人教A版2020届高考数学二轮复习讲义：三角函数
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第四章 三角函数、解三角形4.2
������
≠
π 2
+
������π,������∈Z
.
一
二三四五六
角
正弦 余弦 正切
2kπ+α (k∈Z) sin α cos α
tan α
π+α -α
π-α
π2-α
π 2
+α
-sin α -sin α sin α cos α cos α
-cos α cos α -cos α sin α -sin α
= t1a-nt2a���n���+2���1��� .
cos2������
∵tan α=-43,
∴1
cos2������-sin2������
=
tan2������+1 1-tan2������
=
(1-43-()-243+)21=-275.
考点一
第四章
考点二
考点三
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
1 5
,
①
sin2������ + cos2������ = 1.②
由①得 cos α=15-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
解得 sin α=45或 sin α=-35.
∵α∈(0,π),∴sin α=45,cos α=-35. ∴tan α=-43.
第四章
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
-10-
法三:设角 α 终边上任一点的坐标为(x,y),
∵sin α+cos α=15,
∴ ������ +
人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(中档)：极坐标与参数方程
目录目录 (1)一、总论 (2)二、考纲解读 (2)三、命题趋势探究 (2)四、知识讲解 (3)1.极坐标系 (3)2.极坐标与直角坐标的互化 (3)3.极坐标的几何意义 (3)4.直线的参数方程 (4)5.圆的参数方程 (4)6.椭圆的参数方程 (5)7.双曲线的参数方程 (5)8.抛物线的参数方程 (5)五、解答题题型归纳 (5)核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 (5)核心考点2: 参数方程中参数的几何意义 (16)一、总论坐标系与参数方程它以函数、方程等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现参数的几何意义问题，其形式逐渐多样化，但只要知其本质，便可举一反三，金枪不倒.二、考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.8.掌握参数方程化普通方程的方法.三、命题趋势探究本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.四、知识讲解1.极坐标系在平面上取一个定点O，由点O出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ(弧度制)来刻画(如图1和图2所示).这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.2.极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan(0)x yyxxρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）.3.极坐标的几何意义rρ=——表示以O为圆心，r为半径的圆；θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为θ的直线，(0)θθρ=≥为射线；2cosaρθ=表示以(,0)a为圆心过O点的圆.图1图2(可化直角坐标: 22cosaρρθ=222x y ax⇒+=222()x a y a⇒-+=.)4.直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x-=-，其中tan(kαα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin()()cos2y y x xαπαα-=-≠,即00cos sinx x y yαα--=.记上式的比值为t,整理后得0cost sinx x ty yαα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为cost sinx x ty yαα=+⎧⎨=+⎩(t为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y，动点(,)M x y，t为M M 的数量，向上向右为正(如图3所示).5.圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y，半径为r，则圆的参数方程为0cos(02)sinx x ry y rθθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.图36.椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.7.双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .8.抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.五、解答题题型归纳核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 1.在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：3y x =，即0x -= .圆心(0,2)到直线0x =的距离为=2. 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .解析 解法一：1C x =3：，22:4cos C ρρθ=，得2240,,02x y x πθρ⎛⎫⎡⎫+=∈≥⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭（圆在第一象限的部分）。
2020年高三数学第二轮复习讲义 三角函数 理
