一题多变与一题多解

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基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”

基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”高考是中国教育系统中最为重要的一次考试，几乎决定了学生的未来走向。

为了选拔出最好的学生，高考试题往往是非常严谨和严密的。

在实际的考试过程中，有时会出现一题多解或一题多变的情况。

一题多解指的是一个问题有多种答案或多种解决方法。

高考试题通常设计成有唯一正确答案的形式，但由于问题的复杂性和广度，也有可能会有其他答案。

某道数学题要求求解一个方程，虽然通常只有一个解，但在某些特定条件下也可能有多个解。

这种情况下，如果考生能够给出其他解，并且解答过程正确，他们也可以得到分数。

一题多变指的是同一道题目在不同的考试中，可能会有不同的表述或要求。

高考试题是经过精心设计和审核的，但有时会有一些小的差异。

某个考试要求学生解答一道文学理解题，其中涉及到一个小说中的情节。

在不同的考试中，可能会有对情节的描述有细微差别，但要求学生进行相同的分析和理解。

这种情况下，考生需要根据实际题目做出相应的答案。

一题多解和一题多变可能是由于试题设计者的失误或主观性造成的，也可能是故意设置的。

试题设计者有时会故意设置一题多解或一题多变的情况，以考察学生的思维能力和灵活性。

这样的题目可以激发学生的创造力和思考能力，使他们更好地理解问题，发现不同的解决方法。

一题多解和一题多变也反映了学科知识的广度和复杂性。

一个问题可能涉及到多个知识点或技能，学生需要综合运用这些知识点和技能来解答问题。

这样的问题在一定程度上能够衡量学生的综合能力和深度理解能力。

一题多解和一题多变也存在一定的问题。

一些考生可能会误解题意，给出错误的答案。

而一些考生可能只掌握了解题的一种方法，导致无法应对不同的题目要求。

对于学生来说，重要的是要在高中阶段充分掌握各学科的知识和技能，提高解题的能力和思维的灵活性。

要注重对题目的理解和分析，切忌盲目套用模板答案。

对于教育机构和教师来说，应该注重培养学生的综合能力和创新能力，设计更有针对性的试题，对一题多解和一题多变进行更加科学和合理的评分。

一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用

一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。

它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。

接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。

一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。

这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。

通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。

例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。

这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。

一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。

这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。

通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。

例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。

在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。

首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。

通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。

其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。

通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。

同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。

教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。

此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。

新 2019-2020 一题多解、一题多变、一题多问述职

一题多解、一题多变、一题多问这几年的教学中我一直在思考一个问题：学生掌握了知识点，但做题的过程中为什么总是犯错误？慢慢地我意识到仅靠课堂上以及学习辅导几道基础练习，只能是“纸上谈兵”，要通过周周清、周末作业来将理论知识充分实践应用，因此在习题教学中我注意以下三个教学策略：一题多解、一题多变、一题多问。

一、“一题多解”“一题多解”是指引导学生就不同的角度、不同的观点审视分析同一来源材料中的数量关系，用不同解法求得相同结果。

“一题多解”可以帮助学生改变思维的方向，调节思维角度，从狭窄的思维模式中解放出来。

其次提供更多机会加深学生对各种解法的认识，进而对已有的信息进行分析、归纳、整理、储存，形成顿悟。

还可以提供分析比较的机会，提高解决问题的能力。

例题1：一篇作文有3268个字，小张每分钟能打76个字，他45分钟能打完这篇作文吗？方法一：比较工作总量45分钟的工作总量：76×45＝3420（个）比较总量：3268个＜3420个，能方法二：比较工作时间小张打完3268个字需要的时间：3268÷76＝43（分）比较时间：45分＞43分，能例题2：《格林童话》每本21元，“六一”优惠买五本送一本。

黄老师带300元钱，最多可以买多少本？方法一：买完再送300元能买几本：300÷21＝14（本）……6（元）14本里有几个5：14÷5＝2（组）……4（本）最多买几本：14＋2＝16（本）方法二：捆绑法1组有几本：5＋1＝6（本）1组的单价：21×5＝105（元）300元能买几组：300÷105＝2（组）……90（元）剩下48元还能买几本：90÷21＝4（本）……6（元）最多买几本：2×6＋4＝12＋4＝16（本）通过一题多解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，有利于提高学生学习的主动性，启发学生思维，开阔视野，培养学生全方位的思考问题、分析问题的能力，发展创造性思维。

