初等数论(1)基本性质
初等数论(1)数的整除
初等数论（1）----数的整除初等数论又称初等整数论，它的研究对象是整数集。
整数是小学就接触的一类数，但是关于数论的问题却是最难解决的。
1、整数的离散性：任何两个整数,x y 之间的距离至少为1，因此有不等式1x y x y <⇔+≤。
例如：（1）若222912842440a ab b bc c c -+-+-+=，求a b c ++的值.（2）求整数,,a b c ，使它们满足不等式222332a b c ab b c +++<++.作比较。
2、整数的奇偶性：将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表为2m （m ∈Z ），任一奇数可表为2m+1或2m －1的形式.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数； 奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数； 奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（4）两个整数的和与这两个整数的差有相同的奇偶性； （5）奇数的平方都可表为81m +形式，偶数的平方都可表为8m 或84m +的形式（m ∈Z ）. （6）任意两个整数的平方和被4除余数不可能是3. （7）任意两个整数的平方差被4除余数不可能是2.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.例如： 1．（1）已知c b a ,,是整数，c b a ++是奇数，判断c b a -+，c b a +-，c b a ++-的奇偶性，说明理由。
（2）你能找到三个整数c b a ,,，使得关系式()()()()2010a b c a b c a b c b c a ++-++-+-=成立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由.2、是否存在整数,m n ，满足222010m n +=?3、设1,2,3,,9的任一排列为1239,,,,a a a a ，求证：129(1)(2)(9)a a a ---是一个偶数. 类题：（1906，匈牙利）假设12,,,n a a a 是1,2,,n 的某种排列，证明：如果n 是奇数，则乘积()()()1212n a a a n ---是偶数.解法1 （反证法）假设()()()1212n a a a n ---为奇数，则i a i -均为奇数，奇数个奇数的和还是奇数奇数=()()()1212n a a a n -+-++-()()12120n a a a n =+++-+++=，这与“奇数≠偶数”矛盾. 所以()()()1212n a a a n ---是偶数.评析 这个解法说明()()()1212n a a a n ---不为偶数是不行的，体现了整体处理的优点，但掩盖了“乘积”为偶数的原因. 解法2 （反证法）假设()()()1212n a a a n ---为奇数，则i a i -均为奇数，i a 与i 的奇偶性相反，{}1,2,,n 中奇数与偶数一样多，n 为偶数但已知条件n 为奇数，矛盾. 所以()()()1212n a a a n ---是偶数.评析 这个解法揭示了()()()1212n a a a n ---为偶数的原因是“n 为奇数”.那么为什么“n 为奇数”时“乘积”就为偶数呢？解法3 121,2,,,,,,n n a a a 中有1n +个奇数，放到n 个括号，必有两个奇数在同一个括号，这两个奇数的差为偶数，得()()()1212n a a a n ---为偶数.例4-1（1986，英国）设127,,,a a a 是整数，127,,,b b b 是它们的一个排列，证明()()()112277a b a b a b ---是偶数.例4-2 π的前24位数字为 3.14159265358979323846264π=，记1224,,,a a a 为该24个数字的任一排列，求证()()()12342324a a a a a a ---必为偶数.4、有n 个数12,,,n x x x ，它们中的每一个数或者为1，或者为1-，如果1234110n n n x x x x x x x x -++++=，求证：n 是4的倍数。
初等数论
初等数论一、知识要点1、数的整除对于整数a和非零整数b，总存在整数m、n，使得a＝bm＋n（0≢n＜m），其中m 称为商，n称为余数。
