高考数学 考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、

考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )（A）65（B）56（C）5654322⨯⨯⨯⨯⨯（D）6543⨯⨯⨯⨯2【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力．【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案.【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法.【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座，有25651800C A=1 800种不同选法.2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）（A）152 （B）126 （C）90 （D）54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有123343C C A=108(种)；当司机安排2人时有2333C A=18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）.【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、戊各有4种选择，因此共有33444576⨯⨯⨯⨯=（种）安排方案.3.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【命题立意】本题考查了排列、组合的知识.【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩余的2个信封分别放入2张卡片.【规范解答】选B.标号为1，2的卡片放法有A 13种，其他卡片放法有2224CC种，所以共有A132224CC=18（种）.【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.4.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ6）某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ） (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种【命题立意】本题主要考查考生能否利用所学的加法原理、乘法原理以及排列、组合知识灵活地处理有关计数问题，能否结合具体问题确定恰当的分类标准，突出考查分类讨论的数学思想.【思路点拨】解决本题可以采用直接法进行分类，也可采用间接法利用对立事件解决. 事件“两类课程中 各至少选一门”的对立事件是“全部选修A 和全部选修B ”.【规范解答】选A.方法一：可分以下2种情况:①A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法；②A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=（种）.方法二：∵事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修A 和全部选修B ”， ∴两类课程中各至少选一门的种数为33373430C C C --=（种）.【方法技巧】排列与组合的应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主考虑，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数. 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法.5.（2010·四川高考文科·Ｔ9）由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的5位数的个数是（ ）(A)36 (B)32 (C)28 (D)24【命题立意】本题主要考查有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】先排5，再排1,2.分两类：5在两端，1,2有三个位置可选择；5不在两端，1，2有 两个位置可选择.【规范解答】选A.如果5在两端，则1，2有三个位置可选，排法为2232224A A ⨯=（种）； 如果5不在两端，则1，2只有两个位置可选， 排法有2222312A A ⨯=（种），共计24+12=36（种）.【方法技巧】优先考虑特殊元素.复杂问题，分类求解.6.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( ) (A)152 (B)126 (C)90 (D)54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力． 【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有123343C C A =108(种)；当司机安排2人时有2333C A =18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126(种).【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、戊各有4种选择，因此共有33444576⨯⨯⨯⨯=(种)安排方案.7.（2010·重庆高考文科·Ｔ１0）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（）(A)30种(B)36种(C)42种(D)48种【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】先考虑特殊元素甲、乙，再安排其他员工.【规范解答】选C.（1）若甲、乙安排在同一天值班，则只能在15日值班，其余四人的值班安排方法有22 426C C=（种）.（2）若甲、乙不在同一天值班，则甲只能在15日或16日值班，若甲在16日值班，则有12244224C C C=（种）；若甲在15日值班，则乙只能在14日值班，共有11243212C C C=（种），所以共有6241242++=（种）.【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素和特殊位置进行讨论.8.（2010·四川高考理科·Ｔ10）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）（A）72 （B）96 （C）108 （D）144【命题立意】本题主要考查了有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力.【思路点拨】要得到偶数，第一步考虑，个位数字的选取，有3种选法；第二步考虑1，3相邻的问题，分两类：一类是1，3相邻，且都不与5相邻，另一类1,3,5均不相邻.【规范解答】选C.第一步：由于是组成一个6位的偶数，那么尾数就应该是在2，4，6中选，有13C种方法.第二步：又因为1，3不与5相邻，将其分为两类：①先将剩下的2个偶数排好有22A种排法，1和3捆绑，再与5插空有2232A A⋅种插法，共有222232A A A⋅⋅种排法；②先将剩下的2个偶数排好有22A种排法，把1，3，5插空，有33A种插法，共有3232A A⋅种排法,故符合题意的所有偶数有1222323223[]108C A A A A⋅⋅+⋅=3232A A180g（个）.【方法技巧】相邻问题，捆绑排列；不相邻问题，插空排列;复杂问题，分类讨论.9.（2010·重庆高考理科·Ｔ9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）（A）504种（B）960种（C）1 008种（D）1 108种【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工.【规范解答】选C.（1）若甲、乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案214244192A C A=（种）.（2）若甲、乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有214244192A C A=（种）.（3）若甲、乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有2132434192A C A ⨯=（种）；若丙安排在中间5天的其他3天，则丁有3种安排法，共有211323334432A C C A ⨯=（种），所以共有19219219243210+++=1 008（种）.