数轴上两点距离、中点公式练习题 (答案)
七年级数学上册1.2.2 数轴-数轴上的动点问题 解答题专项练习三(人教版,含解析)
2021-2022学年度人教版七年级数学上册练习三1.2.2 数轴-数轴上的动点问题1．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义：在数轴上，数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x－0|.也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x1－x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．已知|x－1|＝2，求x的值．解：在数轴上，与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和－1，即x的值为3或－1.依照阅读材料的解法，求式子中x的值：|x＋2|＝4.2．A、B两个动点在数轴上做匀速运动，它们的运动时间以及位置记录如下．(1)根据题意，填写下列表格；说明理由；(3) A、B两点能否相距9个单位长度，如果能，求相距9个单位长度的时刻；如不能，请说明理由．3．根据给出的数轴，回答下列问题：（1）写出点A表示的数的相反数和点B表示的数的绝对值；（2）将点A先向右移动1.5个单位长度，再向左移动5个单位长度，得到点C，在数轴上表示出点C，并写出点C表示的数．4．如图，已知点O是原点，点A在数轴上，点A表示的数为－6，点B在原点的右侧，且OB＝43 OA，（1）点B对应的数是_________，在数轴上标出点B。
（2）已知点P、点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以3个单位/秒的速度向左运动；①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是__________；Q是____________；②若点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，求出t的值和点D所表示的数；③求经过几秒，点P与点Q分别到原点的距离相等？5．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以3，再把所得数对应的点向左平移1个单位，得到点P的对应点P'.比如，点P表示3，3乘以3得9，表示9的点向左平移1个单位为8，因此点P的对应点P'表示的数为8.⑴点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段'A B'，其中点A，B的对应点分别为'A，'B.如图，若点A表示的数是1，则点'A表示的数是__________；若点'B表示的数是4-，则点B表示的数是__________.⑵若数轴上的点M经过上述操作后，位置不变，则点M表示的数是__________.6．我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400千米，现在一个轨道长180cm的“磁悬浮”轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C，左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板D的距离为40cm，B到右挡板E的距离为50cm，A、B两球相距30cm．(1)在数轴上，A球在坐标原点，B球代表的数为30，找出C球及右挡板E代表的数，填在图中的括号内；(2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止的钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动；钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A球以每秒10cm的速度向右匀速运动，问多少秒后B球第二次撞向右挡板E ？(3)在前面的条件下，当3个钢球运动的路程和为6米时，哪个球正在运动？此时A、B、C三个钢球在数轴上代表的数分别是、、？7．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示7和1的两点之间的距离是_______．②数轴上表示﹣2和﹣9的两点之间的距离是________．（2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于_______．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣5与4之间，则|a+5|+|a﹣4|的值=________．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a－3|=| a+1|，则a =______.③若a表示数轴上的一个有理数，且|a+5|+|a﹣4|＞9，则有理数a的取值范围是______. （4）拓展：已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为－10，B点对应的数为70.若当电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时点P所表示的数.8．已知数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动的方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度…，（1）求出3秒钟时，动点Q所在的位置；（2）若5秒时，动点Q激活所在位置P点，P点立即以0.1个单位长度/秒的速度沿数轴运动，试求点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置；（3）如图，在数轴上的A1、A2、A3、A4，这4个点所表示的数分别为a1、a2、a3、a4，若A1A2＝A2A3＝A3A4，且a1＝20，|a1﹣a4|＝12，|a1﹣x|＝a2+a4①求x值；②在（2）的条件下，若P点激活后仍以0.1个单位长度/秒向右运动，当Q点到达数x的点处，则P点所对应的数是．9．点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d （d≥0）个单位长度．（1）当t＝1时，d＝；（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；（4）当d＝5时，直接写出t的值．10．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣7，点B表示的数为5，点C到点A，点B的距离相等，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（t＞0）秒．（1）点C表示的数是；（2）求当t等于多少秒时，点P到达点B处；（3）点P表示的数是（用含有t的代数式表示）；（4）求当t等于多少秒时，PC之间的距离为2个单位长度．11．在数轴上，点A，B，C表示的数分别是－6，10，12．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段BC以每秒1个单位长度的速度也向右运动．（1）运动前线段AB的长度为________；（2）当运动时间为多长时，点A 和线段BC 的中点重合？（3）试探究是否存在运动到某一时刻，线段AB=12AC ？若存在，求出所有符合条件的点A 表示的数；若不存在，请说明理由．12．已知数轴上的点A ，B ，C ，D 所表示的数分别是a ，b ，c ，d ，且()()22141268+++=----a b c d ．（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）点A ，C 沿数轴同时出发相向匀速运动，103秒后两点相遇，点A 的速度为每秒4个单位长度，求点C 的运动速度；（3）A ，C 两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，D 点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在t 秒时有2BD AC =，求t 的值； （4）A ，C 两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点A 运动到点C 起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点C 起始位置方向运动；当点C 运动到点A 起始位置时马上停止运动．当点C 停止运动时，点A 也停止运动．在此运动过程中，A ，C 两点相遇，求点A ，C 相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．13．（阅读理解）点A 、B 、C 为数轴上三点，如果点C 在A 、B 之间且到A 的距离是点C 到B 的距离3倍，那么我们就称点C 是A ，B}的奇点．例如，如图1，点A 表示的数为﹣3，点B 表示的数为1．表示0的点C 到点A 的距离是3，到点B 的距离是1，那么点C 是A ，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是3，那么点D 就不是A ，B}的奇点，但点D 是B ，A}的奇点． （知识运用）如图2，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为﹣3，点N 所表示的数为5．（1）数所表示的点是M，N}的奇点；数所表示的点是N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，当P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？14．已知数轴上点A在原点的左边，到原点的距离为4，点B在原点右边，从点A走到点B，要经过16个单位长度．（1）写出A、B两点所对应的数；（2）若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点距离的3倍，求C对应的数；（3）已知点M从点A开始向右出发，速度每秒1个单位长度，同时N从B点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P，线段PO AM-的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值．15．点,A B为数轴上的两点，点A对应的数为a,点B对应的数为3，38a=-．(1)求,A B两点之间的距离；(2)若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C到A 点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由:(3)若,P Q为数轴上的两个动点(Q点在P点右侧)，,P Q两点之间的距离为,m Q，当点P到A 点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为_________．参考答案1．x的值为2或－6.解析：解：在数轴上，与－2对应的点的距离为4的点表示的数为2和－6，即x的值为2或－6.2．（1）A：－9 ； B：－8；（2）能在第3秒时相遇，此时在数轴上7的位置；（3）A、B 能在第2或4秒时相距9个单位.解析：试题分析：（1）由表格得到点B的运动速度为（27-17）÷（7-5）=5个单位长度，根据匀速运动则可得0秒时点B的位置，同理可得A点的位置；（2）根据（1）中的运算可知是相向而行，用A、B两点0秒时的距离除以两个点运动的速度和即可得相遇时刻，从而可得位置；（3）分相遇前和相遇后两种情况进行计算即可得.试题解析：（1）[（19-（-1））÷（5-0）=4，19-4×7=-9，（27-17）÷（7-5）=5，17-5×5=-8，A：－9 ； B：－8；（2）[19-（-8）]÷（4+5）=2793÷=（秒），19347-⨯=答：能在第3秒时相遇，此时在数轴上7的位置；（3）第一种：A、B相遇前相距9个单位）（秒），-÷+=(279)(452第二种：A、B相遇后相距9个单位）（秒），+÷+=(279)(454答：A、B能在第2或4秒时相距9个单位.点睛：本题主要是利用数轴来解决行程问题，能从表格中得到信息，并判断出A、B两点的运动是解题的关键.3．（1）点A表示的数的相反数是﹣2.5，点B表示的数的绝对值是2；（2）点C表示的数是﹣1．解析：试题分析：（1）根据数轴可以得到点A表示的数和点B表示的数，从而可以得到点A 表示的数的相反数和点B表示的数的绝对值；（2）根据点A先向右移动1.5个单位长度，再向左移动5个单位长度，得到点C，可以得到点C表示的数，从而可以在数轴上表示出点C，并得到点C表示的数．解：（1）∵由数轴可得，点A表示的数是2.5，点B表示的数是﹣2，∴点A表示的数的相反数是﹣2.5，点B表示的数的绝对值是2；（2）∵点A先向右移动1.5个单位长度，再向左移动5个单位长度，得到点C，点A表示的数是2.5，∴点C表示的数是：2.5+1.5﹣5=﹣1，∴点C表示的数是﹣1，在数轴上表示出点C，如下图所示，点C表示的数是﹣1．考点：数轴．4．（1）8；数轴表示见解析；（2）①-6+t； 8-3t；②t=72；点D所表示的数是-2.5；③72秒或1秒.解析：（1）求出OB的长度即可；（2）①表示出P的路程和Q的路程，根据左减右加即可表示出P、 Q的数；②令P、 Q的数相等即可列出方程，解方程即可；③表示出OP、OQ的长度，根据相等列出绝对值方程，解出即可.详解：（1）∵点A表示的数为－6∴OA=6∵OB＝43OA∴OB=8∵点B在原点的右侧∴点B 对应的数是8，数轴表示如图所示（2）①∵P 的路程为t ，Q 的路程为3t ∴P 是-6+t ；Q 是8-3t②∵点P 和点Q 经过t 秒后在数轴上的点D 处相遇 ∴-6+t=8-3t ∴t=72∴点D 所表示的数=-6+72=-2.5 ③∵P 是-6+t ；Q 是8-3t ∴OP=6t -+，OQ=83t -∵点P 与点Q 分别到原点的距离相等 ∴6t -+=83t -∴-6+t=8-3t 或-6+t=3t-8 ∴t=72或t=1.∴经过72秒或1秒，点P 与点Q 分别到原点的距离相等. 点睛：本题考查了数轴上两点间的距离公式，熟知距离公式和点平移的规律是解题关键.5．（1）2 （2）−1 （3）12解析：（1）根据操作步骤可得出A'表示的数，设点B 表示的数为x ，则3x-1=-4，得出点B 表示的数；（2）设点M 表示的数为y ，则3y-1=y ，解出即可得出M 表示的数． 详解：(1)点A′表示的数是：1×3−1=2；设点B 表示的数为x ，则3x −1=−4，解得：x=−1，若点B′表示的数是：−4，则点B表示的数是−1；(2)设点M表示的数为y，则3y−1=y，解得：y=12，即点M表示的数是：12.点睛：本题考查数轴上表示的有理数，解题的关键是掌握数轴上表示的有理数.6．(1) C代表−60，E代表+80;(2) 44(秒).(3) A. B. C三个钢球在数轴上代表的数分别是−60，30，−80.解析：（1）首先可以计算出AC的距离AC=180-40-30-50=60，再根据它在负半轴上说出它表示的数是60．AE=80，再根据它在正半轴上，则表示的数是80．(2)根据题意，显然此时总路程是180×2+80，再根据时间=路程÷速度进行计算.（3）根据总路程分析得到运动的球是C球，此时正向前又运动了20厘米．则A球在C球的位置，B球在A球的位置．详解：(1)依题意得：AC=180−40−30−50=60，AE=80，又∵C在负半轴，∴C代表−60，E代表+80.(1) 依题意得T=(180×2+80)÷10=44(秒).(3)当3个钢球运动的路程和为6米时，C球正在运动，此时A. B. C三个钢球在数轴上代表的数分别是−60，30，−80.点睛：本题考查数轴的性质，涉及求数轴上两点的距离，关键是掌握两点距离公式,体现数形结合的思想．7．（1）①6；②7；（2）|m﹣n|；（3）①9；②1；③a＜-5或a＞4；（4）经过9秒或23秒时，两只蚂蚁相距35个单位长度，P点表示的数为17或59.解析：（1）①根据绝对值的定义解答即可；②根据绝对值的定义解答即可；（2）根据绝对值的定义解答即可；（3）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可；③根据两点间的距离公式解答即可；（4）分情况讨论，①相遇前，两只蚂蚁相距35个单位长度；②相遇后，两只蚂蚁相距35个单位长度；根据距离÷速度=时间即可得答案.详解：（1）①71-=6，②2(9)---=7，故答案为：①6；②7（2）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m n-，故答案为：m n-（3）①∵数a位于﹣5与4之间，|a+5|+|a﹣4|表示a到-5与a到4的距离的和，∴|a+5|+|a﹣4|=4-（-5）=9，故答案为：9②∵|a－3|=|a+1|表示a到3的距离与a到-1的距离相等，∴a=3(1)2--=2，故答案为：2③∵|a+5|+|a﹣4|表示a到-5的距离与a到4的距离的和，且|a+5|+|a﹣4|＞9，∴a>4，或a<-5.故答案为：a>4，或a<-5.（4）分两种情况：①相遇前，两只蚂蚁相距35个单位长度，[70-（-10）-35]÷(3+2)=9(秒)，-10+3×9=17，②相遇后，两只蚂蚁相距35个单位长度，[70-（-10）+35]÷(3+2)=23(秒)，-10+3×23=59，∴经过9秒或23秒时，两只蚂蚁相距35个单位长度，P点表示的数为17或59.点睛：本题考查绝对值的定义及数轴上点的运动，熟知数轴上两点间的距离的定义是解题关键.8．（1）3秒动点Q所在的位置为2；（2）﹣4919或﹣2221；（3）① x＝﹣36或76，②128.9或571.3解析：（1）先找到0.5秒时的位置，根据每秒2个单位和移动方向，即可得到3秒时的位置. （2）先找到5秒时Q点所在的位置，然后分为①P点向左运动，②P点向右运动进行讨论得出答案；（3）①由数轴可得，a4与a1相距3格，则每格长度为4，然后即可得a1、a2、a3、a4表示的数，最后解绝对值方程即可；②计算出Q点到达数x处走过的路程，除以速度得到运动时间，再求P点的运动路程即可得到P点对应的数.详解：解：（1）∵数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动的方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度…，∴0.5秒动点Q所在的位置为1，1.5秒动点Q所在的位置为﹣1，3秒动点Q所在的位置为2；（2）∵3秒动点Q所在的位置为2，∴5秒时，动点Q所在位置为﹣2，①若P点向左运动，动点Q先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度，Q在数轴3位置向左运动时，PQ＝5+52×0.1＝214，设点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时用的时间为t，则（2﹣0.1）t＝214，解得：t＝105 38，∴点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置为：﹣（2+52×0.1+10538×0.1）＝﹣4919；②若P点向右运动，动点Q先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度，Q在数轴3位置向左运动时，PQ＝5﹣52×0.1＝194，设点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时用的时间为t，则（2+0.1）t＝194，解得：t＝9542，∴点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置为：﹣（2﹣52×0.1﹣9542×0.1）＝﹣2221；（3）①∵|a1﹣a4|＝12，∴a4﹣a1＝12，∴a4＝12+a1＝12+20＝32，∵A1A2＝A2A3＝A3A4，∴a2＝24，a3＝28，∵|a1﹣x|＝a2+a4，∴|a1﹣x|＝24+32＝56，∴x＝﹣36或76②若5秒时，动点Q激活所在位置P点，当Q点到达数﹣36的点处时所走的路程为：5+6+7+…+71+72＝(172)722+⨯﹣(14)42+⨯＝2628﹣10＝2618（单位长度），∴用的时间为：26182＝1309（s），此时P点所对应的数是：1309×0.1﹣2＝128.9；当Q点到达数76的点处时所走的路程为：5+6+7+…+150+151＝(1151)1512+⨯﹣(14)42+⨯＝11476﹣10＝11466（单位长度），∴用的时间为：114662＝5733（s），此时P点所对应的数是：5733×0.1﹣2＝571.3；故答案为：128.9或571.3点睛：本题考查数轴上的动点问题，关键是正确理解Q点的运动方式，找到Q点运动路程是解决本题的关键.9．