不等式知识点总结
(完整版)不等式知识结构及知识点
o 不等式知识结构及知识点总结一．知识结构二．知识点1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）a b b a >⇔>,a b b c a c >>⇒>a b a c b c>⇔+>+（同向可加性） （异向可减性）d b c a d c b a +>+⇒>>,db c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性） bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则） ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且0,1)a b n N n >>⇒>∈>且⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）.变形公式：()222a b ab a b R +≥∈，a b =""=o 22.2a b ab +≤②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.2a b+≥()a b R +∈，a b =变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当3a b c ++()a b c R +∈、、时取到等号）.a b c ==④（当且仅当时取到等号）.()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，a b c ==⑤（当且仅当时取到等号）.3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>a b c ==⑥（当仅当a=b 时取等号）（当仅当a=b 0,2b aab a b>+≥若则0,2b aab a b<+-若则时取等号）⑦其中规律：小于1同加则变大，大于ban b n a m a m b a b <++<<++<1(000)a b m n >>>>，，1同加则变小.⑧ 220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：,（当且1122a b a b --+≤≤+()a b R +∈，仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.a b =""=≤≤≤ 变形公式： 222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥++++≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式当且仅当22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈时，等号成立.ad bc =⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++o r21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使,αβ ,αβαβ⋅≤ βk 时，等号成立.k αβ=⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤12,,...,n c c c 12,,...,n b b b 则（反序和乱序和12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++≤顺序和）≤当且仅当或时，反序和等于顺序和.12...n a a a ===12...n b b b ===⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任()f x 意两点有则称f(x)为凸（或1212,(),x x x x ≠12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131((;242a a ++>+②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <-211,(1)k k k >+==<等.*,1)k N k >∈>5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（时同理）<≤“或”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,1a >()()()()f x g x aa f x g x >⇔>01a <<()()()()f xg x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当时, ⑵当时,1a >()0log ()log ()()0()()a af x f xg x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩01a <<()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩22()()()().f xg x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有：①②(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③④()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥()()()()()()(()0)f xg x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标20ax bx c ++>准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.a ∆14、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时20ax bx c ++>0a =②当时 ⑵不等式的解集是全0,0;b c ⇒=>0a ≠00.a >⎧⇒⎨∆<⎩20ax bx c ++<体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时0a =0,0;b c ⇒=<0a ≠00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶恒成立恒成立()f x a <max ();f x a ⇔<()f x a ≤max ();f x a ⇔≤⑷恒成立恒成立()f x a >min ();f x a ⇔>()f x a ≥min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入0Ax By C ++=后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取Ax By C ++一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或00(,)x y 00Ax By C ++0Ax By C ++>(表示直线哪一侧的平面区域.0)<即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(0)<B 或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同0Ax By C ++>(0)<号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：z Ax By =+(,A B 法一：角点法：如果目标函数 （即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，z Ax By =+x y 、则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值z z z 法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直0:0l Ax By +=线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，0l 0l (,)x y 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .(,)x y z Ax By =+第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.z A z y x B B =-+zB①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最0,B >z Ax By =+z 大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；z ②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最0,B <z Ax By =+z 小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.z ⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型： ②“斜率”型：或;z Ax By =+yz x =;y b z x a-=-③“距离”型：或 或22z x y =+z =22()()z x a y b =-+-z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.16. 利用均值不等式：()a b ab a b R a b ab ab a b 222222+≥∈+≥≤+⎛⎝ ⎫⎭⎪+，；；求最值时，你是否注值？（一正、意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()()二定、三相等）注意如下结论：()a b a b ab aba ba b R 22222+≥+≥≥+∈+， 当且仅当时等号成立。
