第二学期高一数学期中考试模拟试题和答案
新高一数学下期中模拟试卷及答案
新高一数学下期中模拟试卷及答案一、选择题1．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --= 2．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 3．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为3，则球O 的半径为( )A ．3B ．1C ．2D ．45．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③ 6．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．C ．18πD ．40π9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A．1763B．1603C．1283D．3210．若方程21424x kx k+-=-+有两个相异的实根，则实数k的取值范围是（）A．13,34⎛⎤⎥⎝⎦B．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C．53,124⎛⎫⎪⎝⎭D．53,12411．如图，平面四边形ABCD中，1AB AD CD===，2BD=，BD CD⊥，将其沿对角线BD折成四面体A BCD'-，使平面A BD'⊥平面BCD，若四面体A BCD'-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πB．3πC．4πD．3π12．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1CC⊥平面ABC，ABC是等腰三角形，BA BC=，123AC CC==，，D是AC的中点，点F在侧棱1A上，若要使1C F⊥平面BDF，则1AFFA的值为( )A ．1B ．12或2C ．22或2D ．13或3 二、填空题13．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．15．直线与圆交于两点，则________．16．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________. 17．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.18．正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V ，则球O 的体积是______． 19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.20．已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．22．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积23．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.24．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .25．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：. 26．已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ== 本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.4．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥，故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．6．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 2223416m,故32m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A．8．C解析：C【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =， 所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒则：ABC 为等腰三角形． 所以：23BC =在ABC 中，设外接圆的直径为2324r ==， 则：2r =， 所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用． 9．B【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．10．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 221k =+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.11．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径2DE =243S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个 解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =， 圆心到直线0x y +=的距离2d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22222222a a ∴-即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则2MN =3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．14．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其 解析：10. 【解析】【分析】 连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案．【详解】如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形， 所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=，由勾股定理可得15CM D M ==12CDN 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，11110cos 5D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M 所成角的余弦值为105，故答案为105．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．15．22【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程得到圆心坐标和圆的半径的大小之后应用点到直线的距离求得弦心距借助于圆中特殊三角形半弦长弦心距和圆的半径构成直角三角形利用勾股定理求得弦长【详解】根 解析：【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.【详解】 根据题意，圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，且半径是， 根据点到直线的距离公式可以求得， 结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为. 【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.16．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π【解析】【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和．【详解】 ∵5PA PB ==2AC BC ==3PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，7R =，球表面积为22744()7.2S R πππ==⨯= 故答案为：7π．【点睛】 本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球． 17．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】 若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 18．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥 解析：323π 【解析】【分析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积．【详解】∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则AB =，22)2ABCD S R ==，211162333P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=球． 故答案为：323π． 【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．19．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43π 【解析】【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .【详解】PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π. 【点睛】 本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.20．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且OA ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心 解析：23π 【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯， 则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力． 三、解答题21．（1）详见解析；（2． 【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC 与n 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ==== 可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =，则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥．∵PA ⊥面ABCD ，∴DM PA ⊥，又PA AM A =，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ，∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，则tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，(22,1,0)C ，(2,1,0)M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-． 设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由22020n PD y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =，得2321,,22n ⎛= ⎝⎭． ∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：||230|cos ,|30||||106PC n PC n PC n ⋅<>===⋅⋅． 【点睛】 向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22．：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）16【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）证明：因为,DE EF CF EF ⊥⊥，所以四边形平面CDEF 为矩形，由5,4GD DE ==，42,4GC CF==得223GE GD CF =-=224GF GC CF =-=，所以5EF =，在EFG 中 ，有222EF GE FG =+，所以EG GF ⊥又因为,CF EF CF FG ⊥⊥，得CF ⊥平面EFG ， 所以CF EG ⊥，所以EG ⊥平面CFG ，即平面DEG ⊥平面CFG ;（Ⅱ）：在平面EGF 中，过点G 作GH EF ⊥于点H ，则125EG GF GH EF ⋅== 因为平面CDEF ⊥平面EFG ， 得GH ⊥平面CDEF ，1163CDEF CDEF V S GH =⋅=23．