样本与统计量数据的简单处理
统计学中的样本与总体
统计学中的样本与总体在统计学中，样本和总体是两个重要的概念。
样本是指从总体中抽取的一部分观察对象或数据，而总体是指包含所有感兴趣的观察对象或数据的集合。
在进行统计分析时，对样本的研究可以推断出总体的一些特征。
1. 样本的选择与抽样方法选择一个合适的样本是进行统计研究的重要一步。
样本应代表总体的特征，因此需要使用合适的抽样方法。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
简单随机抽样是指每个观察对象被选中的机会相等，而分层抽样是根据总体的不同层次进行分层，然后从每个层次中随机选择样本。
系统抽样是按照某种规律从总体中选取样本。
2. 样本容量与抽样误差样本容量指样本中观察对象或数据的数量。
样本容量越大，对总体的推断越准确。
抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
当样本容量较小时，抽样误差会较大，因此在选择样本容量时需要根据具体问题和资源限制进行权衡和决策。
3. 样本统计量与总体参数样本统计量是对样本数据的总结和描述，例如样本均值、样本标准差等。
总体参数是对总体的特征的度量，例如总体均值、总体标准差等。
样本统计量可以用来估计总体参数，并通过抽样误差的控制来增强估计的准确性。
通过抽样方法和统计推断的方法，可以通过样本来推断总体参数的范围和分布。
4. 中心极限定理与样本分布中心极限定理是统计学中的重要定理之一。
它指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布，无论总体分布是什么样的。
这意味着即使总体不服从正态分布，通过大样本的方法仍然可以进行统计分析。
中心极限定理为统计学提供了重要的理论基础，使得在实际应用中可以更准确地从样本推断总体的特征。
5. 样本推断与置信区间样本推断是统计学中的一个重要任务，它使用样本数据来对总体进行推断和估计。
置信区间是样本统计量的一个范围，对总体参数的值给予一定的置信水平。
例如，可以用样本均值和标准误差来构建样本均值的置信区间，用于估计总体均值的范围。
6. 样本假设检验与显著性水平样本假设检验是判断样本数据是否支持某个假设的一种方法。
几种统计分析模型介绍
来估计未知参数θ ．称统计量 ˆ （ˆ X 1, X 2, …, X n ）为θ的估计量，称 ˆ ˆ（ x1, x2, …,xn ）为θ的估计值．
众数：样本中出现最多的那个数。
数据的简单处理
（2）反映分散程度的特征数：极差、四分位差
极差——样本数据中最大值与最小值之差，RMm
四分位数——将样本数据依概率分为四等份的3个数椐， 依次称为第一、第二、第三四分位数。
第一四分位数Q1： PXQ10.25 第二四分位数Q2： PXQ20.5
数据的简单处理是以一种直观明了方式加工数据。
它包括两个方面——数据整理 计算样本特征数
数据的简单处理
数据整理：将数据分组 作频率分布表
计算样本特征数：
计算各组频数 作频率直方图
（1）反映趋势的特征数
样本均值
X
1 n
n i 1
Xi
中位数：数据按大小顺序排列后，位置居中的那个数
或居中的两个数的平均数。
第三四分位数Q3： PXQ30.75
第二部分：参数估计
第一节 参数的点估计 一、点估计问题 设总体 X 的分布函数的形式为已知的F ( x,θ ) ，其中 x 是自变量,θ为未
知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）．借助于总体 X 的一个样本
（X 1, X 2, …, X n ），来估计未知参数θ的值的问题，称为参数的点估计问题．
经济统计分析
统计学研究如何测定、收集、整理、归纳和分 析反映客观现象总体数量的数据，以便给出正确认 识的方法论科学。
样本与统计量
§5 样本与统计量
第五章 样本与统计量
第一节 样本与统计量 第二节 数据旳简朴处理 第三节 统计量旳分布
§5 样本与统计量
在数理统计中, 研究对象旳全体称为总体或母 体, 而构成总体旳每个单元称为个体.
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中心问题是降低误差, 降低犯错旳可能性. 统计推断是 “数理统计”(属理科)旳主要内容.