三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式） 3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明． 4． 掌握正弦定理、余弦定理，运用它们解三角形 1. 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝ ， 2．sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．倍角公式sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 类型一：求值例1. 已知tan α=2,求下列各式的值： （1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--; （2） 4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.变式训练1. 已知－02<<x π，sin x ＋cos x ＝51． （1）求sin x －cos x 的值．（2）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．类型二：化简 例2. 化简：140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒变式训练2.化简［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·ο80sin 22类型三：角的变换例3. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．变式训练3：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）.类型四：求解析式例4：已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为 [ －5，1 ]，则常数a 、b 的值分别是 ．变式训练4： 如图为y=Asin(ωx+ϕ)的图象的一段，求其解析式.类型五：求最值例5：设函数a x x x x f ++=ϖϖϖcos sin cos 3)(2（其中ω>0，a ∈R），且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （1）求ω的值； （2）如果)(x f 在区间]65,3[xπ-的最小值为3，求a 的值．变式训练5：求下列函数的值域： （1）y=xxx cos 1sin 2sin -;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx; （3）y=2cos )3(x +π+2cosx.类型六：求单调区间例6：已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π （Ⅰ）求f （8π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.变式训练6：已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？类型七：三角与不等式例7：设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．变式训练7：（Ⅰ）在ABC ∆中，已知,sin232cos sin 2cossin 22B AC C A =+ （1）求证：c b a ,,成等差数列；（2）求角B 的取值范围.类型八：三角应用题例8：某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？变式训练8：如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，计划在矩形区域内（含边界）且与A ，B 等距的O 点建污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． （1）按下列要求建立函数关系式： （i ）设BAD θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂O 的位置，使三条污水管道的总长度最短．三角函数章节测试题一、选择题1． 若f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝ （ ）A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2xA BC D O P2． 设a>0，对于函数)0(sin sin )(π<<+=x xax x f ，下列结论正确的是 （ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 3． 函数f(x)＝xxcos 2cos 1- （ ）A ．在[0，2π]、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递减 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，上递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2、⎥⎦⎤⎝⎛ππ223，上递减 C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ， 上递减D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤⎝⎛ππ2,23上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛ππ,2上递减 4． y ＝sin(x －12π)·cos(x－12π)，正确的是 （ ）A ．T ＝2π，对称中心为(12π，0)B ．T ＝π，对称中心为(12π，0) C ．T ＝2π，对称中心为(6π，0) D ．T ＝π，对称中心为(6π，0) 5． 把曲线y cosx ＋2y －1＝0先沿x 轴向右平移2π，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为 （ ）A ．(1－y)sinx ＋2y －3＝0B ．(y －1)sinx ＋2y －3＝0C ．(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝0D ．－(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝06．已知，函数y ＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 （ ） A ．ω＝2，θ＝2π B ．ω＝21，θ＝2π C ．ω＝21，θ＝4πD ．ω＝2，θ＝4π 二、填空题7． 已sin(4π－x)＝53，则sin2x 的值为 。
人教A版2020届高考数学二轮复习解答题题型归纳：导数与切线(基础)
解答题题型总结 一:导数与切线1．直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB 的最小值为（ ）A.324 B. 2 C. 3 D. 32【答案】D【解析】由题意可知，当过点B 的切线与()21y x =+平行时，|AB|取得最小值。
