任务七平面图形的几何性质
初中数学知识点归纳——平面几何图形的性质
初中数学知识点归纳——平面几何图形的性质平面几何图形是初中数学中的重要内容，其中包括了很多与图形性质相关的知识点。
本文将对初中数学中平面几何图形的性质进行详细归纳和介绍。
首先，我们来讨论三角形的性质。
三角形是由三条线段组成的图形，具有以下特点：1. 三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2. 三角形的角关系：三角形的三个内角之和为180度，其中每个内角小于180度。
3. 三角形的边对角关系：如果两个三角形的两边及夹角分别相等，则两个三角形全等；而如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，则两个三角形相似。
接下来，我们来讨论四边形的性质。
四边形是由四条线段组成的图形，具有以下特点：1. 四边形对角线关系：四边形的对角线互相平分，即对角线的交点处于对角线上的点被平分为两等分。
2. 四边形的内角和关系：四边形的内角和为360度。
3. 平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相平分。
4. 矩形的性质：矩形是一种特殊的平行四边形，有四个直角，对边相等。
5. 正方形的性质：正方形是一种特殊的矩形，有四个相等的边和四个直角。
此外，还有一些其他平面几何图形的性质也需要了解：1. 直线的性质：直线是由无数个点组成的，无宽度和无端点。
两个互不重合的直线在平面上最多只有一个交点。
2. 射线的性质：射线是由一个端点和一个方向所确定的线段，可以延伸到无穷远。
两个射线共线时，它们有一个公共端点。
3. 角的性质：角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
角的大小可以用度数来表示，一个完整的角是360度。
4. 圆的性质：圆是由一组等距离于圆心的点组成的。
圆的周长公式是C=2πr，其中C代表周长，r代表半径。
圆的面积公式是S=πr^2，其中S代表面积。
最后，我们来讨论一下平面几何图形的应用。
在实际生活中，平面几何图形的知识经常被用于解决各种问题，比如测量房屋面积、计算行驶的路径等。
掌握了平面几何图形的性质，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
附录1：平面图形的几何性质new
（3）求整个截面的惯性矩：
§ I - 4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 y1
y
x x1
dA y y1
x1 x
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有
则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为主惯性轴。即平面图形
则 dA=b dy
C
x
同理
注：对于高度微h平行四边形，对形心 x的主惯性矩同样成立。
b y (a)
C
x
b (b)
§ I - 3 平行移轴公式
一、平行移轴定理：
y
yC
以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
x
dA
a
C
xC
rb y
x
同理:
注意: C点必须为形心
图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐 标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.
对其惯性积为零的一对坐标轴. 平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.
形心主惯性矩：
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴; 若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴 过形心, 且与该轴垂直.
y
四、惯性半径
图形对x轴的惯性半径: 图形对y轴的惯性半径:
x dA
y
r
x
例I-2 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴） 的惯性矩。
解： y
由于圆截面有极对称性，
材料力学平面图形的几何性质
y
c
h
b
z
例 试拟定下图旳形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200, z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z 1
A1
z
2
A2
A
A1 A2
z
45 700 51200 19.7(mm) 700 1200
yc
yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 700 601200 39.7(mm)
700 1200
11