（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,]5. 【解析】 【分析】 （1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可.【详解】 （1）由24,{1,y x y x =-=-得圆心()3,2C ， ∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=． 232311k k -+=+，∴2(43)0k k +=，∴0k =或34k =-． ∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=． （2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -， 则圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=．又∵2MA MO =，∴设M 为(,)x y =22(1)4x y ++=，设为圆D ． 所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，∴2121-≤+，由251280a a -+≥，得a R ∈， 由25120a a -≤，得1205a ≤≤． 综上所述，a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）记1A B 与1B A 交于O ，先证明OD //1A C ，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平面AB 1D ；（2）先证明BM ⊥面1AB D ，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可．【详解】（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点. 又D 是BC 的中点，∴1A C //OD .又1AC ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ， ∴1A C //面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =，AD ⊂面ABC . ∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥. 又∵1BM B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ，1B D ⊂面1AB D ， ∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ， ∴面1AB D ⊥面ABM . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 25．（1）详见解析；（2）详见解析。
2022-2023学年山东省枣庄市枣庄二中高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省枣庄市枣庄二中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2﹣i ）（1+i ）＝（ ） A ．3+iB ．1﹣2iC ．3﹣iD ．32．若向量OB →=(3，2)，AB →=(−4，5)，则点A 的坐标为（ ） A ．（﹣1，7）B ．（7，﹣3）C ．（﹣1，﹣3）D ．（7，7）3．对于横纵坐标均为整数的向量，若它们的模相同，坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”如向量（1，1），（1，﹣1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）是模为√2的“等模整向量”，则模为√10的“等模整向量”的个数为（ ） A ．4B ．8C ．10D ．124．“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A ，B 两个观测点，在A 点测得超然楼在北偏东60°的点D 处（A ，B ，D 在同一水平面上），在B 点测得超然楼在北偏西30°，楼顶C 的仰角为45°，则超然楼的高度CD （单位：米）为（ ）A ．26B ．26√3C ．52D ．52√35．矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，M 为线段AB 上靠近A 的三等分点，N 为线段BC 的中点，则DM →⋅AN →=（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．76．三棱锥P ﹣ABC 的侧棱P A ，PB ，PC 上分别有三点E ，F ，G ，且PE EA=1，PF FB=12，PG GC=13，则三棱锥P ﹣ABC 与P ﹣EFG 的体积之比是（ ） A ．6B ．8C ．12D ．247．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m →=(b ，b)，n →=(cosC ，√3sinC)，m →⋅n →=a +c ，则B ＝（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π68．已知A ，B ，C ，D 四点都在表面积为100π的球O 的表面上，若AD 为球O 的直径，且BC ＝4，∠BAC ＝150°，则三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为（ ） A ．4√3B ．8√3C ．4(2−√3)D ．8(2−√3)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．关于复数z 1，z 2，z 3，下列说法中正确的是（ ） A ．|z 1|=|z 1|B ．z 12=|z 1|2C ．z 1•（z 2+z 3）＝z 1•z 2+z 1•z 3D ．z 1+z 2=z 1+z 210．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，A 1B 1＝2，AA 1＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是（ ） A ．∠A 1AB =π6B ．高为√2C ．体积为28√23D ．表面积为12√311．石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形，正六边形ABCDEF 为其中的一个六元环，设AB ＝1，P 为正六边形ABCDEF 内一点（包括边界），则下列说法正确的是（ ）A ．AD →=4AB →+4AF →B ．AC →⋅AD →=3AB →2C ．AD →在AB →上的投影向量为AB →D ．AP →⋅AB →的取值范围为[−12，32]12．已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 内一点N 满足sinA ⋅NA →+sinB ⋅NB →+sinC ⋅NC →=0→，AN 与BC 交于点D ，则下列说法正确的是（ ） A ．a ⋅NA →+b ⋅NB →+c ⋅NC →=0→B ．AN →⋅(AB →|AB →|−AC→|AC →|)=0C ．c ⋅AD +b ⋅AD =12bcsinAD ．AN →=b⋅AB →+c⋅AC→a+b+c三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．i 2023＝ ．14．△ABC 中，AD 为边BC 的中线，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则中线AD 的长为 ．15．设M 为△ABC 内一点，且AM →=12AB →+13AC →，则△MBC 与△ABC 的面积之比为 ．16．早在15世纪，达•芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图（1），先制作三张一样的黄金矩形ABCD(短边长边=√5−12)，然后从长边CD 的中点E 出发，沿着与短边平行的方向，即EF =12AD ，再沿着与长边AB 行的方向剪出相同的长度，即FE ＝FG ；将这三个矩形穿插两两垂直放置（如图（2）），连接所有顶点即可得到一个正二十面体（如图（3））．若黄金矩形的短边长为2，则按如上制作的正二十面体的表面积为 ，其内切球的表面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数z =51+2i ． （1）求|z |；（2）若z 是关于x 的方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求实数a ，b 的值． 18．（12分）已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1，√3)． （1）若|c →|=4，且c →∥a →，求c →坐标；（2）若|b →|=1，且(a →+b →)⊥(2a →−5b →)，求a →与b →的夹角．19．（12分）如图，圆锥SO 的底面半径为3，此圆锥的侧面展开图是一个半圆． （1）求圆锥SO 的表面积；（2）若圆锥SO 的底面圆周和顶点S 都在球O '的球面上，求球O '的体积．20．（12分）△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知（b +c ）（sin B +sin C ）＝a sin A +3b sin C ． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，求c ﹣b 的取值范围．21．（12分）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为边BC 的中点，E 为边AC 上任一点（包括端点），F 在线段ED 延长线上，且ED →=DF →． （1）当|CF →|最小时，求AD →⋅BE →的值； （2）求AE →⋅AF →的取值范围．22．（12分）△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4a sin A ＝b sin C cos A +c sin A cos B ． （1）求sinA sinC的值；（2）若BD 是∠ABC 的角平分线． （i ）证明：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ； （ⅱ）若a ＝1，求BD •AC 的最大值．2022-2023学年山东省枣庄市枣庄二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2﹣i ）（1+i ）＝（ ） A ．3+iB ．1﹣2iC ．3﹣iD ．3解：由题意可得：（2﹣i ）（1+i ）＝2+i ﹣i 2＝3+i ． 故选：A ．2．若向量OB →=(3，2)，AB →=(−4，5)，则点A 的坐标为（ ） A ．（﹣1，7）B ．（7，﹣3）C ．（﹣1，﹣3）D ．（7，7）解：∵OB →=(3，2)，AB →=(−4，5)，∴OA →=OB →−AB →=(3，2)−(−4，5)=(7，−3)， ∴A （7，﹣3）． 故选：B ．3．对于横纵坐标均为整数的向量，若它们的模相同，坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”如向量（1，1），（1，﹣1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）是模为√2的“等模整向量”，则模为√10的“等模整向量”的个数为（ ） A ．4B ．8C ．10D ．12解：设向量为（a ，b ），则a 2+b 2＝10，又a ，b 为整数，所以a ，b 从﹣1，1，3，﹣3中取值，故符合条件的“等模整向量”为（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（1，﹣3），（3，1），（3，﹣1），（﹣3，﹣1），（﹣3，1），共有8个． 故选：B ．4．“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A ，B 两个观测点，在A 点测得超然楼在北偏东60°的点D 处（A ，B ，D 在同一水平面上），在B 点测得超然楼在北偏西30°，楼顶C 的仰角为45°，则超然楼的高度CD （单位：米）为（ ）A ．26B ．26√3C ．52D ．52√3解：由题意可得：∠BAD ＝30°，∠ABD ＝60°，∠CBD ＝45°，AB ＝104（米）， 在△ABD 中，可得∠ADB ＝90°，则BD =AB ⋅sin ∠BAD =104×12=52（米）， 在Rt △BCD 中，可得△BCD 为等腰直角三角形，即DC ＝BD ＝52（米）． 故选：C ．5．矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，M 为线段AB 上靠近A 的三等分点，N 为线段BC 的中点，则DM →⋅AN →=（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．7解：以{AB →，AD →}为基底向量，则DM →=AM →−AD →=13AB →−AD →，AN →=AB →+BN →=AB →+12AD →， 因为AB ⊥AD ，则AB →⋅AD →=0，所以DM →⋅AN →=(13AB →−AD →)⋅(AB →+12AD →)=13AB →2−56AB →⋅AD →−12AD →2=13×9−12×4=1．故选：C ．6．三棱锥P ﹣ABC 的侧棱P A ，PB ，PC 上分别有三点E ，F ，G ，且PE EA=1，PF FB=12，PG GC=13，则三棱锥P ﹣ABC 与P ﹣EFG 的体积之比是（ ） A ．6B ．8C ．12D ．24解：设△PFG 的面积为S 1，设△PBC 的面积为S 2，则S 1=12PF ⋅PGsin∠FPG ，S 2=12PB ⋅PCsin∠BPC ，又∠FPG ＝∠BPC ，PFPB =13，PGPC =14，∴S 1S 2=112，过点E 作EM ⊥平面PBC ，过点A 作AN ⊥平面PBC ，如图，则EM ∥AN ，∴△PEM 与△P AN 相似， 又PE PA=12，∴EM AN=12，∵V P−EFG =V E−FPG =13S 1⋅EM ，V P−ABC =V A−BPC =13S 2⋅AN ， ∴V P−ABC V P−EFG=24，∴三棱锥P ﹣ABC 与P ﹣EFG 的体积之比是24． 故选：D ．7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m →=(b ，b)，n →=(cosC ，√3sinC)，m →⋅n →=a +c ，则B ＝（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解：∵若m →=(b ，b)，n →=(cosC ，√3sinC)，m →⋅n →=a +c ， ∴m →⋅n →=bcosC +√3bsinC =a +c ．由正弦定理得sinBcosC +√3sinBsinC =sinA +sinC ， 又在△ABC 中，sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， ∴√3sinBsinC −cosBsinC =sinC ． 又sin C ≠0，则√3sinB −cosB =1， 即2sin(B −π6)=1，即sin(B −π6)=12，∵0＜B ＜π，∴−π6＜B −π6＜5π6，∴B −π6=π6，解得B =π3． 故选：B ．8．已知A ，B ，C ，D 四点都在表面积为100π的球O 的表面上，若AD 为球O 的直径，且BC ＝4，∠BAC ＝150°，则三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为（ ） A ．4√3B ．8√3C ．4(2−√3)D ．8(2−√3)解：设球O 的半径为R ，因为球O 的表面积为100π，故4πR 2＝100π，即R ＝5， ∵BC ＝4，∠BAC ＝120°，设△ABC 的外接圆半径为r ，圆心为O 1， ∴根据正弦定理知，4sin150°=2r ，即r ＝4，∴|OO 1|=√OB 2−O 1B 2=√52−42=3，∵AD 是直径，O 是AD 中点，故D 到平面ABC 的距离为2|OO 1|＝6， 在△ABC 中，根据余弦定理得，BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos ∠BAC ， 即16=AB 2+AC 2+√3AB ⋅AC ≥2AB ⋅AC +√3AB ⋅AC ， ∴AB ⋅AC ≤16(2−√3)，当且仅当AB ＝AC 时，等号成立， ∴△ABC 面积的最大值为S =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×16(2−√3)×12=4(2−√3)， ∴三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值V =13×4(2−√3)×6=8(2−√3)． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．关于复数z 1，z 2，z 3，下列说法中正确的是（ ） A ．|z 1|=|z 1|B ．z 12=|z 1|2C ．z 1•（z 2+z 3）＝z 1•z 2+z 1•z 3D ．z 1+z 2=z 1+z 2解：设z 1＝a +bi ，z 2＝c +di ，z 3＝m +ni ，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，|z 1|=√a 2+b 2， ∴|z 1|=|z 1|，A 选项正确；z 12=(a +bi)2=a 2−b 2+2abi ，|z 1|2=(√a 2+b 2)=a 2+b 2，∴z 12≠|z 1|2，B 选项错误；z 1•（z 2+z 3）＝（a +bi ）（c +di +m +ni ）＝（a +bi ）（c +di ）+（a +bi ）（m +ni ）＝z 1•z 2+z 1•z 3，C 选项正确； z 1+z 2＝（c +m ）+（d +n ）i ，z 1+z 2=(c +m)−(d +n)i ，z 1+z 2=c −di +m −ni =(c +m)−(d +n)i ，z 1+z 2=z 1+z 2，D 选项正确． 故选：ACD ．10．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，A 1B 1＝2，AA 1＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是（ ） A ．∠A 1AB =π6 B ．高为√2 C ．体积为28√23D ．表面积为12√3解：根据题意，如图：过A 1分别作底面ABCD 、AB 的垂线，垂足分别为M 、N ， 正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，A 1B 1＝2，AA 1＝2， 由于AB ＝4，A 1B 1＝2，则AC ＝4√2，A 1C 1＝2√2，正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧面ABB 1A 1是等腰梯形，过点A 1作A 1P ，使A 1P ∥BB 1， 易得四边形A 1PBB 1为平行四边形，必有A 1P ＝BB 1，由于侧面ABB 1A 1是等腰梯形，有AA 1＝BB 1，则有AA 1＝A 1P ，故△AP A 1是等腰三角形， 则AN =12AP =12（AB ﹣A 1B 1）＝1，同理：AM =12（AC ﹣A 1C 1）=√2， 则有A 1M =√A 1A 2−AM 2=√2，A 1N =√A 1A 2−AN 2=√3． 依次分析选项：对于A ：在Rt △AA 1N 中，可得sin ∠A 1AN =A 1N AA 1=√32，且∠A 1AN 为锐角，则∠A 1AB =π3，故A 错误； 对于B ：正四棱台的高即为A 1M =√2，故B 正确；对于C ：正四棱台的体积V =13(4×4+2×2+√4×4×2×2)×√2=28√23，故C 正确； 对于D ：四棱台的表面积S =4×4+2×2+4×√3(2+4)2=20+12√3，故D 错误．故选：BC ．11．石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形，正六边形ABCDEF 为其中的一个六元环，设AB ＝1，P 为正六边形ABCDEF 内一点（包括边界），则下列说法正确的是（ ）A ．AD →=4AB →+4AF →B ．AC →⋅AD →=3AB →2C ．AD →在AB →上的投影向量为AB →D ．AP →⋅AB →的取值范围为[−12，32]解：如图，以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(12，−√32)，C(32，−√32)，D(2，0)，E(32，√32)，F(12，√32)，可得AB →=(12，−√32)，AC →=(32，−√32)，AD →=(2，0)，AF →=(12，√32)．对于选项A ：因为4AB →+4AF →=(4，0)，则AD →≠4AB →+4AF →，故选项A 错误；对于选项B ：AC →⋅AD →=32×2+(−√32)×0=3=3AB →2，故选项B 正确；对于选项C ：因为〈AB →，AD →〉=60°，则|AD →|cos〈AB →，AD →〉=2×12=1， 所以AD →在AB →上的投影向量为AB→|AB →|=AB →，故选项C 正确；对于选项D ：分别过C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、N ，则BM =AN =12， 可得AP →在AB →上的投影|AP →|cos ＜AB →，AP →＞的取值范围为[−12，32]，又|AB →|=1，AP →⋅AB →=|AB →||AP →|cos ＜AB →，AP →＞，所以AP →⋅AB →的取值范围为[−12，32]，故选项D 正确． 故选：BCD ．12．已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 内一点N 满足sinA ⋅NA →+sinB ⋅NB →+sinC ⋅NC →=0→，AN 与BC 交于点D ，则下列说法正确的是（ ） A ．a ⋅NA →+b ⋅NB →+c ⋅NC →=0→B ．AN →⋅(AB →|AB →|−AC→|AC →|)=0C ．c ⋅AD +b ⋅AD =12bcsinAD ．AN →=b⋅AB →+c⋅AC→a+b+c解：∵sinA ⋅NA →+sinB ⋅NB →+sinC ⋅NC →=0→，∴由正弦定理可得：a ⋅NA →+b ⋅NB →+c ⋅NC →=2R ⋅0→=0→，∴A 选项正确； ∴a(−AN →)+b(AB →−AN →)+c(AC →−AN →)=0→， ∴(a +b +c)AN →=bAB →+cAC →，∴AN →=bAB →+cAC→a+b+c ，∴D 选项正确；∴AN →⋅(AB →|AB →|−AC→|AC →|)=(bAB →+cAC →)1bc (bAB →−cAC →)a+b+c =1bc (b 2c 2−c 2b 2)a+b+c=0，∴B 选项正确；如图，∵AD 是∠A 的角平分线， ∴12c ⋅AD ⋅sin 12A +12b ⋅AD ⋅sin 12A =12bcsinA ，∴C 选项错误．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．i 2023＝ ﹣i ． 解：i 2023＝i 4×55+3＝i 3＝﹣i ．故答案为：﹣i ．14．△ABC 中，AD 为边BC 的中线，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则中线AD 的长为 √192．解：作图：由题意得AD →=12（AB →+AC →），∴AD →2=[12(AB →+AC →)]2=14(AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →)=14×(32+22+2×3×2×12)=194， ∴|AD →|=√192，即中线AD 的长为√192．故答案为：√192． 15．设M 为△ABC 内一点，且AM →=12AB →+13AC →，则△MBC 与△ABC 的面积之比为 16．解：在AC 取点N ，使得AC =32AN ，则AM →=12AB →+13AC →=12AB →+12AN →， 可知点M 为BN 的中点，可得S △MBC =12S △NBC =12(13S △ABC )=16S △ABC ，即S △MBCS △ABC =16，所以△MBC 与△ABC 的面积之比为16．故答案为：16．16．早在15世纪，达•芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图（1），先制作三张一样的黄金矩形ABCD(短边长边=√5−12)，然后从长边CD 的中点E 出发，沿着与短边平行的方向，即EF =12AD ，再沿着与长边AB 行的方向剪出相同的长度，即FE ＝FG ；将这三个矩形穿插两两垂直放置（如图（2）），连接所有顶点即可得到一个正二十面体（如图（3））．若黄金矩形的短边长为2，则按如上制作的正二十面体的表面积为 20√3 ，其内切球的表面积为(14+6√5)π3．解：正二十面体的表面是20个全等的等边三角形， 且每个等边三角形的边长都等于黄金矩形的短边长2． 所以表面积为：20×12×2×2×sin60°=20√3，根据对称性可知：三个黄金矩形的对角线交于一点，设该点为O ， 由对称性可知，内切球和外接球的球心在所有黄金矩形的对角线交点处，点O 连接其中一个面ABC ，如图，作OO 1⊥面ABC ，则OA 为外接球半径，OO 1为内切球的半径． 黄金矩形的短边长为2，设长边为2y ，则22y=√5−12，即2y =2√5−12=√5+1，所以黄金矩形的对角线长为√22+(√5+1)2=√10+2√5， 所以外接球的半径为：12√√由正三棱锥的性质可知，O 1为△ABC 的中心，O 1C 为△ABC 的外接圆半径， 所以2O 1C =2sin60°=4√33，所以O 1C =2√33，所以OO 12=OC 2−O 1C 2=10+2√54−43=14+6√512， 所以内切球的表面积为4π×14+6√512=(14+6√5)π3，故答案为：20√3；(14+6√5)π3．