（1）d＝3；（2）d的值为3或32；（3）所求d的值为0或4；（4）所求t的值为13或5．解析：（1）当t＝1时，求出AP＝1，BQ＝2，根据PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；（2）分①P点恰好运动到线段AB的中点；②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情况进行讨论；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分①AP＝13AB；②AP＝23AB两种情况进行讨论；（4）当d＝5时，分①P与Q相遇之前；②P与Q相遇之后两种情况进行讨论．详解：（1）当t＝1时，AP＝1，BQ＝2，∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，∴PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝3，即d＝3．故答案为3；（2）线段AB的中点表示的数是：-2+42＝1．①如果P点恰好运动到线段AB的中点，那么AP＝12AB＝3，t＝31＝3，BQ＝2×3＝6，即Q运动到A点，此时d＝PQ＝PA＝3；②如果Q点恰好运动到线段AB的中点，那么BQ＝12AB＝3，t＝32，AP＝1×32＝32，则d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣32﹣3＝32．故d的值为3或32；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分两种情况：①如果AP＝13AB＝2，那么t＝21＝2，此时BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原点，则d＝PQ＝0；②如果AP＝23AB＝4，那么t＝41＝4，∵动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，∴此时BQ＝6，即Q运动到A点，∴d＝PQ＝AP＝4．故所求d的值为0或4；（4）当d＝5时，分两种情况：①P与Q相遇之前，∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，∴6﹣t﹣2t＝5，解得t＝13；②P与Q相遇之后，∵P点运动到线段AB的中点时，t＝3，此时Q运动到A点，停止运动，∴d＝AP＝t＝5．故所求t的值为13或5．点睛：本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，理解题意，分清动点P与动点Q的运动方向、运动速度与运动时间，从而正确进行分类讨论是解题的关键．10．(1) -1；(2)6；(3)﹣7+2t；（4）t＝2 或t＝4．解析：（1）根据线段中点坐标公式可求点C表示的数；（2）根据时间＝路程÷速度，可求t的值；（3）根据两点之间的距离公式可求点P表示的数；（4）分P在点C左边和点C右边两种情况讨论求解．详解：（1）（﹣7+5）÷2＝﹣2÷2＝﹣1．故点C表示的数是﹣1．故答案为﹣1；（2）()572--=6；（3）﹣7+2t；故答案为﹣7+2t；（4）因为PC之间的距离为2个单位长度，所以点P运动到﹣3或1，即﹣7+2t＝﹣3或﹣7+2t＝1，即t ＝2 或t ＝4． 点睛：此题考查了数轴，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的应用．11．（1）16；（2）172；（3）15或19． 解析：（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）先根据中点坐标公式求得B 、C 的中点，再设当运动时间为x 秒长时，点A 和线段BC 的中点重合，根据路程差的等量关系列出方程求解即可；（3）设运动时间为y 秒，分两种情况：①当点A 在点B 的左侧时，②当点A 在线段AC 上时，列出方程求解即可． 详解：（1）运动前线段AB 的长度为10﹣(﹣6)=16；（2）设当运动时间为x 秒长时，点A 和线段BC 的中点重合，依题意有 ﹣6+3t=11+t ， 解得t=故当运动时间为秒长时，点A 和线段BC 的中点重合（3）存在，理由如下：设运动时间为y 秒，①当点A 在点B 的左侧时，依题意有(10+y)﹣(3y ﹣6)=2，解得y=7， ﹣6+3×7=15；②当点A 在线段BC 上时，依题意有（3y-6）-（10+y ）= 解得y=综上所述，符合条件的点A 表示的数为15或19． 点睛：本题考查了实数与数轴的知识点，解题的关键是熟练的掌握实数与数轴的相关知识点.12．（1）14a =-，12b =-，6c =，8d =；（2）点C 的运动速度为每秒2个单位；（3）4t =或20；（4）23-，223-，10-． 解析：（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可； （2）设点C 运动速度为x ，由题意得：101042033x AC +⨯==，即可得解； （3）根据题意分别表示出AC ，BD ，在进行分类讨论计算即可； （4）根据点A ，C 相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可； 详解：（1）∵()()22141268+++=----a b c d ， ∴()()221412+6+80+++--=a b c d ， ∴14a =-，12b =-，6c =，8d =； （2）设点C 运动速度为x ，由题意得：101042033x AC +⨯==， 解得：2x =，∴点C 的运动速度为每秒2个单位；（3）t 秒时，点A 数为144t -+，点B 数为-12，点C 数为62t +，点D 数为8t +， ∴()62144202AC t t t =+--+=-，()81220BD t t =+--=+， ∵2BD AC =，∴①2020t -≥时，()2022202t t +=-，解得：4t =； ②20-2t ＜0时，即t ＞10，()202220t t +=-，解得：20t =； ∴4t =或20．（4）C 点运动到A 点所需时间为()614102s --=，所以A ，C 相遇时间10t ≤，由（2）得103t =时，A ，C 相遇点为102144-33-+⨯=，A 到C 再从C 返回到A ，用时()()()6146147.548s ----+=；①第一次从点C 出发时，若与C 相遇，根据题意得()852t t ⨯-=，203t =＜10，此时相遇数为20226233-⨯=-；②第二次与C 点相遇，得()()87.52614t t ⨯-+=--，解得8t =＜10，此时相遇点为68210-⨯=-；∴A，C相遇时对应的数为：23-，223-，10-．点睛：本题主要考查了数轴的动点问题，准确分析计算是解题的关键．13．（1）3，－1；（2）－30，10、2303-、-290．解析：（1）根据定义发现：奇点表示的数到 M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到N，M}中，前面的点N是到后面的数M 的距离的3倍，从而得出结论；（2）点A到点B的距离为6，由奇点的定义可知：分两种情况列式：①PB=3PA；②PA=3PB；③AB=3PA；④PA=3AB；可以得出结论．详解：(1)5－(－3)＝8，8÷(3＋1)＝2，5－2＝3，－3＋2＝－1；故表示数3的点是M，N}的奇点；表示数－1的点是N，M}的奇点；故答案为3；-1；(2)由题意得：AB=30－(－50)＝80，80÷(3＋1)＝20，①当PA=3PB，则点P表示的数为：30－20＝10；②当PB=3PA，则点P表示的数为：－50＋20＝－30；③当AB=3PA，则18033PA AB==，所以点P表示的数为：802305033--=-；④当PA=3AB时，则PA=240，所以P表示的数为：50240290--=-；故点P运动到数轴上表示－30、10、2303-、-290的点的位置时，P，A，B中恰有一个点为其余两点的奇点．点睛：本题考查数轴及数轴上两点的距离、动点问题，解题的关键是认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．14．（1）-4，12；（2）-6或3；（3）不变化，6解析：（1）直接根据实数与数轴上各点的对应关系求出A，B表示的数即可；（2）设点C表示的数为c，再根据点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于c的方程，求出c的值即可；（3）设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t，再根据点P是NO的中点用t表示出PO的长，再求出PO-AM的值即可．详解：（1）∵数轴上点A在原点左边，到原点的距离为4个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过16个单位长度，∴点A表示-4，点B表示12；（2）设点C表示的数为c，∵点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍，∴|c-12|=3|c|，∴c-12=3c或c-12=-3c，解得c=-6或c=3；（3）不变化．设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t，∵点P是NO的中点，∴PO=6+t，∴PO-AM=6+t-t=6，∴PO-AM的值没有变化．点睛：本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键．15．(1) 2.3,5=-==；(2)当23a b AB+有最小值5，理由见解析；(3)见解析x-≤≤时, AC BC解析：（1）根据38a=-，可得出A对应的数为-2 ，再根据数轴上两点间的距离即可得出答案；（2）当点C位于A，B之间或A，B点上时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，即A，B点间的距离；（3）通过分析当点,P Q位于A，B之间时，符合点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4，此时541m=-=．详解：解：（1）∵38a=-∴ 2.3,5=-==；a b AB（2）当23-≤≤时, AC BC+有最小值．x理由如下：x<时，252+=+>；AC BC AC ABx-≤≤时，523+==；AC BC ABx>时，253+=+>；AC BC BC AB综上, 23-≤≤时，AC BC+有最小值5；x（3）通过分析当点,P Q位于A，B之间时，符合点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4，此时541m=-=．点睛：本题考查的知识点是数轴，读懂题意，理解动点的运动轨迹是解此题的关键．。
七年级数学上册1.2.2 数轴-数轴上的动点问题 解答题专项练习十八(人教版,含解析)
2021-2022学年度人教版七年级数学上册练习十八1.2.2 数轴-数轴上的动点问题1．点A,B在数轴上分别表示有理数a，b，A,B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A,B两点距离AB=|a﹣b|．已知数轴上两点A,B对应的数分别为-1,3.点P为数轴上一动点，其对应的数为x，A,B两点之间的距离是 .设点P在数轴上表示的数为x，则x与-4之间的距离表示为 ..若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为 .若点P到点A、点B的距离之和为8，则点P对应的数为 .现在点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？2．如图，已知数轴上点B表示的为-5，点A是数轴上一点，且AB=12，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点H从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（0t ）秒．（1）写出数轴上点A表示的数；（2）当动点P，H同时从点A和点B出发，运动t秒时，点P表示的数；点H表示的数；（用含t的代数式表示）（3）动点P、H同时出发，问点H运动多少秒时追上点P？3．如图1，点A，B，O，C为数轴上四点，点A对应数a（a＜﹣2），点O对应0，点C对应3，AB=2（AB表示点A到点B的距离）．（1）填空：点C到原点O的距离，：点B对应的数．（用含有a的式子）（2）如图2，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“6cm”和“8.7cm”分别对应数轴上的点O和点C，若BC=5，求a的值和点A在刻度尺上对应的刻度．（3）如图3，在（2）的条件下，点A以1单位长度/秒的速度向右运动，同时点C向左运动，若运动3秒时，点A和点C到原点D的距离相等，求点C的运动速度．4．点A在数轴上对应的数为3，点B对应的数为b，其中A、B两点之间的距离为5（1）求b的值（2）当B在A左侧时，一点D从原点O出发以每秒2个单位的速度向左运动，请问D运动多少时间，可以使得D到A、B两点的距离之和为8?（3）当B在A的左侧时，一点D从O出发以每秒2个单位的速度向左运动，同时点M从B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，点N从A出发，以每秒4个单位的速度向右运动；在运动过程中，MN的中点为P，OD的中点为Q，请问MN-2PQ的值是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；如果没有变化，请求出这个值.5．我们知道：在数轴上，点M表示实数为x，点N表示实数为y，当x<y 时，点M，N之间的距离记作：MN =Y-X；当x>y时，点M，N之间的距离记作：MN = x-y，例如：x=-3,y=2，则MN =2-（-3）=5．如图，点A,B,C是数轴上从左向右依次排列的三点，且AC=17，BC=11，点B表示的数是-6．(1) 点A表示的数是，点C表示的数是；(2) 动点M，N分别从A，C同时出发，点M沿数轴向右运动，速度为1个单位长度∕秒，点N沿数轴向左运动，速度为2个单位长度∕秒，运动t秒后：①点M表示的数，点N表示的数；(用含t的代数式表示)②求当t为何值时，点M，N，B三点中相邻两个点之间的距离相等．(M、N、B三点中任意两点不重合)6．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：(1)已知点A，B，C表示的数分别为1，2-，3-观察数轴，B，C两点之间的距离为_______；与点A的距离为3的点表示的数是_______；(2)若将数轴折叠，使得A点与C点合，则与B点重合的点表示的数是______；若此数轴上M，N两点之间的距离为20(M在N的左侧)，且A点与C点重合时，M点N点也恰好重合，则M，N两点表示的数分别是：M：_______，N_______.(3)若数轴上P，Q两点间的距离为m(P在Q左侧)，表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P点与Q点重合时，P，Q两点表示的数分别为：P______，Q______.(用含m，n的式子表示这两个数).7．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：（1）已知点A，B，C表示的数分别为1，﹣2.5，﹣3观察数轴，B，C两点之间的距离为；与点A的距离为3的点表示的数是；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是；若此数轴上M，N两点之间的距离为2020（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则MM两点表示的数分别是：M：，N：．（3）若数轴上P ，Q 两点间的距离为m （P 在Q 左侧），表示数n 的点到P ，Q 两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P 点与Q 点重合时，P ，Q 两点表示的数分别为：P ，Q ．（用含m ，n 的式子表示这两个数）8．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是[],A B 的美好点．例如；如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是[,]A B 的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距高是2，那么点D 就不是[,]A B 的美好点，但点D 是[,]B A 的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2．（1）点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是[,]M N 美好点的是________；写出[,]N M 美好点H 所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，点P 恰好为M 和N 的美好点？9．如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a ，b 满足|a ＋2|＋（b ﹣1）2＝0，点A 与点B 之间的距离表示为AB ＝|a ﹣b|． （1）求AB 的长；（2）若点C 在数轴上对应的数为83，在数轴上是否存在点P ，使得PA ＋PB ＝PC ？若存在，求出点P 对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和C 分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t 秒后，请问：AB ﹣BC 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．10．阅读理解：已知Q 、K 、R 为数轴上三点，若点K 到点Q 的距离是点K 到点R 的距离的2倍，我们就称点K 是有序点对[Q ，R]的好点． 根据下列题意解答问题：（1）如图1，数轴上点Q 表示的数为−1，点P 表示的数为0，点K 表示的数为1，点R 表示的数为2．因为点K 到点Q 的距离是2，点K 到点R 的距离是1，所以点K 是 有序点对[],Q R 的好点，但点K 不是有序点对[],R Q 的好点．同理可以判断：点P__________有序点对[],Q R 的好点，点R______________有序点对[],P K 的好点（填“是”或“不是”）；（2）如图2，数轴上点M 表示的数为-1，点N 表示的数为5，若点X 是有序点对[],M N 的好点，求点X 所表示的数，并说明理由？（3）如图3，数轴上点A 表示的数为−20，点B 表示的数为10．现有一只电子蚂蚁C 从 点B 出发，以每秒2个单位的速度向左运动t 秒．当点A 、B 、C 中恰有一个点为其余两有序点对的好点，求t 的所有可能的值．11．如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1.现点A 做如下移动:第1次点A 向左移动3个单位长度至点1A ，第2次从点1A 向右移动6个单位长度至点2A ,第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点3A ，... ，按照这种移动方式进行下去，如果点n A 与原点的距离不小于20,求n 的最小值.12．如图，在数轴上点A 表示的数是8,若动点P 从原点O 出发，以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一动点Q 从点A 出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t (秒)．()1当0.5=t 时，求点Q 到原点O 的距离；()2当 2.5t =时，求点Q 到原点O 的距离；()3当点Q 到原点O 的距离为4时，求点P 到原点O 的距离．13．已知数轴上有 A 、B 、C 三点，分别表示有理数－26，－10，10，动点 P 从 A 出发，以每秒 1 个 单位的速度向终点 C 移动，设点 P 移动时间为 t 秒．