科学和工程计算复习题及答案

科学和工程计算基础复习题一、 填空题:1. 评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间,3. 用计算机进行数值计算时,4. 对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法是5. 6. 7. 8. 9. 10.11.敛的充分必要条件是选代矩阵B 的 谱半径1)(<B ρ. 12. 设被插函数()x f 在闭区间[]b a ,上n 阶导数连续,()()x fn 1+在开区间()b a ,上存在.若{}ni i x 0=为[]b a ,上的1+n 个互异插值节点,并记()()∏=+-=ni in x x x 01ω,则插值多项式()()()()()∑=++'-=nk k nk n k n x x x x x f x L 011ωω的余项为)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n x n n n +++=-=ωξ,其中),()(b a x x ∈=ξξ.13. 若函数组(){}[]b a C x n k k ,0⊂=ϕ满足⎩⎨⎧=≠≠=lk lk l k ,0,0),(ϕϕ k,l =0,1,2,…,n ,则称(){}nk k x 0=ϕ为正交函数序列. 14. 复化梯形求积公式⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=≈-=ban k n b f kh a f a f h f T dx x f 11)()(2)(2)()(,其余项为),(),(12)(2b a f h a b R nT∈''--=ηη二、 选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的充分条件? ( D )A. 矩阵A 的各阶顺序主子式均不为零;B. A 对称正定;C. A 严格对角占优;D. A 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A.313n ; B. 323n ; C. 314n ; D. 334n .3. 对于任意的初始向是()0x和右端项f ,求解线性代数方程组的迭代法()()1k k xBx f +=+收敛的充分必要条件是( A ). A.()1B ρ<; B. 1B <; C. ()det 0B ≠; D. B 严格对角占优.4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组(),ijn nAx b A a ⨯==的Gauss-Seidel 迭代法收敛的充分条件? ( C )A. A 为严格对角占优阵;B. A 为不可约弱对角占优阵;C. A 的行列式不为零;D. A 为对称正定阵.5. 设过点(,a 6. 设ϕ)1,则n ϕ A. 7. A. C. 8. A. C. 权数{}0mi i w =; D. 离散点的函数值{}0mi i y =. 9. Simpson 求积公式的余项是( B ).A. ()()()3,,12h R f f a b ηη''=-∈;B. ()()()()54,,90h R f f a b ηη=-∈; C. ()()()()2,,12h b a R f f a b ηη-''=-∈; D. ()()()()()44,,90h b a R f f a b ηη-=-∈ 10. n 个互异节点的Gauss 型求积公式具有( D )次代数精确度.A. n ;B. 1n +;C. 21n +;D. 21n -.11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B ). A. ()O h ; B. ()2O h ; C. ()2o h ; D. ()32O h .12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( B ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的( A ).A. 算术平均;B. 几何平均;C. 非等权平均;D. 和. 14. 当( B )时,求解(),0y y λλ'=<的显式Euler 方法是绝对稳定的. A. 15. A C.16. 在代法),2,k x +是否收敛( C. 2<; 17. 在非线性方程的数值解法中,Newton C. 2<; 18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton 119. A.11k k kx x x ε--<+; B.1k k kx x x ε--<; C. 1k k x x ε--<; D.111k k k x x x ε---<+.20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( C ).A. 系数矩阵非奇异;B. 系数矩阵的行列式不等于零;C. 系数矩阵非奇异并良态;D. 系数矩阵可逆.三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( × )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( √ ) 3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( × ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。

(√ )5. 设n n B R ⨯∈, 则lim 0kk B →∞=的充要条件是B 的谱半径()1B ρ<.( √ )6. 若n n A R ⨯∈,则一定有()2A B ρ=.( × )7. 求解线性代数方程组,当n 很大时,Cholesky 分解法的计算量比Gauss 消去法大约减少了一半. (√ )8. 在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi 方法和Gauss-Seidel 方法同时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则Gauss-Seidel 方法比Jacobi 方法收敛快. (√ ) 9. 均差(或差商)与点列(){},ni i i x f x =的次序有关. (× )10. 线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. (× )11. 复化梯形求积公式是2阶收敛的, 复化Simpson 求积公式是4阶收敛的. (√ ) 12. Gauss 求积系数都是正的. (√ )13.在常微分方程初值问题的数值解法中, 因为梯形公式是显式Euler 公式和隐式Euler 公式的算术平均,而Euler 公式和隐式Euler 公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法. (× )14. 在Runge-Kutta 法中, 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶. (√) 15. 求解(),0y y λλ'=<的梯形公式是无条件稳定的. (√ )16. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 不论单步法还是多步法, 隐式公式比显式公式的稳定性好. (√ )17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率. (√)18. 在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen 迭代法和Newton 迭代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组. (√ )19. 常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值. (√ )20. 在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性.(× )四、 线性代数方程组的数值解法1. 用高斯消去法求解方程组b Ax =，即123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1） 列出用增广矩阵[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；（3） 由U 计算A det 。

3352det =⨯⨯=A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-7177207807171672603117第二次消元：消元因子13432=l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-9121791196007171672603117 回代得28311962173==x ，1492-=x ，28191=x 易知⎥⎤⎢⎡001⎥⎤⎢⎡-117⎥⎦⎢⎣2432第一次消元：消元因子2,23121==l l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----023********1 第二次消元：消元因子5332=l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣--01000550 回代得03=x ，02=x ，11=x 易知⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎡=132012001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100550331U⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----521121052121104112 第二次消元：消元因子11132-=l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣---116011600052121104112 回代得13=x ，12=x ，31=x 易知⎥⎤⎢⎡001⎥⎤⎢⎡--112解：方程组增广矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1902568116144642781101694124321 第一次消元：消元因子1,1,1413121===l l l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡188252781404260246081262024321 第二次消元：消元因子332=l ，742=l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1321683600182460081262024321 第三次消元：消元因子643=l ，进行消元，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2424000182460081262024321 回代得14=x ，13-=x ，12=x ，11-=x 易知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1671013100110001L ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2400024600126204321U 28824621det =⨯⨯⨯=A~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~6. 用高斯消去法求解方程组b Ax =，即1234124121286452310887941210682x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1） 列出用增广矩阵[]b A ,表示的计算过程及解向量x ；（2） 列出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =中的三角阵L 和U ；（3） 由U 计算A det 。