为此对ln y x x =+进行求导得11y x'=+，令2y '=，解得1x =，代入ln y x x =+，知1y =，所以当BC 取到最小值时，m=1，所以A(12-,1),B(1,1),易知13122AB ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选D2．已知函数()3110sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()()211nx x x ++-展开式中4x 的系数为（ ）A. 120B. 135C. 140D. 100 【答案】B【解析】由题()2110cos 2f x x x =+' ，则函数()3110sin 6f x x x =+在0x =处切线的斜率为()21010cos00102f '=+⨯=，又切线与直线0nx y -=平行，故10n = ，则二项式()()10211x x x ++-展开式中4x 的系数可由如下得到：21039210111111x x x x x x x x ++-=--∴++-Q （）（）（）（）（）（） 展开式中含4x 的系数为91x -（） 的含x 4的系数加上其含x 的系数91x -Q （） 展开式的通项为19r r r T C x +=-（） 令41r =，分别得展开式含4x x ， 项的系数为C 94，C 91，故()()10211x x x ++-展开式中4x 的系数为4199135C C += ， 故选B ．3．已知()()()4201xf x a x x x =-+>+，若曲线()f x 上存在不同两点,A B ，使得曲线()f x 在点,A B 处的切线垂直，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()3,3- B. ()2,2- C. ()3,2- D. ()2,3- 【答案】A【解析】由()()421x f x a x x =-++，得()()2421f x a x '=-++． ∵0x >，∴()22a f x a '-<<+．设()()1122,,,A x y B x y ，则两切线的斜率为()()1122,k f x k f x ==''， 则1222,22a k a a k a -<<+-<<+且121k k =-，可得()()20{20221a a a a -<+>-+<-，解得33a -<<．故实数a 的取值范围是()3,3-．选A ．4．已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则a+23b c +的取值范围是（ ）A. [﹣2，2]B. 5,5⎡⎤-⎣⎦C. 6,6⎡⎤-⎣⎦D. 22,22⎡⎤-⎣⎦【答案】B【解析】∵函数()22cos sin ,1f x ax b x c x b c =+++=， ∴()()cos sin sin f x a c x b x a x ϕ=+-'=--，其中tan c bϕ=， 则()[]1,1f x a a ∈-+'，若存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则存在[]12,1,1k k a a ∈-+，使121k k =-，由()()21111a a a -+=-≥-，得0a =，则()23235sin a b c b c ϕθ++=+=+，其中3tan 2θ=， 故235,5a b c ⎡⎤++∈-⎣⎦；故选B ．点睛：求有关三角函数的最值或值域问题，主要有以下题型：①化为()sin y A x k ωϕ=++型：一般是利用二倍角公式、两角和差公式、配角公式进行恒等变形成()sin y A x k ωϕ=++，再利用三角函数的单调性进行求解；②形如“2sin sin y a x b x c =++”，一般是利用换元思想（令sin t x =），再利用二次函数的性质进行求解.5．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A. 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B.211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C. 222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =. 在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图所示）.当1x >时， ()ln f x x =.由ln y x =得1y x'=. 设过原点的直线y ax =与函数y x ln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有00{1lnx ax a x ==，解得0{ 1x ea e==.所以当直线y ax =与函数y x ln =的图象切时1a e=.又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e=. 结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.6．设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >， R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是 A.15 B. 25 C. 12D. 1 【答案】A【解析】由题意得，函数()f x 表示动点(),2ln M x x 和动点(),2N a a 间的距离的平方。
届数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理专题一三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三
第2讲三角恒等变换与解三角形（文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1）边、角、面积的计算;（2）有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱（理科)年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10Ⅱ卷17解三角形求角和周长的12（文科）KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一三角恒等变换错误!错误!错误!错误!三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β。