/descriptive statistics /inferential statistics
§5 样本与统计量
描述统计与推断统计旳关系
概率论
反应客 观现象 旳数据
样本数据
描述统计
(数据旳搜集, 整
样本和统计量
样本和统计量1. 样本空间随机试验E的所有基本结果组成的集合为E的样本空间。
样本空间中的数据元素具有唯⼀性，不能重复。
2. 总体所研究对象的某项数量指标取值的全体称为总体，⽤随机变量X表⽰。
⽐如我们要研究亚洲⼈的⾝⾼分布，那所有亚洲⼈的⾝⾼数据就构成总体。
总体中数据个数⼤于等于样本空间中的数据个数，⽐如 100 个⼈⾝⾼全为 2m，那么总体就是 100 个 2m，⽽样本空间就只有⼀个2m。
3. 个体总体中的⼀个元素称为个体。
⽐如某⼀个⼈的⾝⾼。
4. 简单随机样本由于总体太过庞⼤，我们总不能真的统计全部亚洲⼈的⾝⾼，于是我们采⽤抽样的⼿段，在亚洲⼈中抽出 10000 ⼈，⽤这 10000 ⼈的⾝⾼分布来代表总体的⾝⾼分布，这 10000 次抽样相互独⽴。
我们现在只研究⼀次抽样：假如总体是\left \{ 0.1, 0.2, 0.2, 0.3, 0.3, 0.3 \right \}，那么可以认为我们抽取出的这⼀个⼈有\frac{1}{6}的概率⾝⾼为 0.1，有\frac{1}{3}的概率⾝⾼为 0.2，有\frac{1}{2}的概率⾝⾼为 0.3。
由于每次抽样之前，不会知道抽样的结果，所以⽤⼀个随机变量来表⽰，将这 10000 次的抽样结果记为随机变量X_{1},X_{2},...X_{n}，称为简单随机样本，简称样本，它们的具体观察值x_{1},x_{2},...x_{n}称为样本值。
样本与总体同分布,每⼀个个体都是⼀维随机变量,所以样本是多维,总体是⼀维。
这就和投硬币⼀样.投⼀次是⼀维随机变量.投多次是多维随机变量。
注意：总体是概率分布⾓度，是理论上的，样本是统计⾓度，是实际观察到的，两者是不同的。
5. 统计量样本X_{1},X_{2},...X_{n}不含参数的函数T = T(X_{1},X_{2},...X_{n})称为统计量，也称样本统计量。
常见的样本统计量有：样本均值、样本⽅差等。
我们需要认识到样本统计量本⾝也是⼀个随机变量，这是因为每次抽样的结果具有不确定性，即样本具有不确定性，那么样本的函数当然也具有不确定性。
药学统计学中的基本概念与数据处理方法
药学统计学中的基本概念与数据处理方法药学统计学是药学领域中的一个重要分支，它通过收集、整理和分析数据，为药物研发和临床应用提供科学依据。
在药学统计学中，有许多基本概念和数据处理方法，下面将对其进行介绍。
一、基本概念1. 总体和样本：在药学统计学中，总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中抽取的一部分个体。
例如，我们想研究某种药物的副作用情况，那么所有服用该药物的患者就构成了总体，而从中选取的一部分患者则构成了样本。
2. 变量和观测值：变量是指研究中所关注的特征或属性，可以分为定性变量和定量变量。
定性变量是指具有类别属性的变量，如性别、病情等；定量变量是指具有数量属性的变量，如年龄、血压等。
观测值是指对变量进行实际测量或观察得到的结果。
3. 参数和统计量：参数是指总体的数值特征，如总体均值、总体方差等。
由于总体往往无法完全观测到，因此需要通过样本来估计参数。
估计出来的参数称为统计量，如样本均值、样本方差等。
二、数据处理方法1. 描述统计学：描述统计学是对数据进行整理、概括和描述的方法。
常用的描述统计学方法包括频数分布、百分比、平均数、中位数、标准差等。
例如，我们可以通过统计药物副作用的发生次数，计算出其频数分布和百分比，以了解其发生的情况。
2. 推断统计学：推断统计学是通过样本对总体进行推断的方法。
常用的推断统计学方法包括假设检验和置信区间。
假设检验用于判断总体参数是否满足某种假设，如判断某种药物是否有效；置信区间用于估计总体参数的范围，如估计某种药物的平均疗效。
