圆锥曲线-抛物线的基本知识与练习
根据抛物线知识点梳理及练习
根据抛物线知识点梳理及练习抛物线是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程和其他领域。
本文将对抛物线的知识点进行梳理，并提供一些练题供研究和巩固。
1. 抛物线的定义和特点抛物线可以通过以下定义来进行描述：抛物线是平面上一种曲线，其点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
主要特点包括：- 顶点：抛物线的最高或最低点称为顶点，记为(V)。
- 焦点：抛物线的焦点是准线与对称轴的交点。
- 准线：平行于对称轴，且与焦点的距离等于对称轴的曲线。
- 对称轴：通过顶点和焦点的一条直线为对称轴，对称轴上各点到焦点的距离相等。
2. 抛物线的方程和表示方法抛物线的方程可以使用以下形式表示：- 标准形式：y = ax^2 + bx + c- 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k- 描述形式：(x - h)^2 = 4p(y - k)其中，a是抛物线的开口方向和形状因子，h和k分别是顶点的横坐标和纵坐标，p是焦点到对称轴的距离。
3. 抛物线的性质和运动学应用抛物线具有一些重要的性质和运动学应用：- 对称性：关于对称轴具有对称性，即抛物线上的任意一点到对称轴的距离相等。
- 最值点：顶点是抛物线的最高或最低点，根据抛物线的开口方向可确定是极大值还是极小值。
- 轨迹：抛物线的轨迹可以描述物体自由落体运动的路径。
- 抛物线方程应用：抛物线方程可以应用于弹道学、反射面天线和卫星轨迹等计算中。
练题1. 写出以下抛物线的方程形式：- 顶点在(2, 3)，开口向上的抛物线。
- 焦点在(-1, 4)，准线为y = 3，开口向下的抛物线。
2. 抛物线的准线为x = -1，焦点在(2, 5)，开口向上，请写出抛物线的标准形式方程。
3. 抛物线的焦点在(3, 4)，顶点在(1, 2)，请写出抛物线的顶点形式方程。
参考答案1.- y = a(x - 2)^2 + 3- (x + 1)^2 = -8(y - 4)2. y = (1/4)(x + 1)^2 + 53. y = (1/2)(x - 1)^2 + 2以上是对抛物线知识点的梳理和一些练习题的提供，希望能对学习和理解抛物线有所帮助。
圆锥曲线方程-抛物线(知识点、典型例题、考点、练习)
抛物线 典例剖析知识点一 抛物线概念的应用已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．解将x=3代入抛物线方程 y 2=2x ，得y=〒6.6>2，∴点A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ： x=21的距离为d ，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d ， 当PA ⊥l 时，|PA|+d 最小， 最小值为27，即|PA|+|PF|的最小值为27， 此时P 点纵坐标为2，代入y 2=2x ，得x=2， ∴点P 坐标为(2,2)．知识点二 求抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．分析 设出抛物线的标准形式，依据条件求出p 的值．解 (1)设抛物线标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，则将点(－3,2)代入方程得2p ＝43，或2p ＝92，故抛物线的标准方程为y 2＝－43x ，或x 2＝92y .(2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py ，则由p2＝2，得2p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝－8y .②令y ＝0，由x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线方程为y 2＝2px ，由p2＝4，得2p ＝16.∴所求抛物线方程为y 2＝16x .知识点三 抛物线在实际中的应用汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？分析 确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离解 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB|=24.灯深|OP|=10， 所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y 2=2px(p>0)．由点A(10,12)在抛物线上，得122=2p ×10， ∴p=7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.知识点四 抛物线几何性质的简单应用抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．分析 先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数．解 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)， 又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a |＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x ，或y 2＝－12x .知识点五 直线与抛物线已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)，或y ＝－2(x －p 2)．知识点六 抛物线的焦点弦问题AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，MN ⊥l ，N 为垂足．求证：(1)AN ⊥BN ； (2)FN ⊥AB ；(3)若MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN .证明 (1)作AC ⊥l ，垂足为C ，作BD ⊥l ，垂足为D ，在直角梯形ABDC 中， ∵|AF|=|AC|，|BF|=|BD|， ∴|MN|=21(|AC|+|BD|) =21(|AF|+|BF|) =21|AB|， 由平面几何知识可知△ANB 是直角三角形，即AN ⊥BN. (2)∵|AM|=|NM|， ∴∠MAN=∠MNA ， ∵AC ∥MN ，∴∠CAN=∠MNA ，∴∠MAN=∠CAN.在△ACN 和△AFN 中，|AN|=|AN|，|AC|=|AF|， 且∠CAN=∠FAN ，∴△ACN ≌△AFN ， ∴∠NFA=∠NCA=90°， 即FN ⊥AB.(3)在Rt △MNF 中，连结QF ， 由抛物线的定义及(2)的结论得 |QN|=|QF|⇒∠QNF=∠QFN ，且∠QFN=90°-∠QFM ，∠QMF=90°-∠QNF ， ∴∠QFM=∠QMF ，∴|QF|=|QM|， ∴|QN|=|QM|，即Q 平分MN.知识点七 抛物线的综合问题过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点，设△AOB 的面积为S (O 为原点)．