雅礼中学理科数学试题(八)+解析
雅礼中学理数(答案)
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理科数学参考答案!雅礼版"!"!
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2020-2021学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。
湖南省长沙市雅礼中学2016届高三第八次月考理数试题解析(解析版)含解斩
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1。
若()12(z i i i +=+是虚数单位）, 则z =（ ）A ．322i + B ．322i - C ．322i --D ．322i -+【答案】B111］ 【解析】试题分析:2(2)(1)3311(1)(1)222i i i i z i ii i ++--====-++-．故选B ．考点：复数的运算．2. 甲、乙两个气象台同时做天气预报, 如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立.那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是（ ）A ．0.06B ．0.024C ．0.56D ．0.94 【答案】A 【解析】试题分析：都不准确的概率是(10.8)(10.7)0.06P =-⨯-=．故选A ．考点：相互独立事件同时发生的概率． 3。
命题“存在00,20x x R ∈≤” 的否定是（ ）A ．不存在00,20x xR ∈> B ．存在00,20x x R ∈≥C ．对任意的,20xx R ∈≤D ．对任意的,20xx R ∈>【答案】D 【解析】考点：命题的否定．【名师点睛】1．含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论",即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．2．对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．3．p 或q 的否定易误写成“非p 或非q "；p 且q 的否定易误写成“非p 且非q ”，这是命题的否定中的易错点．4.若双曲线22221x y a b-=上一点与其左顶点、右焦点构成以右焦点为直角顶点的等腰三角形，则此双曲线的离心率为( ） A ．2B ．3C ．D ．22+【答案】C 【解析】考点：双曲线的几何意义．15。
下列各式中, 3 ）A ．sin15cos15B ．22cossin 1212ππ-C ．1tan151tan15+-D 1cos302+ 【答案】C 【解析】试题分析：11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=,A 不合，223cos sin cos121262πππ-==,B 不合，1tan15tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=︒=-︒-︒︒C 符合题意．故选C ．考点:二倍角公式．6。
2020年湖南省雅礼中学高三第3次月考 理科数学(含答案)
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选择题答题卡
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第卷
本卷包括必考题 和 选 考 题 两 部 分!第 !.#! 题 为 必 考 题$每 个 试 题 考 生都必须作答!第##&#.题为选考题$考生根据要求作答! 二&填空题#本大题共5小题$每小题%分$共#$分! !.!根据下列算法语句$当输入# 为"$时$输出& 的值为!!!!!
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该厂每天根据获取 的 鲜 牛 奶 数 量 安 排 生 产$使 其 获 利 最 大$因 此 每 天 的
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获利超过!$$$$元的概率!
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月球附近一点( 变轨进入以月球球心) 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞
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行$之后卫星在( 点第二次变轨进入仍以) 为一个焦点的椭圆轨道绕
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月飞行!若用#'! 和#'# 分别表示椭圆轨道和的焦距$用#$! 和#$# 分
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别表示椭圆轨道和的长轴长$给出下列式子#
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湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题(解析版)
雅礼中学2023年下学期高二10月检测试卷数学时量：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}2log 0A x x =>，{}2,0x B y y x ==≤，则A B ⋃=（）A.∅ B.{}0x x > C.{}01x x <≤ D.{}1x x >【答案】B 【解析】【分析】先分别求出集合,A B ，再根据并集的运算求解．【详解】∵集合{}{}2log 01A x x x x =>=>，{}{}2,001x B y y x y y ==≤=<≤，∴{}0A B x x ⋃=>．故选:B ．2.已知复数()21i =+z ，则z 的虚部是（）A.2B.2- C.2i- D.2i【答案】A 【解析】【分析】根据复数运算求得z ，根据虚部定义求得结果.【详解】()21i 2i z =+=，∴z 的虚部为：2故选：A3.已知向量(),1a m = ，()1,1b = ，则“a ，b的夹角为锐角”是“1m >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】若a，b的夹角为锐角，则10a b m ⋅=+>且a，b不同向，可得1m >-且1m ≠，故“a ，b的夹角为锐角”是“1m >-”的充分不必要条件．故选：A4.已知a ，b 为两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（）A.若a ⊥α，a ⊥b ，则b //αB.若a //α，a ⊥b ，则b ⊥αC.若a //α，b //α，则a //bD.若a ⊥α，a //b ，则b ⊥α【答案】D 【解析】【分析】根据线线，线面的位置关系，定义以及判断定理，性质定理，即可求解.【详解】对于A ，若a ⊥α，a ⊥b ，则b //α或b ⊂α，故A 错误；对于B ，若a //α，a ⊥b ，则b //α或b ⊂α，或b 与α相交，故B 错误；对于C ，若a //α，b //α，则a 与b 相交、平行或异面，故C 错误；对于D ，若a ⊥α，a //b ，则由直线与平面垂直的判定定理知b ⊥α，故D 正确．故选：D ．5.在ABC 中，3,5AB AC ==，M 是边BC 的中点，O 为ABC 的外心，则AM AO ⋅=（）A.8B.172C.16D.17【答案】B 【解析】【分析】根据题意可将向量数量积AM AO ⋅转化到向量,AB AC上去，再代入数据即可计算得出结论.【详解】由题意，取AC 的中点为N ，连接ON ，如下图所示：易知ON AC ⊥，()12AM AB AC =+uuur uuu r uuu r；可得()()1122AM AO AB AC AO AB AO AC AO ×=+×=×+×uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，又21cos 2AC AOAC AO CAO AC AN AC =uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ，同理212AB AO AB ⋅= ；所以22117()42AM AO AB AC ×=+=uuur uuu r uuu r uuu r 故选：B 6.