邱关源《电路》笔记及课后习题(电阻电路的一般分析)【圣才出品】

第3章电阻电路的一般分析
3.1 复习笔记
一、电路图论的基本概念
1．图（G）
图（G）是具有给定连接关系的结点和支路的集合，其中每条支路的两端都连到相应的结点上，允许孤立结点的存在，没有结点的支路不能称为图。

路径：从G的一个结点出发，依次通过图的支路和结点（每一支路和结点只通过一次），到达另一个结点（或回到原出发点），这种子图称为路径。

连通图：当G的任意两结点都是连通的，称G为连通图。

有向图：赋予支路方向的图称为有向图。

2．树（T）
满足下列三个条件的子图，称为G的一棵树：①连通的；②包含G的全部结点；③本身没有回路。

树支与连支：属于树的支路称为树支；不属于树的支路称为连支。

基本回路：对于G的任意一个树，有且只有一条连支回路，这种回路称为单连支回路或基本回路。

树支数：对于有n个结点，b条支路的连通图，树支数＝n－1。

推论：连枝数＝b－n＋1；基本回路数＝连支数＝b－n＋1。

二、KCL和KVL的独立方程数
KCL的独立方程数：对一个具有n个结点的电路而言，其中任意的（n－1）个结点的KCL方程是独立的。

KVL的独立方程数：对一个具有n个结点和b条支路的电路而言，其KVL的独立方程数为（b－n＋1）。

三、电路的分析方法
1．支路电流法
（1）支路电流法是以b个支路电流为变量列写b个方程，并直接求解。

其方程的一般形式为
（2）支路电流法解题步骤
①标出各支路电流的方向；
②依据KCL列写（n－1）个独立的结点方程；
③选取（b－n＋1）个独立回路，标出回路绕行方向，列写KVL方程。

注：①独立结点选择方法：n个结点中去掉一个，其余结点都是独立的；②独立回路选择方法：先确定一个树，再确定单连支回路（基本回路），仅含唯一的连支，其余为树支。

2．网孔电流法
（1）网孔是最简单的回路，即不含任何支路的回路。

网孔数＝独立回路数＝b－n＋1。

网孔电流法是以网孔电流为未知量，根据KVL对全部网孔列出方程求解。

（2）网孔电流法解题步骤
①局部调整电路，当电路中含有电流源和电阻的并联组合时，可转化为电压源和电阻的串联组合；
②选取网孔电流，指定网孔电流的参考方向；
③依据KVL列写网孔电流方程，自阻总为正，互阻视流过的网孔电流方向而定，两电路同向取“＋”，异向取“－”。

当有m个网孔时，网孔方程的一般形式为
注：①有相同下标的电阻（R11、R22、R33等）是各自网孔的电阻，简称自阻，总是为正；②不同下标的电阻（R12、R23、R13等）是网孔间的互有电阻，简称互阻；③等号右边u S11、u S22等分别为各自网孔中的电压源的代数和，若电压源的电压方向与网孔电流方向一致，则取“－”号，反之取“＋”号。

（3）网孔中含有无伴独立电流源和无伴受控电流源是列写网孔方程的难点。

对于无伴电流源，一般有两种处理方法：①若电流源只经过本网孔，可将电流源I S作为本网孔电流；
②将无伴电流源端电压设为未知量，同时，增加一个网孔电流方程。

（4）当电路中含受控源支路时，先把受控源当做独立源，然后按常规方法列写网孔电流方程，最后，将受控源的控制量用网孔电流表示，代入方程，并将方程整理为标准形式。

3．回路电流法
（1）回路电流是指在一个回路中连续流动的假想电流。

回路电流法是以一组独立的回路电流为电路变量的求解方法。

（2）回路电流法的解题步骤
①选择一个树，确定一组基本回路，指定回路的绕行方向；
②依据KVL列写以回路电流为未知量的方程，自阻总为正，互阻在相关回路共有支路上两回路电流方向相同时取正，相反时取负；
③若电路中含有无伴电流源或受控源时，另行处理，一般是各增加一个方程。

与网孔电流法方程相似，回路电流方程的一般形式为
（3）难点分析
①含有电流源的情况
a．含有电流源和电阻的并联组合，可经等效变换成为电压源和电阻的串联组合再列回路电流方程；
b．存在无伴电流源，且无伴电流源仅处于一个回路时，该回路的电流（连支电流）就是电流源电流；把无伴电流源的电压作为未知量，同时增加一个回路电流的附加方程。

②含有受控电压源的情况
a．将受控电压源作为独立电压源列出回路电流方程；
b．再把受控电压源的控制量用回路电流表示；
c．将用回路电流表示的受控源电压移至方程的左边。

4．结点电压法
（1）在电路中任意选择某一结点为参考结点，其他结点与此结点之间的电压称为结点电压。

结点电压法以结点电压为求解变量，并对独立结点根据KCL列写电路方程。

（2）结点电压法解题步骤
①选取O为参考点，确定结点电压u n1，u n2，…；
②依据KCL列写简化后的结点电压方程，自导总是正，互导总为负；
③若电路中含有无伴电压源或受控源时，另外处理，一般是各增加一个方程。

对（n－1）个独立结点的电路，方程的一般形式为
（3）难点分析
①电路中含有无伴电压源的情况
a．电压源的一端连接点作为参考点，则关于另一端的结点电压已知，无需再列方程；
b．把无伴电压源的电流作为附加变量列入KCL方程，增加结点电压与无伴电压源电压之间的关系。

②电路中含有受控电源的情况
a．含有受控电流源时，先把它当作独立电流源，再把控制量用结点电压表示，按上述方法列出结点电压方程后，把用结点电压表示的受控电流源电流移到方程的左边；
b．含有有伴受控电压源时，把控制量用有关结点电压表示并变换为等效受控电流源；
c．含有无伴受控电压源时，参照无伴独立电压源的处理方法。

3.2 课后习题详解
3-1 在以下两种情况下，画出图3-2-1所示电路的图，并说明其结点数和支路数：（1）每个元件作为一条支路处理；
（2）电压源（独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。

图3-2-1
解：（1）每个元件作为一条支路，图3-2-1（a）（b）可简化为如图3-2-2（a1）（b1）所示的拓扑结构。

（a1）中结点数n＝6，支路数b＝11；（b1）中结点数n＝7，支路数b＝12。

（2）电压源（独立或者受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路，图3-2-1（a）（b）可简化为如图3-2-2（a2）（b2）所示的拓扑结构。