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数z =51+2i ． （1）求|z |；（2）若z 是关于x 的方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求实数a ，b 的值． 解：（1）因为z =51+2i =5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i ， 所以|z|=√1+22=√5． （2）由（1）可得：z ＝1﹣2i ，将z 代入方程x 2+ax +b ＝0得：（1﹣2i ）2+a （1﹣2i ）+b ＝（a +b ﹣3）+i （﹣2a ﹣4）＝0， 则{a +b −3=02a +4=0，解得：a ＝﹣2，b ＝5． 18．（12分）已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1，√3)． （1）若|c →|=4，且c →∥a →，求c →坐标；（2）若|b →|=1，且(a →+b →)⊥(2a →−5b →)，求a →与b →的夹角． 解：（1）设c →=(x ，y)，由已知可得{x 2+y 2=16y −√3x =0，解得{x =2y =2√3或{x =−2y =−2√3所以c →=(2，2√3)或c →=(−2，−2√3)． （2）由已知可得，|a →|=√12+(√3)2=2． 由(a →+b →)⊥(2a →−5b →)得(a →+b →)⋅(2a →−5b →)=0， 即2a →2−3a →⋅b →−5b →2=0， 即8−3a →⋅b →−5=0，所以a →⋅b →=1， 所以cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=12．因为，0≤〈a →，b →〉≤π， 故〈a →，b →〉=π3．19．（12分）如图，圆锥SO 的底面半径为3，此圆锥的侧面展开图是一个半圆． （1）求圆锥SO 的表面积；（2）若圆锥SO 的底面圆周和顶点S 都在球O '的球面上，求球O '的体积．解：（1）设OA ＝OB ＝r ，SA ＝SB ＝l ， 由题意得：πl ＝2πr ＝6π，则l ＝6． 所以S 侧＝πrl ＝18π，S 底＝9π， S 表＝S 侧+S 底＝27π． （2）令SO '＝R ，由O 'O 2+OB 2＝O 'B 2，得(3√3−R)2+9=R 2， 解得R =2√3． 故V 球=43πR 3＝32√3π．20．（12分）△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知（b +c ）（sin B +sin C ）＝a sin A +3b sin C ． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，求c ﹣b 的取值范围．解：（1）因为（b +c ）（sin B +sin C ）＝a sin A +3b sin C ，由正弦定理得（b +c ）（b +c ）＝a 2+3bc ，整理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，且A ∈（0，π），故A =π3．（2）因为asinA=b sinB=c sinC=√32=4√33， 可得b =4√33sinB ，c =4√33sinC ， 则c −b =4√33(sinC −sinB)=4√33[sin(B +π3)−sinB]=4√33(√32cosB +12sinB −sinB)=4√33(√32cosB −12sinB)=4√33cos(B +π6)， 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B +π6＜5π6，则cos(B +π6)∈(−√32，√32)，所以4√33cos(B +π6)∈(−2，2)，即c ﹣b ∈（﹣2，2）． 21．（12分）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为边BC 的中点，E 为边AC 上任一点（包括端点），F 在线段ED 延长线上，且ED →=DF →． （1）当|CF →|最小时，求AD →⋅BE →的值； （2）求AE →⋅AF →的取值范围．解：（1）根据题意作出图形，如下图所示：设AE →=λAC →(λ∈[0，1])，根据题意可得CF →=AF →−AC →=AE →+2ED →−AC →=AE →+2(AD →−AE →)−AC →=−AE →−AC →+2AD →=AB →−λAC →，∴|CF →|=√|AB →−λAC →|2=√AB →2+λ2AC →2−2λAB →⋅AC →， 又AB →⋅AC →=2，∴|CF →|=√4λ2−4λ+4=2√(λ−12)2+34，由一元二次函数的性质，可得当λ=12时，|CF →|最小，此时BE →⋅AD →=12(AC →−AB →)⋅12(AB →+AC →)=14AC →2−14AB →⋅AC →−12AB →2=−32． （2）由（1）知AF →−AC →=AB →−λAC →，故AF →=AB →+(1−λ)AC →，因为AE →⋅AF →=λAC →⋅[AB →+(1−λ)AC →]=λAB →⋅AC →+(λ−λ2)AC →2=−4λ2+6λ，因为λ∈[0，1]，所以AE →⋅AF →∈[0，94]．22．（12分）△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4a sin A ＝b sin C cos A +c sin A cos B ． （1）求sinA sinC的值；（2）若BD 是∠ABC 的角平分线． （i ）证明：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ； （ⅱ）若a ＝1，求BD •AC 的最大值． 解：（1）∵4a sin A ＝b sin C cos A +c sin A cos B ，∴由正弦定理得4sin 2A ＝sin B sin C cos A +sin C sin A cos B ＝sin C （sin B cos A +sin A cos B ）＝sin C sin （A +B ）＝sin 2C ，且A ，C ∈（0，π），则sin A ，sin C ＞0， ∴sinA sinC=12；（2）（i ）证明：在△ABD 中，由正弦定理得ADsin∠ABD=AB sin∠ADB①，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos ∠ADB ②， 同理在△BCD 中，则CD sin∠CBD=BC sin∠CDB③，BC 2＝CD 2+BD 2﹣2CD •BD •cos ∠CDB ④，∵BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝∠CBD ， ∴sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ，又∠ADB +∠CDB ＝π，则sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，cos ∠ADB +cos ∠CDB ＝0， ①÷③得AD CD=AB BC⑤，∴AD AC=AB AB+BC，CD AC=BC AB+BC，CD ×②+AD ×④得CD •AB 2+AD •BC 2＝CD •AD （AD +CD ）+（CD +AD ）•BD 2＝CD •AD •AC +AC •BD 2，∴BD 2=CD⋅AB 2+AD⋅BC 2AC −CD ⋅AD =BC⋅AB 2+AB⋅BC 2AB+BC−CD ⋅AD =BA •BC ﹣DA •DC ，得证；（ⅱ）由（1）得sinA sinC=12，则c ＝2a ＝2，由⑤式知（或由角平分线定理知）AD CD=AB BC=2，∴AD =23AC ，DC =13AC ， 由（ⅰ）知BD 2=2−29AC 2， ∴BD 2+29AC 2=2，∵BD 2+29AC 2≥2√23BD ⋅AC ，当且仅当BD =1，AC =3√22时等号成立， ∴BD ⋅AC ≤3√22， 故BD •AC 的最大值3√22．。
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(共5套)
高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．将八进制数135(8)化为二进制数为( ) A ．1 110 101(2) B ．1 010 101(2) C ．1 111 001(2)D ．1 011 101(2)3．某产品在某零售摊位上的零售价x (元)与每天的销售量y (个)统计如下表：据上表可得回归直线方程a ˆx b ˆy ˆ+=中的b ˆ＝－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为( )A ．48B ．45C ．50D ．514．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．106.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分相同B ．甲的中位数是83，乙的中位数是85C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是89，乙的众数为878.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．29.利用秦九韶算法求f (x )＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的值为( ) A ．121 B ．283 C ．321 D ．23910．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A ．7.68 B ．8.68 C ．16.32D ．17.3211.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. 91B. 92C. 187D.9412.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=21（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长为m 340的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3≈π，73.13≈） A ． 15 B ． 16 C ． 17 D ． 18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归方程：y ∧＝0.234x ＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 14．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________． 15.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B A Y 发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)16．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________． 二、解答题（17题10分，其余均12分）17.(10分) 已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．18．(12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程a ˆx b ˆyˆ+= (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧＝y －－b ∧ x －)零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.519．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝()()()α-π-•α-π-α-•α-π•α-πsin tan tan )2cos()sin((1)化简f (α)；(2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛π-α23cos ＝15，求f (α)的值；20．(12分)某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.22．（12分）在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.高一下期期中考试数学试题答案一、选择题B D B D A B D D BCD B二、填空题13. 0.234 14.3215.32 16.N1N三、解答题（17题10分，其余均12分）17.解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤9的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.18.