§4.3 惯性矩和惯性积 1 惯性矩
I z
y 2 dA
A
I y
z 2 dA
A
量纲：m4、mm4。 惯性矩是对轴而言。 惯性矩旳取值恒为正值。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 b h
12
64 4
24
I yc
I 矩yc
I圆yc
(1.5d )3 2d 12
d 4
64
0.513d 4
Y（对称轴）
d yc O
z1
Z（矩形旳对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴旳惯性积
I yz yzdA A
y z
dA
y z
惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。
I yz
yzdA
A
平面图形的基本概念与性质
定义：直角三角形是有一个角为直角的三角形，等腰直角三角形是两边相等且有一个角为直角的三角形。
性质：直角三角形具有斜边最长的特点，等腰直角三角形除了具有直角三角形的性质外，还具有两边相等的特点。
面积计算：直角三角形的面积可以通过底和高来计算，等腰直角三角形的面积可以通过直角边来计算。
特殊性质：等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，它具有一些特殊的性质，如两个锐角相等，两条直角边相等，斜边最长且等于直角边的平方和的平方根。
根据轴对称性分类：轴对称图形、中心对称图形等
根据是否封闭分类：封闭图形、开放图形等
02
平面图形的性质
形状与大小
添加标题
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平面图形的大小由其面积和周长衡量，表示平面图形所占据的区域大小。
平面图形的形状由其边界决定，可以是圆形、椭圆形、多边形等。
平面图形的形状和大小是描述平面图形的基本属性，对于确定图形的位置、关系和性质具有重要意义。
平面图形可以是封闭的，即由线段围成的区域，也可以是开放的，即由线段组成但没有形成封闭区域。
平面图形具有多种分类方式，如按照形状、边数、对称性等进行分类。
平面图形只存在于二维平面中，不具有三维空间中的深度和高度。
平面图形的分类
根据边数分类：三角形、四边形、五边形等
根据角数分类：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形等
形状与大小是平面图形的基本性质之一，对于几何学、图形学等领域的研究和应用具有基础性作用。
边与角
边长：连接两个顶点的线段的长度
角度：两条射线之间的夹角大小
平行线：不相交的两条直线
对角线：连接一个角的顶点与其对边上一点的线段
对称性
定义：平面图形关于某一直线或点对称
第5章 平面图形的几何性质
称为该微面积
dA对于O点的极惯性矩。整个面积A对O点的极惯性矩等于在A范
围内所有这些微面积极惯性矩的总和，即
工程力学
5.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积
微面积dA与其分别至y轴和x轴距离的乘积xyzdA，称为 该微面积dA对于x、y轴的惯性积。整个面积A对于x、y轴的
惯性积等于在A范围内所有这些微面积惯性积的总和，即
式中的ai为该细长条的中点至z轴的距离 。因为t很小，所以 与 相比可略去不计
。于是，整个截面对于z轴的惯性矩为：
工程力学
Thank you
工程力学
于x、y轴的惯性矩和惯性积。在计算它们时，常需用到平行
移轴公式。
工程力学
5.4 转轴公式 主惯性轴与主惯性矩
如果已知某一平面图形对通过O点的一对直角坐标轴x、y的惯性
矩
和惯性积
（图5-12），则当这对坐标轴绕O点旋转了
一个α 角时（ α 角以逆时针旋转为正），平面图形对这一对新 坐标轴 的惯性矩 和惯性积 可按下述关系求得：
轴称为主惯性轴。对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。当一对主 惯性轴的交点与图形的形心重合时，就称为形心主惯性轴。对形 心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。主惯性矩的计算公式如 下：
工程力学
5.4 转轴公式 主惯性轴与主惯性矩
如果这里所说的平面图形是杆件的横截面，则截面的形心 主惯性轴与杆件轴线所确定的平面，称为形心主惯性平面。
式中的
称为图形对x、y轴的惯性积。由上述定义可见，同一图形对于不同的坐标轴的惯性矩 或惯性积一般也是不相同的。
工程力学
5.3 平行移轴公式
平行移轴公式
1
2
组合图形的惯性矩与惯性积
工程力学
材料力学平面图形的几何性质
平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性
平面图形的几何性质
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
平面图形的性质与判定
平面图形的性质与判定导语：平面图形是几何学中的重要概念，它们具有不同的性质和特点。
