五年级数学下册疑难问题解答

五年级下册疑难问题解答
人民教育出版社小学数学课程教材研究开发中心刘丽
一、教学旋转时应把握哪些要素？
1．关于旋转的知识背景。

旋转的描述性定义是：像这样（如图4），把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。

根据描述性定义可知，要完成旋转就必须确定两个要素，即旋转中心和旋转角（包括旋转方向）。

改变其中的任何一个要素，旋转都会发生改变：如图5中的两个旋转变换，旋转中心一样，旋转角不同，最后得到的图案就不同；同样，图6中的两个旋转变换，旋转中心不同，旋转角度一样，得到的图案也不同。

因此，当要进行旋转变换时，就有必要让学生说清楚他是绕哪一个点旋转的，向哪个方向旋转的角度是多少。

图4 图5 图6
旋转变换具有三个特征：（1）图形的形状、大小不变（如上图4中三角形A’B’C’与三角形ABC的形状、大小相同）；（2）对应点到旋转中心的距离相等（如上图4中线段OC的长度和OC’的长度相等）；（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（即上图4中角AOA’的大小与旋转的角度相等，角COC'的大小也与旋转的角度相等，这里的旋转角度是90°）。

图7
图8
按照旋转的定义，摆动在数学上也是一种旋转现象（如图7、图8）。

2．对于这部分内容的教学，请注意以下几点。

（1）把握好教学要求。

通过这一单元的教学，学生描述旋转现象时，只要说明绕着哪个点旋转（旋转中心）、向哪个方向旋转了多少度（旋转方向和旋转角度）就可以了。

（2）旋转特征的教学是后面教学画图的基础，教学时可让学生体会教材在安排所体现的化归思想（即将图形的旋转化归为线段的旋转）为后面例4教学画法作准备。

（3）对于学生来说，画出旋转后的图形是比较困难的，因此，教材只要求在方格纸上画出一个简单图形旋转90°后的图形。

具体来说，画简单图形旋转90°后的图形的关键是：如果没有指定旋转中心，先在图形中找到一点确定为旋转中心，再找到一条通过旋转中心的边，便于画出该条边旋转90°（注意是按顺时针还是逆时针旋转）后的对应边，再根据图形的特征画出其它的边，从而画出该图形旋转90°后的整个图形。

二、“因数与倍数”单元中，在第12页中指出“注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）”，而在17页又指出“0也是偶数”，质数与合数中，对0的问题又没有加以说明。

这是为什么？究竟在这一单元的研究中，到底包括0还是不包括0？
（1）本单元是有关数论的内容，主要研究整数的性质。

就数论这门学科而言，研究的数的范围是整数（0是整数），而且其主要概念都是在整除（见与本册教材相配套的教师教学用书的说明）的基础上定义的，具体的某个概念又会限定在特定的数的范围内（如0×5＝0，可以说5是0的因数，0是5的倍数；但不能说0是0的因数，在数论里讨论的因数与一般乘法算式中的因数的概念是不同的，数论里的因数不能为0）。

（2）虽然本单元的内容应该在整数范围内研究，但是，由于0是任何非0自然数的倍数，任何非0自然数是0的因数；这种由于0的特殊性导致在研究具体问题时经常要注意说明0
是否包含在内，给研究问题带来很多麻烦。

（如虽然0是任何非0自然数的倍数，但最小公倍数指的是一切公倍数中的最小正数”）。

因此，限于小学生的认知水平，在小学阶段进行特殊约定，一般只在非0的自然数范围内加以研究，教材对此在第12页进行了说明。

（3）奇数、偶数的概念是在整除的基础上定义的，研究的范围是整数，因为0能被2整除(或者说0是2的倍数),因此,0也是偶数。

为此，教材对“0也是偶数”进行了补充说明，概念是科学的定义，这与前面对本单元数的范围的特殊约定并不矛盾。

（4）与因数和倍数不同，质数和合数在正整数范围内研究，因此讨论质数与合数时不包括0。

相应地，如果把正整数分类，应分为：1、质数和合数。

综上所述，由于质数与合数、因数与倍数、奇数与偶数等概念的研究范围不同，为此教材对于0依据不同情况进行特殊处理。

三、不教学分解质因数了，应该怎么办？
“分解质因数”，根据课程标准对因数和倍数内容的调整，本册教材不再正式教学“质因数”
只作为阅读性材料进行介绍。

这种改变在教学中给教师带来了一些困扰，这些困扰集中在“短除法——教，还是不教？”这一问题上，由此带来的直接问题就是不教短除法，怎样求几个数的最小公倍数和最大公因数问题。

以前用短除法求最大公因数、最小公倍数，教师更多的精力集中在计算的方法上，学生并不是十分清楚为什么要用短除法，短除法背后的道理是什么。

针对这种情况，教材根据课标“能找出两个数的公因数和最大公因数”这一理念，对最大公因数、最小公倍数的求法进行了调整，以理解概念为基础呈现了两种直观、明了、易懂的“找”最大公因数、最小公倍数的方法，加深了学生对概念的理解，降低了学习的难度，体现了算法多样化的思想，同时可以培养学生根据具体情况调整自己策略的能力。

正是因为这种改变，质因数、分解质因数等内容也就失去了存在的基础。

教师不必担心不教学分解质因数而影响求最大公因数和最小公倍数的熟练程度。

如果学生能够很好地掌握2、5、3的倍数的特征，通过一定程度的训练，同样可以达到熟能生巧的程度。

当然，在实际教学中，如果学生很好地理解了概念，教师结合学生的实际情况，通过“你知道吗”中的阅读材料，让学生了解短除法也是一种很有效的求最大公因数、最小公倍数的方法，也是可以的，但不必作为统一要求。

四、数学广角的教学需不需要用真的天平？
本册的“数学广角”以“找次品”这一活动为载体，让学生感受用归纳、推理的方法运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力。

通过教学目标和教材的编排可以看出，借助天平称的方法找次品，目的在于帮助学生理解解决问题的方法，并找出优化的解决策略。

如果有天平，借助天平进行实际操作能够帮助学生直观地理解解决问题的方法；如果没有天平，也可以借助其它学具进行操作，同样可以帮助学生理解解决问题的方法。

当学生通过实际操作理解了解决这类问题的方法后，就不应再停留在操作这个水平上，而应该借助这种方法学会进行逻辑推理，如当学生通过例2发现把待测物品平均分成3份称的方法最好后，可以此为基础让学生进行猜测：这种方法在待测物品的数量更大时是否也成立呢？引发学生进行进一步的归纳、推理等数学思考活动，逐步脱离具体的实物操作，采用列表、画图等方式进行较为抽象的分析，实现从特殊到一般、从具体到抽象的过渡。