广工-2017-2018-1-线性代数-真题1
2017-2018-1 线性代数1-8周期末试卷B
第1页共4页 第2页共4页安徽工程大学2017——2018学年第 1学期(线性代数) 课程期末考试试卷 (B) 卷 考试时间 120 分钟,满分100 分要求：闭卷[√],开卷[ ]；答题纸上答题[√],卷面上答题[ ] (填入√)一、选择题 (每小题3分，满分15分)1. 已知A 、B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，则下列各式中正确的是 ( ).（A ）(A +B )2=A 2+2AB +B 2 （B ） AB =BA （C ）(A +E )(A −2E )=(A −2E )(A +E ) （D ） (AB )2=A 2B 22. 已知A 、B 为2阶方阵，则下列各式中不正确的是 ( ). （A ）|AB |=|A ||B | （B ）|2A |=2|A | （C ）|A T |=|A | （D ）|AB |=|BA |3. 已知 α1，α2，α3 为 R 3中向量，下列说法不正确的是 ( ).（A ）若 α1，α2，α3 线性相关，则 α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性相关（B ）若 α1，α2，α3 线性无关，则 α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性无关（C ）α1，α2，2α1−α2 线性相关（D ）(1，0，0)T ，(1，1，0)T ,(1，1，1)T线性相关 4．已知A 为 m ×n 矩阵，则非齐次方程 Ax =b 有无穷多解的充要条件是 ( ).（A ）r (A )<n （B ） r (A )=r (A |b )<n （C ）r (A )=r (A |b )=n （D ） r (A )<n,r (A |b )=n 5. 已知 x,y 为内积空间V 中向量，下列说法不正确的是 ( ). （A ）若 x ⊥y , 则 ‖x +y ‖2=‖x ‖2+‖y ‖2 （B ）若 x ⊥y , 则 ‖x −y ‖2=‖x ‖2+‖y ‖2 （C ） λ 为任意实数，‖λx ‖=λ‖x ‖ （D ）|〈x,y 〉|≤‖x ‖‖y ‖二、填空题（每空3分，满分15分）1. 已知矩阵 A =(1−2y−1x −32−42y)，且 r (A )=1，则x=____,y=____.2. 已知 A 为3阶方阵，A ∗ 为其伴随矩阵，且 |A |=2，则 |A ∗|=_____.3．齐次线性方程组 { x 1+x 3=0x 2−x 4=0 的解空间维数为______.4. 已知矩阵 (x 110y 1004) 相似于对角矩阵 (100020004)，则x 2+y 2=______.5. 二次型 f (x,y,z )=x 2+2y 2+2xy +4xz −2yz 的矩阵为第3页共4页 第4页共4页___________.三、计算题(每小题10分，满分60分)1. 已知矩阵 X 满足 XA =X +A ，其中 A =(001020002)，求 X .2. 计算行列式 D =|a 01−a b20−b3|. 3. λ为何值时，齐次线性方程组 { x 1+3x 2+5x 3=02x 1+x 2=03x 1+4x 2+λx 3=0有非零解，并求此时方程组的一般解.4. 求矩阵 A =(1−2−1221−442) 的秩 r (A )，以及列空间 R (A )的一组基。
17-18线性代数第一学期考试卷A - 答案
第 1 页 共 4 页 背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称： 线性代数A 考试时间： 120 分钟 考试方式：闭卷 （A ）卷一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交，则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量， 那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 40 二、选择题(每题3 分，共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵，则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )(（其中k 为非零常数）第 2 页 共 4 页 背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分，共40分)11、求行列式21021001201002。
(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
2017线性代数试题及答案
（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是 15_______。
2. 若122211211=a aa a ，则=16030322211211a aa a 33. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 R(A)=R(A,b)=n_5.设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是R （A ） ＜ n 8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 09. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k 1 1-2k+1=0二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组rααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D)Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶 方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A )Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( D )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
C)(A *kA )(B *A k n)(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是B _____。
广东财经大学2017-2018学年第二学期线性代数试题
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广东财经大学试题纸
2017-2018 学年第二学期 考试时间共 120 分钟
模拟卷
课程名称 线性代数(A 卷) 课程代码 100042, 100033 课程班号 经管类, 理工类 共 2 页
一. 单选题(每小题 5 分, 共 25 分) 1. 若齐线性方程组 Amn x 0 只有零解, 则关于 Ax b ( b 为非零列向量)的解, 说法正确的是( (A).只有零解 2. 若向量组 1 , 2 ,
则 k1 k2 k3 k4 =_____________________. 三. 计算题(每小题 10 分, 共 30 分)
1 3 32 1 33 0
1. 计算行列式 1
3n 0 0 32 n 1
0 0
35 0
1
2.