初中数学“一题多解与一题多变”教学研究

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８初中数学一题多解与一题多变教学研究初中数学一题多解与一题多变教学研究Һ陈㊀斌㊀（昆山市新镇中学，江苏㊀苏州㊀２１５３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解与一题多变是数学教师所要关注的重要内容，这两种解题训练模式的构建可以突破原有解题教学的结构，帮助学生更加深入地认识数学习题的解题方法，这对其解题能力的提升与发展有着重要的意义．为了构建一题多解与一题多变教学课堂，教师需要对其价值进行分析研究，再从实际教学的开展出发探寻有效教学设计的方法，对初中数学一题多解与一题多变教学的开展方法进行探究．ʌ关键词ɔ初中数学；一题多解；一题多变；教学研究数学是初中阶段学生所要学习的重要学科，在中考中占有重要的分数比例，为了帮助学生成功通过中考的考验，教师需要从实际出发进行数学习题的筛选，引领学生进行一题多解的研究，带领学生思考解题的多种方法，再通过习题变形设计的研究，来设计变式问题，以此推动学生的解题思考，发展学生的解题能力．在实际教学中，教师可以围绕解析原题结构㊁融合数学思想㊁设置多解训练㊁构建多变训练㊁引领学生归纳五个方面来开展教学．一㊁一题多解与一题多变的价值分析一题多解是多元解题方法的显现，其可以让学生针对一道习题进行多种解题方法的思考．一般而言，每一种解题方法都印证着一条不同的解题思路．多解题的展示与引导解析，可以帮助学生了解习题的解法与其背后隐含的解题思维，进而开阔学生的解题视野，提升学生的思维灵活度，对学生的发展有着重要的意义．一题多变是变式思想的显现，在一题多变的训练设计中，教师将选取典型的习题作为原式，通过题目条件调整㊁问题新拟㊁题目信息倒置等方法将原本的习题转化为多道表现形式不同的习题．此时，教师就可以从习题的不同特征出发引领学生进行训练，并发展学生的解题能力．在这一类习题的解题中，教师可以引导学生对习题的特征进行归纳，并围绕习题的快速解答进行建模设计，构建合理化的解题模型．二㊁一题多解与一题多变教学的开展方法（一）解析原题结构，分析习题特征原题的解析与研究是帮助学生进行一题多解或一题多变的基础，教师要展示原题，帮助学生认识原题的突出特点，并引领学生深入解析原题．在实际的展示过程中，教师需要利用课前时间进行检索，搜集教学展示所需的习题，并在课上对习题进行展现，重点围绕习题的考查点进行分析，解析相关习题解答需要的条件．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下原题：例题㊀两个连续奇数的积是３２３，求出这两个数．分析㊀通过研究可以发现，习题考查的内容为一元二次方程的应用，习题的解题关键是条件中给出的描述语两个连续奇数的积是３２３．学生可以从一元二次方程的不同未知数设列出发得出多种不同的解法．其中，教师可以为学生展示将较小的奇数设为ｘ将较大的奇数设为ｘ将ｘ设为任意整数将两个连续奇数设为ｘ－１和ｘ＋１，这四种设列方法可以对应四种不同的解题方法．四种解题方法看似都是对一元二次方程的应用，但其切入思考的角度存在差异．通过这一展示，教师便可以引导学生对题目进行系统的认识与理解，为之后一题多解和一题多变的思索研究做好铺垫．为了让学生了解一题多变的意义，使其了解相关题目的特点，教师可以选择原题进行调整，构建一些简单的变式题．在变式题的设计上，针对该习题，教师通过调整问法的形式即可生成多个变式，如教师可以将习题改制为两个连续奇数的积是３９９，求出这两个数，通过调整题干的数字大小来实现对题目的简单变更，让学生进行解答．教师也可以将习题改制为两个连续偶数的积是４４０，求出这两个数，通过题目条件的对应变更，生成与原题相似的变式题．在完成变式题的设计后，教师可将其展示给学生，让学生就变式题与原题的差别进行分析，使其探析题目发生的变化．（二）融合数学思想，研究解题方法解题方法的掌握与否直接关系到学生解题能力的发展，教师要关注一题多解的教学，从解题方法的内涵思想入手进行解析，让学生联系解题方法进行分析，找出方法中隐含的解题理念．在实际教学中，一题多解的研究需要教师为学生创建相应空间，帮助学生探寻解答题目的多种解法．在实际教学中，教师要从学生的发展出发选择适于学生进行多解探究的例题，并结合问题的解法分析进行多方面㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８展示．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下习题，引导学生从习题的特点出发来研究相关题目的多种解法：例题㊀某人买１３个鸡蛋㊁５个鸭蛋㊁９个鹅蛋，共用去９．２５元；若买２个鸡蛋，４个鸭蛋，３个鹅蛋，则会用３．２０元，若每种蛋只买一个，需要用多少钱？