微积分基本定理
微积分三大定理
微积分三大定理
微积分是数学中的重要分支，它研究的是函数的变化与求和。
微积分的发展离不开三大定理，它们分别是导数的基本定理、中值定理和积分的基本定理。
这三个定理是微积分的核心，为我们解决各种实际问题提供了重要的工具和方法。
导数的基本定理是微积分中最基本的定理之一。
它告诉我们如何求函数的导数。
导数是描述函数在某一点上的变化率的概念，它决定了函数的增减性和曲线的斜率。
导数的基本定理使我们能够通过求导来研究函数的性质，例如函数的最值、凹凸性等。
它是微积分中理论和实际应用的基础。
中值定理是导数的一个重要应用。
它的核心思想是函数在某个区间内的平均变化率等于某个点上的瞬时变化率。
中值定理为我们提供了一种刻画函数变化的方法，它能够帮助我们找到函数在某个区间内的极值点和临界点。
中值定理的应用广泛，不仅在数学中有重要地位，还在物理、经济等领域中有着深远的影响。
积分的基本定理是微积分的重要组成部分。
它告诉我们如何求函数的积分。
积分是求解曲线下面的面积或计算曲线的总变化量的工具。
积分的基本定理使我们能够通过求积分来计算函数的面积、体积、质量等物理量，它在科学研究和工程实践中起着重要的作用。
微积分三大定理的发展与应用，不仅丰富了数学理论，也推动了科
学技术的进步。
它们为我们解决实际问题提供了强有力的工具和方法，使我们能够更好地理解和描述自然界的现象。
无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，微积分的应用都是不可或缺的。
通过学习和应用微积分三大定理，我们能够更好地理解和解决复杂的实际问题，为人类的发展和进步做出贡献。
微积分基本定理的推导
微积分基本定理的推导微积分在数学领域中占有重要的地位，它是研究变化的数学分支。
微积分分为微分和积分两个部分，微分用于研究函数的变化，而积分则是对函数的累积。
微积分基本定理是微积分的基础，下面将对微积分基本定理进行推导。
一、微积分基本概念在进行微积分基本定理的推导之前，我们需要了解微积分的一些基本概念。
1.导数导数是描述函数变化率的数学工具，它表示函数在某一点上的变化速率。
求导数的过程叫做微分。
设y=f(x)，则函数f在点x处的导数表示为：f'(x) = lim((f(x+h)-f(x))/h)，h→02.不定积分不定积分表示对函数进行积分，但不规定积分上下限。
设f(x)为连续函数，则对f(x)进行不定积分的结果表示为：∫f(x)dx3.定积分定积分表示对函数在一定区间上进行积分。
设f(x)为连续函数，a和b为区间上限和下限，则对f(x)在[a,b]区间上进行定积分的结果表示为：∫a^b f(x)dx二、了解了微积分的基本概念后，我们来推导微积分基本定理。
1.微积分基本定理第一部分微积分基本定理第一部分表明不定积分和导数之间存在一一对应的关系，即如果f(x)是一个连续函数，F(x)是f(x)的不定积分，则F(x)的导数为f(x)，即：(F(x))' = f(x)证明：我们假设F(x)是f(x)的不定积分，则有：∫f(x)dx = F(x) + C其中C为常数。
对F(x)求导数，有：(F(x))' = (F(x) + C)' = (F(x))' + C'由于C为常数，所以C'为0，得到：(F(x))' = f(x)因此，推导出微积分基本定理第一部分。
2.微积分基本定理第二部分微积分基本定理第二部分表明对函数在[a,b]区间上的定积分可以转化为对原函数F(x)在区间上的值的差值，即：∫a^b f(x)dx = F(b) - F(a)证明：假设F(x)是函数f(x)的一个原函数。
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
； 快速阅读加盟 阅读加盟
2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2
ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
4 微积分基本原理
微积分基本定理1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上． (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上－S 下，若S上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f (x )＝x 3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x 3d x 的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211x d x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t，所以ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结(1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f(x)d x很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃb a f(x)d x＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)例1计算下列定积分：(1)ʃ211x d x；(2)ʃ31(2x－1x2)d x；(3)ʃ－π(cos x－e x)d x.反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋22．若ʃa1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .[呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n→∞∑='-ni i s n ab 1)(ξ； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3．ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.π4B.π2－1 C ．2D.π－246．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝________. 9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x )d x ； (2)ʃ91x (1＋x )d x ；(3)ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x .11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x ..。
微积分基本定理的证明
