2021年中考数学复习专题练:《四边形综合 》(含答案)
2021模拟年中考数学复习专题练:《四边形综合》
1.如图①所示,已知正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE.
(1)发现:当正方形AEFG绕点A旋转,如图②所示.
①线段DG与BE之间的数量关系是;
②直线DG与直线BE之间的位置关系是;
(2)探究:如图③所示,若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形,且AD=2AB,AG=2AE时,上述结论是否成立,并说明理由.
(3)应用:在(2)的情况下,连接BG、DE,若AE=1,AB=2,求BG2+DE2的值(直接写出结果).
2.如图1,在正方形ABCD中,点E是CD上一点(不与C,D两点重合),连接BE,过点C作CH⊥BE于点F,交对角线BD于点G,交AD边于点H,连接GE,
(1)求证:△DHC≌△CEB;
(2)如图2,若点E是CD的中点,当BE=8时,求线段GH 的长;
(3)设正方形ABCD的面积为S1,四边形DEGH的面积为S2,当的值为时,的值为.
3.在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(6,0),点B(0,8).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F,记旋转角为α(0°<α<90°).
(I)如图①,当α=30°时,求点D的坐标;
(Ⅱ)如图②,当点E落在AC的延长线上时,求点D的坐标;(Ⅲ)当点D落在线段OC上时,求点E的坐标(直接写出结果即可).
4.如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,DE⊥AB于点E,过点E的直线交BC于点G,且BG=CG.
(1)求证:GD=EG.
(2)若BD⊥EG垂足为O,BO=2,DO=4,画出图形并求出四边形ABCD的面积.
(3)在(2)的条件下,以O为旋转中心顺时针旋转△GDO,得到△G′D'O,点G′落在BC上时,请直接写出G′E的长.
5.(1)【探索发现】
如图1,在正方形ABCD中,点M,N分别是边BC,CD上的点,∠MAN=45°,若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置,可得△MAN≌△MAG,若△MCN的周长为8,则正方形ABCD的边长为.
(2)【类比延伸】
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B+∠D=180°,点M,N分别在边BC,CD上的点,∠MAN=60°,请判断线段BM,DN,MN之间的数量关系,并说明理由.
(3)【拓展应用】
如图3,在四边形ABCD中,AB=AD=2,∠ADC=120°,点M,N分别在边BC,CD上,连接AM,MN,AN,△ABM 是等边三角形,AM⊥AD于点A,∠DAN=15°,请直接写出△CMN的周长.
6.(1)如图1,在△ABC中,AB>AC,点D,E分别在边AB,AC上,且DE∥BC,若AD=2,AE=,则的值是;(2)如图2,在(1)的条件下,将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度,连接CE和BD,的值变化吗?若变化,请说明理由;若不变化,请求出不变的值;
(3)如图3,在四边形ABCD中,AC⊥BC于点C,∠BAC =∠ADC=θ,且tanθ=,当CD=6,AD=3时,请直接写出线段BD的长度.
7.如图1,长方形ABCD中,∠DAB=∠B=∠DCB=∠D=90°,AD=BC=6,AB=CD=10.点E为射线DC上的一个动点,把△ADE沿直线AE翻折得△AD′E.
(1)当D′点落在AB边上时,∠DAE=°;
(2)如图2,当E点与C点重合时,D′C与AB交点F,
①求证:AF=FC;
②求AF长.
(3)连接D′B,当∠AD′B=90°时,求DE的长.
8.在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,A(0,m),B(n,
O),AC∥OB,且AC=OB,连接BC交x轴于点F,其中m、n满足方程+n2+8n+16=0.
(1)求A、B两点坐标;
(2)过A做AE⊥BC于E,延长AE交x轴于点D,动点P 从点B出发以每秒2个单位的速度向x轴正半轴方向运动,设△PFD的面积为S,请用含t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,连接PE,将△PED沿PE翻折到△PEG 的位置(点D与点G对应),当四边形PDEG为菱形时,求点P和点G的坐标.
9.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,且AB>CE.(1)如图1,连接BG、DE.求证:BG=DE;
(2)如图2,如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD,BG=BD.
①求∠BDE的度数;
②若正方形ABCD的边长是,请求出△BCG的面积.