解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得∑4i＝1x i y i＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑4i ＝1x i 2＝54. ∴b ∧＝0.7，∴a ∧＝1.05. ∴y ∧＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ∧＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．解：(1)f (α)＝＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.20.解：(1)由表中数据，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b＝0.20.(2)由题意，得第三、四、五组分别抽取的学生人数为3060×6＝3，2060×6＝2，1060×6＝1.第三组的3名学生记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同情况，分别为{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c }，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c }，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c }，{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．其中第三组的3名学生均未被抽到的情况共有3种，分别为{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }． 故第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率为1－315＝45.21解：（1）p=3162(2)先从袋中随机取一个球，记下编号m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n,可能的结果为（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共16个，满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4）共3个所以n ≥m+2的概率为p=16322．解：(1)各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.则补全的直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x＝100(人)．所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．设中位数为x则0.03×10+（x-59.5）×0.04=0.5得x=64.5高一下学期期中数学考试试卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则( )A． B． C． D．2．( )A．0 B．1 C．2 D.43．若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．B．C．D．5．函数的定义域是( )A． B． C． D．6．函数过定点( )A． B． C． D．7．已知，，，则＝( )A． B． C． D．8．已知函数为幂函数，则实数的值为( )A．或 B．或 C． D．9．已知函数，若，则实数等于( )A ．2 B. 45 C ．12 D ．910．若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )11．已知是定义在上的奇函数，当时，,则当时，( )AB ．C ．D ．12．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是( ) A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．设集合，集合，若，则实数14．若，则＝15．如果函数，的增减性相同，则的取值范围是.16．已知是方程的两个根，则的值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值（式中字母都是正数）： （1）；（2）已知，求的值.18．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求；（2）⊆，求的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数+2.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数是R上的奇函数，(1)求的值；(2)先判断的单调性，再证明．21．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)讨论不等式中的取值范围．22．(本小题满分12分)若二次函数满足且. （1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.高一下学期期中考试试卷数学时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．3x cos y =是( )A ．周期为π6的奇函数B ．周期为3π的奇函数C ．周期为π6的偶函数D ．周期为3π的偶函数2.已知sin α＝41，则cos 2α的值为( )A ．21B ．87- C.21- D.873．已知平面向量()()3,2,4,1==→→b a ，则向量=+→→b a 5251（ ）A ．()1,2B ．()5,3 C.()3,5 D.()2,14.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－4，m )，且a ⊥b ，则m ＝( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．为得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33sin πx y 的图象，只需将函数y ＝sin 3x 的图象( )A ．向左平移9π个长度单位B ．向右平移9π个长度单位C ．向左平移3π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位6.设a ＝(8，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(2,3)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(4,18)B ．22C ．－6 D.(18,4)7.已知a ·b ＝122，|a |＝4，a 与b 的夹角为45°，则|b |为( )A ．12 A ．3 C ．6 D ．98.若－π2＜α＜0，则点P (sin α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知α∠的终边经过点()31P ，，则=αsin ( )A ．21 B ．10103C ．31D ．3310．若=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,32032sin ππππx x f x x ，，求)32(πf =（ ） A.0 B.23C.21 D.1 11．已知2tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 3-的值是( ) A ．2- B ． 3 C ．2 D ．3- 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，则AB →·AC→等于( )A ．－3B ．－6C ．9D ．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知AB →＝(2，7)，AC →＝(－5,8)，则BC →＝__________________.14．函数()()()R x x x x f ∈-=cos sin 2的最小正周期为________，最大值为________． 15．设a ＝(5,-2)，b ＝(6,2)，则2|a |2－12a ·b ＝______________.16．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝5，则tan β的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知()ππθθ2,,53cos ∈=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πθ以及⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ的值．18.（10分）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πωx x f ，0>ω，最小正周期为2π. (1)求()0f .(2)求()x f 的解析式.(3)求()x f 的单调递增区间．19.（12分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,3)，c ＝(5,2)．(1)求6a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )//(2b －a )，求实数k . 20. （12分）已知23παπ<<，211-tan tan -=αα.(1)求αtan 的值。
浙江省普通高中高一下学期期中模拟考试数学试题含答案
浙江省普通高中高一下学期期中模拟考试数 学 试 题（时间：100分钟； 满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知()()3,2,,1a b k ==，且a ∥b ，则k 的值是（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-2.在ABC ∆中，若1,3,30a b A ===，则B =（ ）A.60B.60或120C. 30或150D. 120 3.下列各式中，值为12的是（ ） A ．0sin15cos15 B ．22cossin 1212ππ-C ．0cos 42sin12sin 42cos12- D ．020tan 22.51tan 22.5- 4．若βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ）A ．5665B ．1665C ．3365D ．63655.在ABC ∆中，c b a ,,分别是三内角C B A ,,的对边，且C A 22sin sin -＝()B B A sin sin sin -，则角C 等于（ ）A ．6πB ．3πC ．65π D ．32π6.若平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,3a b c ===，则a b c ++等于（ ）A ．2B ．5C ．2或5D ．25或 7.在ABC ∆中，若31cos =A ，:=3:2AB AC ，则sin B 的值为（ ） A ．23 B ．79 C ．322 D ．4298．定义两个平面向量的一种新运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，（其中><b a ,表示b a ,的夹角），则对于两个平面向量,a b ，下列结论不一定成立的是（ ）A.a b b a ⊗=⊗B.2222()()a b a b a b ⊗+=⋅ C.()()a b a b λλ⊗=⊗ D.若0a b ⊗=，则a b 与平行9．给出下列4个命题： ①若B A 2sin 2sin =，则ABC ∆是等腰三角形； ②若B A cos sin =，则ABC ∆是直角三角形； ③若0cos cos cos <C B A ，则ABC ∆是钝角三角形；④若1)cos()cos()cos(=---A C C B C A ，则ABC ∆是等边三角形.其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．③④C ．①④D ．②③ 10．已知两个平面向量m,n 满足：对任意的R λ∈,恒有()2m nm m n λ+--≥，则（ ） A ．m m n =- B ．m n =C ．m m n =+D ．2m n =二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11．若O 为坐标原点，(1,1)OA -=，(3,5)AB =，则点B 的坐标为 ； 12．已知α为锐角，4sin 5α=，则tan()4πα+= ； 13．求值0013sin10cos10-＝ ； 14．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+21cos ，则角A = ； 15．已知A 船在灯塔C 北偏东80处，且A 船到灯塔C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西 40处，B A 、两船间的距离为7km ，则B 船到灯塔C 的距离为 ；16．已知ABC ∆中，060A ∠=,3BC =,则2AB AC +的最大值为 ；17．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥,垂足为P ,3AP =, 点Q 是BCD ∆内（包括边界）的动点，则AP AQ ∙的取值范围是 .三、解答题(本大题共5小题，满分52分。