微积分基本定理的证明证明微积分基本定理主要涉及到两个方面：第一，证明积分在导数中的逆运算；第二，证明求导在积分中的逆运算。
即证明：1.若函数F(x)在[a,b]区间上连续，则F(x)在[a,b]区间上可导，且导函数f(x)满足f(x)=F'(x)，即F(x)是f(x)的一个原函数。
2. 若函数f(x)在[a, b]区间上连续，则函数F(x) = ∫[a,x]f(t)dt 是f(x)的一个原函数。
定理一的证明：设F(x) = ∫[a, x]f(t)dt，我们要证明F(x)是f(x)的一个原函数，即证明F'(x) = f(x)。
令h(x) = ∫[a, x+h]f(t)dt - ∫[a, x]f(t)dt = ∫[x,x+h]f(t)dt。
根据积分的定义，h(x)是x的函数，并且有以下性质：1.h(x)在[a,b]区间上连续；2.h(x)在(x,x+h)区间上的可导，并且导函数为h'(x)=f(x)。
现在，我们考虑以下两个极限：1. 当h趋近于0时，即lim(h→0)h(x) = 0；2. 当h趋近于0时，即lim(h→0)h'(x) = f(x)。
由于h(x)和h'(x)满足以上两个性质，根据极限的性质，我们可以推断出F'(x)存在，并且F'(x)=f(x)。
这就证明了定理一定理二的证明：设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们要证明∫[a,x]f(t)dt =F(x)。
根据定积分的定义：1. ∫[a,x]f(t)dt = lim(n→∞)∑[i=1, n]f(xi)Δxi，Δxi = x - xi，ξi ∈ [xi, xi+1]；2. F(x) = F(a) + ∫[a,x]F'(t)dt = F(a) +lim(n→∞)∑[i=1, n]F'(ξi)Δxi，Δxi = x - xi，ξi ∈ [xi, xi+1]。
我们需要证明通过引入一个分割P = {a = x0 < x1 < ... < xn = x}，并取分割上每个子区间上的任意一点ξi，满足lim(n→∞)∑[i=1, n]f(xi)Δxi = lim(n→∞)∑[i=1, n]F'(ξi)Δxi。
微积分基本公式和基本定理
x
sec2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc 2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证
明2 e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
例10
1 et2 dt
求
lim
x0
cos x
x2
.
解 d 1 et2dt d cos x et2dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
1 et2 dt
lim
x0
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
x
或 arccot x C
微积分学基本定理
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
10
( 2) ( 2 x 1) dx;
3
( 3) sin 2 xdx (4) cos(3 x 1)dx (5) sin mxdx
2
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 以及x轴所围图形的面积S.
2x
作业:P67A#1(注意画图)
b
1 计算 : (1) dx; 1 x 3 1 ( 2) ( 2 x 2 )dx 1 x
2
( 3) sin xdx;
0
(4) sin xdx;
2
(5) sin xdx;
0
2
例1
求 ( 2 cos x sin x 解
原式 2 sin x cos x x 0
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
计算定积分的方法: f ( x )dx
微积分基本定理
3 / 15
同步课程˙微积分基本定理
y
1
O
2 x
【答案】 | cos x | dx 2 cos xdx π2 ( cos x)dx 3π cos xdx
0 0 2 2
2π
π
3π
2π
【例5 】 图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ A． f ( x)dx
a b
【例1 】 根据定义计算积分 x dx ．
1
1
1 1 【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故 x dx 2 1 1 1 ． 1 2
【答案】1
2
【例2 】 根据定义计算积分
0
4 x 2 dx ．
2
【解析】所求定积分为圆 x2 y 2 4 在 x 轴上半部的半圆的面积，故 【答案】 2π
2 / 15
同步课程˙微积分基本定理 四、微积分基本定理 如果 F ( x) f ( x) ， 且 f ( x) 在 [a , b] 上可积， 则 f ( x)dx F (b) F (a) ， 其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的
a b
一个原函数． 由于 [ F ( x) c] f ( x) ， F ( x) c 也是 f ( x) 的原函数，其中 c 为常数． 一般地，原函数在 [a , b] 上的改变量 F (b) F (a) 简记作 F ( x) b ， a 因此，微积分基本定理可以写成形式： f ( x)dx F ( x) b a F (b) F ( a) ．
【答案】
4 3
【例11】 (2 x 1)dx ______ ．
0
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1、积分上限函数及其导数
2、牛顿—莱布尼滋公式
3、小结与习题
新余高专数理系设计制作
1、积分上限函数及其导数
问题的提出：设f ( x)在区间 a, b]上连续，x [a, b], 则f ( x) [
在[a, x]上连续，所以积分a f ( x)dx存在, 也可写成a f (t )dt.
x x
定义：当上限x在区间 a，b]上任意变动时，将积分a f (t )dt [
叫做积分上限函数，用 （x）表示，即
x
（x） a f (t )dt
定理1
若函数f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函 ( x) a f (t )dt 数
x
x
在（a, b）上可导，且
d x ( xห้องสมุดไป่ตู้ a f (t )dt f ( x),即 dx
x x
f (t )dt a f (t )dt
x x
x
a f (t )dt a
x
f (t )dt a f (t )dt
上一页 下一页
x
x
x x
f (t )dt f ( )x, ( x, x x).
