三角形易错题集锦(带答案解 析)
三角形易错题集锦(带答案解析)
三角形易错题一、填空题(共 10 小题) (除非特别说明，请填准确值)1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为_________ ．2．等腰三角形 ABC 的周长是 8cm， AB=3cm，则 BC= _________ cm．3．等腰三角形的周长为 20cm，若腰不大于底边，则腰长 x 的取值范围是 _________ ．4．如图： a∥ b， BC=4，若三角形 ABC 的面积为 6，则 a 与b 的距离是 _________ ．5．小亮家离学校 1 千米，小明家离学校 3 千米，如果小亮家与小明家相距 x 千米，那么 x 的取值范围是 _________ ．6．已知△ ABC 两边长 a，b 满足，则△ ABC 周长 l 的取值范围是 _________ ．7．若等腰△ ABC (AB=AC)，能用一刀剪成两个等腰三角形，则∠ A= _________ ．8．图 1 是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图 2；再分别连接图 2 中间小三角形的中点，得到图 3． (若三角形中含有其它三角形则不记入)(1) 图 2 有 _________ 个三角形；图 3 中有 _________ 个三角形(2)按上面方法继续下去，第 20 个图有 _________ 个三角形；第 n 个图中有 _________ 个三角形． (用 n 的代数式表示结论)9．一个三角形两边长为 5 和 7，且有两边长相等，这个三角形的周长是 _________ ．10．两边分别长 4cm 和 10cm 的等腰三角形的周长是 _________ cm．参考答案与试题解析一、填空题(共 10 小题) (除非特别说明，请填准确值)1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为 8 ．考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：根据内角和公式，设该多边形为 n 边形，内角和公式为180°• (n ﹣ 2)，因为最小角为100°，又依次增加的度数为10°，则它的最大内角为( 10n+90) °，根据等差数列和的公式列出方程，求解即可．解答：解：设该多边形的边数为 n．则为=180 • (n ﹣ 2)，解得 n1=8， n2=9，n=8时，10n+90=10×80+90=170，n=9 时，10n+90=9 × 10+90=180， (不符合题意)故这个多边形为八边形．故答案为： 8．点评：本题结合等差数列考查了凸 n 边形内角和公式．方程思想是解此类多边形有关问题常要用到的思想方法，注意凸 n 边形的内角的范围为大于0°小于180°．2．等腰三角形 ABC 的周长是 8cm， AB=3cm，则 BC= 2 或 3 或 2.5 cm．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：按照 AB 为底边和腰，分类求解．当 AB 为底边时， BC 为腰；当 AB 腰时， BC 为腰或底边．解答：解： (1) 当 AB=3cm 为底边时， BC 为腰，由等腰三角形的性质，得 BC= (8 ﹣ AB) =2.5cm；(2) 当 AB=3cm 为腰时，①若 BC 为腰，则 BC=AB=3cm，②若 BC 为底，则 BC=8 ﹣ 2AB=2cm．故本题答案为： 2 或 3 或 2.5cm．点评：本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想．关键是明确等腰三角形的三边关系．3．等腰三角形的周长为 20cm，若腰不大于底边，则腰长 x 的取值范围是 5＜x≤ ．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：根据题意以及三角形任意两边之和大于第三边列出不等式组求解即可．解答：解：等腰三角形的底边为 20 ﹣ 2x，根据题意得，，由①得，x≤ ，由②得， x＞5，所以，腰长 x 的取值范围是5＜x≤ ．故答案为： 5＜x≤ ．点评：本题考查了等腰三角形两腰相等的性质，三角形的三边关系，列出不等式组是解题的关键．4．如图：a∥ b， BC=4，若三角形 ABC 的面积为 6，则 a 与b 的距离是 3 ．考点：平行线之间的距离；三角形的面积．分析：过 A 作AD⊥BC 于 D，则 AD 的长就是 a b 之间的距离，根据三角形的面积公式求出 AD 即可．解答：解：过 A 作 AD⊥BC 于 D，∵ 三角形 ABC 的面积为 6， BC=4，：×BC ×AD=6，×4×AD=6，AD=3，∵ a∥ b，：a 与b 的距离是 3，故答案为： 3．点评：本题考查了两条平行线间的距离和三角形的面积，关键是正确作辅助线后能求出 AD 的长．5．小亮家离学校 1 千米，小明家离学校 3 千米，如果小亮家与小明家相距 x 千米，那么 x 的取值范围是2≤x≤4 ．考点：三角形三边关系．分析：小明、小亮家的地理位置有两种情况：(1)小明、小亮家都在学校同侧；(2)小明、小亮家在学校两侧．联立上述两种情况进行求解．解答：解： (1)小明、小亮家都在学校同侧时，x≥2；(2)小明、小亮家在学校两侧时， x≤4．因此 x 的取值为2≤x≤4．点评：本题注意考虑两种不同的情况，能够分析出每一种情况的范围，再进一步综合两种情况的结论．6．已知△ ABC 两边长 a，b 满足，则△ ABC 周长l 的取值范围是 6＜l＜10 ．考点：分析：解答：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．由，可得 + (b ﹣ 3) 2=0，则 a=2， b=3，可得第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5，从而求得周长 l 的取值范围．解：∵ ，∴ + (b ﹣ 3) 2=0，∴ a=2， b=3，∴ 第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5，∴ △ ABC 周长 l 的取值范围是 6＜l＜10．故答案为： 6＜l＜10．点评：此题主要考查了非负数的性质，其中首先灵活应用了非负数的性质，然后利用三角形三边之间的关系，难度中等．7．若等腰△ ABC (AB=AC)，能用一刀剪成两个等腰三角形，则∠ A= 36。
(易错题)最新人教版小学数学四年级下册第五单元三角形检测(有答案解析)
解析： C 【解析】【解答】解：2+2=4cm<6cm，所以这三根小棒不能围成三角形。 故答案为：C。 【分析】三角形的两边之和大于第三边，据此作答即可。
5．B
解析： B 【解析】【解答】10-5＜第三边＜10+5，5＜第三边＜15，第三边的长度可能是 12 厘米。 故答案为：B。 【分析】在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此确定第 三边的范围，再选择合适的答案。
16．一个等腰三角形中，底角是 34°，那么它的顶角是________，这是一个________三角 形。
17．如下图所示三角形，∠1 的度数是 110°，∠2 的度数是 35°，那么∠3 的度数是 ________°，这个三角形是________三角形。
18．三角形按角来分，可以分成________三角形、________三角形和 ________三角形。 19．如图，一个等腰三角形有一个底角度数是 36°，另外两个内角度数是________和 ________，这还是一个________三角形。
B. 围成一个等腰三角形
C. 围不成三角形
5．一个三角形的两条边分别是 5 厘米，10 厘米，第三条边的长度可能是（ ）厘米。
A. 5
B. 12
C. 18
6．在一个钝角三角形中，有一个钝角和两个锐角，其中两个锐角的和比 90°（ ）
A. 大
B. 小
C. 相等
7．如果一个三角形的两条边分别是 30 厘米、40 厘米，第三条边的长度要在下面的三个量
角形是钝角三角形。
14 ． 直 角 【 解 析 】 【 解 答 】 解 ： 设 ∠ B 是 x 度 2x+x+3x=1806x=180x=303x=3×30=90（度）这是一个直角三角形故答案为：直角 【分析】∠ B 是 x 度∠ A 的度数是 2x 度∠ C 的度数是 3x 度；等量关
2022年最新人教版小学数学四年级下册三角形易错习题总结(带答案)
四年级下册三角形易错题一、填空题1．一个三角形一个内角的度数是100°，这个三角形是三角形，一个等腰三角形的底角是65°，顶角是，等边三角形的每个内角都是。
2．等腰三角形的两条边分别是3cm和7cm，那么第三条边是cm。
3．在一个三角形中，∠1＝72°，∠2＝48°，∠3＝；在一个等腰三角形中，一个底角是36°，顶角是。
4．一个直角三角形，其中一个锐角是45°，它又是三角形。