(2）cos(α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β。
(3)tan(α±β)＝错误!。
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α。
（2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.（3）tan 2α＝错误!.3．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）（其中tan φ＝错误!)典错误!错误!错误!典例1（1)（2020·全国Ⅱ卷模拟）cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝（A)A．错误!B．错误!C．错误!＋错误!D．错误!(2)(2020·宜宾模拟）已知α∈错误!,且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝（A)A．1B．－错误!C．－错误!或1D．－1（3）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin2错误!－错误!.①求f（x)的单调递增区间;②若x∈错误!，f（x)＝错误!,求cos 2x的值．【解析】（1）原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10°＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!cos 60°＝34。
2020新课标高考数学二轮讲义：第三部分回顾3三角函数与平面向量
回顾3三角函数与平面向量［必记知识］［提醒］奇变偶不变，符号看象限，“奇、偶”指的是2的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦) •“符号看象限”的n含义是：把角a看作锐角，看n2±a(n€ Z)是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号•［提醒］求函数f(x) = Asin( 汁©的单调区间时，要注意A与的符号，当0时，需把3的符号化为正值后求解3. 三角函数图象的变换由函数y = sin x 的图象变换得到 y = sin( ®x+$)(A > 0, w> 0)的图象的两种方法［提醒］图象变换的实质是点的坐标的变换 ,所以三角函数图象的伸缩、平移变换可以利用两个函数图象上的特征点之间的对应确定变换的方式 ，一般选取离y 轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点左侧或右侧的第一个对称中心点 ，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的单位与方向等.)4. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin( a±®= sin ocos 3± cos a in 0 cos(a±®= cos ocos 0?sin osin 0 tan a± tan 0 tan (a ±0)= i?tansin( a+ ®sin( a — 0= sin 2 a —sin 2 0(平方正弦公式). 2 2COS (a+ 0cos( a — 0)= COS a — Sin 0 5. 二倍角、辅助角及半角公式 (1)二倍角公式 sin 2 a= 2sin acos a .cos 2 a= cos 2 a — sin 2 a= 2cos 2 a — 1 = 1 — 2sin 2 a .① 1 + sin 2 a= (sina+ cos a)2. ② 1 — sin 2 a= (sin a — cos a 2.⑵辅助角公式tan 2 a= 2ta n a1 tan2 ay = asin x + bcos x = a 2 + b 2(sin xcos $+ cos xsin © = J a 2+ b 2sin(x +$),其中角 $的终边所 在象限由a , b 的符号确定，角©的值由tan 片b (a ^ 0)确定.a增解.7. 平面向量数量积的坐标表示已知非零向量a = (x i , y i ), b =(X 2, y 2), B 为向量a , b 的夹角.与任意非零向量平行(2)a b >0是〈a , b 〉为锐角的必要不充分条件； ,a b <0是〈a , b 〉为钝角的必要不充分1 •降幕、升幕公式⑴降幕公式(2)升幕公式C . 3条件. ［必会结论］① sin 2a= 1 —(2)s 2a；② cos 2a= 1 + cos 2 a Q .1:③ sin a cos a= ^sin 2 a .a ① 1 + cos a= 2cos ；；② 1 — cos aa= 2sin ；;③ 1 + sin 2 aC Aa= sin 2+ cos :④ 1—sin a=2a a sin — cos 22 •常见的辅助角结论— n(1)sin x ± cos x = 2sin x ±4 .(2)cos x ± sin x = . 2cos x?4 . (3)sin x ± . 3cos x = 2sin x(4)cos x ± . 3sin x = 2cos x?§ .(5) 3sin x ±cos x = 2sin x⑹，3cos x ± sin x = 2cos x?6 .［必练习题］, cos ( n — a)1 .已知 tan a= 3,贝U cos na — 2 的值为(解析: , cos ( n_ a)选A.-ncos a — 2asin a—cos 1 _ 1 tan a= 3.2 .已知 x € (0, n )且 cos=sin n2x ,则 tan x —-等于(n解析：选 A.由 cos 2x — 2 = sin 2x 得 sinn tan x — 11tan x —4=3.3 .函数y = cos 2x + 2sin x 的最大值为(C . 3解析：选 C.y = cos 2x + 2sin x =— 2sin 2x + 2sin x + 1.1 2 3 1设 t = sin x( — 1< t w 1),则原函数可以化为 y = — 2t 2 + 2t + 1=— 2 t — ? + ?，所以当 t = ?3时，函数取得最大值2.4.已知函数f(x)= Asin@x + $)(A > 0, w>0, 0V ©V n ,其导函数f'刈的图象如图所示,n则f -的值为()B . .2D .—子4解析：选D.依题意得f'x)= A w cos(wx+ ©),结合函数y = f 'x)的图象可知，T = 2n = 4 7^—7 co8 81 3 n 3 n 7 n 3 n 3 n,=n o= 2.又 A o= 1,因此 A = 2.