分析㊀通过简要分析可以得出该题目考查的是三元一次方程组的内容，但由于题目中只提供了两组等量关系，因此若想分别求出三种蛋的单价是不现实的，但题目所求的内容为三种蛋的共价，所以可以通过式子的变形来求解．在明确了这一思路后，学生就可以围绕学过的数学方法选择方向，寻找有效列式解答的方法．方法一㊀凑整法解：设鸡㊁鸭㊁鹅三种蛋的单价分别为ｘ元㊁ｙ元㊁ｚ元，根据题意可以列出一个由两个式子组成的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{通过将方程式相加化简的方式可以得到新式子，①＋②３：５ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝４．１５㊀③将②和③相加可以得到７ｘ＋７ｙ＋７ｚ＝７．３５，化简可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，这一方法应用了化归的数学思想，利用这一思想可以转换与调整题目的条件，让算式简化，从而得出可以计算解答的式子．在讲授这一解题方法时，教师要注意开展数学思想的拓展活动，让学生了解化归思想及其在解题中的实际应用．方法二㊀主元法这一方法是对函数方程思想与化归思想的融合运用，其核心在于将方程的三个未知数进行区别看待，将ｘ，ｙ作为未知数处理，将ｚ视为一个常数，以此对方程变形：通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{此时视ｘ，ｙ为主未知数，ｚ为常数，使用移项代数的方法可以得到ｘ＝０．５－０．５ｚ，ｙ＝０．５５－０．５ｚ，此时，ｘ＋ｙ＋ｚ＝（０．５－０．５ｚ）＋（０．５５－０．５ｚ）＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，主元法实质上是对函数与方程的运用，选择适当的字母作为主元可以起到化难为易的作用．在上述习题解答中所使用的主元法，其特征是将未知数进行区别看待，形成一个特殊的数学关系，符合方程思想的构成要求，即从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程（组）㊁不等式（组）㊁或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．在实际教学中，教师要为学生解读函数方程思想的构成，并展现函数方程思想在常见问题中的运用实例．方法三㊀参数法通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{再设ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ，此时可以得到新的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ㊀③ìîíïïï观察式子之间的关系，得①－②ˑ３可以消去ｚ，再化简可得ｘ－ｙ＝－０．０５㊀④③ˑ３－②可以得到ｘ－ｙ＝３ｋ－３．２０㊀⑤此时通过式子④和⑤可以得到３ｋ－３．２０＝－０．０５，所以ｋ＝１．０５，此时可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．解析㊀上述三种方法对应了三种解题思路，而每一种解题思路还可以延伸出新的解题方法，限于篇幅此处不再赘述，教师在进行解析教学时，可以让学生尝试着寻找额外的习题解答方法．参数法是指在解题过程中通过引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），再进行分析和综合，从而解决问题的方法．这一方法从数学思想的角度来看，其同样运用了化归的数学思想，通过参数的引入，用参数代指一部分数学量，从而将算式转换为有利于解答的形式，从而实现有效解答．通过上述三种解题方法与其对应数学思想的解读，学生就可以在不同解法的研究中认识数学思想的拓展应用价值，获得解题意识和认知的提升．为了发展学生的解题能力，让一题多解真正发挥作用，教师还需要为学生设计针对性的练习，用练习推动学生解题能力的提高与发展．（三）设置多解训练，推动学生探究一题多解的训练其目的在于帮助学生认识多种解题方法，从解题方法的探究入手，带领学生认识数学习题解答的多种思想．在实际教学中，教师要考虑学生的发展情况，选取难度合理且解法较多的习题进行展示，构建有效的多解训练，帮助学生学习解答问题的多种解法．如，在实际教学中，教师便可以给学生展示如下习题：练习题１㊀已知ａ，ｂ满足ａｂ＝１，那么１ａ２＋１＋１ｂ２＋１＝．练习题２㊀已知ｘ＋ｙ＝１，求ｘ３＋ｙ３＋３ｘｙ的值．㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０８练习题３㊀甲㊁乙㊁丙三种货物，若甲３件㊁乙７件㊁丙１件共需３．１５元；若甲４件㊁乙１０件㊁丙１件共需４．