（1）用含 t 的代数式表示 P 到点 A 和点C 的距离：PA= ，PC= （2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 从 A 点出发，以每秒 3 个单位的速 度向 C 点运动，Q 点到达 C 点后，再立即以同样的速度返回，当点 P 运动到点 C 时，P 、Q 两点运动停止， ①当 P 、Q 两点运动停止时，求点 P 和点 Q 的距离；②求当 t 为何值时 P、Q 两点恰好在途中相遇．14．如图，在数轴上A点表示的数是-8，B点表示的数是2.动线段4CD=（点D在点C的右侧），从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t秒.（1）①已知点C表示的数是-6，试求点D表示的数；②用含有t的代数式表示点D表示的数；（2）当2=时，求t的值.AC BD（3）试问当线段CD在什么位置时，AD BC+或AD BC-的值始终保持不变？请求出它的值并说明此时线段CD的位置.15．已知M、N在数轴上，M对应的数是－3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点：（1）写出点N所对应的数；（2）点P到M、N的距离之和是6个单位长度时，点P所对应的数是多少？（3）如果P、Q分别从点M、N同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点P每秒走2个单位长度，点Q每秒走3个单位长度，3秒后，点P、Q之间的距离是多少？参考答案1．（1）4；（2） |x+4|；（3）1；（4） -3或5；（5）-0.2或4.6解析：(1)(2)在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝ |a－ b|,依此即可求解;(3)根据中点坐标公式即可求解;(4)分两种情况:点P在点A的左边，点P在点B的右边，进行讨论即可求解;(5)分两种情况:点A在点B的左边，点A在点B的右边，进行讨论即可求解. 详解：(1)A,B两点之间的距离是3－(－1)＝4；(2)x与－4之间的距离表示为|x－(－4)|＝ |x＋4|；(3)(－1＋3)÷2＝ 1，∴故点P对应的数是1;(4)点P在点A的左边，x的值是－1－(8－4)÷2＝－3;点P在点B的右边，x的值是3 ＋(8－4)÷2＝5；故x的值是－3或5;(5)点A在点B的左边，(4－3)÷ (2－0.5)×2＋(－1)＝13，∴点A所对应的数是13点A在点B的右边，(4 ＋3) ÷(2－0.5)×2＋(－1)＝813;点A所对应的数是813.故点A所对应的数是13或813.点睛：本题主要考查了数轴上的基本性质，注意解题时会有两种情况，A在B的左边或者右边.2．（1）7；（2）7+t,2t-5;(3)12秒.解析：试题分析：（1）根据两点间距离公式可求出数轴上点A表示的数；（2）根据两点之间的距离公式可求点P表示的数与点H表示的数；（3）根据题意列出方程2t-5=7+t，求解即可.试题解析：（1）∵数轴上点B表示的数为-5，A是数轴上一点，且AB=12，∴AO=7，∴数轴上点A表示的数为：7;（2）点P表示的数7+t ,点H表示的数2t-5. （3）根据题意得：2t-5=7+t，解得t=12．答：点H运动12秒时追上点P．3．（1）3；a+2；（2）C对应3，点A在刻度尺上对应的刻度为2.4 cm；（3）C的速度是2 3单位长度/秒或43单位长度/秒．解析：试题分析：（1）根据两点间的距离解答即可；（2）根据两点间的距离解答即可；（3）根据题意列出方程解答即可．试题解析：（1）点C到原点O的距离3；点B对应的数a+2；（2）∵AB=2，BC=5，C对应3∴a=3﹣7=﹣4，∵刻度尺上“6cm”和“8.7cm”分别对应数轴上的点D和点C，又OC=3 ∴（8.7﹣6）÷3=0.9即个单位长度对应0.9cm，∵AC=7∴点A在刻度尺上对应的刻度8.7﹣0.9×7=2.4 cm；（3）3秒钟时点A对应﹣1①点C与点A关于原点对称点C的速度31233-=单位长度/秒；②点C与点A重合点C的速度3(1)433--=单位长度/秒；综上点C的速度是23单位长度/秒或43单位长度/秒．4．（1）8b或-2=；（2）t=1.75；（3）在运动过程中，MN-2PQ=4恒成立，理由详见解析.解析：（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解.（2）根据运动速度可表达出D 点坐标，根据D 到A 、B 两点的距离之和为8，可知D 点在B 的左侧，根据两点之间的距离公式即可求解（3）根据运动速度可表达出M 、D 、N 点的坐标，根据中点公式求出P 、Q 坐标进而求出MN 、PQ 线段长即可求解. 详解：（1）由题意得：|3|5b -=，解得：8b 或-2=（2）当B 在A 左侧时，由（1）可知：b -2=，设点D 运动的时间为t 秒，则D 表示的数为-2t ，当D 到A 、B 两点的距离之和为8时，可得D 在B 左侧，且DB+DA=DB+DB+AB=2DB+5=8，故 DB=1.5，即-2-（-2t ）=1.5，解得t=1.75（3） 在运动过程中，MN-2PQ=4恒成立，理由如下：当B 在A 左侧时，由（1）可知：b -2=，设点D 运动的时间为t 秒，则 D 表示的数为-2t ，M 表示的数为-2-t ，N 表示的数为3+4t ； 故MN 的中点P 表示的数为0.5+1.5t ，OD 的中点Q 表示的数为-t ； 则MN-2PQ=[（3+4t ）-（-2-t ）]-2[(0.5+1.5t)-(-t)] =5+5t-2(0.5+2.5t) =5+5t-1-5t =4 点睛：本题考查了实数与数轴，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题.5．（1）:12,:5A C - ；（2）①12t -+，52t -②5t = 5.6t = 5.75t =解析：（1）用点B 表示的数减去AB ，即可得出点A 表示的数；用点B 表示的数加上BC ，即可得出点C 表示的数；（2）①由用点A 表示的数加上AM ，即可得出点M 表示的数；用点C 表示的数减去CN ，即可得出点N 表示的数；②分三种情况讨论：当B 为中点时，（-12+t ）+（5-2t ）=2×（-6）； 当N 为中点时，（-12+t ）+（-6）=2×（5-2t ）； 当M 为中点时，（5-2t ） +（-6）=2×（-12+t ）； 分别求解即可.详解：解：（1）∵AC=17，BC=11∴AB=6∴点A 表示的数=-6-6=-12，点C 表示的数=-6+11=5（2）设运动时间为t 时，①AM=t，点M 表示的数=-12+t ，CN=2t ，点N 表示的数=5-2t②分三种情况讨论当B 为中点时，（-12+t ）+（5-2t ）=2×（-6），解得t=5；当N 为中点时，（-12+t ）+（-6）=2×（5-2t ），解得t=5.6；当M 为中点时，（5-2t ） +（-6）=2×（-12+t ），解得t=5.75；答：当t 为5秒或5.6秒或5.75秒时，点M ，N ，B 三点中相邻两个点之间的距离相等． 点睛：本题考查了数轴上两点之间的距离，灵活运用距离公式是解题的关键．6．（1）1；4或-2（2）0；-11,9；（3）;22mm n n -+ 解析：（1）由数轴可知BC 之间的距离；与点A 的距离为3的点表示的数分两种情况，利用两点之间的距离计算方法直接计算得出答案即可；（2）A 点与C 点重合，得出对称点为-,1，然后利用两点之间的距离计算方法列式计算得出答案即可；（3）根据（2）的计算方法，然后分别列式计算即可得解.详解：（1）B ，C 两点之间的距离为1；与点A 的距离为3的点表示的数是1+3=4或1-3=-2，故答案为：1；4或-2（2）与B 点重合的点表示的数是：1[1(2)]0-+---=；2020111,1922M N =--=-=-+= 故答案为：0；-11,9；（3）,22m m P n Q n =-=+ 故答案为：;22mm n n -+. 点睛：本题主要考查数轴以及数轴上点之间的距离计算公式，难度较大，属于压轴题，熟练掌握点之间的距离计算公式是解题关键.7．（1）0.5，4或﹣2；（2）﹣1011，1009；（3）P ＝n ﹣2m ，Q ＝n+2m ． 解析：（1）利用两点之间的距离计算方法直接计算得出答案，分点在A 的左边和右边两种情况解答（2）A 点与C 点重合，得出对称点为-1，然后根据两点之间的距离列式计算即可得解；（3）根据（2）的计算方法，然后分别列式计算即可得解．详解：（1）观察数轴可知：B 、C 两点之间的距离为﹣2.5﹣（﹣3）＝0.5，与点A 的距离为3的点表示的数是1+3＝4或1﹣3＝﹣2．故答案为0.5，4或﹣2．（2）与点B 重合的点表示的数是：﹣1+[﹣1﹣（﹣2.5）]＝0.5；M ＝﹣1﹣20202＝﹣1011， N ＝﹣1+20202＝1009； 故答案为﹣1011，1009．（3）根据题意，得P ＝n ﹣m 2，Q ＝n+m 2． 故答案为n ﹣m 2，n+m 2． 点睛：本题考查了数轴的运用．关键是利用数轴，涉及绝对值的性质，点到点之间的距离，折叠等知识，较为综合，根据数形结合求出答案，注意不要漏解．．8．（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9解析：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G 符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．详解：解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G 符合条件，故答案是：G．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N 的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．故答案是：-4或-16．（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；综上所述，t的值为：1.5或3或9．点睛：本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．9．（1）3；（2）存在，113-或13-；（3）不变，值为43．解析：（1）先利用几个非负数的和为零，则每个数都为零，列式求出a，b的值，最后根据已知的关系式即可求出AB；（2）根据数轴上表示两点距离的方法设出P点代表的数字为x，再分别表示出对应的PA、PB、PC，最后代入关系式PA＋PB＝PC即可解答；（3）由于运动时间为t秒，A、B、C的运动方向和运动速度已知，利用路程＝速度×时间可表示出AB和BC，再计算出AB﹣BC的值，再与运动前AB﹣BC的值比较即可得出结论，进而求出这个常数值．详解：解：（1）∵|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，又∵|a＋2|≥0，（b﹣1）2≥0，∴a＋2＝0，b﹣1＝0.∴a＝﹣2，b＝1.∵点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，∴AB＝|﹣2﹣1|＝3答：AB的长为3；（2）存在点P，使得PA＋PB＝PC．设点P对应的数为x，当点P在点A的左侧时，即x＜﹣2，∴PA＝|﹣2﹣x|＝﹣2﹣x，PB＝|1﹣x|＝1﹣x，PC＝|83﹣x|＝83﹣x．∵PA＋PB＝PC，∴﹣2﹣x＋1﹣x＝83﹣x．解得：x＝﹣113．当点P在点A的右侧，点B的左侧时，即﹣2＜x＜1，∴PA＝|﹣2﹣x|＝x＋2，PB＝|1﹣x|＝1﹣x，PC＝|83﹣x|＝83﹣x．∴x＋2＋1﹣x＝83﹣x．解得：x＝﹣13．当点P在点B 的右侧时，PA＋PB＞PC，不合题意．综上，点P对应的数为﹣113或﹣13；（3）AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变．由（1）知：AB＝3，由（2）知：BC＝83﹣1＝53，∴AB﹣BC＝43．∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒4单位长度的速度向右运动，∴AB＝t＋3＋4t＝5t＋3.∵点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，∴BC＝（9﹣4）t＋（83﹣1）＝5t＋53．∴AB﹣BC＝（5t＋3）﹣（5t＋53）＝43．∴AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变．∴AB﹣BC的值不会随着时间t的变化而改变且这个常数的值为43．点睛：本题主要考查了数轴两点之间的距离公式的应用，掌握根据数字的大小去掉绝对值符号，再结合已知条件列出方程并求解成为解答本题的关键．10．（1）不是；是；（2）3；（3）5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒；解析：可以根据好点的定义判断好点，这种新定义问题通常的解法是照猫画虎.详解：（1）PQ =12PR ，RP=2RK所以答案为：不是；是（2） 当点X 在点M 、N 之间，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN,所以XM=4，XN=2，即点X 距离点M 为4个单位，距离点N 为2个单位，即点X 所表示的数为3，当点X 在点N 的右边，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN ，所以XM=12，XN=6，即点X 距离点M 为12个单位，距离点N 为6个单位，即点X 所表示的数为11；（3）AB=10-（-20）=30，当点C 在点A 、B 之间，若点C 为有序点对[],A B 的好点，则CA=2CB ，CB=10，t=5(秒)②若点C 为有序点对[],B A 的好点，即CB=2CA ，CB=20, t=10(秒)③若点B 为有序点对[],A C 的好点或点A 为有序点对[],B C 的好点，即BA=2BC 或AB=2AC ，CB=15, t=7.5(秒)当点A 在点C 、B 之间，④点A 为有序点对[],B C 的好点，即AB=2AC ，CB=45，t=22.5(秒)②点C 为有序点对[],B A 的好点或点B 为有序点对[],C A 的好点，即CB=2CA 或BC=2BA ，CB=60，t=30(秒)；③点A 为有序点对[],C B 的好点，即AC=2AB ，CB=90, t=45∴当经过5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒时，A 、B 、C 中恰有一个点为其余两有序点对的好点.点睛：正确理解好点的定义，要学会照猫画虎.11．13解析：序号为奇数的点在点A 的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A 的右边，各点所表示的数依次增加3，找到此规律即可得到答案.详解：第一次点A 向左移动3个单位长度至点1A ，则1A 表示的数为：132-=-；第二次点1A 向右移动6个单位长度至点2A ，则2A 表示的数为：264-+=；第三次点2A 向左移动9个单位长度至点3A ，则3A 表示的数为：495-=-结合点在数轴上运动的规律可知：对于n A ，如果n 为奇数，则该点表示的数是1n A -向负方向移动3个单位长度；如果n 为偶数，则该点表示的数是1n A -向正方向移动3个单位长度；所以当n 为奇数时，点n A 表示为111131322n n -+⎛⎫-+⨯=-⨯ ⎪⎝⎭；当n 为偶数，点n A 表示为132n +⨯； 由此规律可得到131413114=13=20=13=2222A A +-⨯-+⨯，， 所以若n A 与原点的距离不小于20,则n 的最小值为13n =.点睛：本题主要考查的是规律探索，能够找到点A 移动的规律是解题的关键.12．（1）6；（2）2；（3）点P 到原点的距离为2或6．解析：（1）求出AQ 的长度，再根据OQ OA AQ =-求解即可；（2）求出点Q 运动的距离，再根据OQ=点Q 运动的距离-OA 求解即可；（3）分两种情况：①Q 向左运动时；②Q 向右运动时，分别求出运动时间t ，即可求出OP 的长度．详解：（1）由题意得440.52AQ t ==⨯=∵8OA =∴826OQ OA AQ =-=-=；（2）由题意得，点Q 运动的距离是44 2.510t =⨯=∵8OA =∴102OQ OA =-=；（3）①Q 向左运动时，∵8OA =，4OQ =，∴4AQ OA OQ =-=，∴441t =÷=，∴212OP=⨯=；②Q向右运动时，OQ=，∵8OA=，4∴Q的运动距离是8412+=，∴运动时间是1243t=÷=，∴236OP=⨯=．综上，点P到原点的距离为2或6．点睛：本题考查了数轴上的动点问题，掌握数轴的特点是解题的关键．13．（1）t； 36-t；（2）①24；②t的值为：24或30．解析：（1）根据两点间的距离，可得P到点A和点C的距离；（2））①根据点P、Q的运动速度与时间来求其距离；②需要分类讨论：Q返回前相遇和Q返回后相遇．详解：解：（1）PA=t，PC=36-t；故答案是：t；36-t；（2）①BC的长度：10-（-10）=20，点P运动到点C的时间：20÷1=20，AC的长度：10-（-26）=36，∴P、Q两点的距离：3×20-36=24；②Q返回前相遇：3（t-16）=t，解得：t=24；Q返回后相遇：3（t-16）+t=36×2，解得：t=30.综上所述，t的值是24或30．点睛：本题考查了数轴，一元一次方程的应用．解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离，解答（2）②题，对t进行分类讨论是关键．14．（1）①-2；②24t -；（2）6或2；（3）当线段CD 在线段AB 上时或当点B 在线段CD 内，AD BC +值保持不变，值为14，当线段CD 在点B 的右侧时AD BC -的值保持不变，值为14 解析：（1）①已知点C 表示的数是-6，4CD =（点D 在点C 的右侧），即可得到点D 的坐标；②点C 与点A 重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t 秒. AC=2t,AD=2t+4，即可表示点D 表示的数；（2）先求出2AC t =，再分当点D 在点B 左侧和当点D 在点B 右侧讨论，列方程求解即可；（3）分当线段CD 在线段AB 上时（图1）或当点B 在线段CD 内时（图2）和当线段CD 在点B 的右侧时（图3）讨论，求出AD BC +或AD BC -的值即可得出结论.详解：解:（1）①已知点C 表示的数是-6，4CD =（点D 在点C 的右侧），∴点D 表示的数是-2；②∵点C 从与点A 重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t 秒， ∴AC=2t,AD=2t+4，∴点D 表示的数2t+4-8=2t-4;（2）∵0t >且线段CD 移动的速度为每秒2个单位，∴2AC t =①当点D 在点B 左侧（图1）∵2AC BD =，∴()22224t t =--⎡⎤⎣⎦∴2t =②当点D 在点B 右侧（图2，3）∵2AC BD =，∴()22242t t =--⎡⎤⎣⎦∴6t =综上所述，6t =或2t =（3）①当线段CD 在线段AB 上时（图1）或当点B 在线段CD 内时（图2）AD BC +的值保持不变，且14AD BC AB CD +=+=②当线段CD 在点B 的右侧时（图3）AD BC -的值保持不变，且14AD BC AC CD BC AB CD -=+-=+=点睛：此题主要考查了数轴和一元一次方程的应用.正确的画出图形，进行分类讨论是解决问题的关键.15．（1）1；（2） 3.5-或2；（3）1或7解析：（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解；（2）分两种情况：点P 在M 的左边、点P 在N 的右边，进行讨论即可求解；（3）分两种情况：P 、Q 均沿数轴向左运动、P 、Q 均沿数轴向右运动，进行讨论即可求解． 详解：解：（1）∵M 对应的数是3-，点N 在M 的右边，且距M 点4个单位长度∴341-+=∴点N 所对应的数是1．（2）设点P 对应的数为x∵M 、N 两点的距离为4，45∴点P 只能在M 、N 的两侧∴①当点P 在M 左侧时，有3x <- 则3131226PM PN x x x x x +=--+-=--+-=--=，即 3.5x =-；②当点P 在N 右侧时，有1x > 则3131226PM PN x x x x x +=--+-=+-+=+=，即2x =；∴综上所述，点P 所对应的数是 3.5-或2．（3）①当P 、Q 均沿数轴向左运动时∵点P 每秒走2个单位长度，点Q 每秒走3个单位长度∴3秒后，点P 向左走了6个单位长度、点Q 向左走了9个单位长度∴3秒后，点P 对应的数为369--=-，点Q 对应的数为198-=-∴3秒后，点P 、Q 之间的距离是()891---=；②当P 、Q 均沿数轴向右运动时∵点P 每秒走2个单位长度，点Q 每秒走3个单位长度∴3秒后，点P 向右走了6个单位长度、点Q 向右走了9个单位长度∴3秒后，点P 对应的数为363-+=，点Q 对应的数为1910+=∴3秒后，点P 、Q 之间的距离是1037-=；∴综上所述，3秒后，点P 、Q 之间的距离是1或7．点睛：本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，渗透了分类讨论、数形结合的数学思想，稍有难度，合理的进行分类讨论是解题的关键．。