安徽省马鞍山市高一下学期期中素质模拟测试数学试题(解析版)
安徽省马鞍山市第二中学高一下学期期中素质模拟测试数学试题一、单选题1．已知，其中为虚数单位，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） (2i)i z =+i z A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】利用共轭复数的定义即可判定.【详解】因为，所以，所以对应的点（－1，－2）位于第三象限． 22i i 12i z =+=-+12i z =--z 故选：C2．已知，为直线，为平面，若，，则与的位置关系是（ ） m n αm α∥n ⊂αm n A ．平行 B ．相交或异面 C ．异面 D ．平行或异面【答案】D【分析】利用线面平行的定义及直线的位置关系即得. 【详解】因为，m α∥所以直线与平面没有公共点，又，m αn ⊂α所以与没有公共点，即与的位置关系是平行或异面. m n m n 故选：D.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A =45°，a =6，b B 的大小为（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120°【答案】A【分析】先由正弦定理求出sin B =，可得B =30°或B =150°，再由a >b ，得A >B ，从而可求出12B =30°.【详解】由正弦定理得， sin sin b aB A=， 6sin 45=︒解得sin B =，12又B 为三角形内角，所以B =30°或B =150°， 又因为a >b ，所以A >B ，即B =30°.4．在中，，且，则（ ）ABC A BC BD λ=2133AD AB AC =+ λ=A ． B ． C ．D ．232312【答案】B【分析】利用向量线性运算化简已知等式可整理得到，由此可得结果.3BD BC =【详解】，()()212121333333AD AB AC AD DB AD DC AD DB DC =+=+++=++，，即. 21113333BD DC BC BD ∴==-3BD BC ∴= 3λ=故选：B.5．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形O A B C ''''的周长和面积分别为（ ）A ．2aB ．8a ，C ．8a ，D ，222a 2【答案】B【分析】由直观图还原出原图，在原图中找出对应线段长度进而求出周长和面积． 【详解】由直观图可得原图形，∴，，， OA BC a ==OB =90BOA ∠=︒∴，原图形的周长为， 3AB OC a ==8a∴．2S a =⋅=6．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做()5,2F =()1,3A -()2,6B F 的功为（ ） A ．9 B ． C ．21 D ．9-21-【答案】C【分析】根据向量数量积的几何意义，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，物体从点处移动到点处，可得,()1,3A -()2,6B (3,3)AB =因为力，所以力对物体所做的功为.()5,2F = F 532321F AB ⋅=⨯+⨯=故选：C.7．已知O 是△ABC 外接圆的圆心､若，，则（ ） 3AB = 7BC = BO CA ⋅=A ．10B ．20C ．D ．20-10-【答案】C【分析】，后结合图形及向量投影可得答案.()BO CA BO BA BC ⋅=⋅-【详解】，设中点为D ，BA 中点E ，因O 是△ABC 外接圆的圆心，则()BO CA BO BA BC ⋅=⋅-BC 在方向上的投影向量为,在方向上的投影向量为，BO BA BE BOBC BD 则，. 21922BO BA BE BA BA ⋅=⋅== 214922BO BC BD BC BC ⋅=⋅== 故. 9492022BO CA ⋅=-=- 故选：C8．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，若角ABC A ()()()sin sin sin A B a b C b c +-=+A 的内角平分线AD 的长为3，则的最小值为（ ） b c +A ．12 B ．24C ．27D ．36【答案】A【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即A 可得解.【详解】因为， ()()()sin sin sin A B a b C b c +-=+所以，即，()()()a b a b c b c +-=+222a b c bc =++所以，2221cos 22b c a A bc +-==-又因，所以， ()0,πA ∈2π3A =由，ABC ABD ACD S S S =+A A A =所以，331b c+=则， ()33336612b c b c b c b c c b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，取等号， 33b cc b=6b c ==所以的最小值为. b c +12故选：A.二、多选题9．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ）a b ||1a = ||2b = ||a b +=A ．B ．2a b ⋅=-()a a b ⊥+C ．D ．与的夹角为||a b -=a b3π【答案】BC【分析】先利用平面向量的数量积运算得到，即可得到的值，再利用平面向量的1a b ⋅=-()a a b ⋅+ 数量积运算得到，最后求解，即可判断选项. |a b - ∣cos ,a b <>【详解】，222||21243a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+=∴，1a b ⋅=-∴，2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=∴，()a a b ⊥+|a b -== ∣，1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-∴与的夹角为，a b23π故BC 正确. 故选：BC.10．在中，如下判断正确的是（ ）ABC A A ．若，则为等腰三角形 B ．若，则 sin 2sin 2A B =ABC A A B >sin sin A B >C ．若为锐角三角形，则 D ．若，则 ABC A sin cos A B >sin sin A B >A B >【答案】BCD【分析】选项A. 由题意可得或，从而可判断；选项B. 若,则，由22A B =22A B π+=A B >a b >正弦定理可判断；选项C. 若为锐角三角形，则，即所以，由 正ABC A 2A B π+>022A B ππ>>->弦函数的单调性可判断；选项D. 在中,若，由正弦定理可得，从而可判ABC A sin sin A B >22a bR R>断.【详解】选项A. 在中, 若,则或 ABC A sin 2sin 2A B =22A B =22A B π+=所以或，所以为等腰或直角三角形. 故A 不正确.A B =2A B π+=ABC A 选项B. 在中, 若,则，ABC A A B >a b >由正弦定理可得,即，故B 正确. 2sin 2sin R A R B >sin sin A B >选项C. 若为锐角三角形，则 ABC A 2A B π+>所以，所以 ,故C 正确.022A B ππ>>->sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭选项D. 在中,若，由正弦定理可得， ABC A sin sin A B >22a b R R>即，所以，故D 正确. a b >A B >故选：BCD11．如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，，则下1SO OC ==列结论正确的是（ ）A ．圆锥SO 的侧面积为B ．三棱锥S -ABC 体积的最大值为13C ．∠SAB 的取值范围是,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．若，F 为线段AB 上的动点，则 AB BC =SF CF +1【答案】BD【分析】利用公式和侧面展开图可判断AD 的正误，求出面积的最大值后可求体积的最大ABC A 值，故可判断B 的正误，过作，垂足为，利用解直角三角形可求的范围，从S SE AB ⊥E sin SAB ∠而可判断C 的正误.【详解】因为，故，故A 错误. 1SO OC ==SC =1π⨯=而，即， 22242AB BC AC AB BC +==≥⨯2AB BC ⨯≤当且仅当AB BC ==故面积的最大值为1，故三棱锥体积的最大值为，故B 正确.ABC A S ABC -111133⨯⨯=如图，过作，垂足为， S SE AB ⊥E则，而，sin SE SAB SA ∠==1SE ≤<sin 1SAB ≤∠<当且仅当重合时等号成立，而为锐角，故，,C B SAB ∠42SAB ππ≤∠<故C 错误.当时，AB BC =AB BC =此时为等边三角形，为等腰直角三角形，SAB △ABC A 将、沿展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形， SAB △ABC A AB 连接，其中，SC 90ABC ∠=︒则，22224SC ⎛=+-=+ ⎝故，而，当且仅当三点共线时等号成立， 1SC =1SF FC SC +≥=,,S F C 故D 正确. 故选：BD.12．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，重心为，且，，则下列说法正确的是ABC A O H G 2AB =3AC =（ ）A ．B ．0AH BC ⋅=53AG BC ⋅=- C ．D ．52AO BC ⋅= OH OA OB OC =++【答案】ACD【分析】设是中点，由为垂心，得，判断A ，利用，D BC H AH BC ⊥1()2AD AB AC =+，计算数量积判断B ，同时可判断C ，由重心性质得，然后由向量的线性运OD BC ⊥2AH OD =算判断D ．【详解】为垂心，，所以，A 正确；H AH BC ⊥0AH BC ⋅=设是中点，则共线，，D BC ,,A G D OD BC ⊥，B 错误；()2222221115()()(32)332333AG BC AD BC AB AC AC AB AC AB ⋅=⋅=⨯+⋅-=-=⨯-= 由B 的推导过程得，C 正确； 5()2AO BC AD DO BC AD BC AD BC ⋅=+⋅=⋅=⋅= 由得，所以， //AH OD 2AH AGOD GD==2AH OD =所以，即，D 正确 2OH OA AH OD OB OC -===+ OH OA OB OC =++故选：ACD ．三、填空题13．已知复数满足，则等于__________． z 3i i z z +⋅=+z【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数模的意义计算作答. z 【详解】依题意，，即， (1i)3i z -=-3i (3i)(1i)42i2i 1i (1i)(1i)2z --++====+--+. =14．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________【答案】13【分析】利用计算即可.11A NMD D AMN V V --=【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点 所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些. 15．在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若ABC A B C a b c S ABC ，，则__________．cos cos sin a B b A c C +=2221()4S b c a =+-B ∠=【答案】4π【详解】试题分析：∵，∴，∴222cos 2b c a A bc+-=22211sin ()24S bc A b c a ==+-，∴，．∵，∴，∴11sin 2cos 24bc A bc A =⨯tan 1A =4A π=cos cos sin a B b A c C +=2sin()sin A B C +=，∴，∴．sin 1C =2C π=4B π=【解析】解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把tan 1A =4A π=中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据cos cos sin a B b A c C +=90C =︒三角形内角和，进而求得．