已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.29-B.29C.79-D.79【答案】D 【解析】【分析】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，则sin 2sin 3223[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭化简，由余弦的二倍角公式可得答案.【详解】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，从而2[]7sin 2sin 2sin 2cos 212sin 312329ππππθαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D【点睛】关键点睛：本题考查三角函数中知值求值的问题，解答本题的关键是设12παθ=-，然后可得sin 2sin 32]23[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，属于中档题.7.在平面中，过定点()2,1P 作一直线交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，OAB 面积的最小值为（）A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】【分析】设直线AB 的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可【详解】易得直线AB 不经过原点，故设直线AB 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，因为直线AB 过定点()2,1P ，故211a b +=，所以211a b =+≥=8ab ≥≥.当4,2a b ==时等号成立故142OAB S ab =≥ 故选：C8.已知函数()(),f x g x 的定义域均为()(),32f x f x ++=R ，且()31y f x =-为偶函数，函数()g x 满足()()24g x g x -+-=，对于[]3,1x ∀∈-，均有()()312xf xg x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()()12023g f =（）A.4943-B.4349-C.6544D.4465【答案】A 【解析】【分析】根据(3)()2f x f x ++=可知()f x 是以6为周期的函数，则(2023)(1)f f =，根据函数的对称性可得(1)(3)f f =-.由(2)()4g x g x -+-=可得(3)4(1)g g -=-.结合3(1)(1)2f g +=、(3)(3)19f g -+-=-计算求出(1)f 和(1)g 即可.【详解】(3)()2(6)(3)2f x f x f x f x ++=⇒+++=，两式相减，得(6)()f x f x +=，所以函数()f x 是周期函数，周期6T =，有(2023)(1)f f =.因为(31)y f x =-为偶函数，图象关于y 轴对称，将(31)y f x =-的图象上的点横坐标扩大3倍，纵坐标不变，得(1)=-y f x ，图象关于y 轴对称，再向左平移一个单位长度，得()y f x =，图象关于=1x -对称，有(1)(3)f f =-.又(2)()4g x g x -+-=，令=1x -，则(3)(1)4g g -+=，即(3)4(1)g g -=-.当[3,1]x ∈-时，31()()(2x f x g x x +=+，则13(1)(1)122f g +=+=①，331(3)(3)((3)192f g --+-=+-=-，所以(1)4(1)19f g +-=-，即(1)(1)23f g -=-②，由①②，得432(1)2f =-，解得43(1)4f =-，所以49(1)4g =，又43(2023)(1)4f f ==-，所以49(1)49443(2023)434g f ==--.故选：A.【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A.()14P A =B.事件A 与事件B 互斥C.事件A 与事件B 相互独立D.()34P A B ⋃=【答案】CD 【解析】【分析】A.利用古典概型的概率求解判断；B.利用互斥事件的定义判断；C.利用独立事件的概率求解判断；D.利用并事件的概率求解判断.【详解】解：依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则()2142P A ==，A 不正确：事件B 含有的基本事件有8个：()1,2，()1,4，()2,1，()2,3，()3,2，()3,4，()4,1，()4,3，其中事件()2,1，()2,3，()3,2，()3,4发生时，事件A 也发生，即事件A ，B 可以同时发生，B 不正确；抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，()81162P B ==，()()()41164P AB P A P B ===，即事件A 与事件B 相互独立，C 正确；()()()()11132244P A B P A P B P AB =+-=+-= ，D 正确.故选：CD.10.如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），h （单位：m ）表示在时间t （单位：s ）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点P 距离地平面50m.最低点Q 距离地平面10m.入口处M 距离地平面20m.当4s t =时，过山车到达最高点P ，10s t =时，过山车到达最低点Q .设()()πsin 0,0,2h t A t B A ωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A.函数()h t 的最小正周期为12B.π6ϕ=C.14s t =时，过山车距离地平面40mD.一个周期内过山车距离地平面低于20m 的时间是4s 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求,A B ，根据周期求ω，最后根据()020h =求ϕ，再根据函数的解析式判断CD.【详解】由题意可知，周期T 满足10462T=-=，得12T =，所以2π12ω=，得6π=ω，又5010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得20A =，30B =.所以()π20sin 306h t t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又()020h =，即20sin 3020ϕ+=，得1sin 2ϕ=-，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()ππ20sin 3066h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于A ，12T =，A 正确；对于B ，π6ϕ=-，B 错误；对于C ，()πππ1420sin 143020sin 3040666h ⎛⎫=⨯-+=+=⎪⎝⎭，C 正确；对于D ，由()20h t <，得ππ20sin 302066t ⎛⎫-+<⎪⎝⎭，即ππ1sin 662t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，7πππ11π2π2π6666k t k +<-<+，Z k ∈，解得8121212k t k +<<+，Z k ∈，所以一个周期内过山车距离底面低于20m 的时间是()()12128124s k k +-+=，D 正确.故选：ACD.11.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+相交于A 、B 两点，下列说法正确的为（）A.两圆有两条公切线B.直线AB 的方程为22y x =+C.线段AB 的长为65D.圆O 上点E ，圆M 上点F ，EF 的最大值为3+【答案】AD 【解析】【分析】由圆与圆相交可判断A ；两圆方程作差可判断B ；利用垂径定理可判断C ；转化为圆心间的距离可判断D.