解析汇报函数地孤立奇点类型判断及指导应用
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
复变函数的解析点是复变函数在某一点处可以被写成一系列幂级数的点，而孤立奇点是复变函数中只有单个奇次幂项且系数不为零的点。
解析点的运算性质
对于复变函数的解析点，有如下几条运算性质：
如果复变函数的解析点有公共部分，那么这些点就是复变函数的公共解析点。
如果复变函数的解析点不存在公共部分，那么这些点就是复变函数的交替解析点。
如果复变函数在某一点是解析的，那么在这一点处复变函数的导数也是解析的。
如果复变函数在某一点是解析的，那么在这一点处复变函数的导数的导数也是解析的。
孤立奇点的运算性质
对于复变函数的孤立奇点，有如下几条运算性质：
如果复变函数有孤立奇点，那么这些点就是复变函数的孤立奇点。
孤立奇点是复变函数中的特殊点，因为在这些点处复变函数的导数不存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么在这些点处复变函数的导数不存在，但是如果将复变函数按照某种方式拓展，那么复变函数的导数可能在这些点处存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么复变函数在这些点处的导数的导数也不存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么复变函数在这些点处的导数的导数的导数可能存在。
对于复变函数的孤立奇点，如果复变函数在这些点处可以被写成一系列幂级数，那么这些点就不再是孤立奇点，而是解析点。
孤立奇点的类型及判断方1
孤立奇点的类型及其判定方法摘要：本文归纳了孤立奇点的类型及其主要判定的方法.分别对函数在有限点和无限点的孤立奇点研究，得到了判定孤立奇点类型的三种方法：定义法、极限值法、极点与零点关系法.接着阐述了有两个函数的和、差、积、商所得的新函数与原函数在孤立奇点类型的关系，并且结合一下例子介绍了判定孤立奇点类型的三种方法的应用.关键词: 可去奇点 极点 本质奇点1.引言复变函数的孤立奇点是复变函数论中的重要概念.函数在孤立奇点的附近可以展示洛朗展开式,对一个函数而言,孤立奇点的个数往往不是很多的,但是这些不多的孤立奇点往往就决定着这个函数的性质了,因此,什么是孤立奇点，孤立奇点有哪些类型，怎么判定并快速的判定函数的孤立奇点的类型，对研究函数的孤立奇点去心邻域内的性质，复积分的计算等至关重要.但是函数的孤立奇点的类型往往很难判定，特别对复合函数等.这样就使得我们去探索新的方便的判定孤立奇点类型的方法.目前，已经有很多人对判定孤立奇点类型的问题做过研究了，也作出了很多成就.本文在此基础上，归纳诸多方法，旨在为判定孤立奇点类型提供参考.根据在孤立奇点某邻域的洛朗展开式判定孤立起点的类型，但是有些函数的洛朗展开式很难求出来，我们还可以根据函数在孤立奇点的极限值判定孤立奇点的类型.但是有些函数的倒函数很容易判定出倒函数的零点阶数，对于这样的函数我们可以根据极点和零点的关系判定孤立奇点的类型.本文论述的方法只是提供参考，在实际应用中应该根据孤立奇点类型的特点运用相应的方法，使得对孤立奇点的判定更加方便.2.孤立奇点的类型及判断方法 2.1孤立奇点的定义定义1 如果函数)(z f 在点a 的某一去心领域R a z a K <-<-||0:}{（即除去圆心a 的某圆）内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.孤立奇点分有限孤立奇点和无穷孤立奇点.2.2 孤立奇点的类型和判断以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质.如a 为函数)(z f 的孤立奇点，则)(z f 的某去心领域{}K a -内可以展成洛朗级数)(z f =∑∞-∞=-n n na z c)(.我们称非负幂部分∑∞=-0)(n nna z c为)(z f 在点a 的正则部分，而称负幂∑∞=---1)(n nn a z c 为)(z f 在点a 的主要部分.实际上非负幂部分表示在点a 的领域:||K z a R -<内的解析函数，故函数)(z f 在点a 的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分上.定义2如果)(z f 在点a 的主要部分为零，则称a 为)(z f 的可去奇点； 如果)(z f 在点a 的主要部分为有限多项，设为),0(,)()(11)1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称a 为)(z f 的m 阶极点，一阶极点也称为单极点；如果)(z f 在点a 的主要部分为无限多项，则称a 为)(z f 的本质奇点；以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征.