圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)基础知识及常用结论
圆锥曲线二级结论大全常用
圆锥曲线二级结论大全常用
圆锥曲线是解析几何中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
以下是一些关于圆锥曲线的常用二级结论：
1. 椭圆：
焦点定理，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，其中a是椭圆的半长轴长度。
离心率，椭圆的离心率是一个小于1的正数，定义为焦距与半
长轴之比。
焦半径定理，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之差等于该点
到两个焦点连线的长度。
2. 双曲线：
焦点定理，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数
2a，其中a是双曲线的半长轴长度。
离心率，双曲线的离心率是一个大于1的正数，定义为焦距与半长轴之比。
渐近线，双曲线有两条渐近线，这两条线在无穷远处与双曲线趋近于平行。
3. 抛物线：
焦点定理，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
对称性，抛物线关于准线对称。
焦半径定理，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离的二倍。
这些是圆锥曲线中的一些常用二级结论，它们可以帮助我们理解和分析圆锥曲线的性质和特点。
请注意，以上只是一些常见的结论，还有很多其他结论和性质可以进一步探索和研究。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点综述.doc
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点综述.双曲线首先，双曲线的定义:1.第一个定义:到两个固定点F1和F2的距离之差的绝对值等于固定长度点(| f1 F2 |)的轨迹((常数))。
这两个固定点被称为双曲线焦点。
注意两点:(1)距离差的绝对值。
(2) 2a | f1 F2 |时，移动点轨迹不存在。
2 .第二个定义:当从移动点到某一点f的距离与其到固定直线l的距离之比是常数e (e(e>1)时，移动点的轨迹就是双曲线的焦点，固定点叫做双曲线的焦点，固定直线l叫做双曲线的准线第二，双曲线的标准方程:(a > 0，b > 0)(聚焦在x轴上)；(a > 0，b > 0)(聚焦在y轴上)；1.如果项的系数为正，则焦点在X轴上；如果项的系数为正，则焦点在y轴上。
a不一定大于b 2。
具有双曲焦点的双曲系统方程是3。
双曲线方程也可以设置为: 示例:众所周知，双曲线和椭圆有相同的焦点，双曲线的轨迹方程是通过该点得到的。
三、点和双曲线的位置，直线和双曲线的位置:1点和双曲线:点在双曲线内，双曲线外的点在双曲线上2条直线和双曲线上: (代数方法)当设置直线和双曲线时，直线和双曲线相交于两点(一点在左边，一点在右边)；当或k不存在时，直线和双曲线之间没有交点；2)当直线和双曲渐近线平行时，直线和双曲在一点相交；如果直线和双曲线相交于两点；当、直线和双曲线分开，且没有交点时；当直线和双曲线有一个交点时；如果它不存在，直线和双曲线之间就没有交点。
直线和双曲线相交于两点。
3.通过固定点的直线和双曲线之间的位置关系:在固定点上设置直线，双曲线1)。
当点在双曲线内时:直线和双曲线各有一个交点；直线平行于双曲线的渐近线，直线和双曲线相交于一点。
或者，当一条直线和一条双曲线的一个分支不存在时，它们之间有两个交点。
2)。
当点在双曲线上时:或者，直线和双曲线只在点相交；直线和双曲线相交于两点(一点在左边，一点在右边)；()或()与否，直线和双曲线在一个分支上有两个交点；在那个时候，或者不存在，直线和双曲线只在该点相交；在偶然直线和双曲线的一个分支之间有两个交点。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是平面上一类特殊的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在数学中，对于圆锥曲线，有一些常用的二级结论，它们的推导和应用具有重要意义。
本文将介绍圆锥曲线常用的二级结论，包括离心率和焦点与直径的关系、切线与法线的性质、以及曲线参数方程等。
一、离心率和焦点与直径的关系对于椭圆和双曲线而言，离心率是一个重要的参数，它描述了曲线的扁平程度。
对于椭圆而言，离心率的取值范围是0到1之间，而对于双曲线而言，离心率大于1。
离心率和焦点与直径之间存在着紧密的关系。
对于任意一点P在椭圆或双曲线上，假设焦点为F，直径为D，那么有以下结论：1. 离心率与焦点到点P的距离与直径之间的关系：离心率e等于焦点到点P的距离PF与直径D的比值，即e=PF/AD，其中AD为直径D 的长度；2. 焦点到点P的两条切线的夹角等于直径与椭圆或双曲线的短轴之间的夹角；3. 过焦点F的切线与过点P的切线的交点为曲线上的另一点P'，那么点P与点P'到直径D的距离之比等于焦点到点P的距离与焦点到点P'的距离之比。
二、切线与法线的性质曲线上的每一点都可以有一条切线和一条法线，它们有一些重要的性质。
1. 切线与曲线的斜率之积等于-1，即两者是互相垂直的；2. 切线的斜率等于曲线在该点的导数，法线的斜率等于切线的负倒数；3. 曲线上任意一点的切线与法线的交点即为该点在曲线上的坐标。
三、曲线的参数方程曲线的参数方程是描述曲线上每一点的坐标的函数。
对于圆锥曲线而言，它们都可以用参数方程表达。