3. 方差分析：方差分析是用于比较多个样本均值是否有显著差异的方法。
在药学研究中，常用于比较不同药物或不同剂量的疗效差异。
方差分析可以帮助我们确定药物的最佳用量或选择最有效的治疗方案。
4. 相关分析：相关分析是用于研究两个变量之间关系的方法。
在药学研究中，常用于分析药物剂量与疗效之间的相关性。
通过相关分析，我们可以了解药物剂量与疗效之间的关系强度和方向，从而为合理用药提供依据。
总体样本参数统计量的概念及其关系
总体样本参数统计量的概念及其关系
1. 概念
总体是指研究对象的集合，总体参数指总体性质的描述量，如总
体均值、总体标准差等。
但是由于总体中所有个体的数据都可能难以
或无法获得，因此需要利用样本来推断总体。
样本是总体的一个部分，其参数统计量为样本性质的描述量，如样本平均数、样本标准差等。
通过样本参数统计量，可以估计总体参数，从而对总体进行研究。
2. 求解方法
对于样本，首先应当进行数据的收集和整理工作。
总体参数可以
通过各种不同的方法求解，常见方法为点估计和区间估计。
点估计是从样本数据计算出一个值作为总体参数的估计值。
例如
样本平均数可以被用来估计总体的均值，样本标准差可以被用来估计
总体的标准差等。
当样本充分大且随机性充分高时，点估计的可靠度
较高，但样本数据的选取和处理等过程都需要严谨和细致的操作。
区间估计是指在一定的置信度下，通过样本数据来推断总体参数
的范围。
例如在95%的置信度下，总体均值的估计值落在样本均值加减一个标准误的区间内。
相对于点估计，区间估计的可靠度更高，但相
应的计算公式和统计技巧也相对复杂。
3. 关系
样本是总体的一个部分，它以点估计和区间估计的方式，来推断总体参数。
总体参数可以随时被调整或改变，对应的样本参数也会相应地发生变化。
在实际研究中，样本参数通常是总体参数的反映，而样本的选择和处理也是推断总体参数正确性的重要因素。
因此样本参数统计量与总体参数的关系紧密相连，应当在研究中给予重视。
统计指标与样本误差的计算
统计指标与样本误差的计算统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，其中统计指标和样本误差是经常使用的概念。
统计指标是用来描述数据集中的特征和性质的数值指标，而样本误差则是用来度量样本统计量与总体参数之间的差异。
本文将详细介绍统计指标的计算方法以及样本误差的计算方式。
1. 统计指标的计算统计学中常用的一些指标包括均值、中位数、标准差、方差等。
下面将逐一介绍这些指标的计算方法：1.1 均值（Mean）均值是一个数据集的所有观测值之和除以观测的个数。
用符号表示为X。
计算均值的公式如下：X = (x1 + x2 + x3 + ... + xn)/n其中xi表示第i个观测值，n表示观测的个数。
1.2 中位数（Median）中位数是将数据集按大小排序后位于中间位置的数值，它不受极端值的影响。
计算中位数的方法是先将数据集按大小排序，然后根据数据集大小的奇偶分别取中间位置的数值或中间两个数值的平均值。
1.3 标准差（Standard Deviation）标准差是用来度量数据集中的波动性，即观测值与均值之间的偏离程度。
计算标准差的公式如下：σ = sqrt((Σ(xi - X)^2) / (n-1))其中xi表示第i个观测值，X表示均值，n表示观测的个数。
1.4 方差（Variance）方差也是度量数据集的波动性指标，它是标准差的平方。
计算方差的公式如下：σ^2 = (Σ(xi - X)^2) / (n-1)其中xi表示第i个观测值，X表示均值，n表示观测的个数。
2. 样本误差的计算样本误差是用来度量样本统计量与总体参数之间的差异的指标，它反映了从样本中得出的统计量与总体参数之间的不确定性。
样本误差的计算与具体的统计问题有关，下面以估计总体均值的样本误差为例进行说明。
2.1 点估计与区间估计点估计是根据样本数据得出总体参数的一个单一的估计值，例如用样本均值作为总体均值的估计。