２０元．请问：买甲㊁乙㊁丙各一件需要多少钱？在展示了上述练习题后，教师需要引导学生解答题目，并要求每名学生至少找出两种解法．在这一环节，为了渗透分层理念，教师可以要求发展较好的学生最少找出３种解题方法，并要求其对解题方法的思路进行整理分析，以便在班级中进行汇报与展示．在学生实际解题过程中，教师要关注学生的解题情况，分析学生的思维拓展能力发展情况，并借助引导性的语言对学生进行点拨，推动学生主动思考．（四）构建多变训练，促进学生拓展一题多变的训练需要教师秉持万变不离其宗的核心思想，对习题的题干信息㊁提问方式㊁条件构成进行调整，并从学生的实际解答出发来引领学生分析相关的变式题组．在学生解答前，教师需要围绕解题模型的建立与公共解题思路的明确来提出问题，引导学生在解答问题的同时进行思考．为确保变式题具有较高的质量，教师在设计变式题时要从原式的各个角度思考延伸，选择不同的方向来设置对应的题目．如，在实际教学中，教师便可以展示如下习题：原式㊀依次连接任意四边形各边中点所得的四边形可称为中点四边形．求证平行四边形的中点四边形是平行四边形．变式一㊀按照原式所给条件，求证矩形的中点四边形是菱形．变式二㊀按照原式所给条件，求证正方形的中点四边形是正方形．变式三㊀一个四边形的中点四边形是平行四边形，请问这个四边形可能是什么图形？原式㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式一㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由２０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式二㊀一个宽为１００ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式三㊀一个宽为５０ｃｍ㊁长为１００ｃｍ的长方形图案由８个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．在实际教学中，教师在给出变式练习后，要引导学生对相关的题目进行分析㊁求解．在学生解答的过程中，教师要关注学生的解题情况，并予以帮助与引导，让学生总结各个变式题与原题的不同之处．对于学生给出的答案，教师要认真判定，并引导学生回顾与整理．在学生完成变式题的解答后，教师可以引导学生进行拓展思考，让其尝试着对原式进行变形，然后采用同桌互换的方式来完成相关习题的解答．在这一过程中，学生的思维会变得更为开阔，其创造能力也能得到培养与发展．（五）引领学生归纳，培养模型意识模型意识与能力是数学核心素养的关键构成，新课标强调对学生数学核心素养的培养．模型意识与能力的培养关系到学生解题能力的发展，具有较强建模能力的学生可以更好地实现一类习题的解答．为了培养学生的模型意识与能力，教师可以引导学生对一题多变习题进行分析思考，让其对比原式与变式题，逐一分析其差异，对相关习题进行二次分类．在分类完成后，教师可以引导学生对一类习题的解题方法进行系统总结与整理，构建解答相关题目的有效数学模型．如，在实际教学中，教师便可以依托一题多变教学的进行，引领学生对数学一题多变习题的原式与变式题进行归纳，从公共解答思路中总结出解题的通用方法，建立解题模型．在这一过程中，为了发挥学生群体的主动性，让其进行协作探究，教师可以从学生发展入手划分学生小组，并布置针对性的探究任务，让其合作完成整理探究任务．学生在探究思考中，其能力可以得到逐步的提升与发展．结㊀语综上所述，一题多解与一题多变是开展数学解题教学的一种有效模式．通过解题教学的进行，教师可以帮助学生实现解题理念的发展，有效地推动其解题能力水平的提升．在实际的教学中，教师需要进行习题的解析研究，从解题方法的多元介绍与习题的变式展示两个方面进行系统构建，帮助学生认识并掌握相关习题的有效解答方法．在学生了解了相关的内容后，教师还要依托教学的进行，推动学生进行归纳，发展并培养其模型意识．ʌ参考文献ɔ［１］黄跃惠．一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用［Ｊ］．试题与研究，２０１９（２８）：１４５．［２］王茁力．初中数学一题多解的教学价值［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（Ｚ３）：９９－１００．［３］罗春梅．一题多解与一题多变在初中数学教学中的应用以‘人教版九年级上册第二十四章圆中两道习题“为例［Ｊ］．散文百家，２０１９（０１）：１６２．［４］秦小刚．初中数学一题多解教学策略分析［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（０１）：２１．［５］张秀霞．一题多解与一题多变在人教版初中数学教学中的应用［Ｊ］．智力，２０２０（１０）：５０－５１．。

