离散傅里叶变换快速算法的研究与MATLAB算法实现
实验用MATLAB计算傅里叶变换
实验二 用MATLAB 计算傅立叶变换（2课时）一、实验目的1、掌握用MA TLAB 计算DTFT 及系统频率响应的方法。
2、掌握用MA TLAB 计算DFT 和IDFT 的方法。
3、掌握用DFT 计算圆周卷积和线性卷积的方法。
二、实验设备计算机一台，装有MATLAB 软件。
三、实验原理和基本操作1．用MA TLAB 计算DTFT对于序列x （n ），其离散时间傅立叶变换（DTFT ）定义为：∑∞-∞=-=n n j e n x j X ωω)()( (1)序列的傅立叶变换（DTFT ）在频域是连续的，并且以ω=2π为周期。
因此只需要知道jw X(e )的一个周期，即ω=[0，2π]，或[-π，π]。
就可以分析序列的频谱。
用MA TLAB 计算DTFT ，必须在-π≤ω≤π范围内，把ω用很密的、长度很长的向量来近似，该向量中各个值可用下式表示： w=k*dw=k*K π2 （2） 其中：d ω=Kπ2 称为频率分辨率。
它表示把数字频率的范围2π均分成K 份后，每一份的大小，k 是表示频率序数的整数向量，简称为频序向量，它的取值可以有几种方法：通常在DTFT 中，频率取-π≤ω<л的范围，当K 为偶数时，取 k 12,,1,0,1,,12,2--+--=K K K 如果K 为奇数，则取 k 5.02,,1,0,1,,5.02--+-=K K 可以为奇偶两种情况综合出一个共同的确定频序向量k 的公式； k=12K -⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ：12K -⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3） 上式中⎢⎥⎣⎦表示向下取整。
在MA TLAB 中的向下取整函数为floor ，floor （x ）的作用是把x 向下（向-∞方向）取整，所以与（3）式等价的MATLAB 语句为 k ))5.02(:)5.02((-+-=K K floor （4） 给定了输入序列（包括序列x 及其位置向量n ），又设定了频率分辨率d ω及频序向量k ，则DTFT 的计算式（1）可以用一个向量与矩阵相乘的运算来实现。
傅里叶变换和功率谱密度的基本理论及其在MATLAB中的实现
x x
s 0
N 1
s sr
做离散傅里叶变换
1 S xx k N 1 N
R r e
r 0 xx N 1 N 1 s 0
N 1
-j2 kr / N
Sxx f lim 1 T T
1 r 0 N * Xk Xk
Rxx 0
S xx f df x 2
Xf
x t e j2 ft dt
Sxx f lim
1 X f X* f T T
功率谱密度基本理论
2、自相关函数与功率谱密度
另外两种定义
1 1 j 正： S R e d xx xx 2 （2） 反：R S 1 e j d xx xx
傅里叶变换基本理论
1、傅里叶级数 对于第 k 次谐波
ak cos k0t bk sin k0t Ak sin(k0t )
幅值为
2 Ak ak bk2
傅里叶级数的复数形式
ck e jk0t ck e-jk0t
ck
1 1 ak jbk , ck ak jbk 2 2 1 2 1 ak bk2 Ak 2 2
均定义在0tT; w(t)=0, elsewhere
傅里叶变换在MATLAB明窗 平顶窗 凯赛- 贝塞尔窗
1
注意：为保证幅值准确，须令 窗函数均值为1，或者在傅里叶 变换后除以窗函数的均值
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
200
400
600
800
1000
matlab实现傅里叶变换与反变换、离散余弦变换与反变换
matlab实现傅里叶变换与反变换、离散余弦变换与反变换首先，我们需要了解傅里叶变换和离散余弦变换的原理。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，它可以将任意信号分解为一系列正弦和余弦信号的叠加。
离散余弦变换则是一种将离散信号转换为一组离散余弦信号的方法。
接下来，我们可以使用matlab中的fft函数来实现傅里叶变换和反变换。
具体步骤如下：
1. 定义一个信号向量x，可以使用matlab中的sin、cos、randn 等函数生成。
2. 使用fft函数对信号进行傅里叶变换，得到频域信号向量X。
3. 使用ifft函数对频域信号向量X进行反变换，得到原始信号向量x1。
4. 使用plot函数将原始信号向量x和反变换后的信号向量x1绘制在同一张图上，进行对比。
接下来，我们可以使用matlab中的dct函数来实现离散余弦变换和反变换。
具体步骤如下：
1. 定义一个长度为N的信号向量x，可以使用matlab中的sin、cos、randn等函数生成。
