高等数学习题及解答(极限-连续与导数)

高等数学习题库

淮南联合大学基础部

2008年10月

第一章 映射，极限，连续

习题一 集合与实数集

基本能力层次：

1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B

解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }.

2：

证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。即结论成立。 基本理论层次：

习题二 函数、数列与函数极限

基本能力层次

1：

解：

2：

证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay b

x cy a

+=

-，所以 ()x f y = 所以命题成立 3：

（1）2

2x y -= （2）lg(sin )y x x =

+

（3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥⎧⎫

=⎨⎬<⎩⎭

解：

4：用极限定义证明： 1

lim 1n n n →∞-=(不作要求)

证明：因为 ω∀ 有11|1|n n n ω--=<成立,只要1n ω>取N ＝[1

ω

]，则当n>N 时,就有

11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n

→∞-=成立

5：求下列数列的极限

（1）lim 3n n n

→∞ （2）222312lim n n n

→∞+++L L （3）

（4）1

1n n

+

解：（1）Q 233n n n n <,又Q 2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n

→∞＝0

（2）由于22233

12(1)(21)111(1)(2)6n n n n n n n n n +++++==++L L 又因为：1111

lim (1)(2)63

n n n n →∞++=,所以：2223121lim 3n n n →∞+++L L

（3）因为：

所以：

（4） 因为：111lim 11n n n →∞

≤+

≤+，并且1

lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得

1

lim 11n n

→∞

+

=

6：

解：由于

7：

解：

8：

9：

习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本理论层次

1：

解：

同理：（3），（4）

习题四无穷小的比较、函数的连续及性质基本理论层次

1：

（1）（2）

2：

第二章 一元微分学及应用

习题一 导数及求导法则、反函数及复合函数的导数

.

基本理论层次

21,1

,,,,1

()(1)(1)lim lim 1x a b x bx x f x f bx x ⎧+≥⎪⎨-+<⎪⎩-+-==-2

222-ax 1.设f(x)=试求常数使f(x)在x=1处可导。

解：首先必须f（x）在x=1处连续,f(1-0)=limf(x)=lim(-x +bx)=b-1

f(1+0)=limf(x)=lim(ax +1)=a+1,由f(1-0)=f(1+0)f(1) 得b-1=a+1,即b=a+2-x f'(1)(1){(1)}

lim 11

()(1)1(1)

,'(1)lim lim 2.

11

'(1)'(1)0,a x x a x x f x f a a f a x x f f a ++-+---+=---+-+====--==2ax 又因为由得从而b=2。

()()()

()()ln ln ln ln ln ln 2,(0),,1'1'ln 'ln ln '111ln ln ln 0.

x x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x e

e

y x e

e

y e x x x e

x x x x x x x x +>===++⎛⎫∴=++⋅++ ⎪⎝

⎭⎛

⎫=+++⋅++> ⎪⎝

⎭x

x x x

x

x x x x x x x 2.求函数y=x+x x 解：设x x

所以x x x x x

()

()

()()()()

()()()()

()()()()()()()()()()()()()

()()()()()222

22

2233113.(),32

111

12211111'1212211212111"'12212111!21n n n n n

n n n f x f x x x f x x x x x f x x x x x x x x x x x x x n n f

x x x ++=

-+==-

----⎛⎫⎛⎫--∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫

⎛⎫----=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭

-⋅-⋅=---Q g g 求解：…由数学归纳法可得出：！()()

()111

111!.21n

n n n x x ++⎡⎤⎛⎫=-⋅- ⎪⎢⎥ ⎪--⎢⎥⎣⎦⎝⎭

()()()()()

()

()()()

()()2

2

22223232

2

2222

2233

24.,33''''6132666'112122'16663322t dy dt at

y at y t dy dx x t at t a t t

at a t at

y t t

t a t at t

x t t a a t at a t dy dx a at =⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎛⎫

⎪

⎝⎭==⎛⎫

⎪⎝⎭+--+==

+++-=

+-+-+==-g g 2

2

22求下面的参数方程所确定的函数的导数。2at

x=1+t 求1+t 1+t 解：又因为

2at 1+t 2

3.1t t -

习题二 导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的

函数的导数、函数的微分

略