组合问题教学课件1
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小学数学_组合问题教学课件设计
平面画点法
. . 用ABCD来代替四个游乐项目的名称！ A . .B
C
D
3 + 2 + 1= 6(种)
孔雀馆
孔雀馆
白菜
萝卜 菠菜
油菜
芹菜
水果超市
温馨提示：
10元一份，每人只能从六 种选两种水果进行拼盘！
数角
（ ）角
华罗庚（1933-1996） ：中国 最早研究组合问题的人。
陆家羲（1935-1983）：创 造了他生活的那个时代“组 合设计领域20年来的重大成 就之一。”
组合问题
趵突泉
济南科技馆 济南动物园
游乐场
摩
大
天
摆
轮
锤
过
激
山
流
车
勇
进
怎样做到不重复不遗漏？
先确定一个，分别与其他的进行组合， 再确定另一个，分别与剩下的几个进行
组合……只要是按顺序的组合，就能
做到不重复不遗漏。
枚举法
摩天轮
大摆锤 过山车
激流勇进
大摆锤
过山车
激流勇进
过山车 激流勇进
答：一共有 6 种组合方法。
人教版二年级上册数学8.2组合问题课件(35张PPT)
谢谢观看
二年级—人教版—数学—第八单元
搭配(一) 第2课时组合问题 答疑
1.小宇有儿童文学、数学趣题 和自然奥秘各一本，想将其中 两本分别送给好朋友小丽和小 清，一人一本，一共有多少种 送法？
2.小宇有儿童文学、数学趣题 和自然奥秘各一本，想将其中 两本送给一位好朋友,一共有 多少种送法？
相同点
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
把选择出来的两个数进行加法运算，并求 出得数。
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
把所有可能出现的情况都写出来，做到 不遗漏，不重复。
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，
得数有几种可能？
（2）
5（1） 7
中两本分别送给好朋友小丽和小清，一人一本，一共有多
少种送法？
①
③
儿童文学 数学趣题 自然奥秘
②
排列与顺序有关 答：一共有6种不同送法。
小丽 儿童文学 数学趣题 儿童文学 自然奥秘 数学趣题 自然奥秘
小清 数学趣题 ① 儿童文学 ② 自然奥秘 ③ 儿童文学 ④ 自然奥秘 ⑤ 数学趣题 ⑥
2. 小宇有儿童文学、数学趣题和自然奥秘各一本，想
小宇有儿童文学、数学趣
小宇有儿童文学、数学趣
题和自然奥秘各一本，想将其 不同点题和自然奥秘各一本，想将其 中（两1本）分别送给好朋友小丽和 中（两2）本送给一位好朋友,一共有
小清，一人一本，一共有多少 种送法？
送给的人数：2个人
多少种送法？ 送给的人数：1个人
送法：一人一本
送法：一人两本
1.小宇有儿童文学、数学趣题和自然奥秘各一本，想将其
二年级—人教版—数学—第八单元
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
21
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
《组合(一)》(课件)
排列与元素的顺序有关，而组 合与元素的顺序无关，这是它的根 本区别.
[练习] 在4个不同元素a、b、c、 d中取出2个，共有多少种不同的组 合？请你写出所有的组合.
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1) 设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的
含有3个元素的子集有多少个?
(2) 某铁路线上有5个车站，则这条 铁路线上共需准备多少种车票?
根据分步计数原理, 得A43
C
3 4
A33
因此, C43
A43 A33
组合数公式
C
m n
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
(n, m N , m n)
C
m n
n! m!(n
m)!
[例1] 计算(1) C74;
(2) C170.
[例1] 计算(1) C74;
(2) C170.
多
少?
由于从4个不同元素中取出3个的排 列 数A43可 以 求 得, 我 们 可 以 考 察 一 下C 43 和A43的关系.从4个不同元素a, b, c, d中取 出3个元素的组合与排列的关系如下:
由于从4个不同元素中取出3个的排
列 数A43可 以 求 得, 我 们 可 以 考 察 一 下C 43
含有3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2) 某铁路线上有5个车站，则这条 铁路线上共需准备多少种车票?