10.【综合与实践】如图①,在正方形ABCD中,点E、F分别在射线CD、BC上,且BF=CE,将线段FA绕点F顺时针旋转90°得到线段FG,连接EG,试探究线段EG和BF的数量关系和位置关系.
【观察与猜想】任务一:“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②,当点E与点D重合,点F与点C重合时,易知:
EG与BF的数量关系是,EG与BF的位置关系是.
【探究与证明】任务二:“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置,他们分两种情况,一种是点E、F分别在CD、BC边上任意位置时(如图③);一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时(如图④),线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立.请你选择其中一种情况给出证明.【拓展与延伸】“创新小组”同学认为,若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD,且=k(k≠1)”,点E、F分别在射线CD、BC上任意位置时,仍将线段FA绕点F顺时针旋转90°,并适当延长得到线段FG,连接EG(如图⑤),则当线段BF、CE、AF、FG满足一个条件时,线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立.(请你在横线上直接写出这个条件,无需证明)
11.在平面直角坐标系xOy中,四边形OADC为正方形,点D 的坐标为(4,4),动点E沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动,同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动,连接AF、DE交于点G.
(1)试探索线段AF、DE的关系,写出你的结论并说明理由;(2)连接EF、DF,分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、
J、K,则四边形HIJK是什么特殊平行四边形?请在图①中补全图形,并说明理由.
(3)如图②当点E运动到AO中点时,点M是直线EC上任意一点,点N是平面内任意一点,是否存在点N使以O,C、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
12.综合与实践
动手操作:
第一步:在矩形纸片ABCD的边BC,AD上分别取两点E,F,使CE=AF;
第二步:分别以DE,BF为对称轴将△CDE与△ABF翻折得到△C'DE与△A'BF,且边C'E与A'B交于点G,边A'F与C'D交于一点H.
问题解决:
(1)求证:△BEG≌△DFH;
(2)请判断四边形A'HC'G的形状,并证明你发现的结论;
(3)已知tan∠EBG=,A'G=6,C'G=1,求矩形纸片ABCD 的面积.
13.如图1,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将△ACD绕C点顺时针旋转α(0°<α<360°)至△A'CD'位置.
(1)如图2,若AB=2,α=30°,求S△BCD′.
(2)如图3,取AA′中点O,连OB、OD′、BD′.若△OBD′存在,试判定△OBD′的形状.
(3)当α=α1时,OB=OD′,则α1=°;当α=α2时,△OBD′不存在,则α2=°.
14.已知矩形ABCD中,AB=2,BC=m,点E是边BC上一点,BE=1,连接AE.
(1)沿AE翻折△ABE使点B落在点F处,
①连接CF,若CF∥AE,求m的值;
②连接DF,若≤DF≤,求m的取值范围.
(2)△ABE绕点A顺时针旋转得△AB1E1,点E1落在边AD 上时旋转停止.若点B1落在矩形对角线AC上,且点B1到AD的距离小于时,求m的取值范围.
15.如图1,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接BE、DG.
(1)BE和DG的数量关系是,BE和DG的位置关系是;(2)把正方形ECGF绕点C旋转,如图2,(1)中的结论是否还成立?若成立,写出证明过程,若不成立,请说明理由;(3)设正方形ABCD的边长为4,正方形ECGF的边长为3,正方形ECGF绕点C旋转过程中,若A、C、E三点共线,直接写出DG的长.
16.如图,正方形ABCD的边长为a,射线AM是∠BAD外角的平分线,点E在边AB上运动(不与点A、B重合),点F 在射线AM上,且AF=BE,CF与AD相交于点G,连结EC、EF、EG.
(1)求证:CE=EF;
(2)求△AEG的周长(用含a的代数式表示);
(3)试探索:点E在边AB上运动至什么位置时,△EAF的面积最大.
17.问题情境:矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所在的直线相交,交点为E、F.
探究1:如图1,当PE⊥AB,PF⊥BC时,则=.
探究2:如图2,在(1)的基础上,将三角板绕点P逆时针旋转,旋转角为α,(0°<α<60°),试求的值.
探究3:在(2)的基础上继续旋转,当60°<α<90°时,将顶点P在AC上移动且使=时,如图3,试求的值.
