方程、不等式等）、几何基础知识（如三角形、四边形、圆等）以及统计基础知识（如平均数、中位数、众数等）。
高中数学知识介绍本讲义将介绍高中数学的新内容，包括函数、数列、不等式等。
通过具体实例和练习题，帮助学生了解这些概念和方法的基本应用。
此外，本讲义还将介绍一些数学思想和方法，如分类讨论、归纳推理等。
典型例题解析本讲义将选取一些典型例题进行解析，帮助学生理解初中和高中的数学知识的应用方法和解题思路。
通过这些例题的解析，学生将掌握解题技巧和提高解决问题的能力。
数学趣味知识拓展本讲义将穿插一些数学趣味知识，包括数学历史、数学文化等方面。
这些内容将帮助学生了解数学的趣味性和实用性，激发学生对数学的兴趣和热情。
练习题及答案本讲义将提供一定数量的练习题，包括初中和高中数学知识，帮助学生巩固所学知识和提高解题能力。
同时，本讲义还将提供参考答案，供学生自我评估和纠正错题使用。
四、课程安排本讲义将根据学生的实际情况和学习需求进行安排。
一般情况下，建议按照每周2-3课时的学习进度进行学习。
具体安排可根据学生的学习能力和时间情况进行调整。
五、总结通过本讲义的学习，学生将掌握初中和高中的数学知识，培养数学思维和解决问题的能力，为高中数学学习打下基础。
初中升高中数学衔接：第1讲 乘法公式(解析版)
【第1讲】 乘法公式【根底知识回忆】知识点1 平方公式〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；〔2〕完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．〔3〕三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式〔1〕立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；〔3〕两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；〔4〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：〔1〕)416)(4(2m m m +-+〔2〕)41101251)(2151(22n mn m n m ++-〔3〕)164)(2)(2(24++-+a a a a 〔4〕22222))(2(y xy x y xy x +-++ 〔5〕22)312(+-x x【解析】〔1〕原式=333644m m +=+〔2〕原式=3333811251)21()51(nm n m -=- 〔3〕原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a 〔4〕原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=〔5〕原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二 立方公式的应用【例2】计算：〔1〕3(1)x + 〔2〕3(23)x - 【解析】〔1〕332(1)331x x x x +=+++ 〔2〕332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++探究三 整体代换【例3】13x x +=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x +． 【解析】13x x +=，所以〔1〕222211()2327x x x x +=+-=-=．〔2〕32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：〔1〕此题假设先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，那么计算较烦琐．〔2〕此题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换〞的方法计算，简化了计算．【练习3-1】2310x x +-=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x -． 【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．〔1〕222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【解析】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后作业】1．不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 〔 〕A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为〔 〕 A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，那么m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，那么k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．17x y +=，60xy =，那么22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： 〔1〕3(3)()27x x -=- 〔2〕3(23)()827x x +=+ 〔3〕26(2)()8x x +=+ 〔4〕3(32)()278a a -=-〔5〕3(2)()x +=； 〔6〕3(23)()x y -=〔7〕221111()()9432a b a b -=+ 〔8〕2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．假设2210x x +-=，那么221x x +=____________；331x x -=____________．9．2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察以下各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)n n x x x x --++++=_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．〔1〕239x x ++ 〔2〕2469x x -+ 〔3〕4224x x -+ 〔4〕2964a a ++ 〔5〕326128x x x +++ 〔6〕32238365427x x y xy y -+- 〔7〕1132a b - 〔8〕424ab ac bc --7．【解析】(1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -8．【解析】2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x ∴-=-．〔1〕222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)2(61)14x x x x =-++=-⨯+=-．9．【解析】2310x x -+= 0≠∴x31=+∴x x原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x +-++=++-+=-+=10．11n x +-。
初升高衔接数学讲义
第1章 代数式与恒等变形 1.1 四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
初高中数学衔接内容讲义