【详解】对于A ，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A 正确；对于B ，因为圆22:4O x y +=，圆22:4240M x y x y +-+=+，两圆作差得4244x y -+=-即24y x =+，所以直线AB 的方程为24y x =+，故B 错误；对于C ，圆22:4O x y +=的圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线AB 的距离455d ==，所以455AB ==，故C 错误；对于D ，圆22:4240M x y x y +-+=+的圆心()2,1M -，半径为1，所以max213EFOM =++=，故D 正确.故选：AD.12.如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），P 是棱1CC 的中点，则下列结论正确的是（）A.沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为2B.过,,A B P 三点作正方体的截面，则截面面积为C.三棱锥1B C MD -的体积最大值为13D.若保持PM =M 在侧面11ADD A 内运动路径的长度为π3【答案】ACD 【解析】【分析】作出正方体相邻两个侧面的展开图，对比线段AP 的长度即可得到最短路程，知A 正确；作出截面，由矩形面积公式可求得B 错误；利用体积桥可知当M 与1A 重合时，体积最大，利用割补法可求得C 正确；分析可知点M 轨迹是以1DD 中点Q 为圆心，1为半径的圆在正方形11ADD A 内的部分，结合扇形弧长公式可求得D 正确.【详解】对于A ，将侧面11ABB A 和侧面11BCC B 沿1BB 展成平面，如下图所示，此时2AP ==；将底面ABCD 和侧面11CDD C 沿CD 展成平面，如下图所示，此时132AP ==；131522<，∴沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为132，A 正确；对于B ，取1DD 中点Q ，连接,PQ AQ ，////PQ CD AB ，,,,P Q A B ∴四点共面，则过,,A B P 三点作正方体的截面，截面即为四边形ABPQ ，如下图阴影部分所示，AB ⊥Q 平面11BCC B ，BP ⊂平面11BCC B ，AB BP ∴⊥，//PQ AB ，PQ AB =，∴四边形ABPQ 为矩形，又1AB =，2BP ==，122ABPQ S ∴=⨯= ，B 错误；对于C ，11B C MD M BC D V V --= ，1B CD S 为定值，∴当点M 到平面1B CD 距离最大时，1B C MD V -取得最大值，又点M 为侧面11ADD A （含边界）上的一个动点，∴当点M 与点1A 重合时，点M 到平面1B CD 距离最大，()1111111133max1114141323B C MDA BC D ABCD ABCD A ABD V V V V ----∴==-=-⨯⨯⨯=，C 正确；对于D ，若PM =M 在以P 为半径的球面上，取1DD 中点Q ，则1PQ =，1MQ ∴==，∴点M 的轨迹是以Q 为圆心，1为半径的圆在正方形11ADD A 内的部分，即劣弧ST ，如下图所示，1TQ QS TS === ，π3TQS ∴∠=，∴劣弧ST 的长度为：ππ133⨯=，即点M 在侧面11ADD A 内运动路径的长度为π3，D 正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知直线1l ：()220ax a y +++=与2l ：10x ay ++=平行，则实数a 的值为_____.【答案】1-【解析】【分析】根据直线平行的充要条件计算即可.【详解】由题意可知：()21a a a ⨯=+⨯，且121a ⨯≠⨯，解之得1a =-.故答案为：-114.已知点(1,3)A ，(2,1)B --，若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交，则k 的取值范围________．【答案】12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先求出直线过定点(2,1)P ，利用斜率计算公式求出PA k ，PB k ，再数形结合即可得解．【详解】解：直线:(2)1l y k x =-+经过定点(2,1)P ，31212PA k -==-- ，111222PB k --==--，又直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交，由图可知122k -，即12,2k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；故答案为：12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．15.已知函数()2log ,05cosπ,03x x f x x x x ⎧>⎪=--≤≤，若方程()f x a =恰有四个不同的实数解，分别记为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是____________【答案】119,612⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】明确分段函数()2log ,05cosπ,03x x f x x x x ⎧>=--≤≤两段的性质，进而作出其图像，将方程()f x a =恰有四个不同的实数解转化为()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，由图象确定1x ，2x ，3x ，4x 的范围，结合对勾函数单调性性质，即可求得答案.【详解】由题意知()2log ,05cosπ,03x x f x x x x ⎧>⎪=--≤≤，当503x -≤≤时，π()cosπ2sin(π6f x x x x =-=-，令π3ππ62x -=-，则43x =-；当53x =-时，55π(2sin(π)1336f -=--=；当0x >时，2()log f x x =，令2()log 2f x x ==，则14x =或4；令()1f x =，则12x =或2；由此可作出函数()f x的图象如图：由于方程()f x a =恰有四个不同的实数解，分别记为1x ，2x ，3x ，4x ，故()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，由图象可知12a ≤<，不妨设1234x x x x <<<，则123410242x x x x <<<≤<≤<，且12,x x 关于43x =-对称，所以1283x x +=-，又2324|log ||log |x x =即2324log log x x -=，则2324341l ,og log 0x x x x +=∴=，故123444813x x x x x x +++=-++，由于1y x x=+在[2,4)上单调递增，故44511724x x ≤+<，所以1234119612x x x x -≤+++<，故1234x x x x +++的取值范围是119612,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故答案为：119612,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点睛：本题综合考查函数与方程的应用知识，涉及到知识点较多，综合性强，解答的关键时要明确分段函数的性质，进而作出其图象，数形结合，即可求解.16.若圆2221:240(0)C x y ax a a +++-=≥与圆2222:210(0)C x y by b b +-+-=≥外切，则6ba +的最大值为________________.【答案】12【解析】【分析】先根据两圆外切可得229a b +=，再根据0,0a b ≥≥可知，点(),a b 的轨迹为圆弧，圆229a b +=的四分之一，而6ba +表示定点()6,0A -与圆弧229ab +=()0,0a b ≥≥上的动点(),P a b 连线的斜率，然后数形结合即可求出．【详解】由题可得圆()221:4C x a y ++=的圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆()222:1C x y b +-=的圆心为()0,C b ，半径为21r =.因为两圆外切，可得229a b +=，0,0a b ≥≥，6ba +可看作平面直角坐标系中的定点()6,0A -与圆弧229ab +=()0,0a b ≥≥上的动点(),P a b 连线的斜率，结合图形可知，当点P 为()0,3时，6b a +最大，此时其最大值为12．