(1)用θ、p 表示S ；(2)求S 的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程．解 (1)设直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ k 2＋1k 2·4p 2k2＋4p 2＝(1＋1k 2)2p ＝(1＋1tan 2θ)2p＝2p sin 2θ.① 当直线AB ⊥x 轴时，①也成立．∴S ＝12|OF ||AF |sin θ＋12|OF ||BF |sin(π－θ)＝12|OF ||AB |sin θ ＝12·p 22p sin 2θsin θ＝p 22sin θ. (2)当θ＝90°时，S min ＝12p 2.若S min ＝4，则12p 2＝4.∴p ＝2 2.∴此时抛物线的方程为y 2＝42x .考题赏析1．(辽宁高考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5 D.92解析 如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析 ∵y ＝ax 2－1，∴y ＋1＝ax 2.令y ＋1＝y ′，x ＝x ′，则y ′＝ax ′2，∴x ′2＝2×12ay ′，∴x ′2＝1a y ′的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，即y ＋1＝14a ， ∴y ＝ax 2－1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a －1. 又y ＝ax 2－1的焦点是原点，∴14a ＝1，∴a ＝14.∴y ＝14x 2－1.令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝±2.故y ＝14x 2－1与两坐标轴的三个交点为(0，－1)，(2,0)，(－2,0)，∴围成三角形面积为S ＝12×4×1＝2.答案 23．(全国Ⅱ高考)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积等于________．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.答案 21．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2C ．|a |D ．－a2答案 B解析 因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p 答案 B解析 由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.3．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x 答案 B解析 点P (－3，m )在抛物线上，焦点在x 轴上，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)．由抛物线定义知|PF |＝3＋p2＝5.所以p ＝4，所以抛物线的标准方程是y 2＝－8x .应选B.4．抛物线y 2＝ax 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x 答案 D解析 因为x 23－y 2＝1的左焦点为(－2,0)，所以抛物线开口向左，所以a <0，且p ＝|a |2＝4，所以a ＝－8，所以抛物线方程为y 2＝－8x ，故选D.5．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．答案 3＋2 2解析 ∵y 2＝4x 的焦点坐标为 F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∴过F 且斜率为1的直线方程为y = x - 1.将其代入y 2= 4x 得 x 2 - 6x + 1=0.∴x 1, 2 =62± = 3〒22.∵|FA|>|FB|，∴x A =3+22，x B =3-22.又|FA|= x +1，|FB|= x B +1，∴|FA||FB|== 3+22. 答案 －36. 过抛物线y 2 = 4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则· 的值是________．. 解析 当直线过焦点且垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，代入y 2＝4x ，y 1,2＝±2.A 、B 点的坐标分别为(1,2)，(1，－2)．∴·OB →＝1－4＝－3.当直线过焦点不垂直x 轴时，则直线的方程可设为y ＝k (x －1)，设A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)(x 2，y 2)．则y 21·y 22＝16x 1x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k ＋4)x ＋k 2＝0， ·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3. 7．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，若动圆C 与圆A 相外切，且与直线l 相切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则由题意知|CA |＝d ＋1从而可知圆心C 到点(－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．所以动圆圆心C 的轨迹是抛物线，其焦点为(－2,0)，准线为x ＝2，故设动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－2px (p >0)，由p2＝2，得p ＝4.因此动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－8x .8．已知点M (－2,4)及焦点为F 的抛物线y ＝18x 2，在此抛物线上求一点P 使|PM |＋|PF |的值最小．分析 先根据已知条件画出图形，由定义知，抛物线上的点P 到焦点F 的距离等于P 到准线l 的距离d ，所以求|PM |＋|PF |的最小值问题可转化为求|PM |＋d 的最小值问题，让点P 在抛物线上运动，容易发现当点P 运动到过点M 且与x 轴垂直的直线与抛物线的交点处时，|PM |＋d 最小．解 如图，设MN ⊥x 轴，与准线交于N ，与抛物线交于点P ，在抛物线上任取一点P ′，连P ′M ，P ′F ，作P ′N 垂直于准线，垂足为N ′.由抛物线的定义，|PN|=|PF|，|P ′N ′|=|P ′F||P ′M|+|P ′N ′|=|P ′M|+|P ′F| |PN|+|PM|=|PM|+|PF|∵|P ′M|+|P ′N ′|≥|PN|+|PM| ∴|P ′M|+|P ′F|≥|PM|+|PF|这就是说，当P ′与P 重合时，|PM|+|PF|的值最小解方程组22,1,8x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得P(-2，12)． 9．已知抛物线y 2＝2x ，过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 中点的轨迹方程．