排列问题 有多少种不同的火车票价?
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1) 设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的
含有3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2) 某铁路线上有5个车站，则这条 铁路线上共需准备多少种车票?
二年级数学上册8数学广角——搭配(一)组合问题课件新人教版
选取其中2个数求和，得数有 几种可能？
理解求和意思，得数有几 种可能是什么意思。
ppt课件
12
16
5
7
9
14
3
教学新知
二，巩固练习、拓展思维。 看右图先猜一猜三人一共握手多
少次？再四个人为一小组，三个人握 手，一个人记录。
看来，两个人相互握手，只能算 一次刚才排数，交换数的位置，就变 成另一个拓展提高
2 .有5个小朋友，要互相通一次电话，他们一共要打多少次电话?
解析：第一个同学与剩下四个同学通话4次，第二个同学和剩下 的三个同学通话3次，第三个同学和剩下的两个同学通话 2次，第四个同学和最后一个同学通话1次；这五个同学 总共通话次数：4+3+2+1=10（次）。
4+3+2+1=10（次）答：他们一共通话10次。
02 组合问题
组合问题
教材第98页
ppt课件
1
课题引入
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组 成没有重复数字的两位数，能组成几个两位 数？
6个，57、59、75、79、95、97。 你能做到不重不漏吗？ 可以用交换位置的方法，也可以用确定十 位或个位的方法。
ppt课件
2
教学新知
一、小组合作、探究新知 有3个数5、7、9，任意
小黑
小白
小灰
答：小黑、小白、小灰，三只小兔一共握了3次手。
ppt课件
9
课堂练习
2 .小黑、小白、小红和小灰四只兔朋友见面了，每两只小兔握一 次手，四只小兔一共握了（ 6）次手。
小黑
小白
小红
小灰
答：小黑、小白、小红、小灰，四只小兔一共握了6次手。
理解求和意思，得数有几 种可能是什么意思。
ppt课件
12
16
5
7
9
14
3
教学新知
二，巩固练习、拓展思维。 看右图先猜一猜三人一共握手多
少次？再四个人为一小组，三个人握 手，一个人记录。
看来，两个人相互握手，只能算 一次刚才排数，交换数的位置，就变 成另一个拓展提高
2 .有5个小朋友，要互相通一次电话，他们一共要打多少次电话?
解析：第一个同学与剩下四个同学通话4次，第二个同学和剩下 的三个同学通话3次，第三个同学和剩下的两个同学通话 2次，第四个同学和最后一个同学通话1次；这五个同学 总共通话次数：4+3+2+1=10（次）。
4+3+2+1=10（次）答：他们一共通话10次。
02 组合问题
组合问题
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ppt课件
1
课题引入
有3个数5、7、9，任意选取其中2个组 成没有重复数字的两位数，能组成几个两位 数？
6个，57、59、75、79、95、97。 你能做到不重不漏吗？ 可以用交换位置的方法，也可以用确定十 位或个位的方法。
ppt课件
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教学新知
一、小组合作、探究新知 有3个数5、7、9，任意
小黑
小白
小灰
答：小黑、小白、小灰，三只小兔一共握了3次手。
ppt课件
9
课堂练习
2 .小黑、小白、小红和小灰四只兔朋友见面了，每两只小兔握一 次手，四只小兔一共握了（ 6）次手。
小黑
小白
小红
小灰
答：小黑、小白、小红、小灰，四只小兔一共握了6次手。
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
1.3.1组合与组合数公式课件
法？
[思路探索] 属于组合与排列的区分问题，看问题有无次序要求． 解 (1)集合中的元素具有无序性，顺序无关是组合问题． (2)两人握手与顺序无关是组合问题．
(3)学习小组的人与顺序无关是组合问题．
(4)将名额分给5个班，只与每班分得名额个数有关，属组合问题．
规律方法
区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N， 即7≤m≤8，∴m＝7或8. (3)证明 n－1！ n n m C－＝ · n－m n 1 n－m m！n－1－m！
n！ ＝ ＝C m n. m！n－m！ 规律方法 求解与组合数有关的方程，不等式及证明问题时，要
应用组合数的公式，并注意其成立的条件．
序排列还是无序地组在一起，区分有无顺序的方法是把问题的一 个选择结果解出来，然后交换这个结果的任意两个元素的位置，
看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问