一题多解与一题多变

一题多解与一题多变一题多解：开拓学生解题思路，沉淀学生的严谨思维；一题多变：引导学生知识联系，培养学生的发散思维。

在高中数学教学中，对例题的讲解，要做到一题多解和一题多变。

也就是先要做到从不同的角度进行分析，用不同的方法来解决问题，这样能够开拓学生的解题思路，培养学生分析问题和解决问题的能力。

还要进行拓展廷伸，使学生掌握知识间的联系，培养学生的发散思维。

问题一：设AB 是抛物线px y 22=的弦，O 为原点，若OA ⊥OB ，则直线AB 恒过定点。

证明之。

分析：1、若过定点，则定点应在何处？——根据对称性，应可猜想到定点应在x 轴上。

2、怎样利用已知条件？主要是OA ⊥OB 的作用：①1-=⋅OB OAk k②设()()2211,,y x 、B y x A，则02121=+y y x x3、可从那些方面入手？ ①从设点的坐标入手由点A 、B 在抛物线上，可设点A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22， ②从设直线AB 的方程入手1）设直线AB 的方程为x=my+b 2）设直线AB 的方程为ax+by=1 ③从OA ⊥OB 入手设OA 的斜率为k ，则OB 的斜率为k1- 方法一：设A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22，则OA 、OB 的斜率分别为a p 2、bp 2，由OA ⊥OB 得：24p ab -=，又AB 的斜率为∶ba pk +=2，∴AB 方程为∶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-p a x b a p a y 222，即()p x b a py 22-+=，显然AB 过定点（2p ，0）。

ABO方法二∶设直线AB 的方程为x=my+b ，（注意这样设直线方程有两大优点：①不必考虑斜率不存在，②代入消x 简便），代入抛物线的方程消x 得：0222=--pb mpy y又设A ()11,y x 、B ()22,y x ，则pb y y 221-=，又,2121px y =,2222px y = ∴()()222222121424b ppb py y x x =-==，由OA ⊥OB 得02121=+y y x x ，∴022=-pb b，∵b ≠0，∴b=2p ，即AB 的方程为x=my+2p ，显然AB 过定点（2p ，0）。