2. 使用dct函数对信号进行离散余弦变换，得到频域信号向量X。
3. 使用idct函数对频域信号向量X进行反变换，得到原始信号向量x1。
4. 使用plot函数将原始信号向量x和反变换后的信号向量x1绘制在同一张图上，进行对比。
通过上述步骤，我们可以使用matlab轻松实现傅里叶变换和离散余弦变换。
这些技术在信号处理、图像处理、音频处理等领域中得到广泛应用，掌握这些技术将有助于我们更好地理解和应用相关领域的算法。
用Matlab实现快速傅立叶变换
用Matlab实现快速傅立叶变换FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。
有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。
这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。
另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。
现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。
采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此啰嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。
N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。
为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。
那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。
每一个点就对应着一个频率点。
这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。
具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。
而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。
而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。
例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。
实验3 离散序列的傅里叶变换的MATLAB实现
信息工程学院实验报告课程名称：数字信号处理实验项目名称：实验3 离散序列的傅里叶变换的MATLAB 实现 实验时间：班级： 姓名： 学号：一、实 验 目 的:熟悉离散序列的傅里叶变换理论及其MATLAB 实现。
二、实 验 设 备 与 器 件MATLAB 2008软件三、实 验 内 容 与 结 果 分 析3.1 在0到 区间画出矩形序列10()R n 的离散时间傅里叶变换（含幅度和相位）。
指令语句如下：n=-10:10;x=[(n>=0)&(n<10)];k=-200:200;w=(pi/200)*k;X=x*(exp(-j*pi/200)).^(n'*k);magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w,magX,'LineWidth',2);xlabel('Frequency');ylabel('|X|');grid on ;subplot(2,1,2);plot(w,angX,'LineWidth',2);xlabel('Frequency');ylabel('Angle');grid on ;执行结果如图3-1所示：Frequency |X |Frequency A n g l e图3-13.2 求序列x(n)=1,-2≤n ≤2的离散时间傅里叶变换（含幅度和相位）。
指令语句如下：n=-10:10;x=[(n>=-2)&(n<2)];k=-200:200;w=(pi/200)*k;X=x*(exp(-j*pi/200)).^(n'*k);magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w,magX,'LineWidth',2);xlabel('Frequency');ylabel('|X|');grid on ;subplot(2,1,2);plot(w,angX,'LineWidth',2);xlabel('Frequency');ylabel('Angle');grid on ;执行结果如图3-2所示：-4-3-2-10123401234Frequency |X |-4-3-2-101234-4-224Frequency A n g l e图3-24.思考题4.1什么是共轭对称性？结合例2-1加以分析。