18.在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,点D从点B 出发,以每秒3个单位的速度沿B→A→C运动,到点C停止.在点D运动的过程中,过点D作DE⊥BC,垂足为E,以DE为一边在右侧作矩形DEFG,点F在BC边上,且EF:DE=4:3,连结AG,CG,设运动时间为t(秒),矩形DEFG
与△ABC重叠部分面积为S.
(1)当AG=CG时,求t的值.
(2)当点D在边AB上运动时,求S与t的函数关系式.(3)当△ACG的面积为6时,直接写出t的值.
19.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=32,DC=24,AD=42,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒4个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒2个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;(2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
(3)是否存在时刻t,使得PQ⊥BD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
20.(1)【发现证明】
如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是BC,CD边上的动点,且∠EAF=45°,求证:EF=DF+BE.
小明发现,当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG,使AB 与AD重合时能够证明,请你给出证明过程.
(2)【类比引申】①如图2,在正方形ABCD中,如果点E,F分别是CB,DC延长线上的动点,且∠EAF=45°,则(1)中的结论还成立吗?请写出证明过程.
②如图3,如果点E,F分别是BC,CD延长线上的动点,且∠EAF=45°,则EF,BE,DF之间的数量关系是(不要求证明)(3)【联想拓展】如图1,若正方形ABCD的边长为6,AE =3,求AF的长.
参考答案
1.解:(1)①如图②中,
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,∴AE=AG,AB=AD,∠BAD=∠EAG=90°,∴∠BAE=∠DAG,
在△ABE和△DAG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴BE=DG;
②如图2,延长BE交AD于T,交DG于H.
由①知,△ABE≌△DAG,
∴∠ABE=∠ADG,
∵∠ATB+∠ABE=90°,
∴∠ATB+∠ADG=90°,
∵∠ATB=∠DTH,
∴∠DTH+∠ADG=90°,
∴∠DHB=90°,
∴BE⊥DG,
故答案为:BE=DG,BE⊥DG;
(2)数量关系不成立,DG=2BE,位置关系成立.如图③中,延长BE交AD于T,交DG于H.
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形,
∴∠BAD=∠EAG,
∴∠BAE=∠DAG,
∵AD=2AB,AG=2AE,
∴==,
∴△ABE∽△ADG,
∴∠ABE=∠ADG,=,
∴DG=2BE,
∵∠ATB+∠ABE=90°,
∴∠ATB+∠ADG=90°,
∵∠ATB=∠DTH,
∴∠DTH+∠ADG=90°,
∴∠DHB=90°,
∴BE⊥DG;
(3)如图④中,作ET⊥AD于T,GH⊥BA交BA的延长线于H.设ET=x,AT=y.
∵△AHG∽△ATE,
∴===2,
∴GH=2x,AH=2y,
∴4x2+4y2=4,
∴x2+y2=1,
∴BG2+DE2=(2x)2+(2y+2)2+x2+(4﹣y)2=
5x2+5y2+20=25.
2.证明(1)∵四边形ABCD是正方形,∴CD=BC,∠HDC=∠BCE=90°,
∴∠DHC+∠DCH=90°,
∵CH⊥BE,
∴∠EFC=90°,
∴∠ECF+∠BEC=90°,
∴∠CHD=∠BEC,
∴△DHC≌△CEB(AAS).
(2)解:∵△DHC≌△CEB,
∴CH=BE,DH=CE,
∵CE=DE=CD,CD=CB,
∴DH=BC,
∵DH∥BC,
∴.
∴GC=2GH,
设GH=x,则,则CG=2x,
∴3x=8,
∴x=.
即GH=.
(3)解:∵,
∴,
∵DH=CE,DC=BC,
∴,
∵DH∥BC,
∴,
∴,,
设S△DGH=9a,则S△BCG=49a,S△DCG=21a,
∴S△BCD=49a+21a=70a,
∴S1=2S△BCD=140a,
∵S△DEG:S△CEG=4:3,
∴S△DEG=12a,
∴S2=12a+9a=21a.
∴.
故答案为:.
3.解:(I)过点D作DG⊥x轴于G,如图①所示:
∵点A(6,0),点B(0,8).
∴OA=6,OB=8,
∵以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,∴AD=AO=6,α=∠OAD=30°,DE=OB=8,
在Rt△ADG中,DG=AD=3,AG=DG=3,
∴OG=OA﹣AG=6﹣3,
∴点D的坐标为(6﹣3,3);