完整版)七年级上期末动点问题专题(附答案)
完整版)七年级上期末动点问题专题(附答案)1.已知数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且满足|2b-6|+(a+1)^2=0，定义AB的长度为|a-b|。
1) 求线段AB的长度。
解：由定义可得，AB的长度为|a-b|。
2) 设点P在数轴上的坐标为x，且满足PA-PB=2，求x的值。
解：由题意得，PA-PB=|a-x|-|b-x|=2，分成两种情况讨论：当a>b时，有a-x-b+x=2，即a-b=2，解得x=a-1.当a<b时，有b-x-a+x=2，即b-a=2，解得x=b-1.综上所述，x的取值为a-1或b-1.3) 设M、N分别为PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM-PN|的值不变。
解：由题意得，M、N的坐标分别为[(a+x)/2,0]和[(b+x)/2,0]，则① PM÷PN的值不变时，有|a-x|/|b-x|=|a-x0|/|b-x0|，其中x0是PM÷PN的值不变时的一个定值，化简得(a-x0)(b-x)=(b-x0)(a-x)，即ax0-bx0=ax-bx0，解得x=(ax0-bx0+bx0)/2=a/2+b/2-x0/2.② |PM-PN|的值不变时，有[(a-x)/2-(b-x)/2]^2=K，其中K 是|PM-PN|的值不变时的一个定值，化简得(x-a+b)^2=4K，解得x=(a+b±2√K)/2.综上所述，当①成立时，x的取值为a/2+b/2-x0/2；当②成立时，x的取值为(a+b±2√K)/2.2.如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上的动点，其对应的数为x。
1) PA=|x-(-1)|=|x+1|，PB=|x-3|。
2) 若PA+PB=5，则有|x+1|+|x-3|=5，分成四种情况讨论：当x≤-1时，有-(x+1)-(x-3)=5，解得x=-2.当-1<x<3时，有-(x+1)+(x-3)=5，无解。
高中数学 3.3.2两点间的距离公式练习 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
【成才之路】2015-2016学年高中数学两点间的距离公式练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( )A．2 B．1C． 5 D．5[答案] C[解析] N(－1,2)，|ON|＝－12＋22＝ 5.故选C．2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于( )A．－3 B．5C．－3或5 D．－1或－3[答案] C[解析] 由两点间的距离公式知|AB|＝－1－22＋b－12＝b2－2b＋10，由5＝b2－2b＋10，解得b＝－3或b＝5.3．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为( )A．(－3,1)或(7,1)B．(2，－2)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1)D．(2，－3)或(2,5)[答案] A[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( ) A．5 B．4 2C．2 5 D．210[答案] C[解析] 设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝0－42＋－2－02＝20＝2 5.5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )A．26 B．65C ．29D ．13[答案] A[解析] AB 的中点D 的坐标为D (－1，－1)． ∴|CD |＝－1－42＋－1－－22＝26；故选A ．6．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形[答案] C [解析] |AB |＝3－02＋2－52＝32，|BC |＝0－42＋5－62＝17， |AC |＝3－42＋2－62＝17，∴|AC |＝|BC |≠|AB |， 且|AB |2≠|AC |2＋|BC |2.∴△ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形． 二、填空题7．已知点M (m ，－1)，N (5，m )，且|MN |＝25，则实数m ＝_________. [答案] 1或3 [解析] 由题意得m －52＋－1－m2＝25，解得m ＝1或m ＝3.8．已知A (1，－1)，B (a,3)，C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝_________. [答案] 12[解析] a －12＋3＋12＝4－a2＋5－32，解得a ＝12.三、解答题9．求证：等腰梯形的对角线相等． [证明] 已知：等腰梯形ABCD ． 求证：AC ＝BD ．证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )． 则|AC |＝－b ＋a2＋c －02＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋0－c2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即：等腰梯形的对角线相等．10．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和A (1，－1)，过点A 作直线l 2与已知直线交于点B 且|AB |＝5，求直线l 2的方程．[解析] 当直线l 2的斜率存在时，设其为k ，则⎭⎪⎬⎪⎫l 2：y ＋1＝k x －1又由2x ＋y －6＝0⇒(k ＋2)x ＝k ＋7，而k ≠－2，故解得x ＝k ＋7k ＋2，所以B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)， 又由|AB |＝5，利用两点间距离公式得k ＋7k ＋2－12＋4k －2k ＋2＋12＝5⇒k ＝－34，此时l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0.而当l 2的斜率不存在时，l 2的方程为x ＝1.此时点B 坐标为(1,4)，则|AB |＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.能力提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是( ) A ．210，(1,2) B ．210，(－1，－2) C ．210，(－1,2) D ．210，(1，－2)[答案] C [解析] |AB |＝－4－22＋1－32＝210，中点坐标为(2－42，3＋12)，即(－1,2)，故选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 的X 围是( ) A ．－45＜m ＜2B ．m ＜－45或m ＞2C ．m ＜－2或m ＞45D ．－2＜m ＜45[答案] B[解析] 根据两点间的距离公式|PQ |＝m －12＋1－2m2＝5m 2－6m ＋2＞10⇒5m 2－6m －8＞0⇒m ＜－45或m ＞2.3．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A 、B ，则|AB |等于( ) A ．895B ．175C ．135D ．115[答案] C[解析] 易得A (0，－2)，B (－1，25)．∴|AB |＝－1－02＋25＋22＝135. 4．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A (2,3)距离为13，则P 点坐标是( ) A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)[答案] C[解析] 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由|PA |＝13得(x －2)2＋(2x ＋53－3)2＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5， 当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1,1)或(5,5)． 二、填空题5．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是_________. [答案] 12[解析] 由题意得|AB |＝5－a －12＋2a －1－a ＋42＝2a 2－2a ＋25＝2a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．6．已知点A (4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为_________. [答案] (9,0)或(－1,0) [解析] 设P (a,0)，则a －42＋122＝13，解得a ＝9或a ＝－1，∴点P 的坐标为(9,0)或(－1,0)．三、解答题7．用坐标法证明定理：若四边形ABCD是长方形，则对平面内任一点M，等式AM2＋CM2＝BM2＋DM2成立．[解析] 以一个直角所在的两边为坐标轴，建立直角坐标系．证明：如图，取长方形ABCD的两条边AB、AD所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系．设长方形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)、B(a,0)、C(a，b)、D(0，b)．在平面上任取一点M(m，n)，则有AM2＋CM2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，BM2＋DM2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，∴AM2＋CM2＝BM2＋DM2.8．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析] 以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD＝5 m，AB＝3 m，所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，所以k AC·k DM＝－1，即3－00－5·3－05－x＝－1.所以x＝3.2，即BM＝3.2，即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意． 由两点间距离公式得DM ＝5－3.22＋3－02＝3534.。
七年级数学上册专题提分精练数轴上动点相距问题(解析版)
专题07 数轴上动点相距问题1．如图，A 、B 分别为数轴上的两点，点A 对应的数为20-，点B 对应的数80，(1)请直接写出AB 的中点M 对应的数______；(2)现在有一只电子蚂蚁P 从点A 出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从点B 出发，以3个单位长度/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C 相遇，请求出点C 对应的数；(3)若当电子蚂蚁P 从点A 出发时，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从点B 出发，以3个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度？【答案】(1)30(2)20(3)15秒或25秒【解析】【分析】（1）根据数轴上A 、B 两点所表示的数为a 、b ，则AB 的中点所表示的数为2a b +，计算求解即可；（2）方法一：根据路程、速度与时间的关系求出相遇的时间，然后根据数轴上两点的距离求出C 点对应数即可；方法二：由题意知，P 表示为202t -+，Q 表示803t -，则202803t t -+=-，求出t 的值，进而可求C 点对应数；（3）由题意知，第一次相距25个单位长度的时间为()()1002523-÷+（秒）；第二次相距25个单位长度时间为()()1002523+÷+（秒）．(1)解：AB 的中点M 所对应的数为2080302-+=， 故答案为：30．(2)解：方法一：∵()8020100--=，∴()1002320÷+=（秒），∴2020220-+⨯=，∴C 点对应数为20；方法二：由题意知，P 表示为202t -+，Q 表示803t -，则202803t t -+=-，解得20t =，∴2020220-+⨯=，∴C 点对应数为20．(3)解：由题意知，第一次相距25个单位长度的时间为()()100252315-÷+=（秒）； 第二次相距25个单位长度时间为()()100252325+÷+=（秒）；∴经过15秒或25秒时，P 、Q 相距25个单位长度．【点睛】本题考查了数轴上的点的表示，数轴上两点之间的距离等知识．解题的关键在于根据题意列方程．2．如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，点B 表示的数为4，8AB =，2BC =．(1)点A 表示的数是______，点C 表示的数是______．(2)动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P 的运动时间为t （0t >）秒．①用含t 的代数式表示：点P 表示的数为______，点Q 表示是数为______；②当1t =时，点P 、Q 之间的距离为______；③当点Q 在C B →上运动时，用含t 的代数式表示点P 、Q 之间的距离；④当点P 、Q 到点C 的距离相等时，直接写出t 的值．【答案】(1)4-，6(2)①42t -+，6t -；②7；③103t -；④t 的值为103或10 【解析】【分析】（1）根据数轴上两点距离=右边的数-左边的数；计算求值即可；（2）①根据数轴上动点的表示：起点所表示的数加上或减去动点运动的距离，向正方向用加，负方向用减；列代数式即可；②t =1时，求出两点所表示的数，再计算两点距离；③用右边的数-左边的数便可解答；④分两种情况：当P ，Q 相遇时；当P 点在C 点右边，Q 点在C 点左边时；根据数轴上两点距离公式列方程求解即可；(1)解：A 点在B 点左边，B 点表示4，AB =8，∴A 点表示的数，4-8=-4；C 点在B 点右边，BC =2，∴C 点表示的数为：4+2=6；(2)解：①P 点向右运动，∴P 点表示的数为-4+2t ；Q 点向左运动，∴Q 点表示的数为6-t ；②t =1时，P 点-2，Q 点5，两点距离=5-（-2）=7；③∵Q 点在右，P 点在左，∴两点距离=6-t -（-4+2t ）=10-3t ，④当P ，Q 相遇时，两点到C 点距离相等，此时2t +t =10，解得：t =103， 当P 点在C 点右边，Q 点在C 点左边时，-4+2t -6=6-（6-t ），解得：t =10，∴t 的值为103或10； 【点睛】本题考查了数轴上动点的问题，一元一次方程的应用；掌握数轴上两点距离公式是解题关键．3．如图，,A B 两点在数轴上对应的数分别为,a b ，且点A 在点B 的左边，||5,45a a b =+=，且0ab <．(1)=a ______，b =______；(2)现有一只电子蚂蚁P 从点A 出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q 从点B 出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．①设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，点C 对应的数是_____．②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？【答案】(1)-5，50(2)①28；②经过7秒或15秒【解析】【分析】(1)根据题意可知a 、b 的符号相反，可得a =−5，根据a +b =45可得b 的值；(2)①设运动时间为t 秒，由题意可得，3t +2t =5+50，解方程可得答案；②根据题意列方程，注意分相遇前和相遇后．(1)解：∵A 、B 两点在数轴上对应的数分别为a ，b ，且点A 在点B 的左边，|a |=5，a +b =45，ab <0， ∴a =−5，b =50，即a 的值是−5，b 的值是50；故答案为：−5，50；(2)解：①设运动时间为t秒，由题意可得，3t+2t=5+50，解得t=11，∴点C对应的数为−5+3×11=28；故答案为：28；②设经过t秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，相遇前，3t+2t=5+50−20，解得t=7；相遇后，3t+2t=5+50+20，解得t=15；由上可得，经过7秒或15秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键．4．已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，动点P从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．(1)数轴上点B表示的数；点P表示的数（用含t的代数式表示）(2)若M、N分别是AP、BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是．(3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？【答案】(1)-14，8-5t(2)11(3)2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2【解析】【分析】（1）根据点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，即得点B表示的数为﹣14，由动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t，可得点P表示的数为8﹣5t；（2）根据M、N分别是AP、BP的中点，知M表示的数是8﹣52t，N表示的数是﹣3﹣52t，即得MN为11；（3）点Q表示的数是﹣14+3t，可得|（﹣14+3t）﹣（8﹣5t）|＝2，即可解得t＝3或t＝52．(1)解：（1）∵点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，∴点B表示的数为﹣14，∵动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t ，∴点P 表示的数为8﹣5t ，故答案为：﹣14，8﹣5t ；(2)解：∵M 、N 分别是AP 、BP 的中点，∴M 表示的数是8(85)2t +-＝8﹣52t ，N 表示的数是14(85)2t -+-＝﹣3﹣52t ， ∴MN ＝（8﹣52t ）﹣（﹣3﹣52t ）＝11， 故答案为：11；(3)解：点Q 表示的数是﹣14+3t ，根据题意得：|（﹣14+3t ）﹣（8﹣5t ）|＝2，∴|8t ﹣22|＝2，∴8t ﹣22＝2或8t ﹣22＝﹣2，解得t ＝3或t ＝52， 答：点P 、Q 同时出发，3秒或52秒时，P 、Q 之间的距离恰好等于2． 【点睛】本题考查了数轴动点问题以及利用一元一次方程解决实际问题，解题的关键是用含t 的代数式表示点运动后表示的数．5．综合与实践：A 、B 、C 三点在数轴上的位置如图所示，点C 表示的数为6，BC ＝4，AB ＝12．