本文将探讨平面图形的性质与判定，包括图形的对称性、角度、边长、面积等方面。
通过深入研究这些性质，我们可以更好地理解和应用平面图形。
一、对称性对称性是平面图形的一个重要性质，它可以分为轴对称和中心对称两种。
轴对称是指图形可以通过一条直线进行折叠，两边完全重合。
而中心对称是指图形可以通过一个点进行旋转，旋转180度后与原图形完全一致。
对称性的判定对于解题和构图都有重要意义。
例如，正方形就具有轴对称性。
当我们将正方形沿着中心线折叠时，两边完全重合。
而圆形则具有中心对称性，因为它可以通过旋转180度后与原图形完全一致。
二、角度角度是平面图形的重要性质之一，它可以分为直角、锐角和钝角。
直角是指两条线段相互垂直，形成90度的角。
锐角是指两条线段夹角小于90度，而钝角则是指两条线段夹角大于90度。
通过角度的判定，我们可以确定图形的性质和特点。
例如，在三角形中，如果有一个角是直角，则这个三角形是直角三角形。
如果三个角都是锐角，则这个三角形是锐角三角形。
而如果有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形。
三、边长边长是平面图形的另一个重要性质，它可以帮助我们判断图形的大小和形状。
例如，在矩形中，如果四条边的长度相等，则这个矩形是正方形。
而如果四条边的长度不相等，则这个矩形是长方形。
另外，边长还可以用来计算图形的周长。
周长是指图形的边界长度，可以通过将所有边长相加来计算。
例如，在正方形中，如果一条边的长度是a，则它的周长是4a。
四、面积面积是平面图形的一个重要性质，它可以帮助我们计算图形所占的空间大小。
面积的计算方法因图形而异。
例如，在矩形中，面积可以通过将长和宽相乘来计算。
在三角形中，面积可以通过将底边长度与高相乘再除以2来计算。
面积的计算不仅可以帮助我们理解图形的大小，还可以应用于各种实际问题中。
例如，在建筑设计中，我们需要计算各种房间的面积，以确定材料的使用量。
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任务七 平面图形的几何性质
一、填空题
1. 图示B H ⨯的矩形中挖掉一个b h ⨯的矩形，则此平面图形的
z W =( 23
66z BH bh W H
=
- )。
2. 对图示矩形，若已知x I 、y I 、b 、h ，则
11x y I I +=( 1122()/12y z y z I I I I bh b h +=+=+ )。
3. 任意平面图形至少有( 1 )对形心主惯性轴，等边三角形有( 无穷多 )对形心主惯性轴。
4.在边长为2a 的正方形的中心部挖去一个边长为a 的 正方形，则该图形对y 轴的惯性矩为( 45
4
a )。
5.图形对所有平行轴的惯性矩中，图形对形心轴的惯性矩为( 最小 )。
6.对直径为d 的圆形截面，它的惯性半径为( i=d/4 )。
二、选择题
1.在下列关于平面图形的结论中，（ D ）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心；
B.图形两个对称轴的交点必为形心；
C.图形对对称轴的静矩为零；
D.使静矩为零的轴为对称轴。
2.在平面图形的几何性质中，（ D ）的值可正、可负、也可为零。
A.静矩和惯性矩
B.极惯性矩和惯性矩
C.惯性矩和惯性积
D.静矩和惯性积。
3.设矩形对其一对称轴z 的惯性矩为I ，则当其长宽比保持不变。
而面积增加1倍时，该矩形对z 的惯性矩将变为（ D ）。
A. 2I
B. 4I
C. 8I
D. 16I 4.若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（ A ）。
A.静矩为零，惯性矩不为零
B.静矩不为零，惯性矩为零
C.静矩和惯性矩均为零
D.静矩和惯性矩均不为零 5．若截面有一个对称轴，则下列说法中（ D ）是错误的。
A. 截面对对称轴的静矩为零；
B. 对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等；
C. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零；
D. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零。
6.任意图形,若对某一对正交坐标轴的惯性积为零,则这一对坐标轴一定是该图形的( B )。
B
b
h
H C
z
a
2 a
y
z
A.形心轴
B.主惯性轴
C.行心主惯性轴
D.对称轴
7.有下述两个结论：①对称轴一定是形心主惯性轴；②形心主惯性轴一定是对称轴。
其中 （B ）。
A. ①是正确的；②是错误的
B. ①是错误的；②是正确的
C. ①、②都是正确的
D. ①、②都是错误的 8. 由惯性矩的平行移轴公式，2
z I 的答案有四种：( C )
A.2134z z bh I I =+；
B. 23
4
z z bh I I =+；
C.2
3z z I I bh =+； D.2
1
3z z I I bh =+。
9. 工字形截面如图所示，z I 有四种答案：( A )
D.