1. 椭圆的参数方程为：x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，θ为参数；2. 双曲线的参数方程为：x = a*coshθ，y = b*sinhθ，其中a和b分别为双曲线的长轴和短轴的长度，θ为参数；3. 抛物线的参数方程为：x = a*t，y = b*t^2，其中a和b分别为抛物线的参数，t为参数。
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结专题一：椭圆一、椭圆的定义平面内到两定点21,F F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆。
即a MF MF 221=+当2a ﹥2c 时，轨迹是椭当2a =2c 时，轨迹是一条线段21F F ，当2a ﹤2c 时，轨迹不存在。
椭圆的几何性质：222b c a +=（符合勾股定理的结构）【补充】过焦点做垂直与实轴且交椭圆的线段叫通径，通径的一半为ab 2专题二：双曲线知识点：1、双曲线的概念：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。
即a MF MF 221=- 当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线 当2a =2c 时，轨迹是两条射线 当2a ﹥2c 时，轨迹不存在【注】有绝对值时是两支，不含绝对值时仅一支. 2、双曲线的标准方程及几何性质：【注】焦点到渐近线的距离为b ；通径为ab 22。
3、常见双曲线的设法：（1）已知b a =的双曲线设为)0(22≠=-λλy x ； （2）已知过两点的双曲线可设为)0(122<=+AB By Ax ；（3）已知渐近线0=±nym x 的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλn y m x .4、两种特殊的双曲线：（1）实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲线的离心率为2.（2）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的共轭双曲线方程为12222=-a x b y ，它们有共同的渐近线为x aby ±=，它们的离心率21,e e 满足的关系式为1112221=+e e . 5、焦点三角形：设若双曲线方程为，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：若则2tan221θb S PF F =∆；特别地，当时，有。
6、直线与双曲线的位置关系：（注意直线与渐近线平行）思考：平面内任一点P 作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线有几条？ 几何方法：1、若P 在双曲线内，有2条（分别与渐近线平行）；2、若P 在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；3、若P 在双曲线外：①若P 在渐近线上且P 为原点时，0条；2222x y 1a b-=12FP F ,∠=θ12F P F 90∠=o122FPF S b =V 22221(0,0)x ya b a b-=>>②若P 在渐近线上且P 不为原点时，2条（与另一渐近线平行的一条，切线一条）；③若P 不在渐近线上，有4条（与渐近线平行的有两条，切线两条）； 代数方法：通过对直线方程与双曲线方程组成的一元二次方程组的求解来讨论它们的位置关系。
(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线的常用二级结论
圆锥曲线的常用二级结论圆锥曲线是由平面上一固定点（焦点）和一条固定直线（准线）构成的几何图形。
它们包括椭圆、双曲线和抛物线。
在学习圆锥曲线的过程中，常用的二级结论有以下几个：一、椭圆的性质1. 椭圆的离心率小于1：椭圆是由一个固定点（焦点）到平面上所有点到另一个固定点（焦点）的距离之和等于一个常数的所有点构成的集合。
这个常数就是椭圆的长轴长度，而短轴长度等于长轴长度乘以离心率。
因此，椭圆的离心率小于1。
2. 椭圆的两个焦点在长轴上：椭圆的两个焦点与长轴垂直，并且它们都在长轴上。
3. 椭圆是对称图形：椭圆具有对称性，即如果将它绕着中心旋转180度，它仍然保持不变。
4. 椭圆的周长公式：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，则椭圆周长公式为C=π(a+b)。
二、双曲线的性质1. 双曲线的离心率大于1：双曲线是由一个固定点（焦点）到平面上所有点到另一个固定点（焦点）的距离之差等于一个常数的所有点构成的集合。
这个常数就是双曲线的长轴长度，而短轴长度等于长轴长度乘以离心率。
因此，双曲线的离心率大于1。
2. 双曲线有两条渐近线：双曲线有两条渐近线，它们与双曲线趋近于无限远时重合。
3. 双曲线不具有对称性：与椭圆不同，双曲线不具有对称性。
4. 双曲线的渐近线方程：设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，则它的两条渐近线方程分别为y=±(b/a)x。
三、抛物线的性质1. 抛物线是对称图形：抛物线具有轴对称性，即如果将它绕着轴旋转180度，它仍然保持不变。
2. 抛物线焦点和准线相等距离：抛物线是由平面上所有点到一条直线（准线）的距离等于这些点到一个固定点（焦点）的距离的所有点构成的集合。
它的焦点和准线相等距离。
3. 抛物线方程：设抛物线方程为y=ax^2+bx+c，则它的焦点坐标为(-b/2a,1/4a)，准线方程为y=-1/4a。
4. 抛物线与直线交点坐标：如果抛物线与直线y=kx+m相交，则交点坐标为(x,y)=(k^2a+bk+c-m,-ka^2-kb+m)。