B 16．如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则OA OB π2C O AB 的最小值为______．CA CB ⋅【答案】1【分析】建立平面直角坐标系，设出，，利用平面向量数量积公式，结合()cos ,sin C θθπ0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦辅助角公式得到，结合，求出最小值.π14CA CB θ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭ π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，O ,OB OA ,x y 则，设，，()()1,0,0,1B A ()cos ,sin C θθπ0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故 ()()22cos ,1sin 1cos ,sin cos cos sin sin CA CB θθθθθθθθ⋅=--⋅--=--+，π1cos sin 14θθθ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭因为，所以，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故当，时，取得最小值，最小值为ππ42θ+=π4θ=CA CB ⋅ 1-故答案为：1四、解答题 17．已知复数，为虚数单位. 25(1i)(2i)12iz -=+++i (1)求和；||z z (2)若复数z 是关于x 的方程的一个根，求实数m ，n 的值. 20x mx n ++=【答案】(1)． |z |=2i z =-(2)， 4m =-5n =【分析】（1）根据复数的乘除运算规则计算；（2）将z 代入方程，根据复数等于0的意义求解.【详解】（1）∵ ， 25(1i)5(1i)(12i)(2i)44i 112i (12i)(12i)z ---=++=++-++-5(13i)34i 2i 5--=++=+， ；=2i z =-（2）∵复数是关于的方程的一个根，z x 20x mx n ++=∴ ，2(2i)(2i)0m n ++++=∴ ，∴ ，34i 2i 0m m n ++++=(32)(4)i 0m n m ++++=∴，解得，； 32040m n m ++=⎧⎨+=⎩4m =-5n =.2i,4,5z m n =-=-=18．已知：､是同一平面内的两个向量，其中=（1，2），a b a ()1,1b = (1)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围； a a b λ+ λ(2)求在上投影向量.a b + a 【答案】(1)； ()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2). 816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出，再解不等式组即得解； ()1,2a b λλλ+=++ ()()12202210λλλλ⎧+++>⎪⎨+-+≠⎪⎩（2）求出，再代入投影向量的公式即得解. ()8a b a +⋅= 【详解】（1）， ()()()1,2,1,1,1,2a b a b λλλ==∴+=++ 又与的夹角为锐角，且与不平行， a a b λ+ ()0a a b λ∴⋅+> a a b λ+ ， ()()12202210λλλλ⎧+++>⎪∴⎨+-+≠⎪⎩解得且， 53λ>-0λ≠实数的取值范围是 ∴λ()5,00,.3∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭（2）由题得， ()2,3a b += ()268a b a +⋅=+= =在上的投影向量为. a b ∴+ a ()2||a b a a a +⋅ 8816,555a ⎛⎫== ⎪⎝⎭19．已知向量．,1),(cos ,1)a x b x ==- （1）若，求的值；//a b tan 2x （2）若，当时，求函数的最大值； ()()f x a b b =+⋅ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x【答案】（1）2）. 32【分析】（1）由，化简得 //a b tan x = (2)根据题意得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 1()sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【详解】（1）由题意，向量，,1),(cos ,1)a x b x ==-因为，可得，整理得，即 //a b 1cos 1)x x ⨯=-⨯cos x x =tan x =所以. 22tan tan 21tan x x x==-(2)因为，()()f x a b b =+⋅可得， 2111()cos cos 2cos 2sin 22262f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭因为，所以， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当，即时，函数取最大值为． 262x ππ+=6x π=13122+=20．如图，在平面四边形中，，，. ABCD π2BCD ∠=1AB =3π4ABC ∠=(1)当的面积；BC =CD =ACD A (2)当，时，求.π6ADC ∠=2AD =cos ACD ∠【答案】；(2). cos ACD ∠=【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答. AC cos ACB ∠（2）在和中用正弦定理求出AC ，再借助同角公式求解作答.ABC A ACD A 【详解】（1）当中，由余弦定理得，BC =ABC A 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠即，解得23354AC π=-=AC =222cos 2AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅因为，则 π2BCD ∠=sin cos ACDACB ∠=∠=CD =所以的面积是. ACD A 1sin 2ACD S AC CDACD =⋅∠==A （2）在中，由正弦定理得，即 ABC A sin sin AB AC ACB ABC =∠∠3sin 4sin AB AC ACB π==∠在中，由正弦定理得，即， ACD Asin sin AD AC ACD ADC =∠∠sin 16sin sin AD AC ACD ACDπ==∠∠，整理得，而，1sin ACD=∠sin ACD ACD ∠=∠22sin cos 1ACD ACD ∠+∠=为锐角，ACD ∠所以. cos ACD ∠=21．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝1，点D 是AB 的中点.(1)求点B 到平面B 1CD 的距离；(2)求异面直线AC 1和B 1C 所成角的余弦值.【答案】 (2) 15【分析】（1）利用等体积法转化即可；（2）先将异面直线通过平行转化于同一面，再利用余弦定理解角即可.【详解】（1）因为△ABC 正三角形，D 为AB 的中点，AB ＝2，则BD ＝1，CD又BB1⊥底面ABC，BB1＝AA1＝1，则B1D=B1C===则，所以CD⊥B1D．22222115CD B DB C+=+==所以111122B CDS CD B D=⋅==A11122BCDS CD BD=⋅==A设点B到平面B1CD的距离为d，由，得，即，11B B CD B BCDV V--=111133B CD BCDS d S BB⋅=⋅11133d=所以B到平面B1CDd（2）连结BC1，交B1C于点M，连结MD，则M为BC1的中点，又D为AB的中点，则AC1∥MD，所以∠CMD或其补角即为异面直线AC1和B1C所成角, 因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥AC，CC1＝1，AC＝2，所以AC1所以MD，又CD CM＝112B C=由余弦定理，得．2222221cos25CM MD CDCMDCM MD+-+-∠===-⋅所以异面直线AC1和B1C所成角的余弦值为．1522．在中，.ABCA b=(1)若，求的面积；2a=ABCA(2)求的取值范围.a c+条件；条件②.cos sinB b C=22cosa cb C-=【答案】(1)(2)(【分析】（1）根据条件求出角B ，再运用正弦定理和余弦定理求出c ，用面积公式计算即可； （2）运用正弦定理，再做恒等变换，根据三角函数的性质求解.【详解】（1）选条件①，，，又，cos sin B b C =cos sin sin C B B C =sin 0C ≠，而，故；tan B ∴=()0,πB ∈3B π=选条件②，，， 22cos a c b C -= 22222222cos 22a b c a b c a c b C b ab a+-+-∴-==⨯=即，，又，故， 222a cb ac +-=2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴===()0,πB ∈3B π=在中，当，时，ABC A b =2a =3B π=由余弦定理得：， 2222cos b a c ac B =+-2112442c c =+-⨯即，（负值舍去），2280c c --=4c ∴=所以11πsin 24sin 223ABC S ac B ==⨯⨯=A （2）由题设及（1）可知：， π3B =b =故由正弦定理得：())()sin sin sin sin 4sin sin sin b a c A C A C A C B +=++=+， π1π4sin sin 4sin sin 326C C C C C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，，故时等号成立）， π3B =Q 2π0,3C ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭π6C ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭π3A C ==即；a c <+≤综上，的面积为的取值范围是. ABC A a c +(。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的值。
A. {1,2,3}B. {1,2,3,4}C. {2,3}D. {1,4}2. 函数f(x)=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值是多少？A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知直线y=-3x+5与x轴的交点坐标是什么？A. (0, 5)B. (1, 2)C. (5/3, 0)D. (0, 0)6. 已知sin(α)=3/5，α∈(0,π)，求cos(α)的值。
A. 4/5B. -4/5C. √(1-(3/5)^2)D. -√(1-(3/5)^2)7. 一个函数f(x)是奇函数，且f(1)=2，求f(-1)的值。
A. 2B. -2C. 0D. 18. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 7C. 8D. 99. 已知一个函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 410. 已知一个等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第5项的值。
A. 162B. 243C. 486D. 729二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求对称轴的方程。
___________________________12. 已知等比数列的前n项和为S_n=3^n-1，求首项a1。
___________________________13. 已知正弦定理公式为a/sinA=b/sinB=c/sinC，求三角形ABC的面积，已知a=5，sinA=3/5。
___________________________14. 已知某函数的导数f'(x)=6x^2-4x+1，求f'(1)的值。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 无理数集D. 复数集C2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B的元素个数。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是：A. 正B. 负C. 零D. 不确定5. 下列哪个不等式是正确的？A. √2 < πB. e < 2.72C. √3 > √2D. log2(3) > log3(2)6. 已知等差数列的首项为a1 = 3，公差为d = 2，第5项a5的值是：A. 9B. 11C. 13D. 157. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。
A. 0B. 4C. 8D. 169. 抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知等比数列的首项为a1 = 2，公比为r = 3，求第4项a4的值。