x1 ax2 x3 x4 1 x 2 x 3x 4 x 2 1 2 3 4 当 a, b 分别取何值时, 线性方程组 有唯一解? 有无穷多解? 无解? 2 x1 2 x2 3x3 x4 0 3x1 x2 bx3 4 x4 3
的特征值为 1, 2,3,
, n , 则(
)
(A). 矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量
(B). A
n n 1 2
(C).
a
i 1
n
ii
n !
(D).线性方程组 A nE x x 有非零解
二. 填空题(每小题 5 分, 共 25 分)
1.
4 1 矩阵 A 1 1
0 1 0 0 0 设矩阵 A 0 3 0 , B 0 0 0 5 8
2017-2018(1)线性代数期末考试-A卷参考答案
A. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα都不是零向量;B. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任意两个向量都不成比例;D. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任一部分组线性无关.6. 若二次型222123123(,,)(1)(1)(2)f x x x k x k x k x =++-+-正定，则k 的取值范围为 ( A ). A. 2k > ; B. 1k >; C. 12k << ;D. 1k >-.二、填空题 （共22分,第1-6小题每小题3分，第7小题4分）1. 行列式是一个 数值 ，矩阵是一个 数表 。
（请填“数表或数值”）2. 100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=210104350⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 行列式111111x x x= (x +2)(x -1)2 或x 3-3x +2 ．4. n 元齐次线性方程组A x =0只有零解的充要条件是 R(A)=n ．5. 设向量1-2-1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，β=22λ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭正交，则λ= -6 ．6. 任意n +1个n 维向量 线性相关 .填（“线性相关”或“线性无关”）7. 已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1,1,2,-则_-2_,A =1*132__.2A A -+=三、计算题 （共60分）1. （10分） 设122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，1) 判断A 是否可逆；（4分）2) 如果A 可逆，请用初等行变换求出-1A .（6分）解：1） 由于||=-270A ≠，所以A 可逆。
(4分)2）用初等行变换求得11/92/92/92/91/9-2/92/9-2/91/9A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（6分）2. （10分）计算行列式2004310050100232D =.解：将D 的第三行的-3倍加到第四行，得：2004200431003100501050100232-15202D ==（2分）对200431005010-15202按第三列展开，得：204310-1522D = （3分）将204310-1522第二行的-2倍加到第三行，得： 204310-2102D = （2分） 按第二列展开得2488-212D ==。
广州大学2017-2018学年第二学期《线性代数》考试卷
广州大学 2017---2018 学年第二学期考试卷参考答案与评分标准课程 《线性代数》 考试形式（闭卷，考试）学院 系 专业 班级 学号 姓名一．填空题（每小题3分，共18分）1． 多项式21()1132xx f x x x=--中3x 的系数是2- 2． 设A 为4阶方阵，且||2A =，则1|2|A -=83． 设111222333a x y A a x y a x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，111222333232323b x y B b x y b x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且||2A =，||5B =-，则||A B +=144． 设向量组131a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3231α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则a =25． 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-，则|22|A A E *+-=46．100002000034000=24-1．设1211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3322α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，123β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是【 B 】（A ）β不能由向量组123,,ααα线性表示（B ）β可以由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一 （C ）β可以由向量组123,,ααα线性表示，且表示法不唯一 （D ）无法确定β能否由向量组123,,ααα线性表示2．矩阵A 与B 相似是A ，B 的特征值相同的【 A 】（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件3．设A ，B 为n 阶方阵，则必有【 B 】（A ）AB BA = （B ） ||||||||A B B A ⋅=⋅ （C ）222()AB A B = （D ）22()()A B A B A B -=+-4．下列命题正确的是【 A 】（A ）正交向量组必线性无关 （B ）线性无关的向量组必定是正交组（C ）若向量组线性相关，则其部分组必定线性相关 （D ）若向量组的部分组线性无关，则必定整体线性无关5．设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的导出方程组， 则下列结论正确的是【 D 】（A ）若0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解 （B ）若0Ax =仅有零解，则Ax b =无解（C ）若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =仅有零解 （D ）若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =有非零解6．