5．如图，∠1=°．6．一根绳子正好围成一个长23米、宽22米的长方形，如果改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是米。
7．板凳腿之间加一根斜木条固定是利用了三角形的特性，伸缩门是利用了平行四边形的特性。
8．两点之间的所有连线中，最短。
9．一个等腰三角形的一个底角是45度，它的顶角是度，这个三角形按角分是三角形。
10．如果三角形的两边分别是4cm和5cm，那么第三条边可能是cm。
11．在等腰三角形中，其中一个角是100°，则另外两个角分别是°和°，这是一个三角形。
（填“锐角”“钝角”或“直角”）12．三角形有条高，平行四边形有条高，梯形有条高。
13．三角形最多有个锐角，最多有个直角，最多有个钝角。
14．如果一个三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是10cm和4cm，另外一条边最小是cm。
15．一个等腰三角形的两条边分别是9厘米和4厘米，另一条边是厘米。
16．用3厘米，8厘米和第三根小棒首尾相连组成三角形，这第三根小棒最小是厘米，最大是厘米．（都是整厘米长）17．三角形按角分类分为三角形、三角形和三角形．18．一个三角形的三个内角分别是∠A，∠B，∠C。
∠A的度数是∠B的2倍，∠C的度数是∠B的3倍，这是一个三角形。
19．红领巾按角分类是三角形，按边分类是三角形。
20．在长是3厘米，4厘米，5厘米和6厘米四根小棒中，任选三根围成一个三角形，能围成个不同的三角形。
三角形易错题(答案版)
一．折叠问题1.如图，将等腰直角三角形ABC（∠B＝90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC＝8，那么线段AE的长度为5．【分析】由折叠的性质可求得AE＝A1E，可设AE＝A1E＝x，则BE＝8﹣x，且A1B＝4，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．【解答】解：由折叠的性质可得AE＝A1E，∵△ABC为等腰直角三角形，BC＝8，∴AB＝8，∵A1为BC的中点，∴A1B＝4，设AE＝A1E＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE＝A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．2.如图，D是等边△ABC边AB上的点，AD＝2，DB＝4．现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E、F分别在边AC和BC上，则＝．【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED＝∠BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝6，由折叠的性质可知，∠EDF＝∠C＝60°，EC＝ED，FC＝FD，∴∠AED＝∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．3.如图，在△ABC中，AB＝10，∠B＝60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD＝BE＝4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为2．【分析】作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形，从而GD＝B′F＝2，然后根据勾股定理得到B′G ＝2，然后再次利用勾股定理求得答案即可．【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，∵∠B＝60°，BE＝BD＝4，∴△BDE是边长为4的等边三角形，∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE，∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，∴GD＝B′F＝2，∵B′D＝4，∴B′G＝＝＝2，∵AB＝10，∴AG＝10﹣6＝4，∴AB′＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是根据等边三角形的判定定理判定等边三角形，难度不大．二．用代数式表示1.如图，在Rt△ABC中，＝nM为BC上的一点，连接BM．（1）如图1，若n＝1，①当M为AC的中点，当BM⊥CD于H，连接AH，求∠AHD的度数；②如图2，当H为CD的中点，∠AHD＝45°，求的值和∠CAH的度数；（2）如图3，CH⊥AM于H，连接CH并延长交AC于Q，M为AC中点，直接写出tan ∠BHQ的值（用含n的式子表示）．【分析】（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．利用全等三角形的性质证明AK＝CH，再证明CH＝KH，推出AK＝KH即可解决问题．②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．证明△ADH∽△CDA，推出AD＝a，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，根据CM2＝DM2+CD2，构建方程求出x（用a表示），求出BD即可，再证明sin∠ACK＝，推出∠ACK＝30°即可解决问题．（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．想办法求出AJ，HJ（用n，y表示）即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB＝90°，∴∠CHB＝∠K＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠ACK＝90°，∴∠CBH＝∠ACK，∵CB＝CA，∴△CHB≌△AKC（AAS），∴AK＝CH，∵∠CHM＝∠K＝90°，∴MH∥AK，∵AM＝BM，∴CH＝KH，∴AK＝KH，∵∠K＝90°，∴∠AHD＝45°．②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AHD＝45°，∠AHD＝∠ACH+∠CAH，∴∠ACH+∠CAH＝∠CAH+∠DAH，∴∠DAH＝∠ACD，∵∠ADH＝∠CAD，∴△ADH∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AD＝a，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴AM＝BM，∴CM＝AM＝BM，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，∵CM2＝DM2+CD2，∴x2+（x﹣a）2＝4a2，解得x＝a（负根已经舍弃）．∴BD＝AB﹣AD＝（+）a﹣a＝a，∴＝＝．∵△ADH∽△CDA，∴＝＝，设AH＝m，则AC＝m，AK＝KH＝m，∴tan∠ACK＝＝，∴∠ACH＝30°，∴∠CAH＝∠AHD﹣∠ACH＝45°﹣30°＝15°．（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．∵CH⊥BM，BM＝＝＝•y，∴CH＝＝＝•y，∴HM＝＝•y，∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ，∴∠J＝∠CHM＝90°，∵∠AMJ＝∠CMH，AM＝CM，∴△AMJ≌△CMH（AAS），∴AJ＝CH＝•y，HM＝JM＝•y，∵∠BHQ＝∠AHJ，∴tan∠BHQ＝tan∠AHJ＝＝＝n．【点评】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2.如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝45度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH＝EF，CH＝CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH＝EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH＝CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH＝AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．3．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．m cosαB．C．m sinαD．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cosα＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：cosα＝，则AB＝．