2020年中考数学压轴题(含答案)

2020年中考数学压轴题

一、选择题

1．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（）

A．B．C．D．

2．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）

A．3次B．5次C．6次D．7次

二、填空题

3．如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为．

第3题第4题

4．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，∠ABC＝60°．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B →A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q 也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为．

三、解答题

5．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴

上，连结AC，OA＝3，∠OAC＝30°，点D是BC的中点，

（1）OC＝：点D的坐标为

（2）若点E在线段0A上，直线DE把矩形OABC面积分成为2：1，求点E坐标；

（3）如图2，点P为线段AB上一动点（与A、B重合），连接DP；

①将△DBP沿DP所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BP的长；

②以线段DP为边，在DP所在直线的右上方作等边△DPQ，当动点P从点B运动到点A时，点Q也随之运动，请直接写出点Q运动路径的长．

6．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．

①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接

PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；

②请直接写出使∠PBA＝∠ABC的点P的坐标．

【答案与解析】

一、选择题

1．【分析】可证△ABF≌△AC′E（AAS）、△CDE≌△B′DF（AAS），则B′D+DE＝CD+ED＝x，y＝EC′×△AEC′

的EC′边上的高，即可求解．

【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α，设AB′与BC交于点F，

则∠BAB′＝∠CAC′＝α，∠B＝∠C′＝30°，AB＝AC＝AC′，

∴△ABF≌△AC′E（AAS），

∴BF＝C′E，AE＝AF，

同理△CDE≌△B′DF（AAS），

∴B′D＝CD，

∴B′D+DE＝CD+ED＝x，

AB＝AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的高为1，等于△AEC′的高，

BC＝2＝B′C′，

y＝EC′×△AEC′的EC′边上的高＝（2）＝﹣x+，

故选：B．

2．【分析】根据⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O于M，求出PM＝4，得出圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，即可得到答案．

【解答】解：∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，

设O1O2交圆O于M，

∴PM＝8﹣3﹣1＝4，

圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，

∴根据图形得出有5次．

故选：B．

二、填空题

3．【分析】利用菱形的面积公式：•AC•BD＝BC•AE，即可解决问题；

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，

∴AB＝BC＝5，

∵•AC•BD＝BC•AE，

∴AE＝，

故答案为：，

4．【分析】应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ABC，可将时间t求出；②当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ACB，可将时间t求出．

【解答】解：∵AB是直径，

∴∠C＝90°，

又∵BC＝2cm，∠ABC＝60°，

∴AB＝2BC＝4，AC＝2，

则AP＝（4﹣2t）cm，AQ＝t，

∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，

∴0＜t≤2，

①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则

△APQ∽△ABC，

∴，

∴，

解得t＝3﹣，

②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB，

则，

故，

解得t＝，

故答案为：3﹣，．

三、解答题

5．【分析】（1）在Rt△AOC中，解直角三角形求出OC即可解决问题．

（2）设E（m，0）．由题意，分两种情形：S四边形OEDC＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC或S四边形OEDC＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC，分别构建方程即可解决问题．

（3）①如图1﹣1中，在Rt△DPB中，解直角三角形求出PB即可．

②如图2中，以BD为边向上作等边三角形DBQ′，连接QQ′．证明△Q′DQ≌△BDP（SAS），推出QQ′＝PB，∠DQ′Q＝∠DBP＝90°，推出点Q的运动轨迹是线段QQ′，即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形OABC是矩形，

∴∠AOC＝90°，

∵OA＝3，∠OAC＝30°，

∴OC＝OA•tan30°＝，

故答案为，（，）．

（2）设E（m，0）．由题意，S四边形OEDC＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC或S四边形OEDC＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC，

∴•（CD+OE）•OC＝×3×或•（CD+OE）•OC＝×3×，

∴•（+m）•＝×3×或•（+m）•OC＝×3×，

解得，m＝4﹣或2﹣．

（3）①如图1﹣1中，

∵tan∠OAC＝，

∴∠OAC＝30°，

∴∠ACB＝∠OAC＝30°，

设将△DBP沿DP所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，

则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，

∴∠DB'C＝∠ACB＝30°

∴∠BDB'＝60°，

∴∠BDP＝∠B'DF＝30°，