基本不等式知识点归纳

1基本不等式.ab空

(1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0.

(2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号.

［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？

提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab.

2 2

②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b.

2 2

2?几个重要的不等式

2 2 b a

a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0).

a b

2 2

a +

b 2 a +b 2 a +b

ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R)

2 2 2

3?算术平均数与几何平均数

设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术

平均数不小于它的几何平均数.

4?利用基本不等式求最值问题

已知x 0, y - 0,则

(1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小).

(2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大).

［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？

提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调

性，易知X = 2时丫皿山二.

［自测?牛刀小试］

1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为()

A. 18

B. 36

C. 81 D . 243

解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18.

2?若函数f(x)=x (x 2)在x=a处取最小值，则a =( )

x—2

利用基本不等式证明不等式

1 1

［例 1］已知 a ■ 0,b ■ 0, a ^1,求证：(1

)(1 ) _9. a b

________ I ■ ■ ■- I _______________________________

利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，

“1

的代换法等.

1 .已知 a 0, b 0, c 0,求证：ca _ a b c. a b c

A. 1 + 2

B. 1+ 3

C. 3

D. 4

3. 已知 x . 0, y . 0, z .0, x_y 2z=0,则 2的( )

1 A.最小值为8 B .最大值为8C.最小值为-D.最大值为-

4. _____________________________________ 函数y=x+—的值域为 __________________________________ .

5.在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数

f(x)=?的图象交于P 、Q 两点，则线段 PQ 长的

最小值是 _________

保持例题条件不变，证明:

(1)将该厂家20XX 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数;

⑵已知a Qb " J 1,则alb 2的最大值为

------ I ■ ■ ■- I -------------------------

应用基本不等式求最值的条件

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1) 一正二定三相等?“一正”就是各项必须为正数；

(2) “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3) “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这

也是最容易发生错误的地方.

1 1

1. (1)函数y =a 1_a (a -0, a =1)的图象过定点代若点A 在直线mx ? ny -仁0(m, n ? 0)上，求一?一的最小值;

m n

⑵ 若正数a, b 满足ab = a b ? 3,求ab 的取值范围.

利用基本不等式解决实际问题

1『」

［例3］为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在

20XX 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量

(即该

一

厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t -0)万元满足X=4

( k 为常数).如果不搞促销活动，则该产品的年销

[例2] (1)(2012 ?浙江高考)若x . 0, y 0,满足x ? 3y =5xy,则3x 4y 的最小值是(

24 代丁

B.g

C. 5 D . 6 5

利用基本不等式求最值

2t +1

量只能是1万件.已知20XX年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).

⑵该厂家20XX 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大?

------------- I. ----------------------------------------

解实际应用题时应注意的问题

(1) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

(2) 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值； 3在求函数的最值时，一定要在定义域

使实际问题有意义的自变量的取值范围

内求.

?1有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条

件最值，可用求条件最值的方法求最值

3. 某种商品原来每件售价为 25元，年销售量8万件.

(1) 据市场调查，若价格每提高 1元，销售量将相应减少 2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品

每件定价最咼为多少兀？

(2) 为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并

提高定价到x 元.公司拟投入

(X 2 -600)万元作为技改费用，投入 50万元作为固定宣传费用，投入

x 万元作为 6

浮动宣传费用?试问：当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与

总投入之和？并求出此时商品的每件定价.

［通法——归纳领悟］

1个技巧一一公式的逆用

运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 「b 2_2ab 逆用就是

— (a 0,b 0),逆用就是ab^(a b )2(a,b 0)等，还要注意“添、 2 2

件等.

2个变形一一基本不等式的变形

⑴（旦b ）—a

— ab （a,b

R,当且仅当a =b 时取“ =”）?

2 2

abl

拆项”技巧和公式等号成立的条

*「—皿￡(

_0『0,当且仅当"时取F

a b

3个关注一一利用基本不等式求最值应注意的问题

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视?要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等” 的条件. (3) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致

创新交汇一一基本不等式在其他数学知识中的应用

1. 考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题.

2. 解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件.

［典例］(2012 ?湖南高考)已知两条直线h ：y=m 和|2: y

(m 0), l 1与函数y = log 2 2m 十1

相交于点A 、B , I 2与函数y=log 2X 的图象从左至右相交于点 C 、D ,记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分

1. 本题具有以下创新点

(1) 本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题.

(2) 本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力. 2. 解决本题的关键有以下几点 (1)正确求出A 、B 、C 、D 四点的坐标; (2)正确理解a,b 的几何意义，并能正确用 A 、B 、C 、D 的坐标表示;

2m1(m 0)化成利用基本不等式求最值的形式.

［变式训练］

n n 1 1

若直线ax -by 2 =0(a 0,b 0),被圆x 2 y 2 ? 2x -4y ? 1二0截得的弦长为4,则的最小值为(

)

a b

A.4

B. ,2

C.f ^. 2

D.|+ 2 2

3.若x 0, y 0,且.x ? ....y 岂a...x y 恒成立，则a 的最小值是

X 的图象从左至右

别为a,b.当m 变化时,

—的最小值为(

)

A. 16 2

B. 8 2

C. ［名师点评］

83 4 D. 43 4

(3)能用拼凑法将m 1. 已知x 0, y 0, x,a,b, y 成等差数列x,c,d,y 成等比数列，则 2

的最小值是( )

(a b) A.

B . 1 C. 2

D. 4 2.