正交分解法的例题解法
高一数学正交分解法例题及练习
高一数学正交分解法例题及练习正交分解法是高中数学中的一个重要概念，它在解决向量分解和线性方程组问题时起着关键作用。
下面给出一些高一数学正交分解法的例题及练。
例题1已知向量$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$，$\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$，求向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的正交投影。
解：首先计算向量$\vec{b}$的单位向量$\vec{u}$：$$\vec{u} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}}{5} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5}\end{pmatrix}$$然后，计算向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的正交投影：$$\text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \left(\vec{a} \cdot\vec{u}\right) \vec{u} = \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{pmatrix} =\left(\frac{11}{5}\right) \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{33}{25} \\ \frac{44}{25}\end{pmatrix}$$所以，向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的正交投影为$\begin{pmatrix} \frac{33}{25} \\ \frac{44}{25} \end{pmatrix}$。
正交分解应用例题及练习
正交分解应用例题及练习什么是正交分解？正交分解是一种数学方法，用于将一个向量空间分解为一组正交基向量的线性组合。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括线性代数、信号处理和图像处理等。
正交分解的应用例题例题1：向量投影我们有一个向量v，它的值为[3, 4]。
现在我们想要找出这个向量在正交基向量上的投影。
我们选择两个正交向量u1 = [1, 0]和u2 = [0, 1]作为正交基向量。
现在我们可以使用正交分解的方法找到向量v在这两个正交基向量上的投影：根据正交分解公式，我们可以将向量v表示为：v = proj(u1, v) + proj(u2, v)其中，proj(u, v)表示向量v在向量u上的投影。
具体计算如下：proj(u1, v) = (dot(u1, v) / dot(u1, u1)) * u1proj(u2, v) = (dot(u2, v) / dot(u2, u2)) * u2要计算dot(u, v)，可以使用点积的公式：dot(u, v) = u · v = u1 *v1 + u2 * v2在本例中，计算结果如下：dot(u1, v) = 3 * 1 + 4 * 0 = 3dot(u2, v) = 3 * 0 + 4 * 1 = 4dot(u1, u1) = 1 * 1 + 0 * 0 = 1dot(u2, u2) = 0 * 0 + 1 * 1 = 1根据上述计算结果，我们可以计算向量v在u1和u2上的投影：proj(u1, v) = (3 / 1) * [1, 0] = [3, 0]proj(u2, v) = (4 / 1) * [0, 1] = [0, 4]将投影结果相加，得到v在正交基向量上的投影：v = [3, 0] + [0, 4] = [3, 4]因此，向量v在正交基向量u1和u2上的投影为[3, 4]。
例题2：信号处理正交分解在信号处理领域也有广泛的应用。
例如，我们可以使用离散余弦变换(DCT)来对音频信号进行正交分解。
正交分解法例题及练习
正交分解法
1.如图，位于水平地面上的质量为M的小木块，在大小为F、方向与水平方向成
a角的拉力作用下沿地面作匀速直线运动。
求：
（1）地面对物体的支持力？
（2）木块与地面之间的动摩擦因数？
2.质量为m的物体在恒力F作用下，F与水平方向之间的夹角为θ,沿天花板
向右做匀速运动，物体与顶板间动摩擦因数为μ，则物体受摩擦力大小为多
少？
30o 45o A B O G
3．如图所示，用绳AO 和BO 吊起一个重100N 的物体，两绳AO 、
BO 与竖直方向的夹角分别为30o 和40o ，求绳AO 和BO 对物体的拉
力的大小。
4.如图所示，物体A 质量为2kg
，与斜面间摩擦因数为0.4若要使A 在斜面上静止，物体B 质量的最大值和最小值是多少？。
(完整)1力的正交分解法及其应用
又f =μN;
③
联立①②③得F=μGB+FA(cos θ-μsin θ). 可见,随着θ不断减小,水平力F将不断增大.