因为 O v ©V n, ~4V ~ + ©V —，且 f = cos ~ + © =— 1,所以 3n+ ©= n,所以 ©= n ，f(x) = gin 2x + n = 2sin n+ n = — 2 x 22=— 42，故选 D.5.已知x =谥是函数f(x) = ,3sin(2x + ©) + cos(2x + ©)(0 V ©V x)图象的一条对称轴，将函 数f (x )的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在—n ，n 上的最小4 4 6值为()A . — 2B . — 1C .—2D . — . 3%IT2x = sin 2x ,因为 x € (0, n ,所以 tan x = 2,所以A . 2 2C .-子n n nn解析：选B.因为x = 12是f(x)= 2sin 2x + g + 0图象的一条对称轴，所以3 +片k n+ q(k € Z),因为 0v 0< n 所以 0= 6，则 f(x) = 2sin 2x + 3 ,所以 g(x)=- 2sin 2x -g 在一：,-g 上的最n小值为g g =- 1.6.已知△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若cos C = 警,bcos A + acos B =2,则厶ABC 的外接圆面积为（)A . 4 nB . 8 nC . 9 nD . 36 n2\[2 1解析：选C.由题意知c = bcos A + acos B = 2,由cos C =—十得sin C = 3,再由正弦定理可 33c 得2R = sin C = 6,所以△ ABC 的外接圆面积为 nF^= 9 n 故选C.sin C7.已知非零单位向量 a , b 满足|a + b|= |a -b|,贝U a 与b -a 的夹角可能是（）n A . 67tB. 3nC . 4 3 nD. 7解析：选 D.由 |a + b|= |a — b|可得(a + b)2= (a - b)2,即 a b = 0,而 a (b — a) = a b - a 2=- |a|2< 0,即a 与b -a 的夹角为钝角，故选D.8. ____________________________________________________________________ 已知向量 a = (1, 3), b = (— 2, k),且(a + 2b) //(3a — b),则实数 k = _____________________________ .解析：a + 2b = (— 3, 3+ 2k), 3a - b = (5, 9 — k),由题意可得—3(9- k)= 5(3 + 2k),解得 k =- 6. 答案：—69. _______________ 已知向量a = (1, 0), |b|= 2 , a 与b 的夹角为45°,若c = a + b , d = a -b ，则c 在d 方向上的投影为 __ .解析：依题意得 |a|= 1, a b = 1 x 羽 x cos 45°=, |d|=p (a - b ) 2 =^J a 2+ b 2-2a b = 1, c d cd = a 2- b 2=- 1,因此c 在d 方向上的投影等于 ~ =- 1.答案：—1n10. 已知函数f(x) = sin 3X+ 3(3> 0), A , B 是函数y = f(x)图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|= 2边，贝V f(1) = _______ .解析：设f(x)的最小正周期为 T ,则由题意，得—T 2 = 2^2,解得T = 4,所以3=〒 2 n n n n n n.5 n 1 厂-,所以 f(x)= sin 2x + 3 ,所以 f (1)= sin 2+ 3 = sin E = 1.2n答案：111在厶ABC 中，A = 60°, b= 1 , S A ABC = 3,则sin C解析：依题意得gbcsin A = ~43c= _ 3，则c= 4.由余弦定理得a = ' b2+ c2—2bccos A = ,13,因此聶=但=备9由正弦定理得盏=警sin A sin 60 ° 3 sin C 3答案：蔦39。
2020高考数学专项复习《专题系列--三角函数讲义》
x 2 + y 2专题：三角函数高中数学SCE 金牌数学专题系列§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角终边相同的角的集合：{= + 2k , k ∈ Z }.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、= l . rn Rn R 213、弧长公式： l =180= R . 4 、 扇 形 面 积 公 式 ： S =360 = lR . 2§1.2.1、任意角的三角函数 1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x , y )，那么： sin= y , cos= x , tan= y x2、 设点 A ( x , y ) 为角终边上任意一点，那么：（设 r =）sin =y ， c os= rx ， tan = r y， cot = x x y3、 sin， cos ， tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：M P ; 余弦线：O M ; 正切线：AT5、 特殊角 0°，30°45°，60°，90°，180°，270 等的三角函数值.64322 334322sincostan§1.2.2——————————————————————————————————————————————————— 1yPTO M A x1、 平方关系： sin 2+ cos2= 12 、 商数关系： tan =sin.3 、 倒数关系：tancot = 1§1.3、三角函数的诱导公式cos（概括为 k ∈ Z ）1、 诱导公式一： sin (+ 2k ) = sin ,cos (+ 2k ) = cos , （其中： k ∈ Z ） tan (+ 2k) = tan.2、 诱导公式二：sin (+) = -sin ,cos (+) = -cos ,tan (+) = tan .3、诱导公式三：sin (-) = -sin ,cos (-) = cos ,tan (-) = - tan .4、诱导公式四：sin (-) = sin ,cos (-) = -cos ,tan (-) = - t an .5、诱导公式五：sin⎛-⎫= cos , 2⎪ ⎝ ⎭co ⎛-⎫= sin . s ⎪ ⎝ 2⎭6、诱导公式六：sin⎛+⎫= cos , 2⎪ ⎝ ⎭co ⎛+⎫= -sin . s ⎪ ⎝ 2⎭§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质y=sinx-5π 2yπ 3π- 21 27π 2-4π -7π -3π-2π -3π -πoπ π-1 2π 5π 3π4πx21、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.3y = sin x 在 x ∈[0, 2] 上的五个关键点为：（0，0）（， ，1）（，，0）（， ，-1）（，2，0）.2 2y=cosx-3π -4π -7π2y2-π π - 1 23π π 27π 2-2π -3π-1 o 3π π 2π 5π4πx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质{x | x ≠+k, k ∈Z}2Rx = 2k+, k ∈Z时，y = 12 maxx = 2k-, k ∈Z时，y =-12 min x = 2k, k ∈Z时，y = 1maxx = 2k+, k∈Z时，y =-1minT = 2T = 2T =在[2k-上单调递增, 2k+ ]2 2在[2k+3上单调递减, 2k+]2 2 在[2k-, 2k] 上单调递增在[2k, 2k+]上单调递减在(k-上单调递, k+ )2 2增对称轴方程： x =k+2对称中心(k, 0) 对称轴方程： x =k对称中心(k+, 0)2无对称轴k对称中心( , 0)2§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正2切函数的图象3图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.———————————————————————————————————————————————————31横坐标变为原来的| | 倍y =A sin (x +)（左加右减）平移| B| 个单位y =A sin (x +)+B（上加下减）②先伸缩后平移：y = sin x 横坐标不变y =A sin x纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y =A sin x1横坐标变为原来的| | 倍平移| B| 个单位y =A sin (x +)+B（上加下减）①先平移后伸缩：y = sin x 平移| | 个单位y = sin (x+)（左加右减）横坐标不变y =A sin (x+)纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y =A sin(x +)T2§1.5、函数y=A sin(x+)的图象1、对于函数：y =A sin (x +)+B (A > 0,> 0)有：振幅A ，周期T =2，初相，相位x+，频率f =1 =2、能够讲出函数y = sin x 的图象与y =A sin (x +)+B 的图象之间的平移伸缩变换关系.平移个单位3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数y = sin(x +)，x∈R及函数y = cos(x +)，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期T =2；||函数y = tan(x +) ，x ≠k+ , k ∈Z (A,ω,为常数，且A≠0)的周期T =2.|| 对于y =A sin(x +) 和y =A cos(x +) 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数y =A sin(x +) 图像的对称轴与对称中心，只需令x+=k+ (k ∈Z ) 与2 x +=k(k ∈Z )解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式———————————————————————————————————————————————————4 .高中数学1-tan tan 1+tantan利用图像特征： A = y max - y min， B =y max + y min.22要根据周期来求,要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 （要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值：sin costan126 - 426 + 42 2 - 3§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、sin (+ ) = sin cos + cos sin2 、 sin (- ) = sin cos - cos sin 3、cos (+ ) = cos cos - sin sin4、cos (-) = coscos + s in sin5、 tan (+ ) = tan +tan. 6、 tan (-) = tan -tan. §3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1 、 sin 2=2 sin cos ， 2 、 cos 2= cos 2- sin 2变 形 ： sin cos = 1 sin 2. = 2 cos 2 - 12= 1 - 2 sin2.⎧⎪1+ cos 2= 2 cos 2升幂公式： ⎨⎪⎩1- cos 2= 2 sin 2⎧cos 2 = 1 (1+ cos 2) ⎪ 2降幂公式： ⎨ ⎪sin 2= 1 (1- cos 2) ⎩ 23、 tan 2= 2 tan. 4 、 tan =sin 2 =1- cos 21 - t an2 1+ c os 2 sin 2§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式y = a sin x + b cos x =sin(x +)（ 其 中 辅 助 角 所 在 象 限 由 点(a , b ) 的 象 限 决——————————————————————————————————————————————————— 5a 2 +b 2⎩⎪⎨定, tan= b). a解三角形1、正弦定理：a sin A =b sin B =c sin C= 2R . （其中 R 为∆ABC 外接圆的半径）⇔ a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C ;⇔ sin A =a, s in B =2R b, s in C =2Rc; 2R⇔ a : b : c = sin A : sin B : sin C .用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题三第一讲三角函数的图象与性质
2．(文)(20xx·全国卷Ⅱ，10)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是( C )
A． B．
C． D．π
[解析]f(x)＝cosx－sinx＝ cos 在 上单调递减，
所以[0，a]⊆ ，故0<a≤ .
(理)(20xx·全国卷Ⅱ，10)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( A )
2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题三第一讲三角函数的图象与性质
编 辑：__________________
时 间：__________________
第一讲 三角函数的图象与性质
高考考点
考点解读
三角函数的定义域、值域、最值
1.求三角函数的值域或最值
2．根据值域或最值求参数
三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性
1.根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性
2．根据单调性、奇偶性、周期性求参数
三角函数的图象及应用
1.考查三角函数的图象变换
2．根据图象求解析式或参数
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或最值．
(2)掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等．
2．重要图象变换顺序
在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
3．忽视A，ω的符号
在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，若ω<0，需先通过诱导公式将x的系数化为正的．
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四、三角函数的图像与性质
functions tips
y sin x
y cos x
2
在0, 2 上
的图像
y
y
1
O 1
2 x
定义域
,
,
值域（有界性）
x k k Z
k
2
,
0
k
Z
x 2k 时sin x 1
2
max
x 2k 3 时sin x 1
2
min
x 2k 时cos x max 1
x
2k
时 cos
x min
1
函数
正切函数
y
tan
x,
x
k
2
y
O 3 x
图像
定义 域
x
|
x
k
2
,
k
Z
值域
周期 性
奇偶 性
单调 性
5
wwxx[[2222kk,
,
2 3 2
2k 2k
](k ](k
Z Z
) )
增区间； 减区间.
②对于 y A cos(wx ），
wx [ 2k ,2k ](k Z ) 增区间；
wx
[2k ,2k
](k
Z)
减区间.
6
) x0
1
当wx0
0时，y
k 2
cos(wx
(k Z )，即cos(wx )的对称中心为(
0 ) x0 ,0).
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心 是相应函数与 x 轴交点的位置.
（5）单调性. 假设 A 0，w 0 .
①对于 y A sin(wx ) ，
4
当wx
当wx
2 2
2k (k Z)时，函数取得最大值 2k (k Z )时，函数取得最小值
A; A;
②对于 y A cos(wx ），
当wx 2k (k Z)时，函数取得最大值A; 当wx 2k (k Z )时，函数取得最小值 A; （4）对称轴与对称中心. 假设 A 0，w 0 . ①对于 y A sin(wx ) ，
目录
一、总论.................................................................................................................... 2 二、考纲解读............................................................................................................ 2 三、命题趋势探究.................................................................................................... 2 四、三角函数的图像与性质.................................................................................... 2
轴的交点等），理解正切函数在区间
2
,
2
的单调性.
2.了解函数 A sin( x ) 的物理意义，能画出 A sin( x ) 的图像，了解参数 A,, 对函数图像的影响.
3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单实 际问题.
三、命题趋势探究
1.形如 A sin( x ) 的函数性质为高考必考内容，可在选择题，填空题中直接考 查其周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移和伸缩变换、由图像确定解析 式等，解答题常与平面向量解三角形相结合，难度为中低档.
1,1
1,1
最小正周期 （周期性） 奇偶性（对称 性）
单调增区间
2
奇函数
2k
2
,
2k
2
k
Z
2 偶函数
2k , 2k k Z
单调减区间
对称轴方程
对称中心坐标
最大值及对应 自变量值 最小值及对应 自变量值
2k
2
,
2k
3 2
k
Z
2k , 2k k Z
x k k Z
2
k ,0k Z
对称 轴
(,)
T
奇函数，图像关于原点对称
在 ( k , k ), (k Z ) 上是单调增函数
2
2
无
对称 中心
k 2
, 0
(k Z)
3. y A sin(wx ) 与 y A cos(wx )( A 0, w 0) 的图像与性质 （1）最小正周期：T 2 .
w （2）定义域与值域： y Asin(wx ) ， y A cos(wx ）的定义域为 R，值域 为[-A,A]. （3）最值 假设 A 0，w 0 . ①对于 y A sin(wx ) ，
1
一、总论
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性, 解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而 准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构” 等几方面着手解决.
二、考纲解读
1.理解正弦、余弦函数在区间0, 2 的性质（如单调性、最大值和最小值以及与
当wx0 k
1时，y
sin(
(k
2 wx
Z )，即sin(wx0 )的对称轴为x x0
)
当wx0 时，y
k (k Z )，即sin(wx0 sin(wx )的对称中心为(x0
) ,0).
0
②对于 y A cos(wx ），
当w时x 0， y
k (k Z )，即cos(wx0 cos(wx )的对称轴为x