区间估计则是给出一个范围，在这个范围内有一定的概率包含总体参数的真值。
统计学中的抽样调查与数据分析的方法与步骤
数据标准化与归一化
为了消除量纲影响，对数据进行标准化或归 一化处理。
数据可视化原理及常用工具介绍
数据可视化原理
通过图形化手段展示数据，帮助用户 更直观地理解数据分布、趋势和关联 关系。
常用工具介绍
Excel、Tableau、PowerBI等，这些 工具提供了丰富的图表类型和可视化 效果，方便用户进行数据分析和展示 。
对未来学习的展望与计划
如深入学习更多高级统计方法、提升数据可视化技能等。
行业发展趋势预测
大数据与人工智能的融合
利用大数据技术进行抽样调查，提高样本代表性和数据分析准确性 ；结合人工智能技术，实现自动化、智能化的数据分析。
跨学科领域的交叉应用
统计学在医学、经济学、社会学等领域的广泛应用，推动跨学科领 域的数据分析与决策支持。
将多个评估指标综合起来，构建 综合评估模型，对抽样调查结果 进行全面、客观的评价。
针对性改进建议提
1 2
针对数据质量问题提出改进建议
如加强数据收集、整理、审核等环节的质量控制 ，提高数据准确性和完整性。
针对评估结果提出改进建议
如优化抽样方案、调整样本结构、改进调查方法 等，提高抽样调查的代表性和可信度。
简单随机抽样
适用于总体容量较小、个体差 异不大的情况，通过随机方式
抽取样本。
分层抽样
将总体划分为若干层，每层内 个体具有相似特征，从每层中 随机抽取样本。
系统抽样
按照某种规则或系统方法，在 总体中每隔一定距离或时间抽 取一个样本。
整群抽样
将总体划分为若干群，以群为 单位进行随机抽取，群内所有
个体均作为样本。
经验法则
根据以往的经验和实践来确定样本容量的 大小，如某些行业或领域可能有自己的经 验法则或惯例。
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众数——样本中出现次数最多的那个数。
样本几何均值—— X g n X1X2...Xn
数据的简单处理
计算样本的特征数（统计量）——
常用的描述分散程度的特征数——
样本方差—— S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2
样本标准差—— S
1n n 1 i1
Xi X
2
极差（全距）—— R M m
数据的简单处理
数据整理（分组）——
（4）计算各组频数和频率，作频数和频率分布表
频数 fi 指落在第 i 组的数据个数，频率为频数与总数据量
之比：wi
fi n
（5）作频率直方图
要把每一小组的频率用一小矩形的面积去表示，方法是：
以样本值为横坐标，频率/组距为纵坐标，以分组区间为 底，以频率/组距为高作一系列矩形。
要把每一小组的频率用一小矩形的面积去表示，方法是： 以样本值为横坐标，频率/组距为纵坐标，以分组区间为 底，以频率/组距为高作一系列矩形。
频率直方图示意图：
数据的简单处理
计算样本的特征数（统计量）——
常用的描述集中趋势的特征数——
样本均值——
X
1 n
n i 1
Xi
中位数——数据按大小顺序排列后位于中间位置的那个数。
统计量
当我们不能完全掌握某一总体的分布函数时，只要掌握 了总体的某些数字特征（总体参数），就可基本上确定该总 体的分布，当总体参数也未知时，就只能依据样本对未知数 进行推断。通常我们利用样本构造出某种函数作为推断的基 础。这就是所谓的统计量。
统计量——
样本 X1, X2,......Xn 对应的不含未知参数的实值函数， 记作：f X1, X2,......Xn . 它本身也是一随机变量。它的分布
标准误——
n
数据的简单处理
计算样本的特征数（统计量）——
常用的描述分散程度的特征数——
四分位差Qd——满足
Qd
Q3 Q1 2
其中：
Q1为第 1 四分位数——满足 PX Q1 0.25
即当数据按大小顺序排列后排在第一个四分之一位的数。
Q3为第 3 四分位数——满足 PX Q3 0.75