设A 、B 是可逆方阵，则10A B -⎛⎫⎪⎝⎭为【 C 】 （A ）1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）1100B A--⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）1100B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭1．计算行列式2151130602121476 D---=--解：075131306021207712D---=--………………………………………………………………2分75132127712-=---………………………………………………………………………4分353010772--=-----……………………………………………………………………5分332772-==--………………………………………………………………………7分2．设121101011A-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求1A-解：121100()101010011001A E-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭121100020110011001-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭……………2分1010100201100011/21/21⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭…………………………………………………4分1001/21/210101/21/200011/21/21-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭…………………………………………………6分11/21/211/21/201/21/21A--⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭……………………………………………………………7分3．设1111111111111111A ---⎛⎫ ⎪---⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭，求5A 解：24A E =……………………………………………………………………………4分 416A E =……………………………………………………………………………6分511111111161611111111A A ---⎛⎫ ⎪---⎪== ⎪--- ⎪---⎝⎭ ………………………………………………7分 四（10分）求列向量组11324α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，231316α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31211α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，42513α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，51419α-⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组表示解：1234213141324131211312131254010117(,,,)231110915341613902831113r r r r r r αααα+-+----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪= ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 2343313121010440915301044r r r r ++--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭324212931011411010440014133000r r r r r r +---⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎪⎝⎭13100272201044001413300000r r +--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭……………………………………………………………6分∴123,,ααα为一个最大无关组………………………………………………………8分且412327441αααα=---512322433αααα=---……………………………………………………………10分五．（12分）已知向量111p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量（1）确定参数,a b 及p 所对应的特征值 （2）问A 能不能对角化，并说明理由 解：（1）设p 对应的特征值为λ，则()0A E p λ-=即2121053101210a bλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭101203100a a b b λλλλ--==-⎧⎧⎪⎪-+=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩……………………………………………………………6分 （2）212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭特征多项式为3212||533(1)12A E λλλλλ---=--=-+---∴A 的特征根为1231λλλ===-……………………………………………………8分对于齐次方程组()0A E x +=由13213153312101101523523022101312011r r r r r r A E ↔++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭2332122101101011011022000r r r r r r ↔---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()2R A E += ………………………………………………………………………10分于是方程组()0A E x +=的解空间的维数为3213-=<A 不能对角化…………………………………………………………………………12分六．