高考不等式知识点汇总
高考不等式知识点汇总不等式是高考数学中的重要知识点，是解决数学问题中常用的一种工具。
它不仅涉及到基本的不等式性质，还包括不等式的求解、图像表示以及应用等方面。
下面将对高考中常见的不等式知识点进行汇总。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：若a < b，且b < c，则有a < c。
传递性是不等式推导中常用的重要性质。
2. 不等式的加减性：若a < b，则有a±c < b±c，其中c为实数。
加减性运算是在不等式两边同时加减一个数时成立的性质。
3. 不等式的倍乘性：若a < b，且c > 0，则有ac < bc；若a < b，且c < 0，则有ac > bc。
倍乘性是在不等式两边同时乘以一个正数或负数时成立的性质。
二、不等式的求解1. 一元一次不等式：例如ax + b < c或ax + b > c，其中a、b、c 为已知实数，x为未知数。
求解一元一次不等式时，可以采用移项和分段讨论等方法。
2. 一元二次不等式：例如ax^2 + bx + c < 0或ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
求解一元二次不等式时，可以利用函数图像、判别式、因式分解等方法来进行求解。
3. 绝对值不等式：例如|ax + b| < c或|ax + b| > c，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
求解绝对值不等式时，可以利用绝对值的性质，将其转化为对应的复合不等式进行求解。
三、不等式的图像表示1. 不等式的区间表示：例如a < x < b或a ≤ x ≤ b，其中a、b为已知实数，x为未知数。
不等式的区间表示可以通过画数轴，标示出解集所在的区间。
2. 不等式的图像表示：例如y < ax + b或y > ax + b，其中a、b 为已知实数，x、y为未知数。
不等式知识点
不等式知识点1.不等式的性质⑴(对称性或反身性)a b b a >⇔<;⑵(传递性)a b b c a c >>⇒>，;⑶(可加性)a b a c b c >+>+⇒,此法则又称为移项法则;(同向可相加)a b c d a c b d ⇒>>+>+，⑷(可乘性)0a b c ac bc ⇒>>>，； 0a b c ac bc ⇒><<，.(正数同向可相乘)00a b c d ac bd ⇒>>>>>，⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈⇔>>（） ⑹(开方法则)0,20a b n N n >>∈⇔>>（≥） ⑺(倒数法则)110a b ab a b⇒>><， 掌握不等式的性质，应注意：条件与结论间的对应关系，是“⇒”符号还是“⇔”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。
2. 重要不等式1.基本不等式：0,0a b >>，则2b a +≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号） 注:该不等式可推出（不等式链）：当a 、b 为正数时,222)11112a b ab a b a b a b++++其中，亦可写作? （当且仅当a = b 时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数推广：①()a b c ab bc ca a b R 222++≥++∈，，当且仅当时取等号。
a b c == ② 000a b m n >>>>，，，则1b b m a n a a a m b n b++<<<<++ ③ 基本不等式的推广：若0(1,2,,)i a i n >=L12n a a a n+++L 当且仅当12n a a a ===L 时取“=”号； ④ 若0t >，则12t t +≥；若0t <，则12t t +≤- ；⑤ 2(0,0)a b a b b a+≥>>，当且仅当a b =时取得等号。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。
不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。
例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。
二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。
1.对称性：如果x > y，则y < x。
这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。
2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。
3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。
1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。
我们可以通过作差来比较两个数的大小。
2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。
我们可以通过作商来比较两个数的大小。
3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。
我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
不等式知识点总结
不等式知识点
7.绝对值的定义
8.绝对值的性质
a,(a 0)
a
0, (a
0)
a, (a 0)
a 0
a
b
a
b
a
b
a b
a
n
an
a b ab a b
a1
a2
an
ห้องสมุดไป่ตู้
a1
a2
an
不等式知识点
9.绝对值的解法
x a,(a 0) a x a
x
a, (a
a
b
a
0
a 0
a 1 2 a
a 1 2 a
不等式知识点
4.公式
a2b 2 2
ab 2
ab a 1 2b 1
5.重要结论
a 3 b 3 c 3 3 a( b a ,b ,c c , 0 )
a b c3 3ab (a ,b c ,c ,0 )
不等式知识点
6.证明不等式的主要方法 •（1）比较法：
lo gaf (x)
logag(x)
fg((fxx())x) 00
g(x) (0
a
1)
f(x) g(x)
不等式知识点
11.不等式的分类（按所连接的解析式类型分类）
一次不等式
整式不等
式
二次
不等
式
不 等 式
代数不等式
有理不等式 无理不等式
分式不等
式
高次不等式
0)
x
a, 或x
a
公式法
f(x) g(x) f(x) g(x)
a b ab
f(x) g(x),或f(x) g(x) f(x) g(x)
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。
平均不等式常用于综合法的标度。
分析方法:不等式两边的关系不够清晰。
通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。
4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。
同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。
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期末复习之不等式知识点
2
3
1） (x – 2)(ax – 2)>0
（2）x2–(a+a2)x+a3>0；
（3）2x2 +ax +2 > 0；
注: 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：
1、讨论a与0的大小；
2、讨论⊿与0的大小；
3、讨论两根的大小；运用的数学思想：
1、分类讨论的思想；
2、数形结合的思想；
3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题：
例1．已知关于x的不等式
在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围．
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
≠
≤
⋅
⇔
≤
>
⋅
⇔
>
)x(g
)x(g
)x(f
)x(g
)x(f
)x(g
)x(f
)x(g
)x(f
22
(3)210
x a x a
+-+-<
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
用图象
分离参数后用最值
函数
、
、
、
3
2
1
例2．关于x 的不等式
对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围.
4
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。
5
（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +∈⇒2
a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）,a b R +∈⇒22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． 总结：已知y x ,都是正数，则有
（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）如果和y x +是定值s ，那么当且仅当y x =时积xy 有最大值24
1s . (3)用均值不等式求最值时,若不正，则要加负号，若不定，则要凑定值，若不等，则求导考虑单调性。
)1(log 22++-=ax ax y y z x
=z ax by =+22y x z +=。