(1)数轴上点A 表示的数为 ，点B 表示的数为 ；(2)动点P ，Q 同时从A ，C 出发，点P 以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点Q 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒； ①求数轴上点P ，Q 表示的数（用含t 的式子表示）；②t 为何值时，P ，Q 两点重合；③请直接写出t 为何值时，P ，Q 两点相距5个单位长度．【答案】(1)10-；2(2)①104t -+；62t +；②8；③112或212【解析】【分析】（1）先根据点C 表示的数为6，BC ＝4，表示出点B ，然后根据AB ＝12，表示出点A 即可；（2）①求出AP ，CQ ，根据A 、C 表示的数求出P 、Q 表示的数即可；②根据在时间t 内，P 运动的长度-Q 运动的长度=AC 的长，列出方程，解方程即可； ③利用“点P ，Q 相距5个单位长度”列出关于t 的方程，并解答即可．(1)点C 对应的数为6，4BC =，∴点B 表示的数是642-=，12AB =，∴点A 表示的数是21210-=-，故答案是：-10；2．(2)①由题意得：4AP t =，2CQ t =，如图所示：在数轴上点P 表示的数是104t -+，在数轴上点Q 表示的数是62t +；②当点P ，Q 重合时，4216t t -=，解得：8t =；③当点P ，Q 相距6个单位长度，Ｐ在Ｑ的左侧时：42165t t -=-， 解得112t =， Ｐ在Ｑ的右侧时：42165t t -=+， 解得212t =， 综上分析可知，当112t =或212t =时，点P ，Q 相距5个单位长度． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解题的关键．6．如图，已知在原点为O 的数轴上三个点A 、B 、C ，20cm OA AB BC ===，动点P 从点O 出发向右以每秒2cm 的速度匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发向左以每秒cm a 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．(1)当点P 从点O 运动到点C 时，求t 的值；(2)若3a =，那么经过多长时间P ，Q 两点相距20cm ？(3)当40cm PA PB +=，10cm QB QC -=时，求a 的值．【答案】(1)30t =(2)8t =和16(3)1或3或15或35【解析】【分析】(1)由OA =AB =BC =20cm ，得OC =60cm ，即可求出点P 从点O 运动到点C 的时间；(2)当a =3时，PO =2t ，QC =3t ，根据点P ，Q 两点相距20cm ，分两种情况分别计算即可求得；(3)分三种情况：①点P 在OA 上时，由P A +PB =40cm ，可得t ，当QB ＞QC 时，可得a =1；当QB ＜QC 时，可得a =3；②当点P 在AB 上时，P A =2t -20，PB =40-2t ，故这种情况不存在；③当点P 在点B 右侧时，可得t ，当QB ＞QC 时，可得a =15，当QB ＜QC 时，可得a =35． (1)解：由题意知：60OC =，当点P 运动到点C 时，60230t =÷=(秒)；(2)解：①当点P 、Q 还没有相遇时，236020t t +=-，解得8t =②当点P 、Q 相遇后，2360t t +=，解得16t =∴8t =和16时，点P ，Q 两点相距20cm ；(3)解：当40cm PA PB +=，10cm QB QC -=时，①当点Р在OA 之间，202PA t =-，402PB t =-，60440PA PB t +=-=，解得5t =；当点Q 在点B 、C 之间时，QB =20-5a ，QC =5a ，当QB QC >，205510a a --=，解得1a =；当QB QC <，520510a a -+=，解得3a =；当点Q 在点B 左侧时，QB =5a -20，QC =5a ，QC -QB =20，故不存在这种情况；②当点P 在AB 之间，220PA t =-，402PB t =-，20PA PB +=与40PA PB +=矛盾， 故不存在满足条件的点P ；③当点P 在点B 右侧，220PA t =-，240PB t =-，46040PA PB t +=-=，解得25t =，QB =20-25a ，QC =25a ，当QB QC >，20252510a a --=，解得15a =， 当QB QC <，25202510a a -+=，35a =， 综上，a 的值为1或3或15或35． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意，用含t 的代数式表示出相关线段的长．7．如图，O 为原点，在数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且a ，b 满足22(3)0a a b +++=．(1)a ＝________，b ＝__________．(2)若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t 秒．①当点P 运动到线段OB 上，且PO ＝2PB 时，求t 的值．②若点P 从点A 出发，同时，另一动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O 后立即原速返回向右匀速运动，当PQ ＝1时，求t 的值．【答案】(1)2-，6(2)①6；②173t =，23t =，35t = 【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性、平方的非负性解题；（2）①由PO ＝2PB 列方程解题；②分两种情况讨论：点Q 到达原点之前PQ ＝1，或点Q 到达原点返回之后PQ ＝1，根据题意列方程解题即可．(1) 解：22(3)0a a b +++=2030a a b ∴+=+=，2,6a b ∴=-=故答案为：-2，6．(2)①根据题意得，PO ＝2PB[]2026(2)t t ∴-+-=--+21242t t ∴-+=+-318t ∴=6t ∴=②分两种情况讨论：第一种情况：点Q 到达原点之前PQ ＝1，点P 表示的数为：2t -+，点Q 表示的数为：62t -=62(2)1PQ t t ---+=6221t t ∴-+-=381t ∴-+=381t ∴-+=±127,33t t ∴== 第二种情况：点Q 到达原点返回之后PQ ＝1，点P 与点Q 相遇时，即622t t -=-+，83t ∴= 此时点P 、Q 表示的数均为23，此时点Q 到达原点还需要221123323÷=⨯=秒， 当点Q 在原点时，点P 表示数2211333t +=+= 当点Q 由原点返回，向右匀速运动时，PQ ＝1121t t ∴+-=11t ∴-=±342,0t t ∴==（舍去）即当点Q 到达原点返回之后PQ ＝1，812533t =++= 综上所述，当PQ ＝1时，173t =，23t =，35t =． 【点睛】 本题考查数轴上的动点、一元一次方程的应用、绝对值的非负性等知识，掌握相关知识是解题关键．8．如图，已知数轴上三点A ，B ，C 对应的数分别为1-，3，5，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．(1)若点P 是线段AC 的中点，则x =________，BP =________；(2)若8AP CP +=，求x 的值；(3)若点P ，点Q 两个动点分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时从点A ，点B 出发，沿数轴的正方向运动，运动时间为t 秒．当t 的值是多少时2PQ =？【答案】(1)2，1(2)-2或6(3)2或6【解析】【分析】（1）根据中点计算公式，即可得出x 的值，进而可得BP 的长；（2） 此小题需分情况讨论，AC 之间距离为6，不存在8AP CP +=的情况，故对在A 点左侧，C 点右侧进行讨论即可得出x 的值；（3）根据一元一次方程应用题中的路程问题进行分析，需要注意的是有两种情况进行逐个分析即可．(1)解，由题意得x =15=22-+， ∴BP =3-2=1，故答案为：2；1．(2)①若P 点在A 的左侧，则()()158x x --+-=，解得：x =-2；②若P 点在C 的右侧，则()()158x x ++-=，解得：x =6；③AC 之间距离为6，不存在8AP CP +=的情况．综上所述，x 的值为-2或6时，8AP CP +=．(3)①若P 点在Q 的左侧，则422t t +-=，解得：t =2；②若P 点在Q 的右侧，则()242t t -+=，解得：t =6；综上所述，t 的值为2或6时，2PQ =．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．如图，点A ，B ，C 在数轴上对应数为a ，b ，c ．(1)化简a b c b -+-；(2)若B ，C 间距离BC =10，AC =3AB ，且b +c =0，试确定a ，b ，c 的值，并在数轴上画出原点O ；(3)在（2）的条件下，动点P ，Q 分别同时都从A 点C 点出发，相向在数轴上运动，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C 移动，点Q 以每秒0.5个单位长度的速度向终点A 移动；设点P ，Q 移动的时间为t 秒，试求t 为多少秒时P ，Q 两点间的距离为6．【答案】(1)c a -(2)10a =-，5b =-，5c =，见解析(3)6秒或14秒【解析】【分析】（1）根据数轴可得c ＞b ＞a ，再去绝对值合并即可求解；（2）根据相反数的定义和等量关系即可求解；（3）根据P ，Q 两点间的距离为，列出方程计算即可求解．(1)解：∵c ＞b ＞a ，∴a -b <0，c -b >0， ∴a b c b -+-=b -a +c -b =c -a ；(2)解：原点位置如图：∵BC =10，∴c -b =10，又∵b +c =0，∴c =5，b =-5，又∵BC =10，AC =3AB ，∴BC =2AB =10，∴AB =5，∴b -a =5，∴a =-10；(3)解：∵AC =15，最短运动时间15÷1=15秒，运动t 秒后，点P ，Q 对应的点在数轴上所对的数为P ：-10+t ，Q ：5-0.5t ，若P ，Q 两点间的距离为6，则有|-10+t -（5-0.5t ）|=6，解得t =6或t =14，均小于15秒，∴点P ，Q 移动6秒或14秒时，P ，Q 两点间的距离为6．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离公式、绝对值，根据两点间的距离公式结合点之间的关系列出一元一次方程是解题的关键，本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，细心仔细是得分的关键．10．已知a 、b 分别对应着数轴上的A 、B 两点，且满足2|4|(4)0a b a -+-=．(1)填空：=a __________，b =____________．(2)若点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度向x 轴正半轴运动．试求运动时间t （秒）为多少时，点P 到点A 的距离恰好是点P 到点B 距离的2倍；(3)设数轴上30的位置上的点为点C P 、Q 分别以每秒3个单位长度从点A 出发、每秒1个单位长度从点B 出发的速度向C 点运动，它们同时出发且各自到达点C 后停止运动．当P 、Q 两点之间的距离为4个单位长度时，试求出点Q 的运动时间．【答案】(1)4；16(2)8秒或83秒 (3)4秒或8秒或10秒【解析】【分析】（1）利用绝对值和偶次方的非负性求出a ，b 的值即可解决问题；（2）利用2PA PB =构建方程即可解决问题；（3）分情形分别构建方程即可解决问题．(1)解：∵a ，b 满足()2440a b a -+-=，∴40a -=，40a b -=，∴4a =，416b a ==，故答案为：4；16．(2)解：设运动时间为t 秒，则点P 表示的数为：34t +，∵2PA PB =， ∴34423416t t +-=+-，∴()32312t t =-或()32312t t =--，解得8t =或83t =， ∴运动时间为8或83秒时， 点P 到点A 的距离恰好是点P 到点B 距离的2倍．(3)解：设运动时间为t 秒，当点P 在到达点C 前，则点P 表示的数为：34t +，点Q 表示的数为：16t +，点P 未到达C 时，保证P 、Q 两点之间的距离为4个单位长度，即()16344t t +-+=， 即2124t -+=，得2124t -+=或2124t -=解得4t =或8，当P 到达C 时，点P 与点C 重合，∴4CQ PQ ==，∴3041610BQ =--=， ∴10101Q BQ t v ===， 综上所述：当P 、Q 两点之间的距离为4个单位长度时，点Q 的运动时间为4秒或8秒或10秒．【点睛】本题考察了数轴，两点间的距离，行程问题，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类的思想思考问题．11．点A 、B 、C 、D 在数轴上的位置如图所示，已知2CD =，5BC =，7AC CD ．(1)若点C 为原点，则点A 表示的数是______；(2)若点P 、Q 分别从A 、D 两点同时出发，点P 沿线段AC 以每秒3个单位长度的速度向右运动，到达C 点后立即按原速向A 折返；点Q 沿线段DA 以每秒1个单位长度的速度向左运动．当P 、Q 中的某点到达A 时，两点同时停止运动．①求两点第一次相遇时，与点B 的距离；②设运动时间为t （单位：秒），则t 为何值时，PQ 的值为2？（请直接写出t 值）【答案】(1)－14(2)①两点第一次相遇时，与点B 的距离是3个单位长度；②3.5s ，4.5s ，5s ，7s【解析】【分析】（1）根据2CD =，7AC CD 求出AC =14，即可得到答案；（2）①设运动时间为x 秒．由题意列方程316x x +=，求出x 值，再计算BP 或BQ 即可得到距离；②分四种情况：当两点没有相遇时，当两点第一次相遇后， 当点P 到达点C 返回且未追上点Q 时，当点P 追上点Q 后，分别列方程求解．(1)解：∵2CD =，7AC CD ．∴AC =14，∵点C 为原点，∴点A 表示的数是-14，故答案为：-14；(2)解：①设运动时间为x 秒．由题意得316x x +=，解得4x =，∵AB =14-5=9，∴3493BP AP AB =-=⨯-=，答：两点第一次相遇时，与点B 的距离是3个单位长度．②当两点没有相遇时，3162t t +=-，解得t =3.5；当两点第一次相遇后，3162t t +=+，解得t =4.5；当点P 到达点C 返回且未追上点Q 时，31422t t -+=-，解得t =5；当点P 追上点Q 后，31422t t --=-，解得t =7；故t 为3.5s ，4.5s ，5s ，7s 时，PQ 的值为2．【点睛】此题考查了数值上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程与动点问题，正确理解题意列出一元一次方程求解是解题的关键．12．已知如图，在数轴上有A ，B 两点，所表示的数分别为10-，4-，点A 以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t 秒，解答下列问题：(1)运动前线段AB 的长为 ；运动1秒后线段AB 的长为 ；(2)运动t 秒后，点A ，点B 在数轴上表示的数分别为 和 ；（用含t 的代数式表示）(3)求t 为何值时，点A 与点B 恰好重合；(4)在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t ，使得线段AB 的长为5，若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6；4(2)510t -；34t -(3)3t = (4)12t =或112t = 【解析】【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数求出AB 的长，且求出1秒后AB 的长即可；（2）根据路程＝时间×速度分别表示出A ，B 运动的距离，用原来表示的是加上运动的距离，即可表示出A ，B 表示的数；（3）根据A ，B 表示的数相同列出方程，求出方程的解即可得到t 的值；（4）存在，分两种情况分别求出t 的值即可．(1)解：运动前线段AB 的长为（﹣4）﹣（﹣10）＝6；运动1秒后线段AB 的长为（﹣1）﹣（﹣5）＝4；故答案为：6；4．(2)解：运动t 秒后，用t 表示A ，B 分别为5t ﹣10，3t ﹣4；故答案为：5t ﹣10，3t ﹣4．(3)解：根据题意得：5t ﹣10＝3t ﹣4，解得：3t =；答：当3t =时，点A 与点B 恰好重合．(4)解： 存在．当A 没追上B 时，可得由题意：()()345105t t ---= ， 解得：12t =； 当A ，B 错开后，可得()()510345t t ---=， 解得：112t =， ∴t 的值为12或112秒时，线段AB 的长为5． 【点睛】 此题考查了一元一次方程的应用，数轴以及两点间的距离，弄清题意是解本题的关键． 13．已知数轴上三点A ，B ，C 表示的数分别为-12，-5，5，点P ，Q 分别从A ，C 两点同时相向而行，点P 的速度为4个单位/秒，点Q 的速度为6个单位/秒．(1)问P ，Q(2)设点P 运动时间为(s)t ，当2QB BP =时，求t 的值；(3)当点P 到A 、B 、C 的距离和为20个单位时，点P 调头返回．速度不变，问点P ，Q 还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．【答案】(1)-5.2(2)2或127(3)点P 、Q 能相遇，相遇点对应的数为22-，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得AC =5-（-12）=17，从而得到运动1.7 秒时，点P ，Q 相遇，即可求解；（2）根据题意可得AB =7，BC =10，点P 需要74 秒到达点B ，点Q 需要10563= 秒到达点B ，然后分三种情讨论，即可求解；（3）设P 运动x 秒到A ，B ，C 距离和为20，继续运动y 秒后P ，Q 相遇，然后分两种情况：当P 在AB 之间时，当P 在BC 之间时，即可求解．(1)解：根据题意得：AC =5-（-12）=17， ∴运动17 1.746=+ 秒时，点P ，Q 相遇， 此时点P 运动4 1.7 6.8⨯= 个单位，∴P ，Q 在数轴上的12 6.8 5.2-+=- 对应的点相遇；(2)解：根据题意得：AB =7，BC =10，点P 需要74 秒到达点B ，点Q 需要10563= 秒到达点B ， 当503t << 时，106QB t =- ，74BP t =- ， ∵2QB BP =，∴()106274t t -=- ，解得：2t = ，不合题意，舍去； 当5734t ≤< 时，610QB t =- ，74BP t =- ， ∵2QB BP =，∴()610274t t -=- ， 解得：127t =； 当74t ≥ 时， ∵2QB BP =，∴()610247t t -=- ，解得：2t = ；综上所述，当2QB BP =时，t 的值为2或127(3)解：点P 、Q 能相遇，相遇点对应的数为22-，理由如下：设P 运动x 秒到A ，B ，C 距离和为20，继续运动y 秒后P ，Q 相遇，当P 在AB 之间时，到A ，B ，C 距离和为20，717420x +-=，解得：1x =，∴此时点P 对应的数为-8，根据题意得：()56184y y -+=--，解得： 3.5y =，∴点P 、Q 的相遇点对应的数为84 3.522--⨯=-；当P 在BC 之间时，到A ，B ，C 距离和为20，174720x +-=，解得： 2.5x =，∴此时点P 对应的数为124 2.52-+⨯=- ，根据题意得：()56 2.524y y -+=--，解得：4y =-不符合题意，舍去，∴点P 、Q 能相遇，相遇点对应的数为22-．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，动点问题，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 14．如图，已知数轴上点A 表示的数为6，点B 是数轴上在点A 左侧的一点，且A ，B 两点间的距离为10，动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．