matlab离散信号的DFT及其快速算法fft以及ifft
实验四离散信号的DFT及其快速算法一、实验目的1．在学习DFT理论的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，体会二者之间的关系。
2．熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法。
二、实验原理N点序列x[n] 的DFT和IDFT定义：可以用函数U=fft（u，N）和u=ifft（U，N）计算N点序列的DFT正、反变换。
三、实验内容1. x(n)=R5(n),求N分别取8，32时的X(k)，最后绘出图形。
离散傅立叶变换函数的MATLAB实现如下：N=8;x=[ones(1,5),zeros(1,N-5)];n=0:N-1;X=dft(x,N);magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi;k=(0:length(magX)'-1)*N/length(magX);subplot(2,2,1);stem(n,x);title('x(n)—8点');subplot(2,2,2);stem(k,magX);axis([0,8,0,6]);title('|X(k)|--8点');N=32;x=[ones(1,5),zeros(1,N-5)];n=0:N-1;X=dft(x,N);magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi;k=(0:length(magX)'-1)*N/length(magX);subplot(2,2,3);stem(n,x);title('x(n)—32点');subplot(2,2,4);stem(k,magX);axis([0,32,0,5]);title('|x(k)|--32点'); % dft函数function[Xk]=dft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk;2. 已知一个8点的时域非周期离散阶跃信号，n1=0，n2=7,在n0=4前为0，n0以后为1。
基于Matlab的数字图像离散傅里叶变换及应用
图像平滑 的过程 ，但此时 图像 的边缘清晰度 可能会降低 ，图像 变模 糊 的 实 质 是 高 频 分量 被 衰 减 。
［ １ 】 赵 小 川 ，何 灏 ，缪 远 诚 ． ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ数 字 图像 处 理 实践 ［ Ｍ】 ． 北 京 ：机 械 工 业 出版 社 ，２ ０ １ ３ ：４ ２ －７ ５ ． 【 ２ ２徐献灵 ］ ，袜弈水 ． Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ在图像处理中 的应用 ［ Ｊ 】 ． 现 代计 算机 ，２ ０ ０ ８ ，２ ８ ３ ：６ ６ － ６ ９ ． 【 ３ １ 郝强 ，赵 何 明，张毅 ． 基 于 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ的数 字图像处 理技 术 与应 用 ［ Ｊ 】 ． 河 北 农 机 ，２ ０ １ ４ ， （ １ Ｉ ） ：４ ４ － ４ ６ ． ［ ４ 】 王斌 ． ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ实现 数字图像 增强处理 ［ Ｊ 】 ． 佳木斯大 学学 报 （ 自然 科 学 版 ） ，２ ０ ０ ５ ，２ ３（ １ ） ：３ １ － ３ ４ ． 【 ５ 】 于 殿 泓 ．图像 检 测 与处 理 技 术 【 Ｍ】 ． 西安 ： 西 安 电子 科 技 大 学 出版 社 ，２ ０ ０ ６ ：１ １ ０ －１ ２ ３ ．
增 强 技 术 有 两 类 方 法 ：空 间 域 法 和 频 率 域 法 。 空 间 域 法 是在 空 间 域
少模糊 ，会使模糊的边缘部分得到增强。这就是 用 ＤＦ Ｔ进 行图像平
中对数 字图像的像 素灰 度值直接进行 运算处理 ；而频 率域 法是在数 滑和边缘提取的依据 。 字 图像 先进行某种变换 域 ，再对变换 值进行运算 。本文 中采用频 率 域法 ，先对 图像进 行 ＤＦ Ｔ，再对 图像频谱进行滤波 ，然后将 滤波后
matlab画离散傅里叶变换dft公式
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种常用的信号处理工具，用于分析信号的频谱和频率成分。
在MATLAB中，可以使用内置函数来快速实现离散傅里叶变换，并且可以通过公式来理解其原理和实现过程。
一、离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换是将离散的时间序列信号转化为离散的频谱序列，其定义如下：给定长度为N的离散信号x(n)，其离散傅里叶变换X(k)的计算公式为：X(k) = Σ x(n) * exp(-j*2πnk/N)，n = 0, 1, ..., N-1其中，k表示频率序列的索引，取值范围为0到N-1。
exp(-j*2πnk/N)是复数指数形式的旋转因子，n表示时间序列的索引。
二、MATLAB中的离散傅里叶变换函数在MATLAB中，可以使用fft函数来快速计算离散傅里叶变换。
其函数原型为：Y = fft(X)其中，X为输入的离散信号，Y为离散傅里叶变换的结果。
如果需要计算反变换，则可以使用ifft函数。
三、MATLAB代码实现离散傅里叶变换下面是使用MATLAB实现离散傅里叶变换的示例代码：```matlab生成长度为N的离散信号N = 100;x = rand(1, N);计算离散傅里叶变换X = fft(x);绘制频谱图f = (0:N-1) * (1/N); 频率序列plot(f, abs(X));xlabel('频率');ylabel('幅度');title('离散傅里叶变换频谱图');```以上代码首先生成了长度为N的随机离散信号x，然后使用fft函数计算了其离散傅里叶变换结果X，并绘制了频谱图。
四、离散傅里叶变换的性质和应用离散傅里叶变换具有线性、周期性、卷积和相关性等性质，可以广泛应用于信号处理、通信、图像处理、音频处理等领域。
通过分析离散信号的频谱和频率成分，可以实现信号的滤波、频谱分析、频率提取等功能。
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表 2.1 四种智能技术特性对比
参考文献 ［１］Ｊｏｓｅｐｈ Ｇｉａｒｒａｔａｎｏ，专家系统原理与 编程，机械工业出版社 ２ ０ ０ ０ ． ５ ［２］Ｇｅｏｒｇｅ Ｆ．Ｌｕｇｅｒ，人工智能：复杂问 题求解的结构和策略，机械工业出 版社，２ ０ ０ ４ ． １ ［３］ＨＡＮ Ｊｉａｗｅｉ，Ｄａｔａ ｍｉｎｉｎｇ ：ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ［Ｍ］ 北京机械工业出版社， ２００１ ［４］Ｓｉｍｏｎ Ｈａｙｋｉｎ 神经网络原理，机械 工业出版社 ２ ０ ０ ４ ， ［５］Ｌｅｏ Ｃｈａｕ－Ｋｕａｎｇ，Ｌｉａｕ Ｔｈｏｍａｓ， Ｃｈｕｎｇ－ＫｕａｎｇＹａｎｇ．Ｅｘｐｅｒｔ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ａ ｃｒｕｄｅ ｏｉｌ ｄｉｓｔｉｌｌａｔｉｏｎ ｕｎｉｔ ｆｏｒ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ］． Ｅｘｐｅｒｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４ （２ ６ ）：２ ４ ７ － ５ ５ ［６］Ｓｈａｎｇ Ｃｈａｏｘｕａｎ，Ｌｉ， Ｈｅｐｉｎｇ，Ｗａｎｇ， Ｘｉａｏｎｉａｎ．Ａ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｆａｕｌｔｓ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｄｉａｇｎｏｓｉｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋ ａｎｄ Ｅｘｐｅｒｔ Ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ Ｒａｄａｒ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｔｅｓｔ ａ ｎ ｄ Ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ，２ ０ ０ ３ （２）： ９０１－９０４
在过去的十几年中，许多的混合 智能系统已经在不同的领域中开始使 用。基于面向对象的技术是一种一种 典型的开发混合模型的技术。这种技 术在在开发智能系统时一般包括六 步：问题分析，模式匹配，混合分 类选择，执行，评估，维护。当前 大多数的混合智能系统均遵循这些步骤 来开发的。但是根据这种流程开发的 混合智能系统也存在很大的不足。首 先这种方式开发的智能系统的适应性 差，一旦在模式匹配阶段确定了一种 技术，即使在开发中发现了一种更好 的技术，也很难替换它；另一个困难 在分类选择阶段，开发者必须选择一 种典型的混合系统来解决问题，这在 实现时比较困难，因为混合系统内部 的复杂性决定了我们无法事先知道所有 潜在的包含在系统内部的成员之间的连 接关系，这样选择就相对困难了。