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第 1 页 圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 椭圆三定义，简称和比积. 1、定义1：(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆. 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a） 2、定义2：(比)到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e） 3、定义3：(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆. 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2ke1） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a方、b方除以c② 通径等于 2 ep，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b④ 注解： 1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理 长轴2a，短轴2b，焦距2c，则：222abc 2、准线方程准焦距，a方、b方除以c
准线方程：2axc （a方除以c） 准焦距p：焦点到准线的距离：2bpc （b方除以c） 3、通径等于2 ep，切线方程用代替 椭圆的通径d：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距第 2 页
离称为椭圆的通径.（通径22cb2b2acad2ep） 过椭圆上00xy(,)点的切线方程，用00xy(,)等效代替椭圆方程得到.
等效代替后的是切线方程是：0022xxyy1ab 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12FF,为顶点，另一个顶点P在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12FPF的一半.
则焦三角形的面积为：2Sb2tan 证明：设1PFm，2PFn，则mn2a. 由余弦定理： 222mn2mn4ccos
22224a4bmn4b()
即：22mn2mn4bcos，即：22b1mn(cos).
即：2122bmnPFPF1||||cos 故：12FPF1Smn2sin△2212bb211sinsincoscos
又：2
2221222sincossin
tancoscos
所以：椭圆的焦点三角形的面积为122FPFSb2tan. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理①
1F 2F O
x
y P m n 第 3 页
切点连线求方程，极线定理须牢记② 弦与中线斜率积，准线去除准焦距③ 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④ 注解： 1、切线平分焦周角，称为弦切角定理 弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角. 弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线. 2、切点连线求方程，极线定理须牢记
若000Pxy(,)在椭圆2222xy1ab外，则过0P作椭圆的两条切线，切点为12PP,，则点0P和切点弦12PP,分别称为椭圆的极点和极线. 切点弦12PP的直线方程即极线方程是0022xxyy1ab（称为极线定理） 3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距 弦指椭圆内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点O的连线，即
OAB得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2caxc去除
准焦距2bpc，其结果是：2ABOM2cpbkkxa 4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹
F1 F2 O 切线方程 P T 第 4 页
中点弦AB的方程：在椭圆中，若弦AB的中点为00Mxy(,)，弦AB称为中点弦，则中点弦的方程就是2200002222xxyyxyabab，是直线方程. 弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点000Pxy(,)的弦AB，其
中点M的方程就是22002222xxyyxyabab，仍为椭圆. 这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了. 圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线 一、双曲线定义 双曲线有四定义，差比交线反比例 1、定义1：(差)平面内，到两个定点12FF,的距离之差的绝对值为定值2a（小于这两个定点间的距离12FF）的点的轨迹称为双曲线。定点
12FF,叫双曲线的焦点。即：12PFPF2a 2、定义2：(比)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值e1的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。 3、定义3：(交线)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