故答案为：12.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，以及利用几何意义求最值，意在考查学生的转换能力和数学运算能力，属于基础题．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos ,32a A B A π===+.（1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.【答案】（1）（2）322.【解析】【分析】（1）根据cos 3A =求出sin A ，根据2B A π=+求出sin B ，根据正弦定理求出b ；（2）先求出sin C ，再利用面积公式即可求出.【详解】（1）在ABC中，由题意知3sin 3A ==，又因为2B A π=+，所有6sin sin(cos 23B A A π=+==，由正弦定理可得63sin 3sin 33a BAb ⨯===.（2）由2B A π=+得3cos cos sin 2(3)B A A π=+=-=-，由A B C π++=,得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+3366(3333=-+⨯13=.因此，ABC的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.18.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[)80,90和[]90,100的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A =“两人的测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100”，求()P A .【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）()35P A =.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100的人数，按照古典概型计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.测试成绩落在区间[)40,70的频率为()0.0040.0060.02100.3++⨯=，落在区间[)40,80的频率为()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=，所以设第57百分位数为a ，有()0.3700.030.57a +-⨯=，解得79a =；【小问2详解】由题知，测试分数位于区间[)80,90、[)90,100的人数之比为0.2430.162=，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间[)80,90中3人，用1A ，2A ，3A 表示，在区间[)90,100中2人，用1B ，2B 表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31A B ，()32,A B ，()12,B B ，共10种，其中“分别落在区间[)80,90和[)90,100”有6种，所以()35P A =.19.已知圆C ：22230x y x ++-=.（1）求过点(1,3)且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）已知点()4,0A ，()0,4B ，P 是圆C 上的动点，求ABP 面积的最大值.【答案】（1）1x =或512310x y -+=；（2）10+【解析】【分析】（1）将圆化为标准式，求出圆心与半径，讨论直线的斜率存在或不存在，当不存在时，设出点斜式，利用点到直线的距离等于半径即可求解.（2）将问题转化为求圆上的点到直线AB 距离的最大值即可求解.【详解】（1）当直线l 的斜率不存在时：1x =，此时圆心到直线的距离等于半径，满足题意，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为：3(1)y k x -=-，圆C ：()2214x y ++=，即2d ==，∴512k =所以直线l 方程为：512310x y -+=.（2）∵()4,0A ，()0,4B ，∴AB ==AB 的方程为：40x y +-=，圆心到直线AB522=，所以点P 到直线AB的距离的最大值为max 22h =+，所以()max 15221022ABP S ⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.20.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD ==，ABC ∆是底面的内接正三角形，且6AB =，P 是线段DO 上一点.（1）若12DP PO =，求三棱锥P -ABC 的体积.（2）当PO 为何值时，直线EP 与平面PBC 所成的角的正弦值最大.【答案】（1）（2）PO =【解析】【分析】（1）应用棱锥的体积公式即可；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解.【小问1详解】在Rt DOA ，AD =AO =222,6DO AD AO DO =-∴=，因为12DP PO =，23PO DO =，4PO ∴=1116643322P ABC V S ABC PO -=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= 【小问2详解】如图所示，建立以点O 为坐标原点的空间直角坐标系..设PO x =，06x ≤≤，所以()0,0,P x，()E，)B，()C -，所以)3,EP x =-，)PB x =-，()PC x =--，设平面PBC 的法向量为(),,n a b c =，所以300n PB b cx n PC cx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，所以(,,n x =-.设直线EP 与平面PBC 所成的角为θ，由题意得1sin 3θ===.当且仅当PO x ==EP 与平面PBC 所成的角的正弦值最大.21.已知函数已知函数2()22f x x ax a =-++，（1）若()0f x ≤的解集[0,3]A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若2()()1g x f x x =+-在区间(0,3)内有两个零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1115a -<≤（2）1915⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）讨论集合A 是否是空集，从而求解，（2）222221,1()22123,1x ax a x g x x ax a x ax a x ⎧-++≥⎪=-+++-=⎨-++<⎪⎩，首先讨论a 是否是0，在0a ≠时，讨论函数的零点的位置，从而确定实数a 所满足的条件，从而求其范围．【小问1详解】若A =∅，则244(2)4(2)(1)012a a a a a ∆=-+=-+<⇒-<<，若A ≠∅，则Δ0120303112(0)0520(3)09620a a a a a f a f a a ⎧≥≤-≥⎧⎪⎪<<<<⎪⎪⇒⇒≤≤⎨⎨≥+≥⎪⎪⎪⎪≥-++≥⎩⎩或．综上可得：1115a -<≤．【小问2详解】222221,1()22123,1x ax a x g x x ax a x ax a x ⎧-++≥⎪=-+++-=⎨-++<⎪⎩．若0a =，则221,1()3,1x x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，无零点；若0a ≠，则23y ax a =-++在(0,1)单调，∴其在(0,1)内至多有一个零点．①若12013x x <<≤<，则3(3)0(3)(195)0a a a -+<⎧⎨--≤⎩，解得，1935a <≤，经检验，195a =时不成立，②若1213x x <<≤，由2Δ48(1)0132301950a a a a a ⎧=-+>⎪⎪<<⎪⎨⎪-≥⎪->⎪⎩，解得，13a +<≤，综上所述，实数a 的取值范围是1915⎛⎫ ⎪⎝⎭．22.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点O 的圆M （圆心M 在第一象限）与x 轴正半轴交于点A （2，0），弦OA 将圆M 截得两段圆弧的长度比为1：5．