题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【变式1】 有8盆不同的花， (1)从中选出2盆分别送给甲、乙两人每人一盆； (2)从中选出2盆放在教室里． 以上问题中，哪一个是组合问题？哪一个是排列问题？ 解 (1)从8盆花中，选出2盆送给甲、乙两人每人一盆的送法 与顺序有关，故属排列问题． (2)从8盆花中，选出2盆放在教室的放法与顺序无关，故属组 合问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
3．组合数公式
m nn－1n－2…n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ m！ m！n－m！ m
规定：C0 n＝1. 试一试 找出从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 与从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数的关系式．
m A n m m m 提示 Cm · A ＝ A ，即： C ＝ . m n m n n Am
[思路探索] 属于组合与排列的区分问题，看问题有无次序要求． 解 (1)集合中的元素具有无序性，顺序无关是组合问题． (2)两人握手与顺序无关是组合问题．
(3)学习小组的人与顺序无关是组合问题．
(4)将名额分给5个班，只与每班分得名额个数有关，属组合问题．
规律方法
区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N， 即7≤m≤8，∴m＝7或8. (3)证明 n－1！ n n m C－＝ · n－m n 1 n－m m！n－1－m！
n！ ＝ ＝C m n. m！n－m！ 规律方法 求解与组合数有关的方程，不等式及证明问题时，要
应用组合数的公式，并注意其成立的条件．
序排列还是无序地组在一起，区分有无顺序的方法是把问题的一 个选择结果解出来，然后交换这个结果的任意两个元素的位置，
看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问
题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【变式1】 有8盆不同的花， (1)从中选出2盆分别送给甲、乙两人每人一盆； (2)从中选出2盆放在教室里． 以上问题中，哪一个是组合问题？哪一个是排列问题？ 解 (1)从8盆花中，选出2盆送给甲、乙两人每人一盆的送法 与顺序有关，故属排列问题． (2)从8盆花中，选出2盆放在教室的放法与顺序无关，故属组 合问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
3．组合数公式
m nn－1n－2…n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ m！ m！n－m！ m
规定：C0 n＝1. 试一试 找出从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 与从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数的关系式．
m A n m m m 提示 Cm · A ＝ A ，即： C ＝ . m n m n n Am
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有3个数5、7、9，任意选取其中 2个求和，
得数有几种可能？
3种
问题1：观察我们研究过的两道题，你有什么发现？
问题2：都是从5、7、9这三个数中选2个，怎么一个能组成6个， 一个却只有3种可能啊？
每两个人握 1次手，3人一共握几次手？
312次
买1个拼音本，可以怎样付钱？
付法一
付法二
付法三
付法四
有几种穿法？(每次上衣穿一件，裤子穿 1条) 4种穿法。
用下面3枚硬币可以组成多少种不同的币值？
数学广角
组合问题
复习 有3个数5、7、9，任意选取其中2
个组成两位数，一共能组成几个？
57 75 95 59 79 97
一共能组成6个。
例2 有3个数5、7、9，任意选取其中2个
求和，得数有几种可能？问题 Nhomakorabea你都知道了什么？ 追问：“其中2个”是什么意思？“求和”指的是什么？
“得数有几种可能”是什么意思？
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
列表 5 75 7
7 12 59 124 9 16
得数有 3 种可能。
有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和， 得数有几种可能？
画图 12 16
57 9
14
得数有 3 种可能。
对比分析，提升认识
有3个数5、7、9，任意选取其中 2个组成 两位数，一共能组成几个？ 6个