【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素（甲、乙在一起，丙丁不在某位置）进行讨论；用到分类枚举法.例如，丙不在10月1日，则考虑在10月7日和10月2日至10月6日中三天的情形.10.（2010·重庆高考文科·Ｔ１）4(1)x +的展开式中2x 的系数为（ ）（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）20【命题立意】本题考查二项式定理的基础知识，考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解的能力，考查方程的思想.【思路点拨】根据二项展开式的通项公式求解或杨辉三角求解,还可以利用多项式的乘法公式将其展开. 【规范解答】选B.方法一：414r rr T C x-+=，令42r -=，则2r =，所以246C =.方法二：杨辉三角中有一行的系数1 4 6 4 1，即为4(1)x +的展开式的系数，故x2的系数为6. 方法三：422222222(1)(21)[(1)2](1)4(1)4x x x x x x x x x +=++=++=++++43246x x x =++41x ++.【方法技巧】（1）公式法.（2）杨辉三角、数表法.（3）应用多项式的乘法公式计算.11.（2010·江西高考文科·Ｔ３）10(1)x -展开式中3x 项的系数为( )(A)720-(B)720(C)120(D)120-【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用．【思路点拨】先写出通项，再令x 的次数为3，求出r 的值，最后求系数. 【规范解答】选D.,)(101r rr x C T -=+其中r 可取0，1，2，...，10，令3r =得3x 项的系数为,120)1(3310-=-C 故选D.12. （2010·江西高考理科·Ｔ６）8(2)x -展开式中不含4x 项的系数的和为( )（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用，还考查函数的求值，考查数学中常用的函数思想．【思路点拨】先求所有项的系数和， 再求含4x 项的系数，最后相减.【规范解答】选Ｂ．令8()(2)f x x =得所有项的系数和1)1(=f ，又通项r r r r x C T )(2881-=-+，其中r 可取0，1，2，…，8，令r=8得44889x x C T ==，所以不含4x 项的系数的和为01)1(=-f .13. （2010·全国卷Ⅰ文科·Ｔ5）43(1)(1)x x--的展开式中2x的系数是（）(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3【命题立意】本题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【思路点拨】利用二项展开式分别将两个因式展开，再应用多项式的乘法公式进行运算.【规范解答】选A.2x的系数是6612-=+-.14.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ5）353(12)(1)x x+-的展开式中x的系数是( )(A) -4 (B) -2(C) 2 (D) 4【命题立意】本题主要考查利用二项展开式通项1+rT求展开式中特定项，充分考查学生的运算能力.【思路点拨】利用nba)(+展开式中第1+r项rrnrnrbaCT-+=1)21(nr，，，Λ=将两式展开，确定x的系数.【规范解答】选C.124513353333322(12)(1)161281510105x x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫+-=+++-+-+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭x的系数是21210=+-.15.（2010·江西高考文科·Ｔ14）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）.【命题立意】本题主要考查排列、组合的基本知识，考查排列、组合公式的应用，考查分类与分步计数原理．【思路点拨】先确定分组数，再求分配方案种数.注意均分组问题.【规范解答】由题意，共分组数为,15222325=ACC每种分组对应分配方案633=A种，所以共15690⨯=(种).【答案】90【方法技巧】本题重点考查的是均分组问题，也是考生的易错点，解决这类问题一定要把握好是有序均分还是无序均分例如，共6人，分成2，2，1，1的四组中有两对均分组，也可表达为221112222426ACCACC⋅⋅⋅.这一点在今后解题中一定要引起特别注意.16.（2010·江西高考理科·Ｔ１４）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种（用数字作答）．【命题立意】本题主要考查排列、组合的基本知识，考查排列、组合公式的应用，考查分类与分步计数原理．【思路点拨】先求分成4组的方法数，再确定分配方案种数.【规范解答】由题意可知，分成4组共有222426ACC种分法，故不同的分配方案有44222426AACC=1 080(种).【答案】1 080【方法技巧】本题重点考查的是均分组问题，也是考生的易错点，解决这类问题一定要把握好是有序均分还是无序均分.例如，本题中先分成的四组中有两对均分组，也可表达为221112222426ACCACC⋅⋅⋅.这一点在今后解题中一定要引起特别注意.17.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ14）91()xx+的展开式中，3x的系数是_________.【命题立意】本题考查了二项式定理展开公式.【思路点拨】由二项式定理得通项rrrrr xCxxCT29999)1(1r--==+，令x的指数为3求出r,从而确定3x的系数.【规范解答】rrrrr xCxxCT29999)1(1r--==+，令923r-=得3r=.所以3x的系数是=39C84.【答案】8418.（2010·湖北高考文科·Ｔ11）在210(1)x-的展开中，4x的系数为______.【命题立意】本题主要考查二项展开式的特定项，同时考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由二项展开式的通项找出4x项对应的r，再计算对应的系数即得.【规范解答】由r2r r r2rr11010T=C(-x)=(-1)C x+，0,1,,10r=⋅⋅⋅知：4x项对应的r为2，故4x的系数为2 1045C=.【答案】45【方法技巧】求二项展开式的特定项，只需利用通项找出对应的r值，带入通项计算即得.19.（2010·四川高考文科·Ｔ13）42()xx-的展开式中的常数项为(用数字作答).【命题立意】本题主要考查二项式定理的展开式的通项公式及幂的运算.【思路点拨】直接套用公式.()na b+的第1r+项为1r n r rr nT C a b-+=.【规范解答】4421442()(2)r r r r r rrT C x C xx--+=-=-，当420r-=，即2r =时，得常数项2234(2)24T C =-=.【答案】2420.（2010·四川高考理科·Ｔ13）63(2)x -的展开式中的第四项是 .【命题立意】本题主要考查了二项式定理展开式的通项公式.【思路点拨】直接套用公式.()na b +的第1r +项为1rn rrr n T C a b -+=.【规范解答】33462T C =33()x -160x =-.【答案】160x -21.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ14）若9()ax x -的展开式中3x 的系数是84-，则a = ． 【命题立意】本题考查了二项式定理展开公式.【思路点拨】写出二项式定理展开通项，令x 的指数为3，然后确定a 的值.【规范解答】992199()()r r r r r rr aT C x C a x x --+=-=-，令923r -=，得3r =.所以339()84C a -=-，得1a =.【答案】122.（2010·湖北高考理科·Ｔ11）在204(3)x y +的展开式中，系数为有理数的项共有 项.【命题立意】本题主要考查考生对二项展开式的通项的掌握和对系数为有理数的项的理解，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数. 【规范解答】由1204r+120(3)r rrrT C xy-==204203r r r rC x y -，020r ≤≤且r N ∈知，当且仅0,4,8,12,16,20r =时所对应的项的系数为有理数.【答案】6【方法技巧】()nax by +展开式中的特定项的求解一定要借用通项1rn rr n r rr n T C a b x y --+=，0,1,,r n =⋅⋅⋅.找出符合条件的r ，再求出对应项即可.。