科学和工程计算复习题2014

科学和工程计算基础复习题一、 填空题:1. :2. 计算机计费的主要依据有两间,主要由决定;二是占据存储器的空间,3. 用计算机进行数值计算时,4. ,则称该算法5. 函数求值问题()x f y =的条件数定义为:6. 单调减且有 的数列一定存在极限; 单调增且有 的数列一定存在极限. 7. 方程实根的存在唯一性定理:设 且 ,则至少存在一点()b a ,∈ξ使()0=ξf .当()x f '在()b a ,,方程在[]b a ,内有唯一的实根. 8. 函数()y x f ,在有界闭区域D 上对y 满足Lipschitz 条件,是指对于D 上的任意一对点()1,y x 和()2,y x 成立不等式: .其中常数L .9. 设n i R A i n n ,,2,1,, =∈⨯λ为其特征值,则称 为矩阵A 的谱半径. 10. 设1-A 存在,则称数 为矩阵A 的条件数,其中⋅是矩阵的算子范数.11. 方程组f x B x +=,对于任意的初始向量()0x 和右端项f ,迭代法()()f x B x k k+=+1收敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 . 12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()()x fn 1+在开区间()b a ,上存在.若{}ni i x 0=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=ni in x x x 01ω,则插值多项式()()()()()∑=++'-=nk k nk n k n x x x x x f x L 011ωω的余项为 ,其中 .13. 若函数组(){}[]b a C x nk k ,0⊂=ϕ满足 ,则称(){}nk k x 0=ϕ为正交函数序列.14. 复化梯形求积公式 ,其余项为15. 复化Simpson 求积公式 ,其余项为 16. 选互异节点n x x x ,,,10 为Gauss 点,则Gauss 型求积公式的代数精度为 .17. 如果给定方法的局部截断误差是()11++=p n h O T ,其中1≥p 为整数,则称该方法是 .18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象. 19. 迭代序列{}[]b a x k k ,0⊂∞=终止准则通常采用 ,其中的0>ε20.二、 选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的充分条件? ( )A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;B. A 对称正定;C. A 严格对角占优;D. A 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( ) A. 313n ; B. 323n ; C. 314n ; D. 334n .3. 对于任意的初始向是()0x和右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()()1k kxBx f +=+收敛的充分必要条件是( ). A.()1B ρ<; B. 1B <; C. ()det 0B ≠; D. B 严格对角占优.4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分条件? ( )A. A 为严格对角占优阵;B. A 为不可约弱对角占优阵;C. A 的行列式不为零;D. A 为对称正定阵. 5. 设()[]2,f x Ca b =，并记()2m a x a xbM f x ≤≤''=，则函数()f x 的过点()()()(),,,a f a b f b 的线性插值余项()1R x ,[],x a b ∀∈满足( ). A. ()()2218M R x b a ≤-; B. ()()2218M R x b a <-;C. ()()2216M R x b a ≤-; D. ()()2216M R x b a <-. 6. 设()n x ϕ是在区间[],a b 上带权()x ρ的首项系数非零的n 次正交多项式()1n ≥,则()n x ϕ的n 个根( ).A. 都是单实根;B. 都是正根;C. 有非负的根;D. 存在重根7. Legendre 多项式是( )的正交多项式.( )A. 区间[]1,1-上带权()x ρ=B. 区间[]1,1-上带权()1x ρ=;C. 区间[],-∞∞上带权()2x x e ρ-=; D. 区间[]0,1上带权()1x ρ=8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram 矩阵与( )无关?A. 基函数(){}n k k x ϕ=; B. 自变量序列{}0mi i x =;C. 权数{}0mi i w =; D. 离散点的函数值{}0mi i y =. 9. Simpson 求积公式的余项是( ).A. ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;B. ()()()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C. ()()()()2,,12h b a R f f a b ηη-''=-∈; D. ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-∈ 10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( )次代数精确度.A. n ;B. 1n +;C. 21n +;D. 21n -. 11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( ).A. ()O h ;B. ()2O h ;C. ()2o h ; D. ()32O h .12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的( ).A. 算术平均;B. 几何平均;C. 非等权平均;D. 和. 14. 当( )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法是绝对稳定的. A. 11h λ-≤≤; B. 20h λ-≤≤; C. 01h λ≤≤; D. 22h λ-≤≤ 15. 求解(),0y y λλ'=<的经典R-K 公式的绝对稳定条件是( ): A ．20h λ-≤≤; B.()2112h h λλ++≤;C.()()()2341123!4!h h h h λλλλ++++≤; D.()()22121211212h h h h λλλλ++≤-+.16. 在非线性方程的数值解法中,只要()()***1,()x x x ϕϕ'≠=,那么不管原迭代法()()1,0,1,2,k k x x k ϕ+== 是否收敛,由它构成的Steffensen 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的.A. 1;B. 0;C. 2<;D. 2≥.17. 在非线性方程的数值解法中,Newton 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的. A. 1; B. 0; C. 2<; D. 2≥.18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton 迭代法的局部收敛的阶是( )阶的.A. 1;B.C.; D. 2. 19. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( ),其中的0ε>为给定的相对误差容限. A.11k k kx x x ε--<+; B.1k k kx x x ε--<; C. 1k k x x ε--<; D.111k k k x x x ε---<+.20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( ).A. 系数矩阵非奇异;B. 系数矩阵的行列式不等于零;C. 系数矩阵非奇异并良态;D. 系数矩阵可逆.三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( ) 3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。

( ) 5. 设n nB R ⨯∈, 则lim 0kk B →∞=的充要条件是B 的谱半径()1B ρ<.( )6. 若n nA R⨯∈,则一定有()2AB ρ=.( )7. 求解线性代数方程组,当n 很大时,Cholesky 分解法的计算量比Gauss 消去法大约减少了一半. ( )8. 在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi 方法和Gauss-Seidel 方法同时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则Gauss-Seidel 方法比Jacobi 方法收敛快. ( ) 9. 均差(或差商)与点列(){},ni i i x f x =的次序有关. ( )10. 线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. ( )11. 复化梯形求积公式是2阶收敛的, 复化Simpson 求积公式是4阶收敛的. ( )12. Gauss 求积系数都是正的. ( )13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 因为梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的算术平均,而Euler 公式和隐式Euler 公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法. ( )14. 在Runge-Kutta 法中, 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶. ( ) 15. 求解(),0y y λλ'=<的梯形公式是无条件稳定的. ( )16. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 不论单步法还是多步法, 隐式公式比显式公式的稳定性好. ( )17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率. ( )18. 在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen 迭代法和Newton 迭代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组. ( )19. 常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值. ( )20. 在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性.( )四、 线性代数方程组的数值解法1. 用高斯消去法求解方程组b Ax =，即123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1） 列出用增广矩阵[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；（3） 由U 计算A det 。