故选：B．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．4．已知顶角为α（30°＜α＜90°）的等腰三角形纸片的腰长和底边长分别为a，b，过三角形其中一个顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．a2+ab+b2＝0B．a2﹣ab﹣b2＝0C．a2﹣ab+b2＝0D．a2+ab﹣b2＝0【分析】由等腰三角形的性质可得AB＝AC＝a，BD＝BC＝b＝AD，∠ABD＝∠A，∠BDC ＝∠C，∠C＝∠ABC，通过证明，△ABC～△BDC，可得，即可求解．【解答】解：如图，等腰△ABC，等腰△BDA和等腰△BDC，∴AB＝AC＝a，BD＝BC＝b＝AD，∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠C，∠C＝∠ABC，∴CD＝a﹣b，△ABC～△BDC，∴，∴b2＝a（a﹣b），∴a2﹣ab﹣b2＝0，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是灵活运用相似三角形的性质．5．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和3（m＜3），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+6m+9＝0B．m2﹣6m+9＝0C．m2+6m﹣9＝0D．m2﹣6m﹣9＝0【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2＝（3﹣m）2，整理即可解答．【解答】解：如图，m2+m2＝（3﹣m）2，2m2＝32﹣6m+m2，m2+6m﹣9＝0．故选：C．【点评】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D，EH垂直BC于点H．设BD＝x，EH＝y，则（）A．2x﹣y2＝3B．4x﹣y2＝6C．6x﹣y2＝9D．8x﹣y2＝12【分析】如图，作AM⊥BC于M，连接DE．在Rt△DEH中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作AM⊥BC于M，连接DE．∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝2，∵EH⊥BC，∴EH∥AM，∵AE＝EC，∴CH＝MH＝1，∵BD＝x，∴DH＝4﹣x﹣1＝3﹣x，∵线段BE的垂直平分线交边BC于点D，∴DE＝BD＝x，在Rt△DEH中，DE2＝EH2+DH2，∴x2＝y2+（3﹣x）2，∴y2＝6x﹣9，∴6x﹣y2＝9，故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．7.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE．若△ADE和△BCE的面积分别为S1和S2，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由DE∥BC证明△ADE∽ABC，得，，因平行线间的距离相等，即△BDE和△BCE底边DE和BC上的高相等，面积比等于底边比求出，即的值为．【解答】解：设S△ABC的面积为S，如图所示：∵DE∥BC，∴△ADE∽ABC，∴，又∵，AB＝AD+BD，∴，又∵S△ADE＝S1，∴＝，∴，∵．S△BCE＝S2，∴，又∵S四边形BCED＝S△BDE+S△BCE＝，∴，解得：，∴，故选：C．【点评】本题综合考查相似三角形的判定与性质，面积的和差，在等高的两个三角形中，面积比等于底边比等相关知识，本题难度中等，属于中档题．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AB上，DE∥BC，与边AC交于点E，将△ADE 沿着DE所在的直线对折，得到△FDE，连结BF．记△ADE，△BDF的面积分别为S1，S2，若BD＞2AD，则下列说法正确的是（）A．2S2＞3S1B．2S2＞5S1C．3S2＞7S1D．3S2＞8S1【分析】首先证明四边形ADFE是菱形，推出EF∥AB，可得＝，由BD＞2AD，推出S2＞2S1，由此即可判断．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∵△DEF是由△ADE翻折得到，∴AD＝DF＝EF＝AE，∴四边形ADFE是菱形，∴EF∥AB，∴＝，∵BD＞2AD，∴S2＞2S1，∴选项A正确故选：A．【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC边上的点（不包括端点），且＝＝m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．（1）如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．①求证：四边形DHEC是平行四边形；②若m＝，求证：AE＝DF；（2）如图2，若m＝，求的值．【分析】（1）①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE＝DC，即可得出结论；②先判断出AC＝AB，BH＝HE，再判断出∠HEA＝∠AFD，即可得出结论；（2）先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE＝3：5，再判断出∠AFM＝∠AEG进而判断出△F AD∽△EGA，即可得出结论．【解答】解：（1）①证明：∵EH⊥AB，∠BAC＝90°，∴EH∥CA，∴△BHE∽△BAC，∴，∵，∴，∴，∴HE＝DC，∵EH∥DC，∴四边形DHEC是平行四边形；②∵，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，∵，HE＝DC，∴HE＝DC，∴，∵∠BHE＝90°，∴sin B＝＝，∴∠B＝45°，∴∠BEH＝∠B＝45°∴BH＝HE，∵HE＝DC，∴BH＝CD，∴AH＝AD，∵DM⊥AE，EH⊥AB，∴∠EHA＝∠AMF＝90°，∴∠HAE+∠HEA＝∠HAE+∠AFM＝90°，∴∠HEA＝∠AFD，∵∠EHA＝∠F AD＝90°，∴△HEA≌△AFD，∴AE＝DF；（2）如图2，过点E作EG⊥AB于G，∵CA⊥AB，∴EG∥CA，∴△EGB∽△CAB，∴，∴，∵，∴EG＝CD，设EG＝CD＝3x，AC＝3y，∴BE＝5x，BC＝5y，∴BG＝4x，AB＝4y，∵∠EGA＝∠AMF＝90°，∴∠GEA+∠EAG＝∠EAG+∠AFM，∴∠AFM＝∠AEG，∵∠F AD＝∠EGA＝90°，∴△F AD∽△EGA，∴＝【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠HEA＝∠AFD是解本题的关键．10．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD ＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建方程求出x即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．【分析】（1）求出AC＝3，可得∠DAC＝∠FBC，则tan∠FBC＝tan∠DAC＝＝；（2）由条件可得∠AGF＝∠CBF，可得，可用x表示CF和AF的长，求出CD，则S△DAF＝，可用x表示结果；（3）分两种情况，①当点D在BC的延长线上时，②当点D在BC的边上时，可求出AE长AD的长，则DE＝AD﹣AE可求出．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴（3x）2+16＝（5x）2，∴x＝1，即AC＝3，∵BE⊥AD，∴∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠FBC，∴tan∠FBC＝tan∠DAC＝＝；（2）∵AG∥BD，∴∠AGF＝∠CBF，∴tan∠AGF＝tan∠CBF，∴，，∴，∴．∴＝．∵∠EAF＝∠CBF，∴，∴，∴S△DAF＝＝；（3）①当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AG＝8，BC＝4，AG∥BD，∴，∴AF＝2CF，∵AC＝3，∴AF＝2，CF＝1，∴，∴，设AE＝x，GE＝4x，∴x2+16x2＝82，解得x＝，即AE＝．同理tan∠DAC＝tan∠CBF，∴，∴DC＝，∴AD＝＝＝．∴＝．②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴，∴，同理，∴，∴．∴DE＝AE﹣AD＝．综合以上可得DE的长为或．