（1）求圆M 的标准方程；（2）设点B 是直线l +y =0上的动点，BC 、BD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形BCMD 面积的最小值；（3）若过点M 且垂直于y 轴的直线与圆M 交于点E 、F ，点P 为直线x ＝5上的动点，直线PE 、PF 与圆M 的另一个交点分别为G 、H （GH 与EF 不重合），求证：直线GH 过定点．【答案】（1）22(1)(4x y -+=（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由圆弧的长度比为1:5，可得60OMA ∠=︒，得OMA 为等边三角形，由此求出圆心坐标和半径，则圆M 的方程可求；（2）四边形BCMD 得面积12||22||2S BC BC =⨯⨯=，要使四边形BCMD 面积最小，则||BM 最小即可．此时BM l ⊥（3）设点0(5,)P y ，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，先分析GH 斜率存在时，设y kx b =+，根据联立方程，由根与系数关系求出k ，b 关系即可得出所过定点，再验证斜率不存在情况即可.【小问1详解】弦OA 将圆M 截得两段圆弧的长度比为1:5，60OMA ∴∠=︒，则OMA 为等边三角形，又||2OA = ，∴圆心M 得坐标为，2r =．∴圆M 的标准方程为22(1)(4x y -+=；【小问2详解】四边形BCMD 得面积12||22||2S BC BC =⨯⨯=，在Rt BCM △中，||BC =，要使四边形BCMD 面积最小，则||BM 最小即可．此时BM l ⊥，∴||min BM =，∴||min BC =．∴四边形BCMD面积的最小值为；【小问3详解】证明：设点0(5,)P y ，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，由题意知：(E -，F ，∴0113361PE GE y y k k x --===+，032PF FH y k k ==．3PF PE k k ∴=，22121(9(1)y x -=⨯+，① 点G 、H 在圆M 上，∴将2211(4(1)y x =--和2222(4(1)y x -=--代入①整理得：121227()200x x x x -++=，②当斜率k 存在时，设直线GH y kx b =+，联立22(1)(4y kx b x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，得222(1)(22)0k x kb x b ++--+-=．122221kb x x k --+=-+，21221b x x k-=+．代入②整理得：22(71030b k b k +-+-+=．∴(250b k b k ++-=，解得2b k =-或5b k =．当2b k =-时，直线GH的方程为(2)y k x =-；当5b k =-时，直线GH的方程为(5)y k x =-+，过定点．GH 与EF 不重合，∴点不合题意．当斜率k 不存在时，联立222(1)(4x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得(2G，，(2,0)H ．∴点适合．综上，直线GH过定点．。
雅礼中学2019届高三月考试卷(八)数学(理)(含答案)
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2020届湖南雅礼中学新高考原创考前信息试卷(八)理科数学
2020届湖南雅礼中学新高考原创考前信息试卷（八）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（ ） A. 0⊆AB. {0}A ∈C. A φ∈D.{0}A ⊆【答案】D 【解析】 【分析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A ，0A ∈,故A 错误； 对B ，{0}A ⊆，故B 错误；对C ，空集φ是任何集合的子集，即A φ⊆，故C 错误； 对D ，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确.故选：D【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题. 2.已知函数()f x 的导函数()f x ',且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '＝( ) A. e - B. 1-C. 1D. e【答案】B 【解析】 【分析】对函数进行求导，然后把1x =代入到导函数中，得到一个方程，进行求解。
湖南长沙雅礼中学2025届高三上学期入学考试数学试题+解析
雅礼中学2025届高三上学期入学考试试卷数 学时量：120分钟 分值：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 已知集合{}240A x x =-≤，则A =N （ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,22、 ）A B C D3、 （暑假作业原题）若正数x ，y 满足 ²20x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】C【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.4、过椭圆22:1169x yC+=的中心作直线l交椭圆于,P Q两点，F是C的一个焦点，则PFQ△周长的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10所以PFQ△的周长为PF当线段PQ为椭圆短轴时，故选：B5、已知圆C的方程为22(2)x y a+-=，则“2a>”是“函数y x=的图象与圆C有四个公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B6、 （暑假作业原题）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0，1，2，⋯，10，用X 表示小球最后落入格子的号码，若0()()P X k P X k == ，则0(k = )A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码X 服从二项分布，且落入格子的号码即向右次数，即1~(10,)2X B ，则10101()()(02kP X k C k ===，1，2...，10)，然后由二项式系数对称性即可得解．【解答】解：小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下， 则小球落入格子的号码X 服从二项分布， 且落入格子的号码即向右次数，即1~(10,2X B ，所以10101010111()()(1()(0222k k k kP X k C C k -==-==，1，2...，10)，由二项式系数对称性知，当5k =时，10kC 最大，故05k =． 故选：B ．【点评】本题考查了二项分布及二项式系数的性质的应用，属于中档题．7、 （教材原题）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是( ) A ．70B ．64C ．60D ．58【分析】从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，得到结论．【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面， ∴满足条件的结果有4488661258C C --=-=．故选：D ．【点评】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际上是以排列为载体考查正方体的结构特征．8、 （暑假作业原题）已知定义域为R 的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()2()0f x f x '-<，(0)1f =，则( )A ．2(1)1e f -<B ．()21f e >C ．1(2f e >D ．1(1)(2f ef <【分析】构造函数2()()xf xg x e =，由()2()0f x f x '-<得()0g x '<，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式．