(1)数轴上点B 表示的数是______；(2)运动1秒时，点P 表示的数是______；(3)动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P ，Q 同时出发，请完成填空：①当点P 运动______秒时，点P 与点Q 相遇；②当点P 运动______秒时，点P 与点Q 的距离为8个单位长度．【答案】(1)4-(2)0(3)①5；②1或9【解析】【分析】（1）点向左移动时，用点表示的数减去移动的距离，即可得到移动后点表示的数，利用点移动规律解答；（2）用6减去点P 移动的距离即可得到点P 表示的数；（3）①设点P 运动t 秒时，列方程6-6t =-4-4t ，求解即可；②设点P 运动x 秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度，根据当Q 在P 点左边时，当P 在Q 的左边时，分别列方程求解．(1)解：点B表示的数为6-10=-4，故答案为：-4；(2)解：点P表示的数为6160-⨯=，故答案为：0；(3)解：①设点P运动t秒时，由题意得：6-6t=-4-4t，解得：t=5，∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇，故答案为：5；②设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，由题意得：当Q在P点左边时，4x+10-6x=8，解得：x=1，当P在Q的左边时，6x-（4x+10）=8，解得：x=9．故答案为：1或9．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，动点与一元一次方程，正确理解点的运动及表示点运动前后的数是解题的关键．15．如图，数轴上点A表示－10，点O表示0，点B表示10，点C表示18.动点P从点A 出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．当点Р到达点C时，两点都停止运动．设点P运动的时间为t（秒）．（1）点A和点C在数轴上相距_____________个单位．（2）当3t=时，求点P与点Q的距离．（3）求P、Q两点相遇时t的值．（4）当线段PO与线段QB的长度相等时，直接写出t的值．【答案】（1）28；（2）19；（3）283；（4）2或6【解析】【分析】（1）利用两点之间的距离公式求解即可；（2）当3t =时，分别表示出点点P 、点Q 的数，然后用两点之间的距离公式求解即可； （3）利用总路程÷总速度即可得出答案；（4）分点Q 在点B 的左边和点Q 在点B 的右边，分别列出等式求解即可．【详解】（1）18－（﹣10）＝28，故答案为：28；（2）当3t =时，点P 表示的数为：10234-+⨯=-；点Q 表示的数为：18315-=；此时，()15419PQ =--=；（3）()181028--=；123+=；282833÷=， ∴P 、Q 两点相遇时，t 的值为283； （4）当点Q 在点B 的左边时：PO ＝﹣10+2t ，QB ＝18－t －10＝8－t ，当PO ＝QB ，即﹣10+2t ＝8－t ，解得：t ＝6，当点Q 在点B 的左边时：PO ＝﹣10+2t ，QB ＝t －8，当PO ＝QB ，即﹣10+2t ＝t －8，解得：t ＝2，∴当时间为2秒或6秒时， PO ＝QB ．【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 16．如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，且a ，b 满足|a +3|+（b ﹣9）2＝0，c ＝1．（1）a ＝ ，b ＝ ；（2）点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，则当x 时，代数式|x ﹣a |﹣|x ﹣b |取得最大值，最大值为 ；（3）点P 从点A 处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q 从点B 处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q 到达点C 后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （t ≤8）秒，求第几秒时，点P 、Q 之间的距离是点B 、Q 之问距离的2倍？【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）125秒或367秒．【解析】【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9．（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，故答案为：≥9，12．（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4，当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝125；当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7，根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝367，综上所述，第125秒或第367秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．17．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q 同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？(2)求P、Q两点相遇时，t的值和相遇点M所对应的数．【答案】(1)动点P从点A运动至点C需要19秒；(2)P、Q两点相遇时，t的值为313秒，相遇点M所对应的数是163．【解析】【分析】（1）由路程、速度、时间三者关系分三段求出各段时间，再相加求出总时间为19秒；（2）由路程、速度、时间三者关系求出P、Q两点相遇的时间为313秒，确定相遇点M对应的数是163．(1)解：由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，AO段时间为102＝5，OB段时间为101=10，BC段时间为82=4，∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19（秒），答：动点P从点A运动至点C需要19秒；(2)解：点Q经过8秒后从点B运动到OB段，而点P经过5秒后从点A运动到OB段，经过3秒后还在OB段，∴P、Q两点在OB段相遇，设点Q经过8秒后从点B运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，依题意得：3+y+2y=10，解得：y=73，∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+73=313（秒），此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+73=163；答：P、Q两点相遇时，t的值为313秒，相遇点M所对应的数是163．【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用．18．数轴上点A表示－8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O 和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为81826--=个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C 期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．。
七年级数学上册1.2.2 数轴-数轴上的动点问题 解答题专项练习十六(人教版,含解析)
2021-2022学年度人教版七年级数学上册练习十六1.2.2 数轴-数轴上的动点问题1．小明从家出发（记为原点0）向东走3m，他把数轴上+3的位置记为点A，他又东走了5m，记为点B，点B表示什么数？接着他又向西走了10m到点C，点C表示什么数？请你画出数轴，并在数轴上标出点A、点B的位置，这时如果小明要回家，则小明应如何走？2．已知数轴上有A．B．C三点，分别表示有理数−26，−10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒。
（1）PA= ，PC= （用含t的代数式表示）（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当点P运动到点C时，P、Q两点运动停止，①当P、Q两点运动停止时，求点P和点Q的距离；②求当t为何值时P、Q两点恰好在途中相遇.3．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，D，C，其中AB＝2，BD＝3，DC＝1，如图所示，设点A，B，D，C所对应数的和是p．（1）若以B为原点．写出点A，D，C所对应的数，并计算p的值；（2）①若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝x，p＝﹣71，求x．②此时，若数轴上存在一点E ，使得AE=2CE,求点E 所对应的数（直接写出答案）.4．数轴上点A 表示数字6，点B 表示数字﹣4（1）画数轴，并在数轴上标出点A 与点B ；（2）数轴上一动点C 从点A 出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度移动，经过4秒到达点E ，数轴上另一动点D 从点B 出发，沿数轴的正方向以每秒1个单位长度的速度移动，经过8秒到达点F ，求出点E 与点F 所表示的数，并在第（1）题的数轴上标出点E ，点F ；（3）在第（2）题的条件下，在数轴上找出点H ，使点H 到点E 距离与点H 到点F 距离之和为8，请在数轴上直接标出点H ．（不需写出求解过程）5．数轴上A 点、B 点表示的数为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离||AB a b =-；线段AB 的中点M 表示的数为2a b +．已知数轴上有A 、B 两点，分别表示的数为40-和20，点A 以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B 以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t 秒（0t >） （1）运动开始前，A 、B 两点的距离为__________；线段AB 的中点M 所表示的数为__________．（2）它们按上述方式运动，A 、B 两点两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？6．如图，数轴上点A 、C 对应的数分别为a 、c ，且a 、c ，满足|a+4|+（c ﹣1）2018=0，点O 对应的数为0，点B 对应的数为﹣3．（1）求数a 、c 的值；（2）点A ，B 沿数轴同时出发向右匀速运动，点A 速度为2个单位长度/秒，点B 速度为1个单位长度/秒，几秒后，点A 追上点B ；（3）在（2）的条件下，若运动时间为t秒，运动过程中，当A，B两点到原点O的距离相等时，求t的值．7．数轴上，A、B两点表示的数a，b满足|a﹣6|+（b+12）2=0（1）a= ，b= ；（2）若小球M从A点向负半轴运动、小球N从B点向正半轴运动，两球同时出发，小球M运动的速度为每秒2个单位，当M运动到OB的中点时，N点也同时运动到OA的中点，则小球N 的速度是每秒个单位；（3）若小球M、N保持（2）中的速度，分别从A、B两点同时出发，经过秒后两个小球相距两个单位长度．8．（新知理解）如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=3，求AB；（2）若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），判断AC，BD的等量关系；（解决问题）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．（3）若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．9．如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式x3﹣3xy29﹣20的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作AB．（1）求a，c的值；（2）若数轴上有一点D满足CD＝2AD，则D点表示的数为；（3）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．①若点A向右运动，点C向左运动，AB＝BC，求t的值；②若点A向左运动，点C向右运动，2AB－m×BC的值不随时间t的变化而改变，直接写出m 的值．10．有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，若22,3,3a b c=-=-=，（1）填空：,A B之间的距离为，,B C之间的距离为，,A C之间的距离为；（2）问在数轴上是否存在一点P，使P与A的距离是P与C的距离的3倍，若存在，请求出P 点对应的有理数；若不存在，请说明理由．11．如图：在数轴上，点A表示a, 点B表示b, 点C表示c,b是最大的负整数，且a,c满足2a c++-=()||350()1a= ________，b=_________，c=_____________()2若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数____________表示的点重合；()3点、、A B C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，①请问:32-的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其BC AB值．②探究:若点A C-的值是否随着时间t的、向右运动，点B向左运动，速度保持不变，34BC AB变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．12．已知数轴上两点A，B对应的数分别是﹣10，8，P，Q，N为数轴上三个动点，点P从点A 出发速度为每秒2个单位，点Q从点B出发，速度为点P的2倍，点N从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若P，Q两点不动，动点N是线段AB的三等分点时，点N所表示的数是；（2）若点P向左运动，同时点Q向右运动，求多长时间点P与点Q相距32个单位？（3）若点P，Q，N同时都向右运动求多长时间点N到点P和点Q的距离相等？13．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为－10，点B到点O的距离是点A到点O 距离的3倍，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动.点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、N同时出发）（1）数轴上点B对应的数是______.（2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等.14．在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与1-表示的点重合，则4表示的点与数______表示的点重合；（2）若-1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与数______表示的点重合；（3）若数p表示的点与原点重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是______；（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是______．15．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且8AC=.（1）直接写出数轴上点C表示的数；（2）动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为()0t t>秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇．（3）动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为()0t t>秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出，，三点同时出发，当点P遇发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P Q R上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？参考答案1．见解析详解：根据题意可以求得点B和点C的坐标，从而可以知道小明要回家应如何走，从而可以解答本题．解：∵小明从家出发（记为原点0）向东走3m，他在数轴上+3位置记为点A，∴他又东走了5m，记为点B，点B表示的数是3+5=8，∴接着他又向西走了10m到点C，点C表示表示的数是：8+（﹣10）=﹣2，∴当小明到点C时，要回家，小明应向东走2米即可．即点B表示的数是8，点C表示的数是﹣2，小明到点C时，要回家，小明应向东走2米．数轴如下所示：2．（1）t；36－t；（2）①24；②30.解析：（1）利用数轴上两点的距离公式求出AC的长度，根据路程＝速度×时间，用t表示出AP，再利用PC=AC－AP即可；（2）①先利用数轴上两点的距离公式求出BC的长度，再利用时间=路程÷速度算出P从B运动到C的时间，算出Q的运动路程，最后减去AC即可；②先利用AB的长度算出Q比P晚出发的时间，再利用P和Q运动总路程等于两个AC的长度列方程即可.详解：解：（1）由数轴可知：AC=10－（﹣26）=36个单位长度∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动PA＝t，PC=36－t；（2）①由数轴可知：BC=10－（﹣10）=20个单位长度，∴P从B运动到C的时间为：20÷1=20s∵当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动∴当P从B运动到C时，Q的运动时间也是20s∴Q的运动路程为：20×3=60个单位长度，∵此时P在C处∴QP=QC=60－AC=60－36=24.②由数轴可知：AB=（﹣10）－（﹣26）=16个单位长度，∵当点P运动到B点时，点Q从A点出发，∴Q比P晚出发了：16÷1=16s故Q的运动时间为（t－16）s，由图可知：P和Q运动总路程等于两个AC的长度∴t＋3（t－16）=2×36解得：t=30答：当t等于30时，P、Q两点恰好在途中相遇点睛：此题考查的是动点问题与一元一次方程，根据路程=速度×时间，将各个线段用时间t表示，并找到等量关系列方程是解决此题的关键.3．（1）A点对应的数为-2；D点对应的数为3；C点对应的数为4；p=5；（2）①15；②-9或-17.解析：（1）根据以B为原点，则A，D，C所对应的数分别为：-2，3，4，进而得到p的值；（2）①用x的代数式分别表示A，B，D，C所对应的数，根据题意列方程解答即可；②根据题意可知A表示的数为-21， C点表示的数为-15，然后分情况讨论E的位置求解即可.详解：（1）解：∵B为原点，AB=2，则A点对应的数为-2；BD=3，则D点对应的数为3；DC=1，则C点对应的数为3+1=4，则P=-2+3+4=5.（2）解：①由题意，A，B，D，C表示的数分别为：-6-x，-4-x，-1-x，-x，则：-6-x-4-x-1-x-x=-71，解得：x=15；②由上题知：A表示的数为-15-6=-21， C点表示的数为-15，1)当E在AC之间时，如下图∵AC=-15-(-21)=6，且AE=2CE,解得CE=2，∴此时E点表示的数为-17；2)当E在C的右边时，如下图∵AC=-15-(-21)=6，且AE=2CE，解得CE=6，∴此时E点表示的数为-9，综上：点E所对应的数为-9或-17.点睛：此题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．4．