初高中衔接讲义一、整式的乘法1.乘法公式：(1) 平方差公式： ()()___________a b a b +-=；(2) 完全平方公式： 2()_____________a b ±=．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1) 立方和公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+；(2) 立方差公式： 2233()()a b a ab b a b -++=-；(3) 三数和平方公式： 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；(4) 两数和立方公式： 33223()33a b a a b ab b +=+++；(5) 两数差立方公式： 33223()33a b a a b ab b -=-+-．2．应用举例例1. 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++例2. (1).已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值(2).已知13x x-=，求331x x -的值 (3).若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m 二、因式分解1.因式分解： 2.因式分解常用方法： 3.十字相乘法 4. 应用举例例 把下列各式分解因式（1）x 2－2x ＋3； （2）－12x 2＋17x －6； （3）2)(2-+++y x y x ； （4）22()x a b xy aby -++；（5）2262x xy y +-三、二次根式1.二次根式：一般地，形如 的代数式二次根式的性质：（1）2a = =2)(a （2）)0,0(≥≥=⋅b a ab b a （3）)0,0(>≥=b a ba b a 2.（1）无理式有理式（2）分母（子）有理化3. 应用举例例1 将下列式子化成最简二次根式（1）b 12 （2）b a 2（0≥a ） （3）y x 64（0<x ） （4）20092008)25()25(-⋅+例2 计算（1）)33(3-÷ （2）x x ++112 四、分式1. （1）分式的概念形如 的式子称为分式（2）分式的性质MB M A B A ⨯⨯=; M B M A B A ÷÷=(0≠M ) 2．应用举例例1 若2)2(45++=++x B x A x x x ，求常数A,B 的值 例2已知函数1234++=x x y 可表示为]21[21++=x b a y ，求实数a,b 的值例3设0252,1,22=+->=a ac c e ac e ，求e 的值 五、绝对值1. 绝对值的代数意义：正数的绝对值是_____，负数的绝对值是_______，零的绝对值是____符号表示： a =____________2. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值表示在数轴上____________________________3. 两个实数的差的绝对值的几何意义:a b -表示在数轴上_________________________________4. 绝对值的性质：______=,它的符号为______ (2) 222()a a a -== (3) a b =⇔_________；a b >⇔_________； (4) ⇔>=)0(a a x _______________ ⇔>>)0(a a x _______________ ⇔><)0(a a x _______________5.应用举例例1.解下列方程 (1) 12x -= (2) 221x x +=-例2. 解下列不等式(1) 23x +≤ (2) 134x x -+->六、一次函数1. 一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是___________当0k >时，y 随x 的增大而_________;此时函数的图像从左到右________当0k <时，y 随x 的增大而_________;此时函数的图像从左到右________函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质称为函数的增减性(单调性).2.一次函数(0)y kx b k =+≠满足m x n ≤≤，当0k >时，y 的最大值为_________,y 的最小值为_________当0k <时，y 的最大值为_________,y 的最小值为_________2. 应用举例例1.已知函数(21)31,y a x a =++-当13x -≤≤时，y 的最大值为2，求a 的值。
初高中数学衔接讲座
【高中练习示例】
(07 广东) 已知 a 是实数， 函数 f x 2ax2 2 x 3 a ， 如果函数 y f x 在区间 1,1上有零点，求 a 的取值范围. 部分解答：
a0 8a 2 24a 4 0 1 1 1 2a f 1 0 f 1 0
（一）知识方面的衔接
5.二次方程（组） 【初中】会用因式分解法、公式法、配方法解很简 单的数字系数的四元二次方程． 【高中】不要学习。 【建议】（1）理解一元二次方程的根的判别式，并 能用判别式判定根的情况； （2）掌握一元二次方程根与系数的关系， 并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式的值， 还能构造以、为根的一元二次方程； （3）能解决二元二次方程组的相关问题．
问题 5：
3x 2 （1）求函数 y 的值域；(几何画板>>>) 2x 1
（2）试将 y ax bx c 配成 y a( x m) n 的形式；
n 2 n2 4 n2 n 4
2
【例 1】化简： （1） （3） 【例 2】化简： （1） （2）
1 2
； （2）
n 2 n2 4 n2 n 4
2
(n 2) ．
11 2 18
．
x2
1 2(0 x 1) ． 2 x
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
本文试图从
1、 2、 3、 4、
知识方面的衔接 数学思想方法的衔接 学习态度与学习方法的衔接 目前初高中数学衔接教学的误区
四个方面探讨高中新生在学习数学中存 在的问题和可能的解决对策。
一、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？ （一）知识方面的衔接(预习之前应该做的事情)
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 精品优选公开课件
高中数学与初中数学特点的变化
3 、知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量” 上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念 52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念 37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本 概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了 概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十 多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学 课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的 难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习， 而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习 工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的 内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第 三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息 量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构 进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化 ，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到 多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。 第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。
,
c x1 x2 a ,
x1x2
b2 4ac ,
a
x1 b
b2 4ac .