答案 随着θ不断减小,水平力F将不断增大
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练习8如图1所示,重物的质量为m,轻细绳AO和BO的 A端、B端是固定的,平衡时AO水平,BO与水平面的夹
角为θ,AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是多少？
为θ3，绳子的张力为F3。不计摩擦。则（ A．θ1=θ2 =θ3 B．θ1= θ2＜θ3 C．F1＞F2＞F3 D．F1＝F2＜F3
）
θθ
θ
答案：BD
拓展练习1如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成 θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物 体与墙壁间的动摩擦因数。
F θ
F G cos - sin
正交分解力的目的： 化复杂的矢量运算为普通的代数运算。便于运
用普通代数运算公式来解决矢量的运算。
基本思想： 正交分解法求合力，运用了“欲合先分”的策
略，即先分解再合成，降低了运算的难度，是一种 重要物理思维方法。
五、典例 求合力
例1一个物体受到四个力的作用，已知F1=1N，方向
正东；F2=2N，方向东偏北600，F3= 3 3 N，方向西
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力
4、别写出x、y方向的方程
5、根据方程求解
练习2质量为m的物体在与水平方向成θ角的恒力F作 用下，沿水平天花板向右做匀速直线运动。物体与天 花板间动摩擦因数为μ。请写出物体受摩擦力大小的 表达式。
F mg sin cos
练习3如图所示，用绳AO和BO吊起一个重100N的物体， 两绳AO、BO与竖直方向的夹角分别为30o和40o，求绳 AO和BO对物体的拉力的大小。
正交分解法解决平衡问题
正交分解法解决平衡问题一、解题思路1、先对物体进行受力分析2、建立直角坐标系，把不在坐标轴上的力分解在坐标轴上，（简单原则：让尽量多的力在轴上）3、根据平衡条件，在x轴上和y轴上分别列出两个等式，并联立解出等式。
二、例题例1：如图所示，一质量为m的物体恰好能沿倾角为θ的斜面匀速下滑，求：（1）物体与斜面间的压力；（2）物体与斜面间的动摩擦因数，并说明它与物体质量m的关系。
例2：如图所示，半圆柱固定在水平面上，质量为m的物块静置于圆柱体上的A处，O为横截面的圆心，OB为竖直的半径，∠BOA=300，求圆柱体对物块的支持力和摩擦力。
例3：如图所示，一质量为m，横截面为直角三角形的斜劈ABC，AB边靠在竖直墙面上。
F是垂直于斜面的推力。
（1）现物块静止不动。
斜劈受到的摩擦力大小为多大？（2）若斜劈与墙壁之间的动摩擦因数为u，要使斜劈匀速下滑，则F为多大？【作业】：1、如图所示，一个质量为10kg的物体，在沿斜面方向推力的作用下，沿斜面向上匀速运动。
已知斜面倾角为370，物体与斜面间的动摩擦因数为0.2。
（已知sin370=0.6，cos370=0.8，g取10m/s2）。
求推力的大小。
2、如图所示，重500N的物体在与水平方向成300的拉力F作用下，向右匀速运动，物体与地面之间的动摩擦因数u=0.2。
求：（1）物体与地面之间的压力；（2）拉力F的大小。
3、如图所示，质量为4kg的物体与竖直墙面间的动摩擦因数为0.2，它在受到与水平方向成370角斜向上的推力F作用时，沿竖直墙面匀速上滑。
（已知sin370=0.6，cos370=0.8，g取10m/s2）。
求：（1）物体与竖直墙面之间的压力；（2）推力F。
正交分解法(精选例题)
y
Fy
α
o
F
Fx F cos
Fx
x
Fy
F
sin
用力的正交分解求多个力的合力
1、建立直角坐标系（让尽量多的力在坐标轴上）
2、正交分解各力（将各力分解到两个坐标轴上）
3、分别求出x 轴和y 轴上各力的合力：
Fx F1x F 2xF3x
F2
y
Fy F1y F 2 yF3y
4、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向 和y 方向方程。
Fx F1x F 2xF3x 0
Fy F1y F 2 yF3y 0
5、根据方程求解。
例题2：如图所示，质量为m的物体放在粗糙水平面上， 它与水平面间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ 角的斜向上的拉力F作用下力，
即为多个力的合力
F1 x
大小： F Fx 2 Fy 2
方向：
tan
Fy Fx
F3
Fy
F
θ
Fx
例题1：如图所示F1＝5N，F2＝10N，F3＝15N，θ＝600， 用正交分解法求这三个力的合力。
F2
F1
θ
F3
用力的正交分解求解物体平衡问题
1、画出物体的受力图。 2、建立直角坐标系。 3、正交分解各力。（将各力分解到两个坐标轴上）
F多大时，物体A恰能沿斜面匀速向上运动？
F
A
α
y
FN
Fy
x
Ff Gx
F Fx
G Gy
θ
例题5：如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成θ 角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物体 与墙壁间的动摩擦因数。
4正交分解法例题及练习.docx
正交分解法1. 如图10所示，在倾角为a 二37。
的斜血上有一块竖直放置的档板，在档板和斜血之 间放一个重力G=20N 的光滑球，把球的重力沿垂直于斜面和垂直于档板的方向分解为 力F ］和F2，求这两个分力比和F2的大小。
2. 如图所示，一个重为G 的圆球，被一段细绳挂在竖直光滑墙上，绳与竖直墙的月夹角为a ,则绳子的拉力和墙壁对球的弹力各是多少?3. 如图所示，用绳AO 和BO 吊起一个重100N 的物体，两绳AO 、BO 与竖直方向的夹角分别为30°和40°,求绳AO 和BO 对物体的拉力的大 小。
4. 氢气球被水平吹来的风吹成图示的情形，若测得绳子与水平面的夹角 为37。