【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，锐角三角函数等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．12．在等边△ABC中，AB＝8，点D在边BC上，△ADE为等边三角形，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF∥BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．（1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）设BD＝x，FG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AD的长为7时，求线段FG的长．【分析】（1）由三角形ABC与三角形ADE都为等边三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝60°，利用等式的性质得到∠BAD＝∠CAE，再由AB＝AC，AD＝AE，利用SAS得到三角形ABD 与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE＝∠ABC＝60°，进而确定出同旁内角互补，得到CE与FB平行，再由EF与BC平行，即可得到四边形BCEF 为平行四边形；（2）由三角形ABD与三角形ACE全等，得到BD＝CE，再由四边形BCEF为平行四边形得到BF＝CE，等量代换得到BF＝BD＝x，由FG与BC平行，由平行得比例，即可列出y关于x的函数解析式，求出x的范围得到定义域；（3）过A作AM⊥BC交BC于M，可得M为BC的中点，即BM＝CM＝4，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AM的长，而MD＝4﹣x，在直角三角形ADM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，代入（2）的解析式中求出y的值，即为FG的长．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABC＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠ABC+∠ACB+∠ACE＝180°，即∠ABC+∠BCE＝180°，∴AB∥CE，又∵EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴EC＝BD，∵四边形BCEF是平行四边形，∴BF＝EC，∴BF＝BD＝x，又∵AB＝8，∴AF＝8﹣x，∵FG∥BC，∴∠AFG＝∠ABC，∠AGF＝∠ACB，∴△AFG∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝8﹣x（0＜x＜8）；（3）解：过A作AM⊥BC交BC于M，可得M为BC的中点，即BM＝CM＝4，在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM＝＝4，MD＝4﹣x，由题意得AD2＝AM2+MD2，即48+（4﹣x）2＝49，解得：x1＝3，x2＝5，当x＝3时，y＝8﹣3＝5；当x＝5时，y＝8﹣5＝3，则FG＝3或5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．13．△ABC是边长为4的等边三角形，在射线AB和BC上分别有动点P、Q，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，作PE⊥AC，垂足为E．（1）如图，当点P在边AB（与点A、B不重合）上，问：①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．②随着点P、Q的移动，线段DE的长能否确定？若能，求出DE的长；若不能，简要说明理由；（2）当点P在射线AB上，若设AP＝x，CD＝y，求：①y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x为何值时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．【分析】（1）①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，推出△DHC，△APG为等边三角形根据三角形全等，求出DP＝DQ；②根据AE＝EG，GD＝DC，即可算出DE ＝AC；（2）分为两种情况来考虑，当P点在线段AB上或在射线AB上，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找到相等关系，经过等量转换即可求出答案；（3）分两种情况进行分析，当0＜x≤4时，无解；当x＞4时，结合图形找相等面积的三角形，求出PE的长度，用含x的代数式表示出△PCQ的面积，即可根据题意得出关于x的一元二次方程，解方程，得x的值．【解答】解：（1）证明：①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴△DHC，△APG为等边三角形，∵AP＝CQ，∴PG＝CQ，∠PGC＝∠DCQ＝120°，∵∠GPD＝∠Q，∵△PDG≌△QDC，∴DP＝DQ，②能确定，∵PE⊥AC，∴AE＝EG，∵GD＝DC，AB＝BC＝AC＝4，∴GD+EG+AE+DC＝4，∵2（GD+EG）＝4，即DE＝2；（2）①∵PD＝DQ，DH∥AB，AP＝x，CD＝y，∴DH＝BP，∵AB＝4，∴BP＝4﹣x或BP＝x﹣4，∴y＝（4﹣x）＝2﹣x（0＜x≤4）或y＝x﹣2（x＞4），②当0＜x≤4时，无解，当x＞4时，∵PE⊥AC，∠A＝60°AP＝x，∴PE＝sin60°×x＝x，∵AB＝BC＝AC＝4，∴S△ABC＝4，∵PD＝DQ，∴结合图形可知S△PCQ＝2S△PDC＝2×，∴2×＝4，∴（x﹣2）×x＝4，化简得：x2﹣4x﹣16＝0，解得：x1＝2﹣2（不符合题意，舍去）x2＝2+2，∴x＝2+2，∴当x＝2+2时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．【点评】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、根据实际问题列一次函数关系式等，本题关键在于作出辅助线，找出等量关系。
解三角形易错题解析
解三角形易错题解析————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ易错题解析例题1 在不等边△ＡBC 中,a 为最大边,如果a b c 222<+,求Ａ的取值范围。
错解：∵a b c b c a 2222220<++->，∴。
则cos A b c a bc=+->22220，由于cosA 在(0°,180°)上为减函数且cos90090°，∴°=<A 又∵A 为△ＡＢC 的内角,∴0°＜Ａ<９0°。
辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。
题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三角形的普通一条边,造成解题错误。
正解：由上面的解法，可得Ａ<90°。
又∵ａ为最大边,∴A>60°。
因此得Ａ的取值范围是(６0°，90°)。
例题2 在△AB Ｃ中，若a bA B 22=tan tan ,试判断△AB Ｃ的形状。
错解:由正弦定理,得sin sin tan tan 22A B A B = 即sin sin sin cos cos sin sin sin 2200A B A AB B A B =>>·，∵， ∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22。
∴2A=2B,即A ＝B 。
故△ABC 是等腰三角形。
辨析:由sin sin 22A B =，得2A ＝2Ｂ。
这是三角变换中常见的错误,原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。
正解：同上得sin sin 22A B =,∴2A=22k B π+或222A k B k Z =+-∈ππ()。
∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π2。
初中数学三角形易错题汇编含答案
D．∵AB=AE，∠BAC=∠EAD，AC=AD，∴△ABC≌△AED（SAS），故D不符合题意．
故选C．
12．如图，在菱形 中，点 在 轴上，点 的坐标轴为 ,点 的坐标为 ，则菱形 的周长等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如下图，先求得点A的坐标，然后根据点A、D的坐标刻碟AD的长，进而得出菱形ABCD的周长.