329
144
bh 10. 图示由三角形和半圆组成的图形，1y 轴通过O 点，关于1y 轴有四种答案( C )
A.是形心轴
B.是形心主轴
C.是主轴
D.不是主轴
11. y 轴上、下两部分图形面积相等，1y 轴通过O 点，关于1y 轴有四种答案( C )
A.是形心轴；
B.是形心主轴；
C.是主轴；
D.不是主轴。
12.惯性矩的量纲为长度的（ D ）次方。
A.一
B.二
C.三
D.四
13.静矩的量纲为长度的（ C ）次方。
A.一
B.二
C.三
D.四
14.极惯性矩的量纲为长度的（ D ）次方。
A.一
B.二
C.三
D.四
15.惯性半径的量纲为长度的（ A ）次方。
A.一
B.二
C.三
D.四
16.受弯构件正应力计算公式σ=My/Iz 中，Iz 叫（C ）
y
z
z 1
z 2
h /2
h /2
h /2
b /2
b /2
︒45y 1
y b b
b
a O a
A.截面面积
B.截面抵抗矩
C.惯性矩
D.面积矩
三、计算题
1. 试应用p I ，y I 及z I
间的关系式求直角扇形的y I 及z I 。
解：4
p 8
R I π=
因为y z I I =，所以4
16
y z R I I π==
2. 求由三个直径为d 的相切圆，构成组合截面对形心轴x 的惯性矩。
解：三角形的形心即该组合截面的形心。
3.计算惯性矩
（1） 矩形： a 截面对形心轴的I z ，I y
解：d A =bd y
I z =A A
d y ⎰2=y h h bd y ⎰
-2
/2
/2=b[y 3
/3]2
/2/h h -=bh 3
/12
D A =hd z
I y =A A d z ⎰2
=hdA z b b ⎰
-2
/2
/2= h[z 3
/3]2/2/b b -=hb 3
/12
B 截面对z ，y 轴的I z ，I y 解：d A =bd y
I z =A A d y ⎰2=y h
bd y ⎰0
2=b[y 3/3]h
0 =bh 3/3
I y =A A d z ⎰2=hdz z b
⎰0
2= h[z 3/3]b 0=hb 3/3
（2）圆形截面： I z ，I y
解：I z =I y=dA y d d ⎰
-2/2
/2==y d d d y d y 222
/2/2)2/(2-⋅⋅⎰-=64/4d π
d A =d y ⋅⋅22
2)2/(y d -
4.求图形对形心主轴的惯性矩Ｉzc 。
答案：
5.求图形对形心主轴的惯性矩Izc 。
答案：
z
y
R
x
d y
b
d z
d A
A
d y
x
b
y
d z
d z
y
6.用平行移轴定理求图形对Z' 轴的惯性矩，已知。
答案：
7.试求图所示图形的形心位置(图中单位mm)。
（a ）解：将图形分成三部
分，
28001008mm A Ⅰ=⨯= ， mm x Ⅰ4= ， 0=Ⅰy 27207210mm A Ⅱ=⨯= ， mm x Ⅱ442
72
8=+
= ，mm y Ⅱ45-= 27207210mm A Ⅲ=⨯= ，mm x Ⅲ44= ， mm y Ⅲ45= （b ）解：将图形看成矩形减去圆形，
矩形：2
80000200400mm A Ⅰ=⨯= ， 0=Ⅰx ， 0=Ⅰy 22278505014.3mm R A Ⅱ-=⨯-=-=π ， mm x Ⅱ100= ，0=Ⅱy
8. 矩形截面截去一角,如图5-19所示,求其形心位置。
解：将图形看成矩形截面减去等腰三角形，
矩形：2
120000300400mm A Ⅰ=⨯= ，
0=Ⅰx ， mm y
Ⅰ150= 21125015015021mm A Ⅱ-=⨯⨯-= ， mm x Ⅱ15015032
50=⨯+= ，
mm y Ⅱ501503
1
=⨯=
9. 水坝截面如图所示,求其形心位置(图中单位m)。
解：将图形分成三部分，
2
5.255.0m A Ⅰ=⨯= ， m x
Ⅰ75.025.05.0=+= ， m y Ⅰ5.35.21=+=
225.655.221m A Ⅱ=⨯⨯=
，m x Ⅱ83.15.23
1
1=⨯+= ，m y Ⅱ67.25311=⨯+=
2441m A Ⅲ=⨯= ，m x Ⅲ2= ， m y Ⅲ5.0=
10. 如图所示为Z 形截面型钢，求其形心位置（图中单位cm ）。
解：将Z 图形分成三部分，
2
50105cm A Ⅰ=⨯= ， cm x
Ⅰ5-= ， cm y Ⅰ5.375.240=-= 2200405cm A Ⅱ=⨯= ，cm x Ⅱ5.2= ，cm y Ⅱ20= 275155cm A Ⅲ=⨯= ，cm x Ⅲ5.122
15
5=+
= ， cm y Ⅲ5.2= 11. 确定下列图形的形心位置，计算平面图形对形心轴y c 的惯性矩。
解：
（1）查型钢表得 槽钢No14b 工字钢No20b （2）计算形心位置
由组合图形的对称性（对称轴是z c 轴）知：y c =0； （3）用平行移轴公式计算各个图形对y c 轴的惯性矩
（4）求组合图形对yc 轴的惯性矩
z c
y
y c 1
y c
y c 2
c) C
C 1
C 2
No14b
No20b
O z o 1 h
z c。