解 设弦AB 的中点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝2y ，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1y，即k AB ＝1y .又k MQ ＝y －1x －2，由题意知k MQ ＝k AB .∴y －1x －2＝1y，整理， 得y 2－x －y ＋2＝0.所以，弦AB 中点的轨迹方程为y 2－x －y ＋2＝0.10．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解 如右图所示，依题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0)，则直线方程为y=-x+12p. 设直线交抛物线于A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| =x 1+2P + x 2 + 2P ， 即x 1+x 2 +p=8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 故抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .讲练学案部分2．4.1 抛物线及其标准方程.对点讲练知识点一 求抛物线的标准方程分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)．(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． 解 (1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p 1y (p 1＞0)，把点(3，－4)的坐标分别代入得(－4)2＝2p ×3,32＝－2p 1×(－4)即2p ＝163，2p 1＝94∴所求抛物线的方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15 ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－60x 或x 2＝－20y .【反思感悟】 求抛物线方程应首先确定焦点的位置，进而确定方程的形式，然后利用已知条件求p 的值．求满足下列条件的抛物线的方程．(1)以坐标轴为对称轴，且过点A (2,3)；(2)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.解 (1)由题意，方程可设为y 2＝mx 或x 2＝ny ， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3，∴m ＝92或n ＝43.∴所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(2)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .知识点二 抛物线定义的应用已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．解 设抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则准线方程为x ＝p2.∵点M (－3，m )是抛物线上的点，根据抛物线定义，M 点到焦点的距离等于M 点到准线的距离∴|－3|＋p2＝5 ∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上故m 2＝－8×(－3) ∴m ＝±2 6.【反思感悟】 涉及抛物线上一点与焦点的距离问题要注意用定义转化为该点到准线的距离，可简化计算．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 D解析 设动圆的圆心为M ，半径为r ，动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，则M 到定点(2,0)的距离为r ＋1，动圆与直线x ＝－1相切，则点M 到定直线x ＝－1的距离为r ，所以M 到定点(2,0)和到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义知，答案选D.知识点三 抛物线知识在实际中的应用喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2= -2py(p>0)，点C(5， -5)在抛物线上，所以25= -2p ·(-5),2p=5，所以抛物线的方程为x 2= -5y ，点A(-4，y 0)在抛物线上，所以16= -5y 0，y 0 = -165，所以OA 的长为5 - 165=1.8 (m)．∴管柱OA 的长是1.8 m.【反思感悟】 根据题意，建立直角坐标系，用待定系数法求出抛物线方程，再利用抛物线方程解决实际问题．抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 可设抛物线方程为x 2＝－2py ，则点(－2，－2)在抛物线上，则有：4＝4p . ∴p ＝1，抛物线方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6. ∴水面宽为2 6. 课堂小结：1.四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向.2.焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2=2py 通常又可以写成y=ax 2,这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式.3.经过抛物线的焦点的弦称为抛物线的焦点弦，它有以下特性：设焦点弦AB 的端点坐标分别为A （x 1 , y 1）,B(x 2,y 2)，则y 1y 2= - p 2, x 1x 2 = 24p ，|AB|= x 1 + x 2 + p.课时作业一、选择题1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x 答案 D解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即(－2,0)、(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．抛物线y ＝mx 2(m <0)的焦点坐标是( )A ．(0，m 4)B ．(0，14m )C ．(0，－m 4)D ．(0，－14m)答案 B解析 由于抛物线方程可化为x 2＝1my (m <0)，所以抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且2p ＝－1m ，所以p 2＝－14m ，所以抛物线的焦点坐标是(0，14m)，答案选B.3．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 答案 C解析 容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，l 与抛物线有一个公共点，或者l 在M 点上与抛物线相切，故选C.4．