3．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．4B．3C．6D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．
【详解】
解：AD是△ABC中∠BAC的平分线，
【详解】
在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵∠1=45°（已知），
∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），
∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），
∵EF∥MN（已知），
∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．
故选D．
【点睛】
此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确，
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
八年级数学全等三角形易错题(Word版 含答案)
八年级数学全等三角形易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在长方形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B 、C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在_____．【答案】AD 的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD 作C 点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P 点使BP+PC 的之最短.详解：如图，过AD 作C 点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD∴△ABP ≌△DC′P∴AP=PD即P 为AD 的中点.故答案为P 为AB 的中点.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．2．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.3．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，∠=︒，在x轴或y轴上取点C，使得ABC∆为等腰三角形，符合条件的C点有36ABO__________个．【答案】8【解析】【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．【详解】解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个与点A 重合，故此时符合条件的点有3个；线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．4．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30 【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．5．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长为_____．【答案】14．【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC＝14．【详解】∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，同理FE＝EC，∴△AED的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝8+6＝14．故答案为：14．【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.6．如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC（AB>BC）为边,在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论：①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.【答案】①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE 和△DBC 中，∵AB DB ABE DBC BE BC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△DBC （SAS ），∴AE=DC ，故①正确；∵△ABE ≌△DBC ，∴∠AEB=∠DCB ，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE 和△NBC 中，∵AEB DCB EB CB MBE NBC ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，∴△MBE ≌△NBC （ASA ），∴BM=BN ，∠MBE=60°，则△BMN 为等边三角形，故⑤正确；∵△BMN 为等边三角形，∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD ，∴MN//AB ，故②正确；③无法证明PM=PN ，因此不能得到BD ⊥AE ；④由①得∠EAB=∠CDB ，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°，故④正确，故答案为：①②④⑤.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．7．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________．【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC =90°+12∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF =BE +CF 故①正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD =m ，AE +AF =n ，则S △AEF =12mn ，故④错误，根据HL 证明△AMO ≌△ADO 得到AM =AD ，同理可证BM =BN ，CD =CN ，变形即可得到⑤正确．【详解】 ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠OBC +∠OCB =90°﹣12∠A ，∴∠BOC =180°﹣（∠OBC +∠OCB ）=90°+12∠A ；故③正确； ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC =∠OBE ，∠OCB =∠OCF ． ∵EF ∥BC ，∴∠OBC =∠EOB ，∠OCB =∠FOC ，∴∠EOB =∠OBE ，∠FOC =∠OCF ，∴BE =OE ，CF =OF ，∴EF =OE +OF =BE +CF ，故①正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ．∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON =OD =OM =m ，∴S △AEF =S △AOE +S △AOF =12AE •OM +12AF •OD =12OD •（AE +AF ）=12mn ；故④错误； ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；∵AO =AO ，MO =DO ，∴△AMO ≌△ADO （HL ），∴AM =AD ；同理可证：BM =BN ，CD =CN ．∵AM +BM =AB ，AD +CD =AC ，BN +CN =BC ，∴AD =12（AB +AC ﹣BC ）故⑤正确． 故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆，连接BF ，则BF 的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG ，利用△BDF ≌△GDE ，转换BF=GE ，然后即可求得其最小值.【详解】以BD 为边作等边三角形BDG ，连接GE ，如图所示：∵等边三角形BDG，等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD，即∠BDF=∠GDE∴△BDF≌△GDE（SAS）∴BF=GE当GE⊥AC时，GE有最小值，如图所示GE′，作DH⊥GE′∴BF=GE=CD+12DG=2+1=3故答案为：3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.9．