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.解析：（1）根据数轴的定义可以画出；（2）根据速度 时间＝距离，再根据数轴上两点之间的距离公式可求得答案；（3）数轴上的距离是两个坐标差的绝对值, 点H可能点E在左边，也可能在点F右边.详解：解：（1）画数轴如下：（2）6﹣2×4＝﹣2，故点E 位于﹣2处；﹣4+1×8＝4，故点F 位于4处，如（1）中数轴所示． （3）∵|EF|＝|4﹣（﹣2）|＝6，∴点H 位于﹣3或5时，点H 到点E 距离与点H 到点F 距离之和为8，如图所示：点睛：本题考查的是数轴及数轴上两点之间的距离，根据已知条件列出算式求解是正确解答本题的关键.5．（1）60,10-；（2）A 、B 两点经过12秒会相遇，相遇点所表示的数是-4. 解析：（1）根据A 、B 两点之间的距离||AB a b =-；线段AB 的中点M 表示的数为2a b+，代入即可；（2）根据相遇后，A 、B 两点所表示的数相同，列方程即可求解，再代回可知相遇点表示的数. 详解：解：（1）由已知条件，可得，运动开始前，A 、B 两点的距离402060AB =--= 线段AB 的中点M 所表示的数为：4020102-+=-； （2）设它们按照上述方式运动，A 、B 两点经过t 秒相遇，则点A 运动t 秒后所在位置的点表示的数为403t -+，点B 运动t 秒后所在位置的点表示的数为202t -，根据题意，可得403202t t -+=- 解得12t =∴它们按照上述方式运动，A 、B 两点经过12秒会相遇，∴相遇点所表示的数是：403403124t-+=-+⨯=-答：A、B两点经过12秒会相遇，相遇点所表示的数是-4.点睛：此题主要考查有理数的实际应用，熟练掌握，即可解题.6．（1）a的值是﹣4，c的值是1，（2）1秒后，点A追上点B，（3）A，B两点到原点O的距离相等时，t的值为1或73．解析：（1）根据绝对值与偶次方的非负性即可求出a,c的值；（2）根据AB=1，AO=4，BO=3，设x秒后，点A追上点B，则2x﹣x=1，解得x=1；（3）根据AB=1，AO=4，BO=3，分当A、B在原点的左侧相遇与在异侧到原点O的距离相等两种情况进行求解即可.详解：解：(1）由题意，得 a+4=0，c﹣1=0，解得：a=﹣4，c=1．答：a的值是﹣4，c的值是1（2）∵点B对应的数为﹣3，A对应的数是﹣4，∴AB=1，AO=4，BO=3．设x秒后，点A追上点B，依题意有2x﹣x=1 解得x=1；∴1秒后，点A追上点B（3）∵点B对应的数为﹣3，A对应的数是﹣4，∴AB=1，AO=4，BO=3．当A、B在原点的左侧A、B相遇时，2t﹣t=1，解得： t=1，当A、B在原点的异侧时，2t﹣4=3﹣t，解得：t=73．∴A，B两点到原点O的距离相等时，t的值为1或73．点睛：此题主要考查数轴上的动点，解题的关键是熟知数轴的性质.7．（1）6；﹣12；（2）2.5；（3）329或409或32或40解析：（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值；（2）先求出M运动到OB的中点时所用的时间为6秒，再设小球N的速度是每秒x个单位，根据经过6秒N点运动到OA的中点列出方程，解方程即可；（3）小球M向负半轴运动、小球N向正半轴运动时，分相遇前与相遇后两种情况求解；小球M、小球N都向正半轴运动时，分追上前与追上后两种情况求解．详解：（1）∵|a﹣6|+（b+12）2=0，∴a﹣6=0，b+12=0，∴a=6，b=﹣12．故答案为6，﹣12；（2）设M运动到OB的中点时所用的时间为t秒，根据题意，得6﹣2t=﹣6，解得t=6．设小球N的速度是每秒x个单位，根据题意，得﹣12+6x=3，解得x=2.5，答：小球N的速度是每秒2.5个单位．故答案为2.5；（3）若小球M、N保持（2）中的速度，分别从A、B两点同时出发，设经过y秒后两个小球相距两个单位长度．∵A、B两点表示的数分别是6、﹣12，∴A、B两点间的距离为6﹣（﹣12）=18．如果小球M向负半轴运动、小球N向正半轴运动，①相遇前：2y+2.5y=18﹣2，解得y=329；②相遇后：2y+2.5y=18+2，解得y=409；如果小球M、小球N都向正半轴运动，①追上前：2.5y﹣2y=18﹣2，解得y=32；②追上后：2.5y﹣2y=18+2，解得y=40．答：若小球M、N保持（2）中的速度，分别从A、B两点同时出发，经过329或409或32或40秒后两个小球相距两个单位长度．故答案为329或409或32或40．点睛：本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，相遇与追及问题的相等关系，两点间的距离，进行分类讨论是解题的关键．8．（1）3π+3；（2）AC=BD（3）MN=π﹣1；（4）D点所表示的数是1、π、π+1+2、π2+2π+1．解析：（1）根据线段之间的关系代入解答即可.（2）根据线段的大小比较即可.（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度.（4）根据圆周率伴侣线段的定义可求D点所表示的数.详解：（1）∵AC=3，BC=πAC，∴BC=3π，∴AB=AC+BC=3π+3．（2）∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，∴BC=πAC，AD=πBD，∴设AC=x，BD=y，则BC=πx，AD=πy，∵AB=AC+BC=AD+BD，∴x+πx=y+πy，∴x=y∴AC=BD（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM=x，x+πx=π+1，解得x=1，∴MN=π+1﹣1﹣1=π﹣1；（4）设点D表示的数为x，如图1，若CD=πOD，则π+1﹣x=πx，解得x=1；如图2，若OD=πCD，则x=π（π+1﹣x），解得x=π；如图3，若OC=πCD，则π+1=π（x﹣π﹣1），解得x=π++2；如图4，若CD=πOC，则x﹣（π﹣1）=π（π+1），解得x=π2+2π+1；综上，D点所表示的数是1、π、π++2、π2+2π+1．点睛：本题主要考查了数轴和一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.9．（1）a=-20,c =30；（2）-70或103-；（3）①83或10；②m=3.解析：（1）根据多项式的概念即可求出答案；（2）设点D表示的数为x，分三种情况讨论即可得到点D表示的数是-70或103 -；（3）①根据路程=速度×时间，以及两点间的距离公式即可求解；②根据题意列式得6-2m=0时，由上式的值不随时间t的变化而改变，可得m=3. 详解：（1）∵多项式x3﹣3xy29﹣20的常数项是a，次数是c．∴a=-20,c =30;（2）分三种情况讨论，①当点D在点A的左侧，∵CD=2AD，∴AD=AC=50，点C点表示的数为-20-50=-70，②当点D在点A，C之间时，∵CD=2AD，∴AD=13AC=503，点C点表示的数为-20+503=-103，③当点D在点C的右侧时，AD＞CD与条件CD=2AD相矛盾，不符合题意，综上所述，D点表示的数为-70或103 ;（3）①如下图所示：当t=0时，AB=21，BC=29. 下面分两类情况来讨论：a.点A，C在相遇前时，点A，B之间每秒缩小1个单位长度，点B，C每秒缩小4个单位长度. 在t=0时，BC -AB=8,如果AB=BC，那么AB-BC=0，此时t=88413=-秒，b.点A，C在相遇时，AB=BC，点A，C之间每秒缩小5个单位长度，在t=0时，AC=50，50105t==秒，c.点A，C在相遇后，BC大于AC，不符合条件.综上所述，t=810. 3或②当时间为t时，点A表示得数为-20+2t，点B表示得数为1+t，点C表示得数为30+3t，2AB-m×BC=2[（1+t）-(-20+2t)]-m[(30+3t)-(1+t)]，=(6-2m)t+(42-29m)，当6-2m=0时，上式的值不随时间t的变化而改变，此时m=3.点睛：本题主要考查了数轴及数轴上两点间的距离公式的运用，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．解题时注意分类思想的运用．10．（1）1181,,33；（2）P点对应的有理数为0或2．解析：（1）用线段右边端点表示的数减去左边端点表示的数即可得到线段长度；（2）设P点对应的有理数为x，可以把P点位置分为三种情况进行讨论：①点P在点A的左边②点P在点A和点C之间③点P在点C的右边，即可得到完整答案．详解：解：（1）∵AB=-2-(-3)=-2+3=1；BC=()211333--=；CA=()28233--= 故答案为：1 ，113，83； （2）存在.设P 点对应的有理数为x.①当点P 在点A 的左边时，有－2－x=3（23－x ） 解之得：x=2 (不合条件，舍去)②当点P 在点A 和点C 之间时，有x －(－2)= 3 (23－x) 解之得：x=0③当点P 在点C 的右边时，有x －(－2)= 3 (x －23) 解之得：x=2综上所述，满足条件的P 点对应的有理数为0或2. 点睛：本题考查用数轴上的点表示数，掌握数轴上用点所表示的数计算两点间距离的方法是解题关键．11．（1）-3，-1,5；（2）3；（3）①32BC AB -的值不随着时间t 的变化而改变，值为14；②当3 20t -<时， 34BC AB -的值随着时间t 的变化而改变；当320t ->时， 34BC AB -的值不随着时间t 的变化而改变，值为26． 解析：(1)根据非负数的性质即可得到结论； （2）先求出对称点，即可得出答案；(3)①t 秒后，2232AB t t t =++=+，3626BC t t t =-+=+，代入32BC AB -计算即可得到答案； ②先求出()34346432BC AB t t -=+--，再分当3 20t -<时和当320t ->时，讨论求解即可. 详解：解:()1∵2||350()a c ++-=， ∴a+3=0，c −5=0， 解得a=−3，c=5， ∵b 是最大的负整数， ∴b=-1故答案为：−3，-1，5．(2)点A 与点C 的中点对应的数为：3512， 点B 到1的距离为2，所以与点B 重合的数是：1+2=3． 故答案为：3．()3①t 秒后，2232AB t t t =++=+，3626BC t t t =-+=+，()()3232623214BC AB t t -=+-+=．故32BC AB -的值不随着时间t 的变化而改变； ②2232AB t t t =+-=-．3646BC t t t =++=+，()34346432BC AB t t -=+--．当3 20t -<时，原式2410,34t BC AB =+-的值随着时间t 的变化而改变； 当320t ->时，原式26,34BC AB =-的值不随着时间t 的变化而改变． 点睛：本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．12．（1）2或﹣4；（2）经73秒点P 与点Q 相距32个单位；（3）经过0.5秒点N 到P ，Q 两点的距离相等解析：（1）根据A 、B 所表示的数可得AB ＝18，再由动点N 是线段AB 的三等分点可得答案；（2）设经过t 秒点P 与点Q 相距32个单位，由题意得P 的运动距离+AB 的长+Q 的运动距离＝32，根据等量关系列出方程，再解即可；（3）设经过x 秒点N 到P ，Q 两点的距离相等，根据题意可得等量关系：P 、N 的距离＝N 、Q 的距离，根据等量关系列出方程，再解即可． 详解：解：（1）∵A，B 对应的数分别是﹣10，8， ∴AB＝18，∵动点N 是线段AB 的三等分点， ∴N 点表示的数为2或﹣4， 故答案为：2或﹣4；（2）设经过t秒点P与点Q相距32个单位，由题意得：2t+18+4t＝32，解得，t＝73，答：设经73秒点P与点Q相距32个单位；（3）设经过x秒点N到P，Q两点的距离相等，由题意得：10﹣2x+x＝8﹣x+4x，解得，x＝0.5，答：经过0.5秒点N到P，Q两点的距离相等．点睛：本题考查一元一次方程的应用，解题关键是正确理解题意，找出等量关系，设出未知数，列出方程．13．（1）30（2）2秒或10秒解析：（1）根据点A表示的数为-10，OB=3OA，可得点B对应的数；（2）分①点M、点N在点O两侧；②点M、点N重合两种情况讨论求解；详解：（1）∵OB=3OA=30．故B对应的数是30；（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等；①点M、点N在点O两侧，则10-3x=2x，解得x=2；②点M、点N重合，则3x-10=2x，解得x=10．所以经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等.点睛：此题主要考查了一元一方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．14．（1）-4；（2）5；（3）12a m+或12a m-．解析：（1）根据对称，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到4的对称点；（2）若数﹣1表示的点与数3表示的点重合，则对称中心是1表示的点，从而找到-3的对称点；根据对应点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再找到点表示的数；从而求解；（3）先得到A点与对称中心的距离，再进一步得到折线与数轴的交点表示的有理数详解：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则4表示的点与-4表示的点重合，故答案为：-4（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与5表示的点重合，故答案为：5（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，此时若A在交点左边，折线与数轴的交点表示的有理数是12a m+，若A在交点右边，折线与数轴的交点表示的有理数是12a m -．故答案为：12a m+或12a m-点睛：此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系，注意：数轴上的点和数之间的对应关系，即左减右加15．（1）-4；（2）当t=1时，P，R两点会相遇；（3）行驶的路程是24.75个单位长度．解析：（1）根据AC的距离和点A表示的数即可求出结论；（2）先求出BC的长度，然后根据题意列出方程即可求出结论；（3）先求出AB的长，然后求出点P遇上点R的时间，并求出此时点P与点Q的距离，从而求出P、Q的相遇时间，然后即可求出结论．详解：解：（1）∵数轴上点A表示的数为4，8AC=，点C在点A左侧∴点C表示的数为4－8=-4；（2）∵点B表示的数为1，点C表示的数为-4∴BC=1－（-4）=5由题意可得3t＋2t=5解得：t=1答：当t=1时，P，R两点会相遇；（3）由题意可得：AB=4－1=3点P遇上点R的时间为：5÷（3－2）=5（秒）此时点P与点Q的距离为3＋（3－1）×5=13∴P、Q的相遇时间为13÷（3+1）=3.25（秒）∴点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是3×（5＋3.25）=24.75个单位长度答：点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是24.75个单位长度．点睛：此题考查的是数轴与动点问题，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键．。
2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式练习(含解析)北师大版必修2
1．5 平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式 (1)数轴上：一般地，数轴上两点A ，B 对应的实数分别是x A ，x B ，则|AB |＝|x B －x A |. (2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A ，B 对应的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 2．点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，则d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，两条直线间的距离记为d ，即d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2.判一判1.原点O 到点P (x ，y )的距离为|OP |＝x 2＋y 2.(√) 23．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是|C 1－C 2|.(×)5．原点到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是|C |A 2＋B2.(√)6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√) 7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8想一想1. 提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x ，y 的系数分别对应相等． 3．两条平行直线间距离有哪几种求法？ 提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①当两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②当两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|. 4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？ 提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.已知A (3,7)，B A ．5 B. 5 C ．3 D ．29 答案：B2．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上 答案：D3．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．3 2 B.22C ．3 D.322答案：D4．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 答案：A5．直线l 1：x ＋y ＝0与直线l 2：2x ＋2y ＋1＝0间的距离是________．答案：24知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A (2，m )与点B (m,1)间的距离是13，则实数m ＝( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．－4或1 解析：∵|AB |＝m －22＋1－m 2＝13，∴m 2－3m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝4. 答案：C2．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为2＋12＋1－22＝10. 答案：10知识点二 求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．± 2解析：由题意，得|a －1＋1|12＋－12＝1，即|a |＝2， 所以a ＝± 2.故选D. 答案：D4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A.10 B ．2 2 C. 6 D ．2解析：由题意可知|OP |的最小值即原点(0,0)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝2 2.知识点三 两条平行直线间的距离5.12b ＋c 等于( )A ．－12B ．48C ．36D ．－12或48解析：将l 1：3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0， 因为两条直线平行，所以b ＝8. 由|10－c |62＋82＝3，解得c ＝－20或c ＝40.所以b ＋c ＝－12或48.故选D. 答案：D6．