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上不同的两点，则y 1·y 2＝－p 2是直线P 1P 2通过抛物线焦点的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 设直线P 1P 2的斜率为k ，在x 轴上的截距为x 0，则P 1P 2的方程为y ＝k (x －x 0)， x ＝1ky ＋x 0(k ＝0时只有一个交点不合题意)， 所以y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1k y ＋x 0，即y 2－2pky －2px 0＝0. 当直线P 1P 2过焦点时，x 0＝p2，则y 1y 2＝－p 2.当y 1y 2＝－p 2时，即－2px 0＝－p 2，则x 0＝p2，直线过焦点．当斜率不存在时也可验证是充要条件．5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 B解析 方法一 由已知得抛物线焦点为(1,0)，过焦点的直线设为y ＝k (x －1)(由x 1＋x 2＝6知，此直线不平行于y 轴，因而k 存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2＝6，x 1·x 2＝1得k ＝±1.所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝2(x 1－x 2)2＝64，故|AB |＝8.方法二 由焦半径公式|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.二、填空题6．抛物线2y 2＋5x ＝0的焦点坐标为____________，准线方程为______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－58，0 x ＝58解析 化抛物线2y 2＋5x ＝0为标准方程y 2＝－52x,2p ＝52，p 2＝58，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.7．设点M ⎝⎛⎭⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则当d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为____________．答案 (2,2)解析 当P 点是M 与焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0连线与抛物线交点时，d 1＋d 2最小，MF 的方程为y ＝43x －23，与抛物线y 2＝2x 联立得P (2,2)． 三、解答题8．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦恰被Q 平分，求AB 所在直线方程． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因点Q (4,1)为A ，B 的中点则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8y 1＋y 2＝2将A 、B 两点坐标代入y 2＝8x .则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1 ①y 22＝8x 2 ②①－②得：(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，由y 1＋y 2＝2，则有y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴k AB ＝4.∴所求直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.9．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一宽4米、高6米的矩形大木箱，问能否安全通过？解建立坐标系如图，设抛物线方程为 x 2= -2py ，则点(26， -6.5)在抛物线上， ∴262= -2p ·(-6.5)，∴p=52，抛物线的方程为x 2= -104y ，当y=-0.5时，x=〒213，则有413>4， 所以木箱能安全通过．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1|F A |＋1|FB |为定值． 证明 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2 (k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px消去y ， 得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p2，x 1x 2＝p24也成立．(2)由抛物线的定义知，|F A |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p2.又由(1)得x 1x 2＝p24，所以1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24 ＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p(定值)． 2．4.2 抛物线的简单几何性质.对点讲练知识点一 由性质求方程已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．解 设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23，由对称性知，y 2＝－y 1，代入上式得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1.所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上，点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上，所以3＝2p 或3＝－2p ×(－1)．所以p ＝32，所以所求抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【反思感悟】 (1)由已知的几何条件求抛物线方程，常用待定系数法．(2)由于抛物线是轴对称图形，所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求此抛物线的标准方程．解 ∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1得4x 2＋(4－2p )x ＋1＝0.∴|x 1－x 2|＝(4－2p )2－164＝p 2－4p2.∴1＋22|x 1－x 2|＝52p 2－4p .∴52p 2－4p ＝15.∴p ＝6或p ＝－2. ∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .知识点二 与抛物线有关的证明问题过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．证明如图所示，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系． 