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为_____．【答案】3【解析】【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．【详解】如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD BDDF DE⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11，AC=5，∴BE=12（11-5）=3．故答案为：3．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．如图，已知30AOB∠=︒，点P在边OA上，14OD DP==，点E，F在边OB上，PE PF=.若6EF=，则OF的长为____.【答案】18【解析】【分析】由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB 于点N，证明△PMD≌△PND，进而求出DF长度，从而求出OF的长度.【详解】如图所示，作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB于点N.∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，∴∠NPD=∠DPO=30°，∵DP=DP，∠PND=∠PMD=90°，∴△PND≌△PMD，∴ND=7，∵EF=6，∴DF=ND-NF=7-3=4，∴OF=DF+OD=14+4=18.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（）A．①②③④B．①④③②C．①④②③D．②①④③【答案】B【解析】【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解：已知一条线段的长度为a ，作边长为a 的等边三角形的方法是：①画射线AM ；②在射线AM 上截取AB ＝a ；③分别以A 、B 为圆心，以a 的长为半径作圆弧，两弧交于点C ；④连结AC 、BC ．△ABC 即为所求作的三角形．故选答案为B ．【点睛】本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.12．如图所示，在ABC 中，AC BC =，90ACB ︒∠=，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线F ，E 为垂足．则有：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出答案．【详解】解：∵AC BC =，90ACB ︒∠=∴45CAB ABC ︒∠=∠=∵AD 平分BAC ∠∴22.5BAE EAF ︒∠=∠=∵90EAF F FBC F ︒∠+∠=∠+∠=∴EAF FBC ∠=∠∴ADC BFC ≅∴AD=BF ，CF=CD ，故①②正确；∵CD=CF，∴AC+CD=AC+CF=AF∵67.5F ︒∠=∵18018067.54567.5ABF F CAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴AF=AB ，即AC+CD=AB ，故③正确；由③可知，三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥ ∴12BE BF = 若BE CF =，则30CBF ∠=︒与②中结论相矛盾，故④错误；∵三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥ ∴12BE BF = ∴BF=2BE ，故⑤正确；综上所述，正确的选项有4个．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．13．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A （3，﹣52）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C （﹣2，﹣9），则C 点对称点的坐标是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，﹣32）C ．（﹣32，﹣9） D ．（﹣2，﹣1） 【答案】A【解析】【分析】 先利用点A 和点B 的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C 关于直线y=-4的对称点即可．【详解】解：∵A （3，﹣52）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点， ∴点A 与点B 关于直线y ＝﹣4对称， ∴点C （﹣2，﹣9）关于直线y ＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m 对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m ；关于直线y=n 对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n ．14．如图，△ABC 的周长为32，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA＝BE，CA＝CD，由△ABC的周长为32以及BC＝12，可得DE＝8，利用中位线定理可求出PQ．【详解】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，∴PQ＝12DE＝4．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．15．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC【答案】B【解析】试题解析：A.ABC 和CDE △均为等边三角形，60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒，，，在ACD 与BCE 中，{AC BCACD BCE CD CF =∠=∠=，ACD BCE ∴≌，AD BE ∴=，正确.B .据已知不能推出F 是AC 中点，即AC 和BF 不垂直，所以AC BE ⊥错误，故本选项符合题意.C.CFG 是等边三角形，理由如下：180606060ACG BCA ∠=︒-︒-︒=︒=∠，ACD BCE ≌，CBE CAD ∴∠=∠，在ACG 和BCF 中，{CAG CBFAC BCBCF ACG ∠=∠=∠=∠，ACG BCF ∴≌，CG CH ∴=，又∵∠ACG=60° CFG ∴是等边三角形，正确.D.CFG 是等边三角形，60CFG ACB ∴∠︒=∠﹦，.FG BC ∴ 正确.故选B.16．如图，△ABC 是等边三角形，AQ ＝PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR ＝PS ，则下列结论：①AP ⊥BC ；②AS ＝AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP .正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP 平分∠BAC ，根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确；根据HL 证明Rt △APR ≌Rt △APS ，即可判断②正确；根据等边对等角的性质可得∠APQ =∠PAQ ，根据三角形外角的性质得到然后得到∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ，然后根据同位角相等两直线平行可得QP ∥AB ，从而判断出③正确，④由③易证△QPC 是等边三角形，得到PQ =PC ，等量代换得到BP =PQ ，用HL 证明Rt △BRP ≌Rt △QSP ，即可得到④正确．【详解】∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR =PS ，∴P 在∠A 的平分线上．∵AB =AC ，∴AP ⊥BC ，故①正确；∵PA =PA ，PR =PS ，∴Rt △APR ≌Rt △APS ，∴AS =AR ，故②正确；∵AQ =PQ ，∴∠APQ =∠PAQ ，∴∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，故③正确； 由③得：△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，∴PQ =PC ．