【解答】解：2()()x f x g x e=，则22222()2()()2()()()x x x x f x e f x e f x f x g x e e '⋅-'-'==， 因为()2()0f x f x '-<在R 上恒成立，所以()0g x '<在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以220(1)(0)(1)(0),(1)1f f g g e f e e --->=->=，故A 不正确； 所以g （1）(0)g <，即20(1)(0)f f e e<，即f （1）22(0)e f e <=，故B 不正确；1()(0)2g g <，即101()(0)21f f e e <=，即1(2f e <，故C 不正确； 1()(1)2g g >，即121()(1)2f f e e >，即1(1)()2f ef <，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属中档题．二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9、 已知复数12,z z ，下列说法正确的是（ ）A ．若12=z z ，则2212z z =B ．1212z z z z =C ．1212z z z z -≤+D ．1212z z z z +≤+10、 已知函数()ππ)02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭，函数()()12g x f x =+的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的表达式可以写成()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数 C ．()()1h x f x =+的对称中心ππ,182k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，Z k ∈ D ．若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11、 如图，过点(C a ，0)(0)a >的直线AB 交抛物线22(0)y px p =>于A ，B 两点，连接AO 、BO ，并延长，分别交直线x a =-于M ，N 两点，则下列结论中一定成立的有( )A ．//BM ANB ．以AB 为直径的圆与直线x a =-相切C ．AOB MON S S ∆∆=D ．24MCN ANC BCM S S S ∆∆∆=⋅【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解．【解答】解：对于A ，令直线:AB x my a =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立22x my a y px=+⎧⎨=⎩，消x 可得2220y pmy pa --=，则△2(2)80pm pa =+>，122y y pa =-，122y y pm +=， 则21212()222x x m y y a pm a +=++=+， 则1111,:OA y y k OA y x x x ==则直线，∴11(,)ayM a x --，故12211122212220()BMay pay y x y y y pak x a x a y x a +++====+++， 同理0AN k =，//BM AN ∴，故A 正确； 对于B ，如图，设AB 中点1212(,22x x y y Q ++，即2(Q pm a +，)pa -，则Q 到直线x a =-的距离22d pm a =+， 以AB为直径的圆的半径12||||2AB y y =-=，所以222||(2)(2)4AB d p a a p m -=+-， 当2p a =时相切，当2pa ≠时不相切，故B 错误；对于C ，设x a =-与x 轴交于P ，PON AOC S S ∆∆=，MOP BOC S S ∆∆=， 则PON MOP AOC BOC S S S S ∆∆∆∆+=+，则AOB MON S S ∆∆=，故C 正确； 对于D ，112211(),()22ANC BCM S x a y S x a y ∆∆=+=-+，则1212121211()()(2)(2)44ANC BCM S S x a x a y y my a my a y y ∆∆⋅=-++=-++221212121[2()4]4m y y am y y a y y =-+++22221[(2)2(2)4](2)(2)4m pa am pm a pa pa pm a =--++-=+，而121212||||2MCN MPC NPC S S S a y y a y y ∆∆∆=+=⋅-=-， 所以2222222121212()[()4]4(2)4MCN ANC BCM S a y y a y y y y pa pm a S S ∆∆∆=-=+-=+=⋅，故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了已知两点求斜率，由斜率判断两条直线平行，判断直线与圆的位置关系，根据韦达定理求参数，属于中档题．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12、 已知随机变量X 服从正态分布()25,N σ，若(56)0.27P X <≤=，则(4)P X <= .13、 已知向量()sin ,cos a θθ=，()3,1b =，若a b ∥，则2sin sin 2θθ+的值为 .14、 设0k ＞，若存在正实数x ，使得不等式14log 20kx x k --⋅≥成立，则k 的最大值为 .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15、 （13分）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C -是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】cos A C -为定值，定值为1 (2)14【详解】（1）法一：在ABD △中，由余弦定理222cos 2+-=⋅AD AB BD A AD AB，得cos A =2168BD A -=①，同理，在BCD △中，22222cos 222BD C +-=⨯⨯，即28cos 8BD C -=②，①-②cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1； 法二：在ABD △中，由余弦定理2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅得222222cos BD A =+-⨯⨯，即216BD A =-， 同理，在BCD △中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+-⋅=-，所以1688cos A C -=-1cos A C -=cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1；（2）222222221211sin sin 44S S AB AD A BC CD C +=⋅⋅+⋅⋅ 222212sin 4sin 12sin 44cos A C A C =+=+-2212sin 41)A A =+--224cos 12A A =-++，令()cos ,1,1A t t =∈-，所以2224122414y t t ⎛=-++=-+ ⎝⎭，所以t =cos A = 2212S S +有最大值为14．16、 （15分）（暑假作业原题）函数()e 4sin 2xf x x λλ=-+-的图象在0x =处的切线为3,y ax a a =--∈R .（1）求λ的值；（2）求()f x 在(0,)+∞上零点的个数. 解析【小问1详解】因为()e 4sin 2,()e 4cos x x f x x f x x λλλλ'=-+-=-， 所以(0)4f λ'=-，所以切线斜率为4λ-，即4a λ=-， 所切线方程为()41y x λλ=--+又(0)1f λ=-，所以切点坐标为(0,1)λ-，代入得则11λλ-=-+，解得1λ=.