设抛物线的方程为y 2=2px ，①点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则直线OA 的方程为 y ＝2py 0x (y 0≠0)，②抛物线的准线方程是x ＝－p2.③联立②③，可得点D 的纵坐标为y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB ⊥x 轴时，|y 0|＝p 此时，|OA |＝|OD |，∴DB ∥x 轴当AB 与x 轴不垂直时，即y 20≠p 2时，直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2⎝⎛⎭⎫x －p 2，⑤ 联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0.⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴．【反思感悟】 因抛物线方程的独特形式，较之椭圆与双曲线，它上面的点便于用一个变量表示出来，如y 2＝2px 上任一点，可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y ，注意恰当运用．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，Q 是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO 交准线于P 点，过Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R 点，求证：PF ⊥RF .证明如图所示，设点Q ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则R.（-2p，y 0 ） 直线OQ 的方程为y=02y p x ， 当x=-2p 时，解得y=-02y p，∴P ＝2,20p p y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又F （2p ，0），∴RF →＝⎝⎛⎭⎫p ，p 2y 0，RF →＝(p ，－y 0) ∴RF →·RF →＝0，∴PF ⊥RF .知识点三 直线与抛物线的交点问题已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解 由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)y 2＝4x ，可得：ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① (1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1.把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)． 1°由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1，或k ＝12.于是，当k ＝－1，或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l 与抛物线只有一个公共点．2°由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12.于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组有两个解．这时，直线l与抛物线有两个公共点．3°由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1，或k >12.于是，当k <－1，或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得当k ＝－1，或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1，或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．【反思感悟】 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，抛物线和直线相交，只有一个交点．解决直线与抛物线位置关系问题时，不要忽视这一点，否则容易漏解．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？解 将l 和C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1， ①y 2＝4x ， ②①式代入②式，并整理，得 k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．(1)当Δ＝0时，即k ＝1时，l 与C 相切． (2)当Δ>0时，即k <1时，l 与C 相交． (3)当Δ<0时，即k >1时，l 与C 相离．当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．综上所述，当k ＝0或k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离．课堂小结：1.在已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x 轴,求抛物线的标准方程时,为避免讨论张口的方向可设抛物线的方程为y 2=2ax (a ≠0).此时,不论a>0或a<0,焦点坐标都是（2a,0）,准线方程都为x=-2a . 2.抛物线y 2= 2px (p>0)上任一点的坐标可用一个量y 1表示为21(1),2y y p;x 2 = 2py (p>0)上任一点坐标可设为（x 1 , 212x p）.3.直线与抛物线的位置关系设直线l ：y=kx+m ，抛物线：y 2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2+bx+c=0,(1)若a ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.（2）若a=0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( )A ．|x 0－p 2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p | 答案 B解析 当p >0时，由抛物线定义得点P (x 0，y 0)到焦点的距离为x 0＋p2，当p <0时由抛物线定义知P (x 0，y 0)到焦点的距离为－p 2－x 0，综上得所求距离为|x 0＋p2|，故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 A解析 设A 、B 两点的横坐标分别为x A 、x B ，则有x A ＋x B ＝8，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝8＋p ＝8＋2＝10.3．