又∵AB =AC ，AP ⊥BC ，∴BP =PC ，∴BP =PQ ．∵PR =PS ，∴Rt △BRP ≌Rt △QSP ，故④也正确．∵①②③④都正确．故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．17．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠C BE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.18．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC的延长线于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， 故①正确．如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴AD 为BAC ∠的平分线，∴DF DG =，∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC ∠=︒，∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．∴BDF CDG ∠=∠，∵在BDF 和CDG △中，90BFD CGD DF DGBDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDF ≌()CDG ASA ，∴DB CD =，∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，1302BAE BAC ∠=∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．19．如图，将△ABC 沿DE 、EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠CDO+∠CFO=108°，则∠C 的度数为（ ）A ．40°B ．41°C ．32°D ．36°【答案】D【解析】 分析：如图，连接AO 、BO ．由题意EA =EB =EO ，推出∠AOB =90°，∠OAB +∠OBA =90°，由DO =DA ，FO =FB ，推出∠DAO =∠DOA ，∠FOB =∠FBO ，推出∠CDO =2∠DAO ，∠CFO =2∠FBO ，由∠CDO +∠CFO =108°，推出2∠DAO +2∠FBO =98°，推出∠DAO +∠FBO =49°，由此即可解决问题．详解：如图，连接AO 、BO ．由题意得：EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°．∵DO=DA，FO=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO．∵∠CDO+∠CFO=108°，∴2∠DAO+2∠FBO=108°，∴∠DAO+∠FBO=54°，∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=144°，∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣144°=36°．故选D．点睛：本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB，点P是x轴上的一个动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，对应的点P的坐标和△ABP的最小周长分别为( )A．(1，0)，224++ B．(3，0)，224+ C．(2,0), 25D．(2,0),252【答案】D【解析】作A关于x轴的对称点N（1，-2），连接BN与x轴的交点即为点P的位置，此时△ABP的周长最小.=+，设直线BN的解析式为y kx b∵N (1，-2)，B (3，2)，∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩ ， 解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-，当0y =时，240x -=，解得，2x =，∴点P 的坐标为（2，0）；∵A (1，2)，B (3，2)，∴AB //x 轴，∵AN ⊥x 轴，∴AB ⊥x 轴，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AN ＝4，由勾股定理得，BN ==∵AP =NP ,∴△ABP 的周长最小值为：AB +BP +AP =AB +BP +PN =AB +BN 故选D.点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P 的位置是解题的关键.。
解直角三角形易错题型(带答案)
解直角三角形易错题【基础题型】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C=90°，下列等式不正确的是（ ）A. sin 2A+cos 2=1B. sin 2（90°- A ）+ cos 2（90°- A ）=1C. C.sin （60°- A ）=cos （30°+ A ）D. tanA · cotA=12. 已知α为锐角，且cos （α-10°）=23，则α等于（ ） A.20° B.40° C.60° D.80°3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于（ ）A. 43B.34C.53D.544. 在△ABC 中，∠C=90°，斜边AB=m ，∠B=40°，则直角边BC 的长是（ ）A. msin40°B.msin50°C.mtan40°D.tan40m5. Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A. 724B.37C.247D.316. 如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A.103米B.10米C.20米D.203米7. 如图，已知楼房AB 高为50米，铁塔塔基距楼房的水平距离BD 为100米，塔高CD 为31503100 m ，则下面结论正确的是（ ）A. 由楼顶望塔顶仰角为60°B.由楼顶望塔基俯角为60°B. 由楼顶望塔顶仰角为30° D.由楼顶望塔基俯角为30°8. 以下对坡度的描述正确的是（ ）A. 坡度是指斜坡与水平线夹角的度数B. 坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比C. 坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比D. 坡度是指倾斜的角度二、填空题1. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，如果CD=4,BD=3，则∠A 的正弦值是 .2. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，tanB=21，则CD:DB= .3. 在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为6m ，则斜坡上相邻两树的坡面距离为 .4. 如图，在高2m ，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 m.三、解答题1.甲，乙两名同学在计算锐角A 的正弦值时，甲的答案为sinA=107，乙的答案为sinA=1013.请你不看解答过程，迅速判断哪名同学的答案一定是错误的，并说明理由。
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点 用到的知识点为：等腰三角形的周长由2腰和一底边长构成，两腰 评： 相等；3条线段组成三角形的条件为：较短的两条边线段之和大于
最长的一条线段． 10．两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是 24 cm．
专 计算题．
题： 分 按照AB为底边和腰，分类求解．当AB为底边时，BC为腰；当AB 析： 腰时，BC为腰或底边． 解 解：（1）当AB=3cm为底边时，BC为腰， 答： 由等腰三角形的性质，得BC=
（8﹣AB）=2.5cm； （2）当AB=3cm为腰时， ①若BC为腰，则BC=AB=3cm， ②若BC为底，则BC=8﹣2AB=2cm． 故本题答案为：2或3或2.5cm． 点 本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想．关键是明确等腰 评： 三角形的三边关系． 3．等腰三角形的周长为20cm，若腰不大于底边，则腰长x的取值范围 是 5＜x≤