如果a 为函数)(z f 可去奇点，则有),0(,)()()(2210R a z a z c a z c c z f <-<+-+-+=上式等号右边表圆:||K z a R -<内的解析函数.如果命,0)(c a f =则)(z f 在圆K 内与一个解析函数重合，也就是说，我们将)(z f 在点a 的值加以适当定义，则点a 就是)(z f 的解析点.这就是我们称a 为)(z f 的可去奇点的由来.定理1 如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z af z b →=≠∞.证明 充分性 因为a 为函数)(z f 可去奇点，则有)(z f =)0()()(2210R a z a z c a z c c <-<+-+-+ ，于是()()00lim z af z c c →=≠∞，必要性 ()()lim z af z b →=≠∞则对任给的0ε>，有δ0>，只要δ<-a z ,就有εη<-)(z f ，于是εη+<)(z f ，所以在点a 的某去心邻域{}K a -内)(z f 是以M 为界的，考虑)(z f 在点a 的主要部分+-++-+----nn a z c a z c a z )()(c 221,....)3,2,1()()(211=-=⎰Γ+--n d a f i c n n ξξξπ， 而Γ为全含于K 内的圆周ρρξ,=-a 可以充分小，n n n M M c ρπρρπ=≤+--2211，即知当1,2,n =时0n c -=，即是说)(z f 在点a 的主意部分为0，即a 为)(z f 的可去奇点.说明0=z 是sin zz的可去奇点，32sin 1()1,03!3!z z z z z z z =-+=-+<<∞，0sin lim1→=≠∞z zz.如果孤立奇点是极点时，孤立奇点的洛朗展开式的主要部分比为有限项，我们还有分级数，称为多少级极点.洛朗展开式中的负次方的项的系数必然满足一定的关系，总存在一个负最多的次数项，那么我们就把这个负多少次数的项称为函数的多少阶极点.比如，一个m 阶极点，表示洛朗展开式不是有m 个负次方的项，而是非零系数负次方的次数最大是m 次数了.定理2 如果函数)(z f 以a 为孤立奇点，则点a 是函数)(z f 的m 阶极点充要条件是下面两个条件中任意一条.① 在点a 的某一去心领域内能表成)(z f =ma z z ）-()(λ其中()z λ在点a 领域内解析，且0)(≠a λ；② )(1)(z f z g =以点a 为m 阶零点（极点与零点的关系）. 证明 充分性 点a 是函数)(z f 的m 阶极点，则在点a 的某去心邻域内有+-++-++-+-=-----)()()()(1011)1(a z c c az c a z c a z c z f m m m mmmm m a z z a z a z c c )()()()()1(-=-+-+=---λ，其中)(z λ显然在点a 的邻域内解析，且.0)(≠=-m c a λ所以在点a 的某去心邻域内有)()()(1)(z a z z f z g mλ-==，其中)(1z λ在点a 的某邻域内解析，且0)(1≠z λ，因此点a 位)(z g 的可去奇点，只要令()0g z =，a 就为)(z g 的m 阶零点.必要性 如果)(1)(z f z g =以点a 为m 阶零点，则在点a 的某邻域 )()()(z a z z g m ϕ-=，其中)(z ϕ在此邻域内解析，且0)(≠z ϕ，所以)(1)(1)(z a z z f mϕ⋅-=在此邻域内)(1z λ解析，在此邻域内命+-+=---)()(1)1(a z c c z m m ϕ， 则)(z f 在点a 的主要部分就是(1)111,(0),()()()m mm m m c c c c z a z a z a a ϕ------+++=≠--- 所以点a 是函数)(z f 的m 阶极点.在充分性中已经证明条件①可以推导出条件②，所以条件①可以推导出点a 是函数)(z f 的m 阶极点.定理3 函数)(z f 的孤立奇点a 为极点的充要条件是lim()z af z →=∞.证明 函数)(z f 以点a 为极点的充要条件是)(1z f 以点a 为零点（定理2），由此知定理为真.因此，若点a 为函数)(z f 的m 阶零点时，则点a 为函数1()f z 的m 阶极点；若点a 为函数)(z f 的m 阶极点，则点a 为函数1()f z 的m 阶零点.但是判断多少阶极点时要注意条件. 例如 函数21()z e f z z-=，0z =不是函数)(z f 的二阶极点，因为 231211()(),2!3!2!3!z z zf z z z z -=+++=+++所以，0z =是函数)(z f 的一阶极点.定理4 函数)(z f 的孤立奇点a 为本质奇点的充要条件是lim ()z af z →不存在. 这个可以由定理1和定理3得到证明.定理5若z a =为函数)(z f 的本质奇点，且在点a 的充分小的去心邻域内部不为零，则z a =必为)(1z f 的本质奇点. 