，已知气球受到空气的浮力为15N,忽略氢气球的重力，求：1.气球受到的水平风力多大？ 2.绳子对氢气球的拉力多大?5. 如图所示，轻绳AC 与天花板夹角＜?=30°,轻绳BC 与天花板夹角0二60°.设4C 、BC 绳能承受的最大拉力均不能超过100N, CD 绳强度足够大，求CD 绳下端悬挂 的物重G 不能超过多少？6•物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N,受到斜向上方向与水平面成30°角的力F 作用，F = 50N,物 体仍然静止在地面上，如图1所示，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别 是多少？7.（双选题）质量为m 的木块在与水平方向成。
角的推力F 的作用下，在水平地 面上作匀速运动，已知木块与地面间的摩擦因数为那么木块受到的滑动摩擦力为:A. B. C. D. &质量为m 的物体在恒力F 作用下，F 与水平方向之I'可的夹角为0，沿天花板向右做 匀速运动，物体与顶板间动摩擦因数为卩，则物体受摩擦力大小为多少？Umgu (mg+Fsin()) U(mg-Fsin 0 )Feos 9图19.如图所示，物体的质量m = 4.4kg ,用与竖直方向成& = 37。
正交分解法例题及练习
正交分解法例题及练习正交分解法是一种常用的数学工具，在诸多领域中有着广泛的应用。
本文将介绍正交分解法的基本原理，并提供一些例题和练，以帮助读者更好地理解和应用该方法。
1. 正交分解法的基本原理正交分解法是一种将一个向量空间中的向量表示为一组正交基向量线性组合的方法。
具体来说，如果有一个向量空间V和它的一组正交基向量{v1, v2, ..., vn}，则可以将任意一个向量v∈V表示为：v = c1 * v1 + c2 * v2 + ... + cn * vn其中，c1, c2, ..., cn是标量，也就是向量v在每个基向量上的投影。
2. 正交分解法的例题例题1考虑一个三维向量空间V，其中的一组正交基向量为{v1, v2, v3}，它们分别为：v1 = [1, 0, 0]v2 = [0, 1, 0]v3 = [0, 0, 1]现在给定一个向量v = [2, 3, 4]，要求将它表示为这组正交基向量的线性组合。
解答：根据正交分解法的原理，我们可以将向量v表示为：v = c1 * v1 + c2 * v2 + c3 * v3其中，c1, c2, c3为待求的标量。
由于v1, v2, v3是正交基向量，它们两两之间内积为0。
因此，我们可以根据内积的性质求解c1, c2, c3。
具体计算如下：v·v1 = (2 * 1) + (3 * 0) + (4 * 0) = 2v·v2 = (2 * 0) + (3 * 1) + (4 * 0) = 3v·v3 = (2 * 0) + (3 * 0) + (4 * 1) = 4由此可得：c1 = v·v1 / ||v1||^2 = 2 / 1 = 2c2 = v·v2 / ||v2||^2 = 3 / 1 = 3c3 = v·v3 / ||v3||^2 = 4 / 1 = 4因此，将向量v表示为这组正交基向量的线性组合的结果为：v = 2 * [1, 0, 0] + 3 * [0, 1, 0] + 4 * [0, 0, 1]例题2考虑一个二维向量空间V，其中的一组正交基向量为{v1, v2}，它们分别为：v1 = [1, 1]v2 = [-1, 1]现在给定一个向量v = [2, 3]，要求将它表示为这组正交基向量的线性组合。
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正交分解法的例题解法
把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。
用正交分解法求合力的步骤：
①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向
②把各个力向x 轴、y 轴上投影，但应注意的是：与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向
③求在x 轴上的各分力的代数和F x 合和在y 轴上的各分力的代数和F y 合
④求合力的大小 22)()(合合y x F F F +=
合力的方向：tan α=合合
x y F F （α为合力F 与x 轴的夹角）
点评：力的正交分解法是把作用在物体上的所有力分解到两个互相垂直的坐标轴上，分解最终往往是为了求合力（某一方向的合力或总的合力）。
【例】质量为m 的木块在推力F 作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为µ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个?
A ．µmg Ｂ．µ（mg+Fsin θ）
Ｃ．µ（mg+Fsin θ） Ｄ．F cos θ
解析：木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg 、推力F 、支持力F N 、摩擦力F µ．沿水平方向建立x 轴，将F 进行正交分解如图(这样建立坐标系只需分解F )，由于木块做匀速直线运动，所以，在x 轴上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y 轴上向上的力等于向下的力（竖直方向二力平衡）．即
F cos θ＝F µ ①
F N ＝mg+Fsin θ ②
又由于F µ＝µF N ③
∴F µ＝µ（mg+Fsin θ） 故Ｂ、Ｄ答案是正确的．
小结：（1）在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。
也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量。
（2）矢量的合成分解，一定要认真作图。
在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线。
（3）各个矢量的大小和方向一定要画得合理。
（4）在应用正交分解时，两个分矢量和合矢量的夹角一定要分清哪个是大锐角，哪个是小锐角，不可随意画成45°。
（当题目规定为45°时除外）。