特别的，当n＝0时，即a＝bm，便称a被b整除（也称a是b 的倍数，或者b是a的约数），记作b|a整除的基本性质：①若a|b，a|c，则a|（b±c），a|b c；②若a|b，b|c，则a|c；③若a|bc，且（a，c）＝1，则a|b；④若质数p|bc，则必有p|b或p|c；⑤若a|c，b|c，且（a，b）＝1，则a b|c整除的特征：被2整除的数：；被3整除的数：；被4整除的数：；被5整除的数：；被8整除的数：；被9整除的数：；被25整除的数：；被125整除的数：；被11整除的数：；被13整除的数：；2、同余由于整数除以一个正整数m，所得的余数有m种（即0，1，2，……，m－1），所以我们常常将整数按照它们除以正整数m的余数可以分为m类，称为按照模m分类。
例如：m＝2 时，分为偶数和奇数两类，记作｛2k｝，｛2k－1｝；m＝3 时，分为三类，记作｛3k｝，｛3k＋1｝，｛3k＋2｝或者｛3k｝，｛3k＋1｝，｛3k －1｝；m＝5 时，分为五类，记作｛5k｝，｛5k＋1｝，｛5k＋2｝，｛5k＋3｝，｛5k＋4｝或者，｛5k｝，｛5k±1｝，｛5k±2｝；3、奇数与偶数整数按照能否被2整除分为两大类：奇数与偶数。
数的奇偶有如下性质：4、完全平方数：能表示成为一个整数的平方的自然数叫做完全平方数。
完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9这六个数字中的某一个，如果一个整数的末位数字是2、3、7、8中之一，那么它一定不是完全平方数。
二、例题讲解与变式训练（一）整除与同余例1、（1）不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和是（2）将1、2、3、4排成一个四位数，使得这个四位数是11的倍数，则这样的四位数一共有个。
变式1、若k—4—5—k—9—是能被3整除的五位数，则k的可能值有，这样的五位数中能被9整除的是。
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
初等数论知识点
初等数论知识点数论是数学的一个重要分支，而初等数论则是数论中较为基础和入门的部分。
它主要研究整数的性质和相互关系，虽然看似简单，却蕴含着深刻的数学思想和广泛的应用。
一、整除整除是初等数论中最基本的概念之一。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），所得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，或者b 能整除 a，记作 b ｜ a。
例如，6 能被 3 整除，因为 6÷3 ＝ 2，没有余数；而 7 不能被 3 整除，因为 7÷3 ＝ 21，有余数 1。
整除具有一些基本性质，比如：1、如果 a ｜ b 且 b ｜ c，那么 a ｜ c。
2、如果 a ｜ b 且 a ｜ c，那么对于任意整数 m、n，有 a ｜（mb＋ nc)。
二、因数和倍数如果 a 能被 b 整除（b≠0），那么 b 就是 a 的因数，a 就是 b 的倍数。
一个数的因数是有限的，其中最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
例如，12 的因数有1、2、3、4、6、12；12 的倍数有12、24、36、48三、质数和合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
例如，2、3、5、7 是质数；4、6、8、9 是合数。
1 既不是质数也不是合数。
质数在数论中有着重要的地位，寻找大质数是密码学等领域中的关键问题。
四、公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
求最大公因数可以用辗转相除法。
例如，求 24 和 36 的最大公因数，36÷24 ＝ 112，24÷12 ＝ 2，所以24 和 36 的最大公因数是 12。
五、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
初等数论知识点整理
初等数论知识点整理 1. 整数的基本性质：
- 整数的定义与整数集的基本运算
- 整数的大小与比较
- 整数的不同表示形式（十进制、二进制、八进制等） 2. 整除与约数：
- 整除的定义与性质
- 素数的定义与判定方法
- 约数的定义与性质
- 最大公约数与最小公倍数的概念与计算方法
3. 同余与模运算：
- 同余的定义与性质
- 同余的基本运算性质
- 模运算的基本性质
- 剩余类和完全剩余系的概念与性质
4. 质数与素数：
- 质数与素数的定义
- 质数与素数的性质和特性
- 素数的测试方法与算法
- 质因数分解的方法与应用
5. 数论基本定理：
- 唯一分解定理（素因数分解定理）
- 辗转相除法与欧几里得算法
- 欧拉函数与欧拉定理
- 费马小定理与扩展欧几里得算法
6. 数论问题的应用：
- 同余方程与线性同余方程
- 不定方程的整数解与应用
- 素数分布与素数定理
- 模重复性与周期性问题
注意：本整理的所有内容仅供参考，请勿将其作为官方教材或其他正式场合使用。
初等数论知识点总结
初等数论知识点总结初等数论是数论中的一个分支，它主要研究自然数的整除性质以及其它基本性质。
初等数论主要包括素数与合数、整数表示、整数方程、模运算、同余方程、数乘次幂循环节等内容。
下面将对初等数论的关键知识点进行总结。
1.素数与合数：素数（质数）是只能被1和自身整除的自然数，合数是除了1和自身以外还能被其它数整除的自然数。
质数有无穷多个，这个结论由欧几里得证明。
常见的质数有2、3、5、7等。
2.素因子分解：任何一个自然数都可以唯一分解成若干个素数的乘积形式，这个分解过程称为素因子分解。
例如，24可以分解为2^3*3，其中2和3是24的素因子。
3.最大公约数与最小公倍数：最大公约数（GCD）是指两个或多个数中最大的能够整除所有这些数的自然数，最小公倍数（LCM）是指两个或多个数中最小的能够被这些数整除的自然数。
GCD可以通过欧几里得算法进行计算，而LCM可以通过两个数的乘积除以它们的GCD得到。
4.模运算与同余方程：模运算是将一个数除以另一个数所得到的余数，同余方程是指具有相同余数的整数关系。
例如，如果a除以n与b除以n得到相同的余数，即a≡b (mod n)，则称a与b在模n下是同余的。
5.素数定理与欧拉定理：素数定理是指当自然数x趋于无穷大时，小于等于x的素数的数量约等于x / ln(x)，其中ln(x)是自然对数。
欧拉定理是指当正整数a与自然数n互质时，a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)是小于n且与n互质的自然数的个数。
6.立方与四方数：立方数是指一个数的立方，四方数是指一个数可以表示为四个整数的平方和。
高斯数学说是指四方数的性质，它由高斯证明，表示为四个整数的平方和的非负整数解的个数等于该数的除以8的余数。
7.费马小定理与小费马定理：费马小定理是费马定理的一个特殊情况，它表明如果p是一个素数，a是一个与p互质的整数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
小费马定理是费马小定理的推广，它表明如果a是一个整数，m是一个大于1的自然数，且a与m互质，那么a^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)是小于m且与m 互质的自然数的个数。
初等数论教学大纲(本科)
初等数论教学大纲（本科）哈尔滨师范大学数学系初等数论(本科) 教学大纲说明《初等数论》是师范本科学校数学与应用数学专业的一门重要专业课，数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
是在学生进入四年级后开设的一门课程。
通过对《初等数论》的教学，使学生掌握初等数论的最基本的内容，使学生在掌握其基本理论的同时为从事中学数学竞赛工作提供宏观理论的积累，初等数论是研究整数最基本的性质，是一门重要的数学基础课。
初等数论开设的目的：通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及不定方程的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
1、国际奥林匹克数学竞赛中所占初等数论内容很多，学好初等数论对于培养学生进行奥林匹克数竞赛的培训工作提供理论的知识储备。
2、培养学生初步的科研能力，因为初等数论是数学中理论与实践结合得最完美的基础课程，近代数学中的很多数学思想、概念、方法与技巧都是从整数的性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。
确定《初等数论》的教学内容应依据初高中教学实际，立足于培养学生的数学思想、方法和技巧，掌握竞赛数学中初等数论的主要理论和进一步提高和学习的基本理论，因而整个课程分为整除、同余、同余式、不定方程和原根指标几部分。
这样处理有助于形成学生完善的数学知识结构，进而从根本上提高学生的素质。
根据教学计划规定，本课程教学时数为48学时，其中讲授课和习题课共48学时，本课程安排在第七学期，周学时4，具体分配如下：1．整除12学时；2．同余8学时；3．同余方程18学时；4．不定方程4学时；5．原根和指标5学时。
大纲内容一、整除（一）教学目的通过本章的教学，使学生掌握整除的性质、带余数除法、辗转相除法，掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，熟练掌握算术基本定理，除数和函数和完全数的概念，掌握函数［x］、｛x｝基本理论。
初等数论
x7 +1 是一个合数。结论成立。 即 是一个合数。结论成立。 x +1
三、整除 带余除法：对于任一整数a和任一非零整数 和任一非零整数b， ⑴ 带余除法 ： 对于任一整数 和任一非零整数 ， 必有惟一的一对整数q和 ，使得a＝ ＋ ， 必有惟一的一对整数 和r，使得 ＝ bq＋r，0≤r 由上述条件惟一确定。 ＜b，且q和r由上述条件惟一确定。 ， 和 由上述条件惟一确定 若r＝0，则称b | a。 ＝ ，则称 。 ⑵部分性质： 部分性质： ①若c | b，b | a，则c | a ， ， ②若c | a，d | b，则cd | ab ， ， ③若ma | mb，则a | b ， ④若a＞0，b＞0，b | a，则b≤a ＞ ， ＞ ， ， 任意n个连续正整数的乘积必能被 个连续正整数的乘积必能被n！整除。 ⑤任意 个连续正整数的乘积必能被 ！整除。
－ 从而只可能a － 从而只可能 b－1 m ab－2 m… ma＋1＝1， ＋ ＝ ，
得知2 得知 t ＝ab±1＝a±1，故b = 1， ＝ ± ， ， 这与b≥ 矛盾 矛盾。 这与 ≥2矛盾。
(2) 若b为偶数，令b＝2m， 则ab≡1(mod 4)。 为偶数， 为偶数 ＝ ， 。 若2t = ab +1， 则2t = ab +1≡2(mod 4)， ， ， 从而t=1， 从而 ，故ab = 21－1 = 1，矛盾。 ，矛盾。 ， 若2t = ab－1= (am－1)(am +1)， 两个连续偶数之乘积为2的方幂只能是 m－1=2， 两个连续偶数之乘积为 的方幂只能是a 的方幂只能是 ， am+1=4， ， 从而a＝ ， ＝ ＝ 。 从而 ＝3，b＝2m＝2。2t = ab－1 = 32－1 = 8。 。 综上可知，满足题设的 的正整数次幂是2 综上可知，满足题设的2 的正整数次幂是 3，即 t＝3。 ＝ 。
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a qb r,0 r b.
q 商； r 余数。
整除概念 --如果 r 0, 则说 b 整除 a 或者 b 是 a 的因数，记为 b a ；如果 r 0, 则说 b 不能整除 a, 记为 b | a 注意：这个定理的意义在于：可以将所有的整数可以按照它们被 b 除后的余数所决定。 另外，这个除法定理在多项式理论中也有推广。即，对于任何两个多项式 f ( x), g ( x) ，只要 g ( x) 0, 那么就有
初等数论 -第一讲
整数基本性质
性质 1. 整数虽然是无穷多，却是离散分布的。 x y x y 1 。 性质 2. 如果一个整数集合 A 中所有元素均有下界，那么一定有一个最大下界（在 A 中） ； 性质 3. 带余除法—设 m 0, 对于任何一个整数 n ，总可以找到唯一的一对数 q, r 使得
唯一的多项式 q( x), r ( x) 使得
f ( x) q ( x) g ( x) r ( x), deg(r ( x)) deg( g ( x))
最大公因数概念 --两个整数 m, n 如果有公共的因数 d 使得它们的每一个公因数 d ' 都可以整除 d ，则称 d 是 m, n 的最大公因数。例如： m 36, n 27 ， d 9 便是它们的最大公因数。 性质 4.设 d 为 a , b 的最大公约数（记为 d (a, b) ） ，则有 u, v 使得 ua vb d 。 注意：这就是著名的裴蜀（E.Bezout,1730-1783 ）定理。这个定理可以从带余除法直接得到。
200个0
例 6 方程 15 x 7 y 9 无整数解。
2 2
例 7.问：是否有整系数多项式 f ( x) an x an 1 x
n
n 1
... a1 x a0 , ai Z 满足条件
f (7) 11, f (11) 13 ？
例 8. 对于每一个正整数 p 考虑方程
1 1 1 . 要找出它的正整数解 ( x, y ) 。这里， ( x, y ) 与看成不同的解。证 x y p
明：若 p 是质数，则它恰好有三组解；否则，有多于三组解。 例 9.用 d (n) 表示自然数 n 的正整数因子数目。决定 d (1) d (2) ... d (1990) 。 的奇偶性。 例 10.证明 n n 1(n 0) 不是平方数。
k 1 2 n p1 p2 ... pk
n
n
其中 p1 p2 ... pk 为质数， 1 , 2 ,..., k 为自然数。 例 4． 已知 x, y 是正整数，且
4 n
xy x y 71, x y xy 880
2 2
求x y
2
2
例 5.设 n 1, 证明 n 4 不会是质数 例 6.证明： 100...01 1 42 4 3 可以被 1001 整除。
结论 6（勒让德定理）.对于任何自然数 m, p ， p 是一个质数，用 p m 表示 p m ，但是 p
1
†m 。
设 n 1, p 为质数， p
p
n n n n !，则 p i 2 ... i 1 p p p
1 1 例 1. 设 a , b 是给定的正整数，证明：仅有有限个正整数 n 使得 a b 为整数。 2 2
例 2. 设 x, y 是两个互质的正整数，且均不为 1.证明：若 n 为正偶数，则 x y 不能整除 x n y n 。 例 2。求两个自然数 m, n 的最大公因数 d (m, n) 。 例 3 .证明：任何两个连续的 Fibonacci 数 Fn , Fn 1 , n 2 是互质的（它们的公共因数为 1） 。 性质 5.如果 a b, b c a c 性质 6.如果 a c, b c 且 (a, b) 1, ab c 。 性质 7.唯一分解定理。每一个大于 1 的自然数 n 都可以唯一地写成质数的连续乘积：
素数与自然数唯一分解定理
n N , n 2 质数p1 , p2 ,..., ps
s 1 2 使得n p1 p2 ... ps , ( pi , p j ) 1(1 i j s)
结论 1-任何大于 1 的整数必有质因数 结论 2.设 p 是一个质数， n Z ，则 (n, p)
1 p
结论 3.设 p 是一个质数， a, b Z , p ab ，则 p a 或 p b 。 结论 4.每一个大于 1 的正整数 n 均可以唯一地分解成为有限个质因数的乘积
e2 n p1e1 p2 ... pses ，每一个 pi 都是质数， ( pi , p j ) n 1
例 14．证明：任意三个连续自然数的积不是平方数。 例 5.证明：有无穷多个自然数 n 使得 100 (2n n2 ) 。 例 6.给定 100 个整数，已知在这 100 个整数中任取 8 个都可以在这 100 个整数中找出 9 个·数，使得这 8 个数 的算数平均值等所找出的 9 个数的算数平均值。证明：这 100 个数彼此相等。 例 7.假设 a1 , a2 ,..., a2 n 1 是一组整数， 满足性质 P : 如果取走集合中的任何一个，可以将剩下的数分成两个和相等 的 n 元集合。证明：所有这些整数相等，即： a1 a2 ... a2 n 1 。 例 8.100 个盒子，每个盒子中有一些球（球数不一定相等） 。设 n 是小于 100 的正整数，选 n 个盒子，并且在这 些盒子中各放一个球，称为一次操作。 （1） 证明：若 n 89 ，可以施行有限次操作，使得所有盒子里面的球数彼此相等； （2） 若 n 88 ，请举出一种情况，无论进行多少次操作，都不能使盒子中的球数都相等。 例 5. 数 1978m 与 1978n 的最后三位数字相同，试求出正整数 m, n 使得 m n 最小（ n m 1） 。 例 6. （Hajos）证明：对于任意非负整数 n ，整数 1n 2n 3n 4n 可以被 5 整除当且仅当 n 不能被 4 整除。
结论 5. 设 n p11 p22 ... ps s 是自然数 n 的质因数分解， (n), (n) 分别表示 n 的正因子与正因子的和。则有：
e e e
(n) (e1 1)(e2 1)...(es 1); ( n)
e2 1 p es 1 1 p1e1 1 1 p2 1 ... s p1 1 p2 1 ps 1
2
例 11.设 p 为奇质数且 1
1 1 a ... ，证明： p a 。 2 p 1 b
例 12. 设 n 为奇数， a1 , a2 ,..., an 是 1, 2,3,..., n 的一个排列。证明： (a1 1)(a2 2) ... ( an n) 是一个偶数。 例 13.证明