x2 b b2 4ac
设ax2+bx+c＝0，两根为x1、x2，则
ax2+bx+c ＝a（x－ x1）（x －x2） ＝ ax2 － a （x1+ x2 ）x+a x1 x2， 则b ＝ － a （x1+ x2 ），c ＝a x1 x2,
例3．（人教A版必修2第134页例2）已知过点M（－3，－3） 的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为 4 5 ，求 直线l的方程． 例2、例3用到解可化为一元二次方程的简单的无理方程．
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点嘿，你知道吗？初中数学和高中数学之间可是有不少衔接紧密的知识点呢！就像函数，这玩意儿在初中咱就开始接触啦。
比如说一次函数y=kx+b，当时你学的时候是不是有点费劲呀？哈哈，就像你爬一个小山坡，得一步步往上走。
到了高中呢，函数那就更复杂啦，什么二次函数、三角函数等等各种各样的。
就好像你好不容易爬上了那个小山坡，一看前面还有更高更陡的山峰在等着你呢！
再说说几何吧！初中的时候咱们学那些三角形、四边形啥的，你得弄清楚它们的性质和定理呀。
这就好比是给你一堆积木，你得知道怎么把它们拼成一个漂亮的形状。
到了高中，几何变得更深入啦，什么立体几何啊！就像是把那些积木变成了一个超级大的城堡，你得去研究它的各个面、各个角，可有意思啦！比如求解一个三棱锥的体积，哎呀呀，这可就需要运用初中的那些知识呢！
还有运算呀，初中的加减乘除就像是你的基本功，得练扎实咯。
到了高中，就像是把这些基本功组合起来变成厉害的大招！比如说解一个复杂的方程，那是需要你把初中的那些运算技巧都用上呢。
反正我觉得呀，初中数学和高中数学简直就是一脉相承。
就好像是一场接力赛，初中跑完了第一段，高中接过棒接着跑，要是初中没跑好，高中可就费劲啦！所以呀，大家一定要重视初中数学的学习，把根基打牢，这样到了高中才能更好地应对那些难题呀！我的观点就是初中数学是高中数学的重要基础，大家可要认真学哦！。
初高中数学衔接讲义
初高中数学衔接讲义摘要：一、引言1.初高中数学衔接的重要性2.初高中数学内容的差异和挑战二、初高中数学衔接策略1.知识体系的构建2.学习方法的调整3.学习态度的转变4.时间的管理和规划三、具体学科的衔接方法1.数学思维的培养2.数学运算能力的提升3.数学解题技巧的训练四、应对数学考试的策略1.熟悉考试大纲和题型2.做好复习计划和时间分配3.提高应试技巧和心理素质五、实例解析1.初高中数学衔接案例分享2.成功学员的经验总结六、结语1.初高中数学衔接的长期性和持续性2.鼓励学生勇敢面对挑战，积极学习正文：初高中数学衔接讲义一、引言随着我国教育制度的深化改革，初高中阶段的学习成为了每个学生必经的历程。
在这个阶段，数学作为基础学科之一，其重要性不言而喻。
然而，许多学生在升入高中后，往往会发现数学学科的难度有了明显的提升，初高中数学的衔接成为了一道必须要过的难关。
1.初高中数学衔接的重要性初高中数学衔接不仅关乎学生高中阶段的学习，更影响到学生的未来发展和职业生涯。
一个良好的衔接，能够帮助学生建立扎实的数学基础，培养良好的数学素养，为后续学习提供有力支持。
2.初高中数学内容的差异和挑战相较于初中数学，高中数学在知识点、难度、思维方式等方面都有了很大提升。
例如，高中数学更注重知识的体系性和逻辑性，要求学生具备较强的抽象思维和逻辑推理能力。
同时，高中数学的题型也更加丰富多样，需要学生掌握一定的解题技巧。
二、初高中数学衔接策略面对初高中数学的差异和挑战，学生需要调整自己的学习策略，以更好地适应高中数学的学习。
1.知识体系的构建学生在学习高中数学时，应重视知识体系的构建。
可以从以下几个方面入手：（1）理清知识点之间的关系；（2）把握数学概念的本质；（3）了解数学方法的应用场景。
2.学习方法的调整初高中数学的学习方法有很大差异。
初中数学侧重于模仿和记忆，而高中数学则需要学生理解概念、探索方法、总结规律。
因此，学生应调整学习方法，培养自己的独立思考和解决问题的能力。
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初高中数学衔接读本数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录1.1 数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3二次根式1.1.４分式1.2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3.两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．4.两个重要绝对值不等式：a x a x a a x a x ＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0a x 0a a问题导入：问题1：化简：（1）：12-x （2) : 31-+-x x问题2：解含有绝对值的方程 (1)642=-x ; （2） 5223=--x问题3：至少用两种方法解不等式41＞-x知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：xy =; （2）32+-=x y .例2：解不等式：431＞-+-x x练 习1、若等式a a -= , 则成立的条件是----------2、数轴上表示实数 x1,x2 的两点A,B 之间的距离为--------3、已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么1+a 表示（ ）A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和4、如果有理数x ，y 满足()01212=+-+-y x x ，则=+22y x ______ 5、若5=x ，则x=_________；若4-=x ，则x=_________．6、如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________．7、下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b>，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 8．