积分中值定理
（x） lim 所以 f（）， lim f（） x0 x x0 x 又因为f（x）在[a，b]上连续，当x 0， x
定理中的公式a f ( x)dx F (b) F (a)叫做牛顿 — 莱布尼滋公式 . 注1：
b
注2：牛顿—莱布尼滋公式是微分学中的基本公式.此公式揭示了
定积分与原函数之间的密切关系：连续函数在积分区间[a，b]上的 定积分等于它的一个原函数在该区间上的增量.从而为定积分的计 算提供了简便有效的方法. 上一页 下一页
一、
4 (1) (4 2 ); 3 (3) (5)
3
; ;
1 2
2
18
1 2
( 2) ; 4a 1 ( 4) ; 4 (6)7 ln 2.
1 2
二、 (1) 01dx 0
1
1 xn 1 x2 1 3 3 3 (2) 1 xdx arctan 1 x arctan xdx 1 xdx arctan 3. 3 3 3 3
a
二、证明下列不等式： 1 1 dx 2 (1) 0 ; n 2 6 1 x
2 4 3 (2) 1 x arctan xdx . 3 9 9 三、设f（x）连续，f（x） cos x 302 f ( x)dx, 求f ( x).
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习题答案
6 （提示：将等式两边从 到 积分， . 0 2 3 2
dx 0
1
dx;
三、 f ( x) cos x
求出02 f ( x)dx即可）
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3、习题
一、利用牛顿—莱布尼滋公式求下列定积分：
(1) 1
2
1 x dx; dx
2
(3) 1 (5) 0
1 2
1 x 1 arcsin x 2
2
;
1 x2
; dx;
dx , ( a 0); 2 2 a x xdx 1 ( 4) 0 ; 2 2 ( x 1) 7 10 (6) 0 dx. 2 x ( 2) 0
x 0
lim f（） f（x） , 所以（x） f（x） .
即（x）是f（x）的一个原函数 .
证毕. 上述定理初步地揭示了定积分与原函数的关系，也证明了 连续的函数一定存在原函数. 上一页 下一页
2、牛顿—莱布尼滋公式
[ 定理2 如果函数f ( x)在区间 a, b]上连续，且F ( x)是f ( x) 的任意一个原函数，那 么，
0
分积定求
x2
上一页
下一页
例2 求定积分1 解： 1
2 1 3x
2 1 3x
2 3x
dx.
2 3x
dx 1
（ 2 3 2 3x）
2 3x 3 2 2 1 dx 1 dx 2 3x 2 2 ln(2 3x) |1 x |1
dx
ln 8 ln 5 1 8 ln 1. 5
a f ( x)dx F (b) F (a).
证明： 已给F（x）是f（x）的一个原函数，根据 定理1有，
b
（x） a f（t）dt
也是F（x）的一个原函数，因此 在区间 a，b]上， [
（x） F（x） c，其中c为某个常数.
x
于是
（b) F (b) c, （a) F (a) c.
1 e x2 2 解：因为 xe dx xe dx c 2 2 2
x2
ex x2 所以 是xe 的一个原函数，由牛顿— 莱布 2 尼滋公式有，
0
a
e xe dx |0 a 2
x2
1 a 0 1 a (e e ) (e 1). 2 2
2
a
例1
.xd x ex
x2
（x）是f（x）在[a, b]上的一个原函数 .
上一页 下一页
证明： 根据导数定义，给自变 x一个增量x，则函数的增量 量
( x x) a
x x
f (t )dt（如图所示） , .
y
y f ( x)
x a （x x) ( x)
o
X+△x
b
x
a
上一页 下一页
两式相减，得到
(b) (a) F (b) F (a).
由于
(b) a f (t )dt a f ( x)dx, (a) a f (t )dt 0,
a
b
b
所以
. a f（x）dx F（b） F（a）
b
证毕. 为了简便起见， （b） F（a）常记做F（x）a . F |b