矩阵对策的解法

(1)i
i
aijxi v, j1,2,..n.,
xi 1
(2) j
j
aijyj v,i1,2,...m, yj 1
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15
3. 线性方程组方法
例16
求解矩阵对策——“齐王赛马”
3 1 1 1 1 1
1
3
1
1
1
1
1 1 3 1 1 1
A 1 1
1
3
1
1
1 1 1 1 3 1
2× n 对策的解题步骤：
（1）在直角坐标系中作直线 I：x = 0；II：x = 1；
（2）在直线I处按矩阵第2行的值标纵坐标，在直线II处按矩阵第1行 的值标纵坐标；其意义是指当局中人一采用其中一个纯策略时，局 中人二各策略相对应的赢得值；
（3）按列的方向将各对应纵坐标值连成直线；
（4）令 0 < x < 1，即局中人一采用混合策略，按最小最大原则，在 图中找出局中人一的最优策略；具体方法是：让 x 在(0, 1)内变动， 找出经过点(x, 0)的垂线与上述直线交点中纵坐标最小的点集(某些线 段)，然后再从中找出纵坐标最大的点 P 所对应的横坐标即为所求；
（5）确定经过点 P 的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程 组，求出 x*.
（6）根据定理6的结论计算 y* 的值。
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6
例13
考虑矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A}, 其中
2 3 11 A7 5 22020/7/267源自2020/7/268
如上图，由最小最大原则确定 B 点所对应的横坐标为所求， 故联立经过该点的两条直线方程：
23
j
aijyj 1,i 1,2,...,m
(2)yj 1/v
j
yj 0, j 1,2,...,n
与之等价的线性规划问题是:
max yj
j
(D) aijyj 1,i 1,2,...,m
j
yj 0, j 1,2,...,n
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例18
利用线性规划方法求解赢得矩阵为 A 的矩阵对策。
s.t.92
y1 y1
9y2 1 11 y3 1
y1, y2 , y3 0
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小结
在求解一个矩阵对策时, 应首先判断其是否具有鞍点, 当鞍 点不存在时, 利用优超原则和定理7、定理8 等提供的方法将 原对策的赢得矩阵尽量地化简, 然后再利用本节介绍的各种 方法去求解。
2020/7/26
（5）确定经过点 P 的两相交直线，根据两相交直线列出对应方程 组，求出 y*.
（6）根据定理6的结论计算 x* 的值。
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10
例14
用图解法求解矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} , 其中
2 7
A
6
6
11 2
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11
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12
例 15
等式组: a11x1 a21x2 v
(1)a12x1 a22x2 v x1 x2 1
a11y1 a12y2 v (2)a21y1 a22y2 v
y1 y2 1
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4
例12
求解矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A} , 其中
1 3 A 4 2
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5
2. 2× n 或m×2 对策的图解法
（3）按行的方向将各对应横坐标值连成直线；
（4）令 0 < y < 1，即局中人二采用混合策略，按最大最小原则，在 图中找出局中人二的最优策略；具体方法是：让 y 在(0, 1)内变动， 找出经过点(y, 0)的垂线与上述直线交点中纵坐标最大的点集(某些线 段)，然后再从中找出纵坐标最小的点 P 所对应的横坐标即为所求；
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9
2. 2× n 或m×2 对策的图解法
m×2对策的解题步骤：
（1）在直角坐标系(横坐标为 y)中作直线 I：y = 0；II：y = 1；
（2）在直线I处按矩阵第2列的值标纵坐标，在直线II处按矩阵第1列 的值标纵坐标；其意义是指当局中人二采用其中一个纯策略时，局 中人一各策略相对应的赢得值；
(1)xi 1/v
i
xi 0,i 1,2,...,m
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根据定理11, 不等式组(1) 等价于以下线性规划问题:
minz xi
i
(P) aijxi 1, j 1,2,...,n
i
xi 0,i 1,2,...,m
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同理, 作变换 yj = yj / v, j = 1 , ⋯ , n,则不等式组(2)变为
第11 章 对策论基础
第3节 矩阵对策的解法
3.1 公式法、图解法和方程组法
1. 2×2 对策的公式法
2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为2×2 阶的, 即
A
a11 a21
a12 a22
如果 A 有鞍点, 则很快可求出各局中人的最优纯策略; 如果
A 没有鞍点,则可证明各局中人最优混合策略中的 xi* , yj* 均 大于零。于是, 由定理 6 可知, 为求最优混合策略可求下列
3x5(1x)v 11x2(1x)v
x3,v49 11 11
即得 x1* = 3/11, x2* = 8/11，又因它们均大于零，故由定理6
又有：
72yy11**
3y2* 5y2*
11y3* v 2y3* v
y1* y2* y3* 1
又因为 2x1* + 7x2* = 62/11 > v, 所以又定理6的结果知 y1* = 0， 从而由上述方程可解出 y2* = 9/11, y3* = 2/11.
7 2 9
A 2
9
0
9 0 11
解：所求问题化为以下两个互为对偶的线性规划问题:
min x1 x2 x3
7 x1 2 x2 9 x3 1
s.t
.92
x1 x1
9 x2 11 x3
1 1
x1, x2 , x3 0
max Z y1 y2 y3
7 y1 2 y2 9 y3 1
i
j
xi 0,i 1,2,...,m
yj 0, j 1,2,...,n
其中
v m m a E ( x i , x y ) n m m iE ( n x a ,y )x
x S 1 * y S 2 *
y S 2 * x S 1 *
就是对策的值VG 。
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定理11 设矩阵对策G= { S1 , S2 ; A}的值为 VG , 则
V G m x S 1 * 1 m j n a E ( x i x ,j) n m y S 2 * m 1 i m iE ( n i, a y )x
矩阵对策的线性规划方法
作变换: xi = xi / v, i = 1 , ⋯ , m,则不等式组(1)变为
i
aijxi 1, j 1,2,...,n
由定理5知, 任一矩阵对策 G = { S1 , S2 ; A}的求解均 等价于一对互为对偶的线性规划问题, 而定理4 表明, 对策 G 的解 x* 和 y* 等价于下面两个不等式组的解。
i
aijxi v, j 1,2,...,n
aijyj v,i 1,2,...,m
j
(1)xi 1
(2)yj 1
1 1 1 1 1 3
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例17
某厂用三种不同的设备 1 、 2 、 3 加工三种不同的产品 1 、 2 、 3 , 已知三种设备分别加工三种产品时, 单位时间
内创造的价值由下表给出。
被加工产品
使用设备
1
2
3
1
3
-2
4
2
-1
4
2
3
2
2
6
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3. 2 线性规划方法
求解赢得矩阵A 的矩阵对策
A4 1
8
3 5
4 5
2 7
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13
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3. 线性方程组方法
根据定理4 , 求解矩阵对策解( x*, y* ) 的问题等价于求解不 等式组，又根据定理5 和定理6 , 如果假设最优策略中的 xi* 和 yj* 均不为零, 即可将上述两个不等式组的求解问题转化 成求解下面两个方程组的问题: