固体物理第五章习题及答案
固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
固体物理第5章_能带理论_习题参考答案
第六章 能带理论 (习题参考答案)1. 一矩形晶格，原胞长10a 210m-=⨯，10b410m-=⨯（1）画出倒格子图（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区（3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有2个电子）解：（1）因为a =a i=20A i b =b j=40A j倒格子基矢为12a iA*=, 014bj A*=以a *b *为基矢构成的倒格子如图。
由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形格子。
(2)取任一倒格子点O作为原点，由原点以及最近邻点A i,次近邻点B i的连线的中垂线可以围成第一，第二布里渊区，上图这就是布里渊区的广延图。
如采用简约形式，将第二区移入第一区，我们得到下图。
(3) 设晶体中共有N个原胞，计及自旋后，在简约布里渊区中便有2N个状态。
简约布里渊区的面积21()8A a bA ***-=⨯=而状态密度22()16()N g K N A A*==当每个原胞中有2个电子时，晶体电子总数为 22()216Fk FN g k kdk N k ππ=⨯=⎰所以1/211111()0.2()210()8F k A m π---=≈=⨯这就是费米圆的半径。
费米圆如下图所示2. 已知一维晶体的电子能带可写成()2271cos cos 2,88E k ka ka m a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭式中a 是晶格常数。
试求： （i ）能带的宽度；（ii ）电子在波矢k 状态时的速度； （iii ）能带底部和顶部电子的有效质量。
()()()()()()()()22222m in 2m ax 22m ax m in 22222m in 71cos cos 2,8811cos 24400,2;221sin 24sin 404k i E k ka ka m a ka m a k E k E am a E E E m am aii v E kv ka ka m aiii E k kk E E mπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦====∆=-=∴=∇∴=--==+解：当时，当时，能带的宽度为：在能带底部，将在附近用泰勒级数展开，可得：()()()22m in 22m ax 22m ax 220342203k E mm m E k k E E k mk E mm m ππδδδ****=+∴===-=+∴=-在能带顶部，将在附近用泰勒级数展开，令k=+k 可得：aa3. 试证明：如果只计及最近邻的相互作用，用紧束缚方法导出的简单立方晶体中S 态电子的能带为()2cos 2cos 2cos 2s x y z E k E A J ak ak ak πππ⎡⎤=--++⎣⎦并求能带的宽度。
固体物理参考答案(前七章)
固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子 氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ， 晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1） 同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则 六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。
王淑华版固体物理第五章答案
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固体物理习题带答案
第二章：原子的结合
1． 设原子间的互作用能表示为 u (r ) 态，则 n>m. 解：原子间的相互作用能为： u (r )
作用能处于极小值： 这时有
r
m
rn
。证明：要使两原子处于平衡状
r
m
rn
。若两原子处于平衡状态时，则其相互
du (r ) (m) m 1 (n) n 1 dr r r
子晶格的情形比较， 与 q 之间存在着两种不同的色散关系。一维复式晶体中可以存在两 种独立的格波。两种不同的格波的色散关系：
2 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M ) (m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M )
xn (t ) A cos(t 2 naq) 。试求格波的色散关系。
解：一维单原子链中，牛顿方程为：
n ( x n 1 xn 1 2 xn ) m x
若将其振动位移写成 xn (t )
A cos(t 2 naq) 代入牛顿方程，则有
2
2 [1 cos(2aq)] 因此其色散关系为 m
0 。 所 以 有
r0
m
r0
m 1
n
r0
n 1
。所以
m nm r0 。 n
0
r0
同
时
有
d 2u ( r ) (m)( m 1) m 2 (n)( n 1) n 2 2 dr r r
。
所
以
《固体物理》第5章课后题目答案
1、什么是Peierl不稳定性和Peierls相变？【解答】：假设的晶格内原子状态：假定一维系统是由晶格常数为 a 的N个原子组成，每个晶格原胞只带一个传导电子，电子波函数满足周期条件；第一布里渊区边缘在±π/a，第一布里渊区可以填充2N个电子，因为N个价电子正好填充了最低能带的一半，费米能量恰好位于能带1/2处(Kf=±π/2a)，空能级和占据能级各一半。
然而，Peierls指出这种等距离排列的一维晶格是不稳定的，在低温下，原子发生移动，晶格常数由a变为2a，即第一布里渊区边缘移至费米面且打开了一个能隙，系统总能量降低（。
这就说明，原来等距离排列的具有较高能量的一维晶格经原子移动后变成具有较低能量的畸变晶格，所以原来的晶格是不稳定的。
经过晶格畸变，从半满能带的导体变成为稳定的只有满带和空带的半导体，这就是Peierls不稳定性。
只有在0K时，体系才完全处于上述半导体基态中，当T升高，晶格原子的振动逐步加强以至畸变模糊。
存在相变温度Tp，T＜Tp，体系呈现半导体；T≥Tp，体系相变为导体，这种半导体变为导体的相变称为Peierls相变。
2、简述金刚石、石墨的结构和物性，比较它们性质的异同？【解答】：金刚石和石墨的化学成分都是碳，科学家们称之为“同质多像变体”，也有人称“同素异形体”。
从这种称呼可以知道它们具有相同的“质”，但“形”或“性”却不同，且有天壤之别，金刚石是目前最硬的物质，而石墨却是最软的物质之一。
大家都知道铅笔芯就是用石墨粉和粘土配比而制成的，石墨粉多则软，用“B“表示，粘土掺多了则硬，用“H”表示。
矿物学家用摩氏硬度来表示相对硬度，金刚石为10，而石墨的摩氏硬度只有1。
它们的硬度差别那么大，关键在于它们的内部结构有很大的差异。
石墨内部的碳原子呈层状排列，一个碳原子周围只有3个碳原子与其相连，碳与碳组成了六边形的环状，无限多的六边形组成了一层。
层与层之间联系力非常弱，而层内三个碳原子联系很牢，因此受力后层间就很容易滑动，这就是石墨很软能写字的原因。
固体物理答案第五章1
a∗
kx
第二区
作为原点， （2） 取任意倒格点 作为原点，由原点至其最近邻 Ai 、次近邻 ） 取任意倒格点o作为原点 的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区(如上图 如上图)， Bi 的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区 如上图 ，这 是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区， 是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区， 其结果如图所示。 其结果如图所示。
当每个原胞有两个电子时， 当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为
r r rr r r 1 ik⋅Rl at at ψ k,r = ∑e ϕα k − Rl N Rl
( )
(
)
r 一维晶体情况下， 一维晶体情况下，晶格常数 a ，Rl = na
所以
r r r 1 ψ k, x = ∑ e ikna ϕat ( x − na ) α n N
r r 1 −α x ϕ (x) = e α at
a i (k x − k y ) i a (k x + k y ) kza kza 2 2 cos cos +e e 2 2 = E sat − A − 2J a i (− k x − k y ) i a (− k x + k y ) kza kza 2 2 cos cos +e + e 2 2
Eg = 2Vn
是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由式 付里叶级数的系数， 其中 Vn 是周期势场 付里叶级数的系数
1 Vn = ∫ V ( x )e a −a 2
a 2
−i
2π nx a
dx
求得。 求得。 第一禁带宽度为
1 E g1 = 2 V1 = 2 ∫ V ( x )e a −a 2
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考pdf05第五章_金属电子论基础
8.45
×1022
⎤1/ ⎦
3
=
5.2 限制在边长为 L 的正方形的 N 个电子，单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
（1）求能量 E 到 E+dE 之间的状态数； (2) 求绝对零度时的费米能量。 解：（参考中南大学 4.6，王矜奉 6.2.2，林鸿生 1.1.83，徐至中 5-2） （1）如《固体物理学》图 5-1 所示，每个状态点占据的面积为
G′(E) = 2 dZ ⋅ dk = 2 L2 k • dk dE 2π
m = L2m 2k π 2
得二维金属晶体中自由电子的状态密度为：
…………………………（4）
g(E)
=
G′(E) S
=
1 L2
L2m π2
=
m π2
………………………（5）
（2）根据《固体物理学》式 金属的电子浓度
3
∫ ∫ n =
2π i 2π = (2π )2
Lx Ly
L2
所以每个单位
k
空间面积中应含的状态数为
L2
(2π )2
，
d k 面积元中应含有的状态数为
dZ
=
L2
(2π )2
d
k
而单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
= 2k2 2m
E+dE E
可见在 k 空间中等能曲线为一圆，如图所示，在 E——E+dE 两个等能圆之间的
2
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.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 m* 变 为 . 此时电子的加速度
a= 1 F =0
m*
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?
[解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为
m* = 1 m 1 + 2Tn
Vn <1.
10. 电子的有效质量 m* 变为 的物理意义是什么?
[解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功 = (dE)外场力对电子作的功 + (dE)晶格对电子作的功
m*
m
m
=
1 m
(dE ) 外场力对电子作的功
− (dE)电子对晶格作的功
i 2 nx
V (x) = Vne a
n
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性, 即
V (x) = Vneinx
n
显然
V (x + a) = Vnein (x+a) = Vneinx (eina ) = V (x) = Vneinx
Es (k)
=
E
at s
− Cs
−
Js
e ik Rn
n
即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 Esat 是主项, 是一负值, − Cs和 − J s 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?
[解答]
以 s 态电子为例. 由图 5.9 可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分 J s 的大小, 而 积分
[解答]
晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为 F, 晶格对电子的
作用力为 Fl, 电子的加速度为
a
=
1 m
(F
+
Fl
)
.
但 Fl 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含 Fl, 又要保持上式左右恒等, 则只有
a= 1 F m* .
显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量 m*与真实质量 m 的差别就越小. 相反, 晶格对电子
Js
=
−
N
at* s
(r
)[V
(r
)
−
V
at (r
−
Rn
)]
at s
(r
−
Rn )dr
的大小又取决于
at s
(r)
与相邻格点的
at s
(r
−
Rn
)
的交迭程度.