参考答案与试题解析
一、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则 这个多边形的边数为 8 ．
考 多边形内角与外角．菁优网版权所有 点：
专 计算题． 题：
分 根据内角和公式，设该多边形为n边形，内角和公式为180°•（n﹣ 析： 2），因为最小角为100°，又依次增加的度数为10°，则它的最大
（1）图2有 _________ 个三角形；图3中有 _________ 个三角形 （2）按上面方法继续下去，第20个图有 _________ 个三角形；第n 个图中有 _________ 个三角形．（用n的代数式表示结论） 9．一个三角形两边长为5和7，且有两边长相等，这个三角形的周长 是 _________ ． 10．两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是 _________ cm．
考 三角形三边关系．菁优网版权所有 点：
分 腰长为5时，得到三条线段；腰长为7时，得到三条线段．若较短 析： 的两边条线段之和大于最长的一条线段，那么能组成三角形，让
三边相加即可．
解 解：当腰长为5时，三角形的三边分别为5，5，7，5+5=10＞7， 答： 能组成三角形，此三角形的周长为5+5+7=17；
点 本题结合等差数列考查了凸n边形内角和公式．方程思想是解此类 评： 多边形有关问题常要用到的思想方法，注意凸n边形的内角的范围
为大于0°小于180°． 2．等腰三角形ABC的周长是8cm，AB=3cm，则BC= 2或3或2.5 cm．
考 等腰三角形的性质；三角形三边关系．菁优网版权所有 点：
故答案为：3． 点 本题考查了两条平行线间的距离和三角形的面积，关键是正确作 评： 辅助线后能求出AD的长． 5．小亮家离学校1千米，小明家离学校3千米，如果小亮家与小明家相 距x千米，那么x的取值范围是 2≤x≤4 ．
考 三角形三边关系．菁优网版权所有 点：
分 小明、小亮家的地理位置有两种情况： 析： （1）小明、小亮家都在学校同侧；
三角形易错题
一、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则 这个多边形的边数为 _________ ． 2．等腰三角形ABC的周长是8cm，AB=3cm，则BC= _________ cm． 3．等腰三角形的周长为20cm，若腰不大于底边，则腰长x的取值范围 是 _________ ． 4．如图：a∥b，BC=4，若三角形ABC的面积为6，则a与b的距离是 _________ ．
考 等腰三角形的性质；三角形三边关系．菁优网版权所有 点：
专 分类讨论． 题：
分 题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应 析： 用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
解 解：当4cm是腰时，4+4＜10cm，不符合三角形三边关系，故舍 答： 去；
当10cm是腰时，周长=10+10+4=24cm 故该三角形的周长为24cm 故填24．
5．小亮家离学校1千米，小明家离学校3千米，如果小亮家与小明家相 距x千米，那么x的取值范围是 _________ ． 6．已知△ABC两边长a，b满足
，则△ABC周长l的取值范围是 _________ ． 7．若等腰△ABC（AB=AC），能用一刀剪成两个等腰三角形，则 ∠A= _________ ． 8．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分 别连接图2中间小三角形的中点，得到图3． （若三角形中含有其它三 角形则不记入）
考 三角形．菁优网版权所有 点： 专 规律型． 题： 分 正确数一下（2）（3）中，三角形的个数，可以得到（3）比 析： （2）增加了4个三角形，同理（4）比（3）增加了4个三角形，依
此类推即可求解．
解 解：（1）图2有5个三角形；图3中有9个三角形； 答： （2）按上面方法继续下去，可以得到（4）比（3）增加了4个三
点 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知 评： 没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，
还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要， 也是解题的关键．
；
（2）当顶角为钝角时， ∵剪后AB=AC，AC=CD，BD=AD，∠C=∠B=∠BAD=
∠ADC=
∠DAC ∴∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=5∠C=180°
∴∠C=36° ∴∠BAC=108°
（3）当顶角为直角时， ∵剪后AB=AC，CD=AD=BD，∠B=∠C=∠CAD=∠BAD=45° ∴∠CAB=90° 所以填∠A为36°、
（2）小明、小亮家在学校两侧． 联立上述两种情况进行求解．
解 解：（1）小明、小亮家都在学校同侧时，x≥2； 答： （2）小明、小亮家在学校两侧时，x≤4．
因此x的取值为2≤x≤4． 点 本题注意考虑两种不同的情况，能够分析出每一种情况的范围， 评： 再进一步综合两种情况的结论． 6．已知△ABC两边长a，b满足
．
考 等腰三角形的性质；三角形三边关系．菁优网版权所有 点： 分 根据题意以及三角形任意两边之和大于第三边列出不等式组求解 析： 即可． 解 解：等腰三角形的底边为20﹣2x， 答： 根据题意得，
， 由①得，x≤
， 由②得，x＞5， 所以，腰长x的取值范围是5＜x≤
． 故答案为：5＜x≤
． 点 本题考查了等腰三角形两腰相等的性质，三角形的三边关系，列 评： 出不等式组是解题的关键． 4．如图：a∥b，BC=4，若三角形ABC的面积为6，则a与b的距离是 3 ．
∴a=2，b=3， ∴第三边c的取值范围是1＜c＜5， ∴△ABC周长l的取值范围是6＜l＜10． 故答案为：6＜l＜10． 点 此题主要考查了非负数的性质，其中首先灵活应用难度中等． 7．若等腰△ABC（AB=AC），能用一刀剪成两个等腰三角形，则 ∠A= 36°或90°或108° ．
考 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有 点： 分 题中只说是等腰三角形，没有指明该等腰三角形的形状，故应该 析： 分三种情况进行分析． 解 解：（1）当顶角为锐角时， 答： ①∵剪后AB=AC，AD=BD=BC，∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A．
∴∠A+∠C+∠ABC=5∠A=180° ∴∠A=36° ②当AB=AC，AD=BD，BC=CD时 可求出∠A=
或90°或108°．
点 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；分情况讨论 评： 的正确应用时解答本题的关键． 8．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分 别连接图2中间小三角形的中点，得到图3． （若三角形中含有其它三 角形则不记入）
（1）图2有 5 个三角形；图3中有 9 个三角形 （2）按上面方法继续下去，第20个图有 77 个三角形；第n个图中 有 （4n﹣3） 个三角形．（用n的代数式表示结论）
内角为（10n+90）°，根据等差数列和的公式列出方程，求解即 可．
解 解：设该多边形的边数为n． 答： 则为
=180•（n﹣2），
解得n1=8，n2=9，
n=8时，10n+90=10×80+90=170， n=9时，10n+90=9×10+90=180，（不符合题意） 故这个多边形为八边形． 故答案为：8．
，则△ABC周长l的取值范围是 6＜l＜10 ．
考 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方；三角形三 点： 边关系．菁优网版权所有
分由 析：
，可得
+（b﹣3）2=0，则a=2，b=3，可得第三边c的取值范围是1＜c＜
5，从而求得周长l的取值范围． 解 解：∵ 答：
， ∴
+（b﹣3）2=0，
角形， 依此类推，第20个图有1+（20﹣1）×4=77个三角形；第n个图中 有4（n﹣1）+1=4n﹣3个三角形．
点 正确观察图形得到规律是解决本题的关键，解决这类题的方法是 评： 根据题目的叙述，求出几个图形中三角形的个数，从而求出规
律． 9．一个三角形两边长为5和7，且有两边长相等，这个三角形的周长 是 17或19 ．
考 平行线之间的距离；三角形的面积．菁优网版权所有 点： 分 过A作AD⊥BC于D，则AD的长就是a b之间的距离，根据三角形 析： 的面积公式求出AD即可． 解 解： 答：
过A作AD⊥BC于D， ∵三角形ABC的面积为6，BC=4， ∴
×BC×AD=6，
×4×AD=6， AD=3， ∵a∥b， ∴a与b的距离是3，