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为( )A.32 3B.25 5C.710 5D.172 答案 B解析 由已知得抛物线方程为y 2＝4x ，直线方程为2x ＋y －4＝0，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是F (1,0)，到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋0－4|22＋1＝255.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 答案 A解析 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23， 所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 二、填空题5．抛物线的顶点在原点，准线垂直于x 轴，且焦点到顶点的距离为4，则其方程为______________________．答案 y 2＝16x 或y 2＝－16x解析 焦点到顶点的距离即p2＝4，p ＝8.6．抛物线y ＝x 2上的点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是____________． 答案 (1,1)解析 设点A (x ，y )是符合题设条件的点，则由点到直线的距离公式，得d ＝55|2x －y －4|＝55|2x －x 2－4| ＝55|－(x －1)2－3|≥355. 当且仅当x ＝1时，d 取得最小值，故所求点为(1,1)．7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是____________．答案 [－1,1]解析 Q 点坐标为(－2,0)，直线l 的斜率不存在时，不满足题意，所以可设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋2)．当k ＝0时满足．当k ≠0时，x ＝1ky －2，代入y 2＝8x ，得y 2－8k y ＋16＝0.Δ＝64k2－64≥0，k 2≤1，即－1≤k ≤1(k ≠0)．综上，－1≤k ≤1.三、解答题8．过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程． 解 显然，直线存在斜率k ， 设其方程为y －2＝k (x ＋3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x ＋3)y 2＝4x 消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件． (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根． 由⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠0Δ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠016－4k (8＋12k )＝0，得k ＝13或k ＝－1.∴直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为： y ＝2，x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.9．A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，满足OA ⊥OB ，其中O 为抛物线顶点．求证： (1)A ，B 两点的纵坐标乘积为定值； (2)直线AB 恒过一定点． 证明(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠0，x 2≠0，则y 12=2px 1， y 22=2px 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2 + y 1y 2=0.∴y 12y 22、= 4p 2 x 1x 2 = 24p -y 1y 2.∴y 1y 2 =24p -为定值， x 1x 2=-y 1y 2=4p 2也为定值．∴A 、B 两点的纵坐标乘积为定值．(2)若AB ⊥x 轴，则易知直线AB 方程为x = 2p ， 过点(2p,0)；若AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，y 1+y 2≠0.由y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，得1212122y y px x y y -++=. ∴直线AB 的方程是y= 122py y + (x -x 1)+y 1，即y = 211121222px px y y y y y ++-+。
圆锥曲线抛物线的基本知识点
圆锥曲线抛物线的基本知识点一、什么是抛物线？抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它是由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）确定的所有点到焦点距离等于该点到准线距离的轨迹。
二、抛物线的基本性质1. 抛物线的对称轴是准线，焦点在对称轴上；2. 抛物线上任意一点与其对称轴的距离相等；3. 焦点到抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等；4. 抛物线在对称轴上有最小值，即顶点；5. 抛物线开口方向由焦点和准线位置决定。
三、抛物线方程1. 标准式：y = ax^2 （a>0）其中 a 为常数，表示开口方向和开口大小。
2. 顶点式：y - k = a(x - h)^2其中 (h, k) 为顶点坐标。
3. 参数式：x = at^2, y = 2at其中 t 为参数。
四、抛物线应用1. 物理学中，抛物运动就是指在重力作用下，以一定初速度沿着一个确定角度投掷出去后，运动轨迹为抛物线的运动方式。
2. 工程学中，抛物线常用于设计拱形桥、天桥、高架桥等建筑结构。
3. 数学中，抛物线是圆锥曲线中最简单的一种，也是研究圆锥曲线的基础。
五、抛物线相关概念1. 焦距：焦点到顶点的距离。
2. 焦直线：过焦点且与准线垂直的直线。
3. 焦半径：从焦点到抛物线上任意一点的距离。
4. 垂直平分线：过顶点且与对称轴垂直的直线。
六、抛物线相关定理1. 抛物定理：从焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线距离的一半。
2. 切角定理：从焦点引一条切线，该切线与准线之间的夹角等于该切点处法向量与准线方向向量之间夹角（即反射角等于入射角）。
3. 两个相交抛物面交于一条直母线。
2022_23学年高中数学第3章圆锥曲线与方程-抛物线的简单几何性质同步练习湘教版选择性必修第一册