浅析一题多解与一题多变

｛＋ｓ Ⅱ ２２ｆ￡０ｊ＋ｌ２
ｔＩｔ≥０ｔ・２
或 △＜ｊ２— ＜口＜２ｏ２２＋
从而，方程有根的实数ｎ的取值范围为（一。２— √ 。，２习
方程可进一步转化为ｎ＝一
：一
。＝
表示点ａｘｙ与（一１两点连线的斜率（，）２，）
浅析一题多解与一题多变
泰兴市扬子江高级中学袁小武
【摘要】随着素质教育的不断深入，江苏省２４号文件的实施，培养学生分析问题、解决问题的能力显得越来越重要．而能力
的提高必须依靠方式方法，我们认为“ 一题多解与一题多变” 可以很好地培养学生的解题能力．一题多解是从不同的角度、同的不方位去审视分析问题，是一种发散思维，而一题多变则是创造性思维的体现，通过题设的变化、结论的变化、引申新问题让学生对知识的理解更深刻．通过变发现不变的东西，从而总结出解决一类问题的一种方法，是凝聚思维的一种体现．
① 方程有两个正根，则必须满足条件ｆ △＞ｕ
一
值围范为
（：孚）答】案
３２
２已知函数ｆ（、）＝ｓ在闭区间ｉｎ
２
ｔ２＞０
② 方程有一个正根一个负根，则必须满足条件
ｔ・ｔｌ２＜Ｏ８＜一１
③ 方程有一个正根一个零根，则必须满足条件
△ ０
【变式训练】
１变目标函数分别为ｚＪ
大值．说明：这类问题考查目标函数的几何意义：ｚ＋表示ａ（，）Ｂ０，）点间距离的平方＝ｘｙ与（０两

一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考

一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考是在我们解决问题的过程中，充分探索问题本质的方法。

它可以帮助我们从多个角度理解问题，找到更好的解决方案。

一题多问可以帮助我们深入挖掘问题，了解各种因素和影响，从而更全面地理解问题和寻找解决方案。

例如，在解决一个企业的销售问题时，我们可以提出以下问题：销售情况如何？客户需要什么？竞争对手的情况如何？市场变化的影响是什么？等等。

一题多变可以帮助我们在不同情况下灵活应对问题，并根据不同情况调整解决方案。

例如，在解决一个销售问题时，如果是年底大促销，我们需要不同的解决方案，而如果是平时销售问题，则需要不同的解决方案。

一题多解可以帮助我们拓展思路，从不同方向考虑问题，找到更多的解决方案。

例如，在解决一个企业的成本问题时，我们可以提出以下解决方案：降低原材料成本、改变生产流程、优化运营成本等等。

总之，一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考可以帮助我们更全面地理解问题、更多角度考虑解决方案，从而找到更好的解决方案。

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一题多变与一题多解
在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。

这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。

另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。

对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。

下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。

一题多变和一题多解的变式在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。

一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。

一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论，积极开展多种变式题的求解，哪怕是不能解决，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。

在例题讲解中运用一题多解和一题多变，就不用列举大量的例题让学生感到无法接受。

而是从一个题中获得解题的规律，技巧，从而举一反三。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：
例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则
由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知
当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。

对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。

解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。

解法二：（三角换元思想）
由于x+y=1，x、y≥0，则可设其中θ∈[0，]
于是，当sin2θ=1或－1时，x2+y2取最小值；
当sin2θ=0时，x2+y2取最大值1。

评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三：（对称换元思想）
由于x+y=1，x、y≥0，则可设
x=+t， y=－t，其中t∈[－，]
于是，x2+y2 =（+t）2+（－t）2=
所以，当=0时，x2+y2取最小值；当时，x2+y2取最大值1。

评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。

这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。

解法四：（运用基本不等式）
由于x、y≥0且x+y=1
所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=时，x2+y2取最小值。

评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。

解法五：（解析几何思想）
设d=，则d为动点C（x，y）到原点（0，0）的距离，于是只需求线段AB上的点到原点的最大和最小距离就可。

当点C与A或B重合时，dmax=1，则（x2+y2）max=1
当OC⊥AB时dmin=，则（x2+y2）min=
评注：用几何的观点研究代数问题，可以加强学生数形结合思想的养成，使学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。

事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。

至此，解答本题的几种常见方法介绍完毕，下面展示对本题的变式和推广。

变式1：已知a、b为非负数，M=，a+b=1，求M的最值。

变式2：已知x、y≥0且x+y=1，能求的取值范围吗？的范围能求吗？
这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多解和一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。

在数学教学中,若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣总之，在数学习题教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题，采用一题多解与一题多变的形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入胜境，从而使学生开拓知识视野，增强能力，发展创造思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。