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1、2 二次根式与分式知识清单二次根式二次根式的定义：形如a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，a0)a≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b，等是无理式，而212x++，22x y++二次根式的性质：①())0(2≥=aaa；②=2a(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩③baab•=（a≥0，b≥0）④()0,0＞bababa≥=分母有理化：一般常见的互为有理化因式有如下几类:①aa与；②bba-+a与；③bba-+a与；④ba nmbnam-+与分式：分式的意义：形如B A 的式子，若B 中含有字母，且B ≠0，则称B A为分式分式的通分与约分：当M ≠0时，M B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=,综合练习：例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．（4）()102122＜＜x x x -+（5）3131+-例2 (3．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．应用：平方差公式下列各式：①)1)(1(+--a a ；②)1)(1(a a +-；③)1)(1(+--a a ；④)1)(1(+---a a 能利用平方差公式计算的是完全平方公式 若31=+a a ，求2)1(a a -的值问题3：立方和（差）公式练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若k mx x ++212是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.2 分解因式因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）2x 2-x+6 （4）2x 2-（a+2）x+a（5）232+-x x （6）2762+-x x2．提取公因式法例2 分解因式：（1）x 2-5x ； （2） 2242ab b a - （2）)5()5(2b a b a -+-3. 公式法分解因式（1）412+-x x （2）x 2-42.1 一元二次方程知识清单1、一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax2+bx+c=0(a ≠0），其中，ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 、b 是常数。
其中a ≠0 是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次是二次。
2、一元二次方程最常规的解法是公式法，其次有因式分解和配方等方法。
3、能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。
一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫作这个方程的根）（1） 当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1,2 （2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a ； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1,2 （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．知识讲解例1：用适当的方法解方程：（1）2（x+2）2-8=0 （2）x(x -3)=x例2：判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。
（1）x 2-3x+3=0； （2）x 2-ax -1=01.选择题：（1）方程x 2-23kx+3k 2=0的根的情况是（ ）A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A.m ＜41 B 、m ＞-41 C 、m ＜41，且m ≠0 D 、m ＞41，且m ≠0 2.填空：（1）若a 为方程x 2+x -5=0的解，则a 2+a+1的值为_____。
（2）方程mx 2+x -2m=0(m ≠0)的根的情况是_____。
3.试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2-（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4.用适当的方法解下列一元二次方程；(1)x 2-5x+1=0； （2）3(x -2)2=x(x -2)；（3）2x 2-22x -5=0； （4）（y+2）2=（3y -1）22.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =2x =， 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．例 已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．练 习1．选择题：（1）方程033222=+-k kx x 的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋(2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空:（1）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ．（2）以－3和1为根的一元二次方程是 ．习题2.1A 组1．选择题:（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2（2）下列四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73 ；④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（3）关于x 的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－12．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？。