紧束缚模型下,
内层电子的
at s
(r)
与
at s
(r
−
Rn
)
交叠程度小,
外层电子的
at s
(r)
与
at s
(r
−
Rn
)
交迭程度大.
因此,
紧
束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽.
− K3 )a(K3 ) = 0 ,
V (K 2 )a(0) + V (K 2
−
K1
)a(
K1
)
+
2k 2 2m
− E(k)a(K 2 ) + V (K 2
− K3 )a(K3 ) = 0 ,
V (K 3 )a(0) + V (K 3
− K1)a(K1) + V (K3
−
K
2
)a(K
2
)
+
第五章 第五章 晶体中电子能带理论
思考题
1. 1. 将布洛赫函数中的调制因子 uk (r) 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远 离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特 点?
[解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数
k (r) = eik.ruk (r) ,
由于能带顶是能带的极大值，
2E
所以有效质量
k 2 <0，
m* = 2 2E
k 2 <0. 说明此时晶格对电子作负功, 即电子要供给晶格能量, 而且电子供给晶格的能量大于外场力 对电子作的功. 而能带底是该能带的极小值，
2E
所以电子的有效质量
k 2 >0，
m* = 2 2E
k 2 >0. 但比 m 小. 这说明晶格对电子作正功. m*<m 的例证, 不难由(5.36)式求得
(r + Rn ) = e ik.Rn (r) , 何以见得上式中 k 具有波矢的意义?
[解答]
人们总可以把布洛赫函数 (r) 展成付里叶级数
(r) = a(k'+ K h )ei(k'+ Kh ).r
h
,
其中 k’是电子的波矢. 将 (r) 代入
得到
(r + Rn ) = e ik.Rn (r) ,
2k 2
2m
−
E(k)
V (K1 − K3) =0
V(K2 − K3)
V (K3 )
V (K3 − K1)
V(K3 − K2)
2k 2
2m
−
E(k)
.
可解出电子的能量. 可见能量久期方程中的行列式是四阶的.
7. 7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点?
[解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带
[解答] 当电子的波矢 k 满足关系式
Kn
(k
+
Kn 2
)
=0
时, 与布里渊区边界平行且垂直于 K n 的晶面族对波矢为 k 的电子具有强烈的散射作用. 此
时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边界的分量的
模等于 K n / 2 . 5. 5. 一维周期势函数的付里叶级数
2k 2 2m
− E(k)a(K3 ) = 0
.
由 a(0), a(K1 ), a(K 2 ), a(K 3 ) 的系数行列式的值
2k 2
2m
−
E(k)
V (−K1)
V (−K 2 )
V (−K3 )
V (K1) V (K 2 )
2k 2
2m
−
E(k)
V (K2 − K1)
V (K1 − K2 )
W (Rn , r) =
1 N
(k, r
k
−
Rn ) .
紧束缚模型适用于原子间距较大的晶体. 在这类晶体中的电子有两大特点: (1) 电子被束缚
在原子附近的几率大, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近, 即当 r → Rn 时, 电子
波函数 (k, r − Rn ) 与孤立原子波函数at (r − Rn ) 相近. (2) 它远离原子的几率很小, 即 r
一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢 Kn 正交, 则禁带的宽度 Eg = 2V (Kn ) ,
V (K n ) 是周期势场的付里叶级数的系数.
不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为 零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 8. 8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别?
布洛赫波产生了强烈的反射, uk (r) 展开式中, 除了 a(0) 和 a(K n ) 两项外, 其它项可忽略.
在紧束缚模型下, 电子在格点 Rn 附近的几率 k (r) 2 大, 偏离格点 Rn 的几率 k (r) 2 小.
对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波 函数要由若干个平面波来构造.. 2. 2. 布洛赫函数满足
由本教科书的(5.40)式, 可得
2k 2
2m
− E(k)a(0) + V (−K1 )a(K1 ) + V (−K 2 )a(K 2 ) + V (−K 3 )a(K 3 ) = 0
,
V
(
K
1
)a(0)
+
2k 2 2m
− E(k)a(K1) + V (K1
− K 2 )a(K 2 ) + V (K1
W (Rn , r) = at (r − Rn ) .
也就是说, 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似是由紧束缚电子的性质来决定的. 12. 紧束缚模型电子的能量是正值还是负值?
[解答] 紧束缚模型电子在原子附近的几率大, 远离原子的几率很小, 在原子附近它的行为同在 孤立原子的行为相近. 因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近. 孤立原子 中电子的能量是一负值, 所以紧束缚模型电子的能量是负值. s 态电子能量(5.60)表达式
14. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？
[解答]
将电子的波矢 k 分成平行于布里渊区边界的分量 k // 和垂直于布里渊区边界的分量 k┴. 则由电子的平均速度
=
1
k E(k)
得到
//
= 1 E k//
,
⊥
=
1
E k ⊥
.
等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有 E / k⊥ =0, 即垂直于
且波函数展式
Kn
(k +
K n ) = 0, 2