A. 162B. 486C. 729D. 1458二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0，其中d^2 + e^2 - 4f > 0时，表示______。
12. 若函数f(x) = 3x - 2在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) =______。
13. 已知集合M = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则M的补集∁_R M = {x | ______ }。
14. 函数y = log_2(x)的定义域是{x | x > ______ }。
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高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。
2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。
3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。
4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。
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第二学期高一数学期中考试模拟试题第一部分 选择题 (共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 已知某厂的产品合格率为%90，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是 （A ）合格产品少于9件 （B ）合格产品多于9件 （C ）合格产品正好是9件 （D ）合格产品可能是9件(2) 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。
公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为○1；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为○2。
则完成○1、○2这两项调查宜采用的抽样方法依次是 （A ）分层抽样法，系统抽样法 （B ）分层抽样法，简单随机抽样法 （C ）系统抽样法，分层抽样法 （D ）简单随机抽样法，分层抽样法(3) 用直接排序法将无序列{}27,13,76,97,65,38,49按照从大到小的顺序排为有序列时,第五趟有序列插入排序后，得到的数列是（A ）{}27,13,76,97,38,49,65 （B ）{}27,13,76,38,65,49,97 （C ）{}13,27,97,65,38,49,76 （D ）{}27,13,38,49,65,76,97(4) 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是 （A ）51 （B ）53 （C ）54 （D ）31(5) 在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组。
[),a b 是其中的一组， 抽查出的个体在该组上的频率为m,该组上的直方图的高为h,则a b -=（A ）hm （B ）m h （C ）hm （D ）h+m (6) 右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（A ） 10>i （B ） 10<i （C ） 20>i （D ） 20<i(7) 一个样本M 的数据是x 1, x 2, ,x n ,它的平均数是5，另一个样本N 的数 据x 12,x 22, ，x n 2它的平均数是34。
那么下面的结果一定正确的是（A ） 29MS= （B ） 29N S = （C ） 23M S = （D ）23NS =(8) 以下程序运行后的输出结果是i : = 1 ; repeat i : = i +2 ;S : = 2 i +3 ; i : = i －1 ; until i ≥8; 输出 S .（A ）17 （B ）19 （C ） 21 （D ）23(9)为考察两个变量x 和y 之间的线性相关，；甲、乙两同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法求得回归直线分别为12l l 和。
已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均数都为s ，对变量y 的观测数据的平均数都为t ，那么下列说法台正确的是（A ）12l l 与有交点（s ，t ） （B ）12l l 与相关，但交点不一定是（s ，t ） （C ）12l l 与必重合 （D ）12l l 与必平行(10) 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中任意抽取一张，则四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是 （A ）41 （B ）83 （C ）241 （D ）256911．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P （A ）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。
则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.313．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。
在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为 。
（用分数表示）A.44π-B. 4πC. 21π- D. 21数学试卷 第2页 （共5页）第二部分 非选择题 (共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13) 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的应是___________；（14）如果某一循环变量的初始值为100-，终值为190，循环时每次循环变量的值增加10，则该循环变量一共循环的次数是 ；(15) 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。
从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色。
金色靶心叫“黄心”。
奥运会的比赛靶面直径为cm 122，靶心直径为cm 2.12。
运动员在m 70外射箭。
假设射箭都能中靶，且射中靶面内的任一点都是等可能的，则射中黄心的概率是 ；(16) 若输入8，则下列程序执行后输出的结果是____________；输入t ; If 5<t ,Then 1:2+=t y ; Else if 8<t , Then 12:-=t y ; Else 12:+=t y ;输出y .三、解答题：本大题共6小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分10分）(1)试比较甲乙哪个单位的成本比较稳定。
(2) 求甲单位成本y 与月产量x 之间的线性回归方程。
（其中已计算得：1481662211=+++y x y x y x ，结果 保留两位小数）(3) 当月产量为12千件时,单位成本是多少?（18）某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费（通话不足1分钟时按1分钟计），试设计一个计算通话费用的算法.要求写出算法，画出程序框图，编写程序.(19) （本小题满分12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱。
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？20.（本小题满分12分）给出50个数，1，2，4，7，11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，以此类推. 要求计算这50个数的和. 先将下面给出的程序框图补充完整，再根据程序框图写出程序.1. 把程序框图补充完整：（1）________________________ (2分) （2）________________________ (2分) 2. 程序：（8分）21．（本小题满分12分）已知定义在R 上的二次函数32)(2+-=bx ax x f（1） 如果a 是集合{}4,3,2,1中的任一元素，b 是集合{}3,2,0中的任一元素，试求函数)(x f 在区间[)+∞,1上单调递增的概率，（2） 如果a 是从区间[]4,1上任取一个数，b 是从区间[]3,0上任取一个数，试求函数)(x f 在区间[)+∞,1上单调递增的概率，(22) （本小题满分12分）某地区为了了解70至80岁老人日平均睡眠时间（单位：h）随机选择了老人进行调查，如下：观察图形，回的答下列问题：（1）补充上面的频率分布表和频率分布直方图.(2) 根据频率分布直方图估计出老人平均睡眠时间（即组中值乘以频率求和），画出流程图（3）求睡眠时间不少于7小时的概率.参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题 (每小题4分，共20分)(13)甲 (14) 30 (15)01.0 (16) 5（17）（1）716686973717273y 1=+++++=706606672707478y 2=+++++=。
68.361)7168()7169()7173()7171()7172()7173(22222221≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=------s 3.3361)7060()7066()7072()7070()7074()7078(22222222≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=------s 因为1y >2y 21s <22s 所以甲产品的价格稳定 (2) ,1481,79,71,62161612====∑∑==i i i i i y x x y x代入公式得：()37.7762182.171,82.162167971621614812≈⨯--=-≈⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯⨯-=a b 故线性回归方程为：x y 82.137.77-=. (3)y=56.518、解 我们用c （单位：元）表示通话费，t （单位：分钟）表示通话时间， 则依题意有 ⎩⎨⎧>-+≤<=3),3(1.02.030,2.0t t t c算法步骤如下：第一步，输入通话时间t ；第二步，如果t ≤3,那么c = 0.2 ;否则令 c = 0.2+0.1(t －3);第三步，输出通话费用c ; 程序框图如图所示19解：把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3。
从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个（1） 事件E={摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P （E ）=1/20=0.05（2） 事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F 包含的基本事件有9个，P（F ）=9/20=0.45（3） 事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P （G ）=2/20=0.1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有10次，不发生90次。
则一天可赚40510190=⨯-⨯，每月可赚1200元。
20（1）_____i < = 50___ （2）_____p= p + i____ 2. 程序： i=1 p=1 s=0 Do s= s + p p= p + i i=i+1Loop While i<=50 PRINTsEND21 解，（1）有题意知基本事件有（1,0）,（1,2）,（1,3）,（2,0）,（2,2）,（2,3）,（3,0）,（3,2）（3,3）,（4,0）,（4,2）,（4,3）共12个，要使得方程在[)+∞,1上单调递增，只需对称 轴12≤=-=abA B x 即b a ≥，满足条件的基本事件有9个，所以概率为75.0129= (2)这是一个几何概型，如下图，所以概率为9733222133=⨯⨯⨯-⨯22 （1(3)0.24。