【小问2详解】由（1）得()e 4sin 1,()e 4cos x x f x x f x x '=--=-， 令()()e 4cos xg x f x x ==-'，则()e 4sin xg x x =+'，当πx ≥时，()e 4cos 0x f x x '=->恒成立，所以()f x 在[)π,+∞上递增， 所以ππ()(π)e 4sin 1e 50f x f x ≥=--≥->， 因此()f x 在[π,)+∞无零点；当0πx <<时，()e 4sin 0xg x x '=+>恒成立，所以()f x '单调递增，又π(0)30,(π)e 40f f ''=-<=+>， 所以()f x '在(0,π)上存在唯一的零点0x ， 当()00,,()0,()∈<'x x f x f x 单调递减；当()0,π,()0,()x x f x f x '∈>单调递增；又()0(0)0,(0)0f f x f =<=，π(π)e 10f =->， 因此()f x 在(0,π)上仅有1个零点； 综上，()f x 在(0,)+∞上仅有1个零点.17、 （15分）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【详解】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥； 在ABD △和CBD △中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥； 又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ， 因为AC 平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ， 所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小. 因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE =AD CD ⊥，所以112DE AC ==, 在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -， 则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =-=-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y =()n =，又因为()31,0,0,4C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以34CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以cos ,n CF n CF n CF⋅===， 设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n CF θ== CF 与平面ABD(1)求C 的方程；(2)记双曲线C 的左右顶点分别为1A ，2A ，直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值. (3)探究圆E ：224410x y x y +---=上是否存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线1l ，2l 互相垂直.【答案】(1)22143x y -=； (2)13-； (3)存在.【详解】（1）由对称性知，双曲线C 过点(4,3)，则221691b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为22143x y -=. （2）由（1）得12(2,0),(2,0)A A -，设()()1122,,,M x y N x y ， 显然直线MN 不垂直于y 轴，设直线MN 的方程为4x my =+， 由2243412x my x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得220(34)2436m y my -++=， 显然22340,144(4)0m m -≠∆=+>，1212222436,3434m y y y y m m -+==--， 则121223m y y y y +=-，即()121232my y y y =-+， 所以()()()()11212112212222222262y y x y my k x y k x y y my x -++===++-()()1211211221223221236362y y y my y y my y y y y y -+++===-+-++.（3）圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直. 若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0， 设双曲线的两条切线分别为1122,y k x n y k x n =+=+，将y kx n =+代入22143x y -=消去y 得：22(3484120)k knx n ----=，由0'∆=得()()2222644344120k n k n +-+=，解得2243n k =-，因此2222112243,43n k n k =-=-，设两条切线的交点坐标为()00,x y ，则01010202y k x n y k x n -=⎧⎨-=⎩，即有()22010143y k x k -=-，且()22020243y k x k-=-，即()()2222220100100200204230,4230x k x y k y x k x y k y --++=--++=， 于是12,k k 是方程()22200004230x k x y k y --++=的两根，而121k k =-，则2020314y x +=--，即22001x y +=，从而两条切线们交点的轨迹为圆221x y +=， 而221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆222:(2)(2)3E x y -+-=的圆心(2,2)E ，半径为3，显然||OE ==，满足31||31OE -<<+，即圆O 与圆E 相交， 所以圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直.19、 （17分）对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}n a 是“优分解”的．(1)证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．(2)记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N ，，证明：如果数列{}n a 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．(3)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)122n n a -=+【详解】（1）{}n a 是等差数列，∴设()()111111n a a n d a n d ⎡⎤=+-=-+-+⎣⎦， 令()111,1n n b a n d c =-+-=，则{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，所以数列{}n a 是“优分解”的．（2）因为数列{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，则()12121111Δ1,ΔΔΔ(1)n n n n n n n n a a a d c q q a a a c q q --++=-=+-=-=-． 当1q =时，()2*Δ0n a n =∈N ；当1q ≠时，{}2Δn a 是首项为21(1)c q -，公比为q 的等比数列． （3）一方面， 数列{}n S 是“优分解”的，设()*n n n S B C n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n B B n D C C Q C Q -=+-=≠≠，由（2）知2121Δ(1)n n S C Q Q -=-因为12122323Δ4,Δ6S S S a S S S a =-===-==，所以2121ΔΔΔ2S S S =-=．{}221(1)2,1,Δn C Q Q S ∴-=∴≠∴是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列．另一方面，因为{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，()2111211Δ,ΔΔΔ1n n n n n n n n n n S S S a S S S a a d c q q +++++=-==-=-=+- {}2Δn S 是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列， 0,1q q ∴≠≠，且()()()2222213ΔΔΔS S S =⋅，()()()223111111d c q q d c q q d c q q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+-=+-⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦化简得()311111(1)0,0,0,1,0,Δ1n n n n c dq q c q q d a a a c q q -+-=≠≠≠∴=∴=-=- ，即数列{}Δn a 是首项121Δ1a a a =-=，公比为q 的等比数列． 又232Δ2,2a a a q =-=∴= ，又()211Δ2,12,0,2,S d c q q d q =∴+-===∴ 解得11111,312c b a c =∴=-=-=，综上所述，()1111122n n n a b n d c q --=+-+=+．。