计算样本均值和方差时，可利用均值和方差的性质 将数据化简后再运算。
样本（子样）容量——
样本中所含的个体的数目。
总体与样本
为保证抽取出来的样本能够反映出总体的性质，要求 样本具有代表性，即每个 Xi 与 X 同分布；还要求具有独
立性，即 X1, X 2 ,......X n 是相互独立的。满足以上条件
的样本（子样）称作简单随机样本（子样）。
要获得简单随机样本（子样），对有限总体， 应作有放回的随机抽样，对无限总体或总体相当大 时，也可作无放回的随机抽样。
（2）计算组距（一般采用等距分组，也可据实际情况分组）
组距等于比极差（原始数据中的最大值M与最小值m
之差）除以组数 k 略大的测量单位的整数倍。
如：M m 100 65 4.375 5 则取组距为 5。
8
8
数据整理（分组）——
（3）确定组限和组中点值 一般地，组的上限与下限应比数据多一位小数。这样可
例1 从某班抽取10个男同学，测其身高如下（单位cm）：
175.5, 172, 168, 173, 172.5, 169, 169.5, 178, 171.5, 172.
试计算此样本的均值和方差。
1n n 1 i1
2
Xi X
通常作为总体 X 的标准差（均方差）的一个估计值。
数据的简单处理
数据整理（分组）——
（1）根据样本容量 n 确定分组数 k
一般地， 当 30 n 40 时， 5 k 6 当 40 n 60 时， 6 k 8 当 60 n 100 时，8 k 10 当 100 n 500 时，10 k 20
62.5, 67.5 67.5, 72.5 72.5, 77.5 77.5, 82.5 82.5, 87.5 87.5, 92.5 92.5, 97.5 97.5,102.5
组中点值分别为：65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100
一般遵循“上限不在内”的原则
（解决实际问题时，也有出现开口组的情形）
保证每组所含的原绐数据不重叠。（可据实际问题另作要求）
设现有 50 个原始数据（均是整数），决定分作 8 个小组， 数据中的最大值是 100，最小值是 65 ，
则组距 100 65 4.375 5 组距 组数 840 100 65 35
取 a 62.5 m, b 102.5 M 得分组如下：
称作抽样分布。
常用统计量
设 X1, X2,......Xn 是随机变量 X 的一个样本。
样本均值——
1n X n i1 X i
通常作为总体 X 的均值的一个估计值。
样本方差——
S2
1n n 1 i1
Xi X
2
估计量的 无偏性
通常作为总体 X 的方差的一个估计值。
样本标准差（均方差）—— S
总体与样本
样本（子样）——
从总体中随机抽取出来的部分个体作成的集合。记为：
X1, X2,......Xn
注意到这里每个 Xi 因随机抽取而随机取值，所以也是 随机变量。抽样完成后得到的确切结果：
x1, x2,......xn 是n 维随机变量 X1, X2,......Xn 的一个观
察值。称为样本值或子样观察值。
总体与样本
总体（母体）—— 研究对象的全体。
个体—— 总体中的每一个元素。
在数理统计学中，我们是对总体的一个或若干个数量 指标进行研究，这样，对总体的研究就归结为对随机变量 的研究。以后说到总体时，指的就是它对应的某个或某些 随机变量。
欲研究或推断总体 X 的性质，似乎应对每一个个体逐 一测定，但这样的做法很多时候是不必要或是不可行的。 比如考察广州人的身高、体重，某种导弹的爆炸威力，某 电子元件的寿命等。我们只能在总体中随机抽取部分个体 出来测定。这就是——抽样。
前言
数理统计是应用广泛的一个数学分支， 它以概率论为理论基础，研究如何合理地获 得数据资料，建立有效的数学方法，根据所 获得的数据资料，来研究随机现象的规律性， 对研究对象的性质作出合理的估计和判断。
在这个课程里，我们学习数理统计学的 初步，主要讲述估计与检验等原理，线性回 归与方差分析等统计方法。