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313C.51326 D.71326解析：由两直线平行可知36＝2m ≠－31，故m ＝4.又方程6x ＋4y ＋1＝0可化简为3x ＋2y ＋12＝0，∴平行线间的距离为|12－－3|22＋32＝71326.故选D. 答案：D知识点四 对称问题7.直线y ＝3xA ．y ＝3x －10B ．y ＝3x －18C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝4x ＋3解析：在直线上任取两点A (1，－1)，B (0，－4)，则其关于点P 的对称点A ′，B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3，－1)，B ′(4,2)，由两点式可求得方程为y ＝3x －10.答案：A8．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线的方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0(C ≠－6)．在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，其关于点(1，－1)对称的点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. 故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案：D综合知识 距离公式的综合应用9.已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)． (1)求BC 边上的高所在直线方程的一般式； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)因为k BC ＝3－－24－3＝5，所以BC 边上的高AD 所在直线斜率k ＝－15.所以AD 所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)．即x ＋5y ＋3＝0.(2)BC 的直线方程为：y ＋2＝5(x －3)． 即5x －y －17＝0，点A 到直线BC 的距离为|2×5－－1－17|52＋－12＝626. 又因为|BC |＝3－42＋－2－32＝26，所以△ABC 的面积S ＝12×626×26＝3.10．已知直线l 1经过点A (0,1)，直线l 2经过点B (5,0)，且直线l 1∥l 2，l 1与l 2间的距离为5，求直线l 1，l 2的方程．解析：∵直线l 1∥l 2，∴当直线l 1，l 2垂直于x 轴时，直线l 1的方程为x ＝0，直线l 2的方程为x ＝5， 这时直线l 1，l 2之间的距离等于5，符合题意． 当直线l 1，l 2不垂直于x 轴时，可设其斜率为k ， 依题意得，直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，直线l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0.由两条平行直线间的距离公式，得|1＋5k |1＋k2＝5， 解得k ＝125.∴直线l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，直线l 2的方程为12x －5y －60＝0.综上，符合题意的直线l 1，l 2的方程有两组：l 1：x ＝0，l 2：x ＝5或l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.基础达标一、选择题1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )A ．3 B.53C ．1 D.22解析：点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×－1－2|02＋32＝53，选B. 答案：B2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )A ．0 B.34C ．3D ．0或34解析：点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.答案：D3．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为( ) A.1310 B.135 C.72 D.235解析：直线3x ＋4y －12＝0，即直线6x ＋8y －24＝0，根据直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0平行，可得a ＝6，故两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为|－24－11|36＋64＝72. 答案：C4．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.答案：C5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，原点O 到l 的距离为1，且l 与y 轴正半轴有交点．则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b .又l 与y 轴正半轴有交点，知b >0，即x ＋y －b ＝0(b >0)，原点O (0,0)到直线x ＋y －b ＝0(b >0)的距离为|0＋0－b |12＋12＝1，解得b ＝2(b ＝－2舍去)，所以所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 答案：A6．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)，B (a,0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形解析：因为k AC ＝32a a 2＋a ＝33，k BC ＝32a a2－a＝－3，k AC ·k BC ＝－1，所以AC ⊥BC ，又|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3|a |. |BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －02＝|a |，|AC |≠|BC |. 所以△ABC 为直角三角形．答案：C7．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 C. 2 D ．4解析：由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝3 2.答案：A 二、填空题8．已知点A (－1,2)，B (3，b )的距离是5，则b ＝________.解析：根据两点间的距离公式，可得3＋12＋b －22＝5，解得b ＝5或b ＝－1. 答案：5或－19．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4， ∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或17310．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋n ＝0平行且距离为10，则m ＋n ＝________. 解析：因为两直线平行，所以m ＝2， 由两平行线的距离公式知⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－n 232＋12＝10， 解得n ＝14或n ＝－26.所以m ＋n ＝16或m ＋n ＝－24. 答案：16或－2411．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 所以k ＝2或k ＝－23.所以所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝012．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：求x 2＋y 2的最小值，就是求2x ＋y ＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离d ＝522＋12＝ 5. 答案： 5 三、解答题13．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P 点垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过P 点且与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l k OP＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，存在过点P 且到原点距离最大为5的直线，因此不存在过点P 到原点距离为6的直线．14．已知直线l 1：x ＋3y －3m 2＝0和直线l 2：2x ＋y －m 2－5m ＝0相交于点P (m ∈R )． (1)用m 表示直线l 1与l 2的交点P 的坐标；(2)当m 为何值时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短？并求出最短距离．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3m 2＝0，2x ＋y －m 2－5m ＝0，得x ＝3m ，y ＝m 2－m ，∴直线l 1与l 2的交点P 的坐标为(3m ，m 2－m )．(2)设点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离为d ，d ＝|3m ＋m 2－m ＋3|2＝|m 2＋2m ＋3|2＝|m ＋12＋2|2＝m ＋12＋22，∴当m ＝－1时，即P 点坐标为(－3,2)时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短，最短距离为 2.能力提升15.已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P . (1)使|PA |＋|PB |最小； (2)使||PA |－|PB ||最大．解析：(1)可判断A ，B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为(x 1，y 1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由直线的两点式方程得直线A 1B 的方程为y －1－95－1＝x －4－25－4，即y ＝711(x －4)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝711x －4＋1得直线A 1B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫5625，－325，由平面几何知识可知，此时|PA |＋|PB |最小．(2)由直线的两点式方程求得直线AB 的方程为y －31－3＝x －24－2，即x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x ＋y －5＝0得直线AB 与l 的交点为P (8，－3)，此时||PA |－|PB ||最大．16．已知三条直线l 1：mx －y ＋m ＝0，l 2：x ＋my －m (m ＋1)＝0，l 3：(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，它们围成△ABC .(1)求证：不论m 取何值时，△ABC 中总有一个顶点为定点； (2)当m 取何值时，△ABC 的面积取最值？并求出最值． 解析：(1)证明：设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴点A 的坐标为(－1,0)，∴不论m 取何值，△ABC 中总有一个顶点A (－1,0)为定点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋my －m m ＋1＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝m ＋1，即l 2与l 3交点为B (0，m ＋1)．再由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，x ＋my －m m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m m 2＋1，y ＝m 3＋m 2＋mm 2＋1，即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫mm 2＋1，m 3＋m 2＋m m 2＋1.设边AB 上的高为h ， ∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝12·1＋m ＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m m ＋1m 2＋1－m 3＋m 2＋m m 2＋1＋m ＋1m ＋12＋1＝12·|m 2＋m ＋1|m 2＋1＝12·m 2＋m ＋1m 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m m 2＋1.当m ＝0时，S ＝12；当m ≠0时，S ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1m ＋1m . ∵函数f (x )＝x ＋1x的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．∴－12≤1m ＋1m <0或0<1m ＋1m≤12，∴14≤S <12或12<S ≤34. 当m ＝1时，△ABC 的面积的最大值为34，当m ＝－1时，△ABC 的面积的最小值为14.。
数轴动点问题知识点及四大考法完整版 (2)
1、 动点三要素：① 起点：最初的位置② 方向：向右就加，向左就减③ 速度：=×速度时间运动距离位置公式：=±×位起点速度置时间例如：点A 在数轴上对应的数为1,沿数轴向右开始运动，速度为每秒2个单位，则t 秒后A 点对应的数为？解答：12t +练1点A 在数轴上对应的数为3,沿数轴向左开始运动，速度为每秒1个单位，则t 秒后A 点对应的数为______练2点A 在数轴上对应的数为2−,沿数轴运动，速度为每秒3个单位，则t 秒后A 点对应的数为______2、距离表示：距离右左①相对位置确定：=−②相对位置不确定：=距离右左左右=−−例1：点A在数轴上对应的数为1,点B在数轴上对应的点为3，则A、B之间的距离为多少？−=解答：312例2：点A在数轴上对应的点为1,点B在数轴上对应的点为x，则A、B之间的距离为多少？x−解答：1练1点A在数轴上对应的数为2−,点B在数轴上对应的点为4，则A、B之间的距离为_____练2点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的点为b，则A、B之间的距离为_____3、 中点公式：已知A 在数轴上对应的数为a ，B 在数轴上对应的数为b ，则A 、B 的中点M 对应的数为2m a b +=中点公式进阶：已知A 在数轴上对应的数为a ，A 、B 的中点M 对应的数为m ，则B 在数轴上对应的数为2b a m =−例1：点A 为3,点B 为7−，则A 、B 的中点是多少？解答：()3227+−=−3、 中点公式：已知A 在数轴上对应的数为a ，B 在数轴上对应的数为b ，则A 、B 的中点M 对应的数为2m a b += 中点公式进阶：已知A 在数轴上对应的数为a ，A 、B 的中点M 对应的数为m ，则B 在数轴上对应的数为2b a m =− 练1点A 为10−,点B 为6，则A 、B 中点对应数为____ 练2点A 为10−,A 、B 中点为2，则点B 对应数为____考法1：相遇问题、相遇时，t是多少？相遇时P对应的数为多少？P Q考法2：距离问题当t为何值时，PQ之间的距离为6？考法3：定值问题若Q点运动方向改为向右，那么在运动过程中，PQ PA−是否为定值？考法4：中点问题若P Q、出发的同时，点M从原点出发，向右运动，速度为3个单位每秒，则t为何值时，P Q M、、中，任意一点是其余两点所连线段的中点？考法1：相遇问题P Q、相遇，t是多少？相遇时P对应的数为多少？分析：相遇表示同一时间到达同一位置，分别表示P、Q 位置，利用位置相等建方程即可解析：t秒后，点P位置为2t+，点Q位置为102t−P、Q相遇，则1202t t=+−解之得：83 t=248313+=，故相遇时，P点对应的数为143练习若P点运动方向改为向左，那么P Q、相遇时，t是多少？相遇时P对应的数为多少？考法2：距离问题当t为何值时，PQ之间的距离为6？分析：分别表示P、Q位置,再表示距离建方程，需注意的是P、Q相对位置不确定，故需加绝对值解析：t秒后，点P位置为2t+，点Q位置为102t−则()810223P ttQ t+=−−=−令386t−=，解之得：21433 t=或故21433t=或时，PQ之间的距离为6练习当t为何值时，PQ之间的距离为2？考法3：定值问题若Q点运动方向改为向右，那么在运动过程中，PQ PA−是否为定值？分析：分别表示PQ、P A的距离，再代入PQ PA−计算，看结果是否为定值即可，本题相对位置确定，故表示位置时，无需加绝对值解析：t秒后，点P为2t+，点Q为102t+,点A为2则()()++t t=−=+，22t10PQ t228=−=tPA+则88PQ PA t t−=+−=故PQ PA−为定值练习Q点运动方向仍为向右，BQ的中点记为M，则PM的长是否为定值？考法4：中点问题P Q 、出发同时，M 从原点出发，向右运动，速度为3个单位每秒，t 为何值时，P Q M 、、中任意一点是其余两点中点？分析：分别表示P 、Q 、M 的位置，再分三类讨论，每一类根据中点公式列方程即可解析：t 秒后，点P 为2t +，点Q 为102t −，点M 为3t①若P 为QM 中点，则310222t t t +=+−，6t = ②若Q 为PM 中点，则221230t t t +−+=，94t = ③若M 为PQ 中点，则232102t t t +=+−，127t = 练习考法4中，点P 方向改为向左，其余条件和问题均不变，则t 为何值？。
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①有3个互不相等的有理数a，b，c。
它们在数轴上对应的点是A，B，C。
如果|b-a|-|c-a|+|c-b|=0，那么这3个点哪个在中间，选（）。
A: 点A在中间 B: 点B在中间 C: 点C在中间 D:以上三种情况都有可能答
案：B
解析：|b-a|-|c-a|+|c-b|=0可得|b-a|+|c-b|=|c-a|
根据几何意义b到a的距离加上b到c的距离等于a到c的距离，所以B点在中间。
②有3个互不相等的有理数a，b，c它们在数轴上对应的点是A，B，C。
如果AB中点表示的数是10，BC中点表示的数是8，AC中点表示的数是-2，那么a+b+c= 。
答案：16
解析：根据中点公式，a+b=20；b+c=16；a+c=-4
三个式子相加2(a+b+c)=32，所以a+b+c=16。
（或直接用(a+b)/2 + (b+c)/2 + (a+c)/2=16)
③已知数轴上点P是AB的中点，它们表示的数如图。
那么x-a的值是( )。
A: 0.5(a-b) 或 0.5(b-a) B: 0.5(a-b) C: 0.5b+0.5a D: 0.5b-0.5a
答案：D
解析：x-a=(a+b)/2 - a=b/2 - a/2 =（b-a)/2=0.5b-0.5a
④利用绝对值的几何意义解方程：|x+2|+|x-3|=9
答案:x=5或-4
解析：根据绝对值的几何意义，即到-2的距离+到3的距离和是9，那么这个点可以是5或-4。
⑤有两个有理数x，y。
数轴上A，B两点的距离是2020，点A表示的数是x-y，点B代表的数是x+3y，
则y对应的点到原点的距离是多少。
答案:505
解析：两点距离AB=|x-y-(x+3y)|=|4y|=2020
所以|y|=505，即y对应的点到原点的距离。
⑥已知数轴上有点A，B，C，D四个点，已知C是AB的中点，D是BC的中点。
点A表示的数是a，
点B表示的数是-b，那么点D表示的数是。
(用含a，b的式子表示)
答案:(a-3b)/4
解析：点C表示的数:(a-b)/2
点D表示的数:((a-b)/2 - b)/2=(a-3b)/4。