3.3.2 抛物线的简单几何性质A级必备知识基础练1.以x轴为对称轴,通径长为8,顶点在坐标原点的抛物线的标准方程是( )A.y2=8x或x2=8yB.y2=-8x或x2=-8yC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y2.已知F为抛物线C:x2=4y的焦点,直线l与C交于A,B两点,若AB中点的纵坐标为3,则|AF|+| BF|的值( )A.等于8B.等于7C.等于5D.随A,B两点坐标变化而变化3.(2022北京二中高二月考)抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,则抛物线C的标准方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.y2=12xD.y2=16x4.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是( )A.2B.3C.4D.05.(多选题)平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C,则( )A.曲线C的标准方程为x2=4yB.曲线C关于y轴对称C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d≥26.如图1是抛物线型拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,建立如图2所示的直角坐标系,则抛物线的标准方程为 ;水面下降1米后,水面宽 米.图1图27.已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O 为坐标原点.若△OAB的面积等于4,则抛物线的标准方程为 .8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C与y=2x的一个交点是M(m,2).(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l:y=x+n(n≠0)与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求n的值.B级关键能力提升练9.已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB的中点G的横坐标是( )A. B. C. D.110.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的标准方程为( )A.y2=xB.y2=3xC.y2=xD.y2=9x11.已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|等于( )A.2B.C.2D.412.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是2,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )A.C的准线方程为x=-1B.线段AB的长度的最小值为4C.M的坐标可能是(3,2)D.存在直线l,使得OA与OB垂直13.抛物线x2=y上到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是 .14.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.C级学科素养创新练15.已知抛物线E的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且直线y=x+1与E相切.(1)求E的标准方程;(2)设P为E的准线上一点,过P作E的两条切线,切点为A,B,求证:PA⊥PB.参考答案3.3.2 抛物线的简单几何性质1.C 当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x;当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=-8x.所以所求抛物线的标准方程为y2=±8x.故选C.2.A 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+y2+p=6+2=8,故选A.3.B 抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由抛物线的定义以及抛物线上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,可得1--=3,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x.故选B.4.B 因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0.因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,最小值为3.故选B.5.AB 由抛物线定义可知曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其标准方程为x2=4y,曲线关于y轴对称,故A正确,B正确;由x2=4y知y≥0,故C错误;点P到直线l的距离d≥1,故D错误.故选AB.6.x2=-4y 4 设这条抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由已知抛物线经过点(2,-2),可得8=-2p×(-2),解得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=-4y.当y=-3时,x2=12,解得x=±2,所以当水面下降1米后,水面宽4米.7.y2=4x 由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则焦点F,0,直线l:x=,|AB| =2p.因为△OAB的面积为S△OAB=×2p=4,所以p=2.所以抛物线的标准方程为y2=4x.8.解(1)由题意可得解得故抛物线C的标准方程是y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得y2-4y+4n=0,Δ=16-16n>0,n<1,则y1+y2=4,y1y2=4n,从而x1x2==n2.因为OA⊥OB,所以=0,即x1x2+y1y2=n2+4n=0,又n≠0,所以n=-4.9.C 如图所示,由题意可得抛物线的准线m的方程为x=-.过点G向准线m作垂线,垂足为D,过A,B分别向准线m作垂线,垂足为A',B',则|AA'|+|BB'|=| AB|=2.因为弦AB的中点为G,所以|GD|=(|AA'|+|BB'|)=|AB|=1,所以点G的横坐标是1-,故选C.10.B 由抛物线定义,|BF|等于点B到准线的距离,因为|BC|=2|BF|,所以∠BCM=30°.又|AF|=3,所以A.点A在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px(p>0),解得p=(负值舍去).故抛物线的标准方程为y2=3x.故选B.11.D 抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设点M,y,∵∠OFM=120°,∴>1,∴|y|=-1,整理得y2-4|y|-4=0.解得|y|=2(负值舍去),∴|FM|==4.故选D.12.ABC 由已知可得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x,则点F(1,0),准线的方程为x=-1,故A正确;当AB⊥x轴时,AB的长度取最小值,令x=1,代入抛物线方程解得y=±2,所以AB的长度的最小值为4,故B正确;设直线l的方程为x=my+1,A(x A,y A),B(x B,y B),M(x M,y M),将x=my+1代入抛物线方程可得y2-4my-4=0,Δ=16(m2+1)>0,则y A+y B=4m,所以x A+x B=m(y A+y B)+2=4m2+2,x M=2m2+1,当m=1时,可得M(3,2),故C正确;因为y A y B=-4,所以x A x B=1,所以=x A x B+y A y B=1-4=-3,所以≠0,故D错误.