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3
20.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C 的顶点是椭圆 该椭圆右焦点重合。 （Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
x2 y2 1 的中心，且焦点与 43
（Ⅱ）若 P(a,0) 为 x 轴上一动点，过 P 点作直线交抛物线 C 于 A、B 两点。
（ⅰ）设 SAOB t tan AOB, 试问：当 a 为何值时，t 取得最小值，并求此最小值。
3.下列说法正确的是（ ）
A. a R," 1 1" 是 "a 1" 的必要不充分条件 a
B. “ p q 为真命题”是“ p q 为真命题”的必要不充分条件
C. 命题 "x R ,使得 x2 2x 3 0" 的否定是 "x R , x2 2x 3 0"
D.命题 p : "x R, sin x cos x 2 "，则 p 是真命题
4. 右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入 a 的值
为16 ， b 的值为 24 ，则执行 该程序框图输出的结果为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
5. 已知直线 a 与直线 b 垂直， a 平行于平面 ，则 b 与平面 的位置关系是（ ）
A． b //
B． b
C． b 与平面 相交 D．以上都有可能
1 b2
1
11. 如图，在 ABC 中， AD AB, BC 3BD, AD 1，
则 AC AD 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．已知抛物线 C ： y2 8x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点，直线 PF 与曲线 C 相
交于
M
，
N
两点，若
PF
3MF
，则 |
雅礼中学理科数学试题（八）
一.选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.设 P {x | x 4}， Q {x | x2 4} ，则（ ）
A． P Q
B． Q P
2.若 z 3 4i ，则| z | （
）
i
C． P CRQ
D． Q CR P
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
6. 5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ）
A．总存在一个黑球，它右侧的白球和它右侧的黑球一样多
B．总存在一个白球，它右侧的白球和它右侧的黑球一样多
C．总存在一个黑球，它右侧的白球比它右侧的黑球少一个
D．总存在一个白球，它右侧的白球比它右侧的黑球少一个
1
7.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的情况下，甲丙也相邻的
概率为（ ）
1
2
1
1
A.
B.
C.
D.
10
3
3
4
8.已知△ABC 的外接圆半径为 2，D 为该圆上一点，且 + = ，则△ABC 的面积的最大
值为（ A．3
） B．4
C．3
D．4
9．将函数 f（x）= sin2x﹣ cos2x+1 的图象向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位，
得到函数 y=g（x）的图象，则下列关于函数 y=g（x）的说法错误的是（ ）
18.(本小题满分 12 分)已知数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且对任意 n∈N*，an+1 ﹣an=2（bn+1﹣bn）恒成立．（1）若 An=n2，b1=2，求 Bn；（2）若对任意 n∈N*，都有 an=Bn 及
+
+
+…+
＜ 成立，求正实数 b1 的取值范围；
19.(本小题满分 12 分)如图所示的多面体中，面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PDCQ ⊥ 平面 ABCD ，PD⊥DC， E，F，G 分别为棱 BC，AD，PA 的中点. （Ⅰ）求证： EG‖平面 PDCQ ；（Ⅱ）已知二面角 P - BF - C 的余弦值为 6 ，
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.3x
a
.若该设备维修总费用超过
12
万元就报废，据此
模型预测该设备最多可使用
年．（结果取整数）
2
14.已知实数 x，y 满足
，若 x﹣y 的最大值为 6，则实数 m= ．
15. 将 A,B,C,D，E 这 5 名同学从左至右排成一排，则 A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有一名
同学的排法有
种。
16.若函数 f x a x 2 ex ln x 1 在 0 ，2 上存在两个极值点，则 a 的取值范围是
x
三 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）
17.(本小题满分 12 分)某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复 n 轮，第 n 轮两
MN
|
（
）
21
A.
2
32
B.
3
C. 10
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
D. 11
13.某设备的使用年数 x 与所支出的维修总费用 y 的统计数据如下表：
使用年数 x（单位：年） 2 3
4
5
6
维修总费用 y （单位： 1.5 4.5
5.5
6.5
7.5
万元）
根据上表可得回归直线方程为
（ⅱ）若 a=－1，点 A 关于 x 轴的对称点为 D，证明：直线 BD 过定点。
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f（x）=g（x）•h（x），其中函数 g（x）=ex，h（x）=x2+ax+a． （1）当 0＜a＜2 时，求函数 f（x）在 x∈[﹣2a，a]上的最大值； （2）当 a=0 时，问函数 F（x）=e•f（x）﹣2（lnx+1）是否有零点？请说明理由．
6yn 枚骰子的点数分别记为 xn，yn，如果点数满足 xn＜ yn 6，则认为第 n 轮闯关成功，否则
进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．（I）求第一轮闯关成功的概率；
（Ⅱ）如果第 i 轮闯关成功所获的奖金数 f（i）=10000× （单位：元），求某人闯关获 得奖金不超过 1250 元的概率； （Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数 为随机变量 X，求 x 的分布列.
A．函数 y=g（x）的最小正周期为π B．函数 y=g（x）的图象的一条对称轴为直线 x=
C．
dx=
D．函数 y=g（x）在区间[ ， ]上单调递减
10..若直线 x y 1通过点 M (cos , sin ) ,则 (
)
ab
A．a2 b2 1
B
．a2
b2
1 C
．
1 a2
1 b2
1
D
．
1 a2