4、定义4：(反比例)在平面直角坐标系中，反比例函数kyx的图象称为双曲线。 证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到. 第 5 页
证明：因为xyk的对称轴是yx, yx，而2222xy1ab的对称轴是x轴，y轴，所以应该旋转o45. 设旋转的角度为（0，顺时针）（为双曲线渐进线的倾斜角） 则有：Xxycossin，Yxysincos 取o45，则： 2222ooooXYx45y45x45y45cossinsincos
221xyxy2xy2
而xyk，所以，22XY2xy2k 即：22XY12k2k (k0)或 22YX12k2k()() (k0) 由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式. 二、双曲线的性质定理 基本同椭圆，有所区别： 实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a方、b方除以c② 通径等于 2 ep，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角余切连乘b④ 注解： 1、实轴虚轴与焦距：形似勾股弦定理 实轴2a，虚轴2b，焦距2c，则：222abc 2、准线方程准焦距，a方、b方除以c 第 6 页
准线方程：2axc （a方除以c） 准焦距p：焦点到准线的距离：2bpc （b方除以c） 3、通径等于2 ep，切线方程用代替 双曲线的通径d：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径22cb2b2acad2ep） 过双曲线上000Pxy(,)点的切线方程，用000Pxy(,)等效代替双曲线方程
得到，等效代替后的是切线方程是：0022xxyy1ab 4、焦三角形计面积，半角余切连乘b 焦三角形：以双曲线的两个焦点12FF,为顶点，另一个顶点P在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12FPF的一半.
双曲线2222xy1ab的左右焦点分别为12FF,，点P为双曲线上异于顶
点任意一点12FPF，则双曲线的焦点三角形满足：2122bPFPF1cos 其面积为；122FPFSbco2t. 证明：设21PFmPFn,，则mn2a 在12FPF中，由余弦定理得： 222121212PFPF2PFPFFFcos，
即：222mn2mn4ccos22224a4bmn4b() 即：2222mn2mnmn4bcos() 即：22mn2mn4bcos，即：22bmn1(cos) 第 7 页
即：22bmn1cos，即：2122bPFPF1cos 那么，焦点三角形的面积为：
12FPF1Smn2sin212b
21sincos
22
2
2b22b122sincossin
cossin2b2cot
故：122FPFSb2cot 同时：12FPF12PP1SFFycy2，故：2pbyc2cot 双曲线的焦点三角形的面积为：122FPFSbco2t. 三、双曲线的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 切点连线求方程，极线定理须牢记② 弦与中线斜率积，准线去除准焦距③ 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④ 注解： 1、切线平分焦周角，称为弦切角定理 弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角. 弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两
1F 2F
P T y
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个焦点弦的角平分线. 如图，12FPF是焦点三角形，12FPF为焦周角，PT为双曲线的切线. 则PT平分12FPF. 2、切点连线求方程，极线定理须牢记 若000Pxy(,)在双曲线2222xy1ab外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过0P作双曲选的两条切线，切点为1P、2P，则点0P和切点弦12PP
分别称为双曲线的极点和极线，切点弦
12PP的直线方程即极线方程是0022xxyy1ab（称为极线定理） 3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距 弦指双曲线内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点O的连线，即OAB得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2ca
xc去除准焦距2bpc，其结果是：
2ABOM2
c
pbkkxa
4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹 中点弦AB的方程：在双曲线中，若弦AB的中点为00Mxy(,)，称弦AB
为中点弦，则中点弦的方程就是：2200002222xxyyxyabab，它是直线方程. 弦中点M的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点000Pxy(,)的弦
x y 1P
2P 0P O 1F
2F
O x
y B
A M
1F 2
F