故选ABC.13.(1,1) 设抛物线y=x2上一点为A(x0,),点A(x0,)到直线2x-y-4=0的距离d=|(x0-1)2+3|,当x0=1时,抛物线x2=y上一点到直线2x-y-4=0的距离最短,此时点A的坐标为(1,1).14.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+.又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=.联立可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,Δ=144(t-1)2-144t2=144(1-2t)>0,t<,则x1+x2=-.从而-,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.联立可得y2-2y+2t=0,Δ=4-8t>0,t<,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=,即A(3,3),B,-1.故|AB|=.15.(1)解依题意可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),与直线y=x+1联立,可得x2+(2-2p)x+1=0,由Δ=(2-2p)2-4=0,解得p=2(p=0舍去).所以抛物线的标准方程为y2=4x. (2)证明易知过点P的两条切线斜率存在且不为0,设P(-1,m),切线的方程为y-m=k(x+1),与y2=4x联立,可得ky2-4y+4k+4m=0,由Δ=0,即16-16(k+m)k=0,整理得k2+km-1=0,易知方程有两个不相等的实数根,设为k1,k2,所以k1k2=-1,即PA⊥PB.。
圆锥曲线--椭圆_双曲线、抛物线的经典题型和相关练习
FA P HBQ专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。
高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
(完整word版)圆锥曲线基础知识专项练习
圆锥曲线练习一、选择题（本大题共13小题,共65。
0分)1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A。
k＞1 B.k＜—1C。
-1＜k＜1 D。
-1＜k＜0或0＜k＜12。
方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A.m∈（—1，2）B。
m∈（-4,2)C。
m∈（-4，-1）∪（—1，2） D.m∈（—1，+∞)3.已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（）A.1或3 B。
1 C.3 D。
64。
已知椭圆的焦点为（-1,0）和（1，0），点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方程为（)A. B.C。
D。
5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆”，那么（)A。
甲是乙成立的充分不必要条件B。
甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件6。
“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A。
充要条件B。
充分非必要条件C.必要非充分条件D。
既不充分也不必要条件7。
方程+=10,化简的结果是（）A。
+=1 B。
+=1 C.+=1 D。
+=18.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为,则|PF｜=（)A.B。
C.D。
9。
若点P到点F(4，0）的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A。
y2=-16x B.y2=—32x C.y2=16x D.y2=32x10。
抛物线y=ax2(a＜0）的准线方程是( ）A.y=—B.y=-C.y=D.y=11.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=—3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.3B.4C.6D.812。
已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A(0,2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为( ）A。
2 B。
C.-1 D。
+113.若直线y=kx—2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（) A。
圆锥曲线知识点例题练习含答案
圆锥曲线一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程)0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y 图 形顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -=离心率)10(<<=e ace （离心率越大，椭圆越扁） 通 径 22b a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、双曲线：xO F 1 F 2 P y A 2 B 2 B 1xO F 1F 2 Py A 2A 1B 1B 2 A 1（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
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解析几何板块
1.解析几何板块——圆锥曲线
抛物线：
1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2. 标准方程
坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF的中点重合。
设|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：
3. 几何性质
以抛物线y2=2px（p>0）为例。
（1）范围。
x≥0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。
（2）对称性。
关于x轴对称。
（对称轴与准线垂直）
（3）顶点。
对称轴与抛物线的交点。
（4）离心率。
同椭圆、双曲线离心率定义。
e=1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。
4. 几个重要的解析结果：
（1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。
练习题：。