（12分）证明（1）方程组121232343454515x x a x x a x x a x x ax x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩ 有解的充要条件是510i i a ==∑（2）在有解的情况下，写出通解的结构证明：（1）11223344551512341100011000011000110000110()0011000011000111000100000i i r r r r r a a a a a A b a a a a a =++++-⎛⎫-⎛⎫⎪-⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪=- ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 所以()4R A = ………………………………………………………………………………4分方程组有解⇔()()4R A R A b == 即510ii a==∑………………………………………6分（2）当方程有解时111234223433444342321100010001011001001()00110001010001100011000000000000r r r r r r a a a a a a a a a A b a a a a a +++--+++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--++ ⎪ ⎪⎪⎪--+⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…8分 151234252343534454x x a a a a x x a a a x x a a x x a =++++⎧⎪=+++⎪⎨=++⎪⎪=+⎩取50x =， 得原方组的特解为12342343440a a a a a a a a a a η*+++⎛⎫⎪++ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭…9分 对应齐次方程组为15253545x x x x x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，取51x =，得齐次方程组的基础解系为11111ξ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭………10分通解为1234234344111110a a a a a a a x k a a a +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k R ∈…………………………………………12分七．（9分）解矩阵方程2AX X B =+，其中612241311A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132231B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭解：(2)A E X B -=………………………………………………………………………2分由于412|2|22110311A E --==≠- 1(2)A E --存在…………………………………4分13151(2)(2)528|2|416A E A E A E -*--⎛⎫⎪-=-=- ⎪- ⎪--⎝⎭……………………………………7分131513102(2)5282215341631124X A E B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………9分。
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广东工业大学试卷用纸，第 2 页，共 3 页
四． （12 分）
1 2 1 2 1 1 1 1 2 4 给定向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 2 4 6 4 2 7 3 6 9 9
（1）求向量组 1, 2 ,3 , 4 ,5 的一个极大线性无关组； （2）将其余向量用所求的极大 线性无关组线性表示。 五、（12 分）当 a 为何值时，线性方程组
x1 4 x 2 x 3 1 ax2 3 x 3 3 x 3 x (a 1) x 0 2 3 1
5、若三阶矩阵 A 的特征值 1，－1，2， 则 A* I =
1 1 0 0 1 0 三、 （12 分）设 A 1 1 1, B 0 1 2 ，求： 1 4 3 1 1 0
(1)、 矩阵 A 的逆矩阵；(6 分) (2)、解矩阵方程 AX B 。 （6 分）
院： (A) 必可由 , , 线性表示 (C) (B) 必可由 , , 线性表示 (D)
学
必可由 , , 线性表示
必可由 , , 线性表示
广东工业大学试卷用纸，第 1 页，共 3 页
5、设向量组 I： 1 , 2 , s ，若向量组的秩为 r,则下列说法正确的是_______
(1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？并在有解时求解； 无穷多解时要 求用导出组基础解系表示通解。
六. (12 分)
1. 设向量组 1 , 2 , 3 线性无关， 且 1 3 1 2 2 ; 2 2 3 ; 3 4 3 5 1 证明： 1 , 2 , 3 线性无关. 2. 若 A, B 均为 n 阶方阵，且 A 可逆，证明： BA 与 AB 相似.
3 1 2 七、 （12 分）设矩阵 A 2 0 2 ，试判断它是否可对角化？若可以，写出可逆 2 1 1
阵 P 及相应的对角阵 .
广东工业大学试卷用纸，第 3 页，共 3 页
二、填空题（每小题 4 分，共计 20 分） 1、设 A 是 3 阶方阵且 A
1 1 * ，则 (2 A) 5 A = 2
2
.
2、若 A 是 n 阶矩阵，满足 A 3A 5E 0 ，则 A
1
____________
0 1 0 3、 1 0 0 0 0 1
） 。 （A）16；
（B）48；
（C）-24；
（D）-8；
3、设 A,B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB 0 ，则 A 与 B 的秩是（ A. C. 必有一个等于 0 都小于 n
专
）
B. 一个小于 n，一个等于 n D. 都等于 n
4 、向量组 , , 线性无关，向量组 , , 线性相关，则（ ） ．
A、向量组 1 , 2 , s 中任意 r-1 个向量都线性无关。 B、向量组 1 , 2 , s 中任意 r+1 个向量都线性相关。 C、向量组 1 , 2 , s 中任意 r 个向量都线性无关。 D、向量组 1 , 2 , s 中向量的个数 S 必大于 r。
A.
订
)
AB BA
B.
AB B A
班级
C.
A B A B
a11 a 12 a13
D. A B B A
4a11 2 ，则 4a 12 4a13
2 、 设 D a 21 a 22 a 23
a31 a32 a33
（ 业：
装
2a11 3a 21 2a12 3a 22 2a13 3a 23 a31 a32 a33
广东工业大学考试试卷 ( A )
课程名称:
名：
线性代数
试卷满分 100 (第 ** 周 星期 * )
分
考试时间: ****年**月**日 考试形式：
题
线
姓
闭卷
一 二
(开闭卷)
三 四 五 六 七 八 九 十 总分ຫໍສະໝຸດ 号评卷得分 评卷签名
号：
复核得分 复核签名
学
一、选择题（每小题 4 分，共计 20 分） 1、设 A, B 是 n （ n 2 ）阶方阵，则必有(
1 0
4、设
2008
1 2 3 0 0 1 4 5 6 0 1 0 7 8 9 1 0 0
3 2 2
1997
=
.
2 1 1
D
1 0 1 2 1 3 1 0
， Ai , j 为相应元素的代数余子式，则 A11 3 A12 A13 A14 _____