通信来共同解决一个特定的问题，模 块之间的通信由一个控制机制来相互协 调。如文献［ ６ ］中神经网络与专家系统 的局部结合。该方式是将神经网络作 为专家系统的功能模块，知识表示可 由神经网络与专家系统结合来实现， 由专家系统控制整个逻辑推理过程并负 责神经网络的输入和输出。
多态结构： 用一种处理结构来实现基本上或完 全不同的处理技术，它的主要目标 是：通过特别的计算结构让系统的达 到多功能的境界。这种系统能够模仿 不同的处理技术。 4.典型的智能系统的发展和最近的应 用
图 2 N=8 的时间抽取的 FFT 算法流图
图 3 MATLAB 算法实现
4 ．小结 本论文的创新点在于详细而深入地
研究了 ＦＦＴ 原理与特点，并运用 ｍａｔｌａｂ 实现了快速傅立叶变换，使人们更直观 地了解到了快速傅里叶变换。ＦＦＴ 并不 是与 ＤＦＴ 不同的另外一种变换，而是 为减少 ＤＦＴ 计算次数的一种快速有效
的算法，因而各个科学领域广泛地使用 了 ＦＦＴ 技术，大大推动了信号处理技术 的进展，它已成为数字信号处理的强有 力的工具。
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－３１７－
地解决了解释问题，主要是通过推理 过程中回溯推理链来提供解释的。在这 方面有很多好的例子如：医疗诊断系统 等。
在模糊逻辑中，最终的结论是通 过综合模糊规则的各中不同的规则来决 定的。推理链的获取比较困难。但是 规则均以比较容易理解的“Ｉ Ｆ … Ｔ Ｈ Ｅ Ｎ ”形式存在，这使得用户可以 检查到推理过程中使用的规则。
遗传算法，能够以规则的形式构 建推理模型。就像在专家系统中一 样，有可能跟踪到推理链，并提供一 定程度的推理解释过程。
但是，在神经网络中，要提供准确 的解释是很困难的，这是因为神经网络 没明确的详细的知识表示结构，仅是将 知识表示成权重，分布在整个网络中， 很难发现一个能够用于产生解释的推理 链。表 ２．１ 对以上的四种智能技术的性 能对比作了一个总结。 3 混合智能系统
1 ．引言 频域分析常常比时域分析更优越，
不仅简单，且易于分析复杂信号。但用 较精确的数学方法，即 ＤＦＴ 进行谱分 析，在 ＦＦＴ 出现前是不切实际的。这是 因为 ＤＦＴ 计算量太大。直到发现了 ＦＦＴ 运算的一种快速方法以后，情况才发生 了根本的变换， 运算时间一般可缩短一 二个数量级。因而各个科学领域广泛的 使用了 ＦＦＴ技术，它大大推动了信号处 理技术的进展，现已成为数字信号处理 的强有力的工具。 2．FFT 算法原理
，（ｋ＝０，
１ ， …， Ｎ － １ ） （１ ） 令 ＤＦＴ 的长度 ０＝２Ｍ，Ｍ 为正整
数。 现在将时域序列 ｘ（ｎ），（ｎ＝０，１…，
Ｎ － １ ） 分为两组，ｎ 为偶数是一组，ｎ 为奇数是另一组，也即令：
其中：ｘ１（ｋ）与 ｘ２（ｋ）分别是 ｘ１（ｒ）和 ｘ ２（ ｒ ） 的 Ｎ ／ ２ 点的离散傅立叶变换， 即：
Ｇｏｏｎａｔｉｌａｋｅ’ｓ 和 Ｋｈｅｂｂａｌｌ 指 出：开发混合模型系统的三大主要原因 是：１）、技术加强；２）、不断增长的应 用需要；３）、多功能系统的实现。他将 混合智能系统分为三类：功能替换、相 互转换、多态结构。
功能替换的混合结构： 在这一分类级别中，一种给定的 智能技术被另一种智能处理所代替。 如文献［ ５ ］中，神经网络全面替代专家 系统，即由神经网络全面代替专家系 统，完全由神经网络来构成专家系 统。在这种方式中专家系统的知识表 示和逻辑推理能力完全通过神经网络的 数值计算来实现。 相互转换模型： 各种独立的智能处理技术通过相互 之间交换信息和发挥自己独特的功能来 解决问题。将问题分成不同的处理任 务，让每个智能模块处理最适合自己 解决的问题。这些智能模块之间通过
Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｈｙｓｉቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｈｕｎａｎ，Ｊｉｓｈｏｕ， ４１６０００
摘要 快速傅里叶变换（Ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ＦＦＴ）是将一个大点数 Ｎ 的 ＤＦＴ 分解为若干小 点的 Ｄ Ｆ Ｔ 的组合，将用运算工作量明显降 低，从而大大提高了离散傅里叶变换 （Ｄ Ｆ Ｔ ）的计算速度。因各个科学技术领域 广泛的使用了 ＦＦＴ 技术，它大大推动了信号 处理技术的进步，现已成为数字信号处理强 有力的工具。本论文将比较全面地叙述各种 快速傅里叶变换算法原理、特点，并完成了基 于 ＭＡＴＬＡＢ 的实现。 关键词 离散傅立叶变换； 快速傅立叶变换； 蝶形单元； ＭＡＴＬＡＢ Abstract Ｔｈｅ ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｎｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｒｅｓｏｌｖｅｓ ｂｉｇ ｐｏｉｎｔｓ Ｎ ｉｎｔｏ ｃｅｒｔａｉｎ ｄｏｔ ’ｓ ＤＦＴ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ ．Ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｗｏｒｋ ｗａｓ ｒｅｄｕｃｅｄ ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ ， ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｓｐｅｅｄ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ （ＤＦＴ） ｗｉｌｌ ｂｅ ｅｎｈａｎｃｅｄ ｇｒｅａｔｌｙ． Ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｐａｐｅｒ ｗｉｌｌ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｑｕｉｔｅ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｎａｒｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｅａｃｈ ｋｉｎｄ ｏｆ ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｎｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ， ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｙ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｆｏｒｅｃａｓｔ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ＭＡＴＬＡＢ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｏ ｉｔｓ ｆｕｔｕｒｅ． Key words ＤＦＴ， ＦＦＴ， Ｂｕｔｔｅｒｆｌｙ ｓｈａｐｅｄ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃａｌ ｕｎｉｔ， ＭＡＴＬＡＢ
将 ＤＦＴ 运算也相应分为两组：
我们可以发现，一个 Ｎ 点的离散 傅立叶变换（Ｄ Ｆ Ｔ ）可以分解为两个 Ｎ／２ 点的 ＤＦＴ，这两个 Ｎ／２ 点的 ＤＦＴ 按照（４）式合成为一个 Ｎ／２ 点 ＤＦＴ， 注意到，ｘ１（ｋ），ｘ２（ｋ）有 Ｎ／２ 个点，即
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ｋ ＝ ０ ，１ ，…，Ｎ ／ ２ － １ ，由（４ ） 式得到 ｘ（ｋ）只有 Ｎ／２ 点，而实际上 ｘ （ ｋ ） 有 Ｎ 个点，即 ｋ ＝ ０ ，１ ，…，Ｎ － １，要用 ｘ １（ ｋ ），ｘ ２（ｋ）表示全部 ｘ （ ｋ ） 值，还必须应用系数 Ｗ 的周期性和对 称性。ｘ （ ｋ ）的 ２Ｎ ～Ｎ － １ 点表示为：
作者简介 徐敏（１ ９ ７ ８ － ），女，江 苏 南 通 人 ， 硕 士，主要研究方向：人工智能，专家系统； 沈晓红（１ ９ ７ ５ ），女，硕士，研究方向：人 工智能，信息安全。
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参考文献 ［１］ Ｃｏｏｌｅｙ Ｊ Ｗ，Ｔｕｋｅｙ Ｊ Ｗ． Ａｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍａｃｈｉｎｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｓｅｒｉｅｓ［Ｊ］． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ． １９６５； １９（Ａｐｒ）：２９７～３０１ ［２］ Ａｌａｎ Ｖ．Ｏｐｐｅｎｈｅｉｍ， Ｒｏｎａｌｄ Ｗ．Ｓｃｈａｆｅｒ． 离散时间信号处理（第 ２ 版）． 刘树棠 译， 西安交通大学出版社，２ ０ ０ １ ［３］ Ｒｂｉｎｅｒ Ｌ Ｒ Ｂ．Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｄｉｇｉｔａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｐｒｅｎｔｉｃｅ－Ｈａｌｌ， １９７５ ［４］Ｔａｌｏｒ Ｆ Ｊ． Ｄｉｇｉｔａｌ Ｆｉｌｔｅｒ Ｄｅｓｉｇｎ Ｈａｎｄ Ｂｏｏｋ． Ｍａｒｃｅｌ Ｄｅｋｋｅｒ Ｉｎｃ，１９８３