证明：令)(1)(z f z =ϕ，有假设得z a =必为)(z ϕ的孤立奇点.若点a 为)(z ϕ的可去奇点，则点a 必为)(z f 的可去奇点或者极点，与假设矛盾；若点a 为)(z ϕ的极点，则点a 必为)(z f 的零点，与假设矛盾，故z a =必为)(z ϕ的本质奇点.2.3在∞点的孤立奇点定义3设函数)(z f 在无穷远点（去心）领域{}:||K z -∞+∞>内解析，则称点∞为)(z f 的一个孤立奇点.如果点∞为)(z f 的一个孤立奇点，令1t z =,1()()()g t f f z t==则函数()g t 某去心领域{0}:0||K t R -<<内解析，0t =就为()g t 之一孤立奇点.于是得到下面结论:（1）在对应点z 与t 上，函数)(z f 与()g t 的值相等； （2）0lim ()lim ()z t f z g t →∞→=,或两个极限都不存在.定义4 若0t =为()g t 的可去奇点，m 阶极点或本质极点，则我们相应的称z =∞为)(z f 的可去奇点，m 阶极点或本质极点.定理6 如果z =∞是函数)(z f 的可去奇点的充要条件lim ()z f z b →∞=≠∞；如果z =∞是函数)(z f 的m 阶极点的充要条件)(z f 在z =∞的某去心领域{}K -∞内能表成()()m f z z h z =其中()h z z =∞在)(z u 的领域K 内解析，且()0h z ≠或者1()()h z z f z ==∞以为m 阶零点或者lim ()z f z →∞=∞；函数)(z f 的孤立奇点∞为本质奇点的充要条件不存在lim ()z f z →∞.证明 令1t z =，1()()()g t f f z t==，再根据定理1,2,3,4可证. 综上所述①如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z af z b →=≠∞；②如果a 为函数)(z f 极点充要条件lim()z af z →=∞；③如果a 为函数)(z f 本质奇点充要条件lim ()z af z →不存在.3.复变函数中的应用定理7 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的可去奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点；当()0f a ≠，()0g a ≠时，则z a =函数)()(z f z g ，)()(z g z f 的可去奇点. 证明 因为点z a =为)(z g 的可去奇点，所以lim ()z ag z b →=（有限复数）由)(z f 在点z a=解析知)(z f 在点z a =必连续，从而lim()()z af z f a →=，于是[]lim ()()()z af zg z f z b →±=±（有限复数），lim ()()()z af zg z bf z →=（有限复数），所以点z a =也为)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点.因为z a =是函数)(z g 的可去奇点，则lim ()z ag z b →=(有限数)，函数)(z f 在点z a =解析，所以lim()()z af z f a →=，因为()0f a ≠,所以()lim ()()z ag z bf z f z →=（有限数）所以点z a=是函数)()(z f z g 的可去奇点.同理可证点z a =是函数)()(z g z f 的可去奇点. 定理8 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的m 阶极点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的m 阶极点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数的)()(z g z f ，)()(z f z g 的m 阶极点.证明：因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成ma z z z g )()()(-=λ，其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠a λ.于是()()()()()()m mz a f z z f z g z z a λ-±±=-,令)()()()(z z f a z z m λ±-=Φ则在点z a =解析，且0)()(≠±=Φa a λ所以点z a =也为)()(z g z f ±的m 阶极点.因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成ma z z z g )()()(-=λ，其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠z λ，于是()()()()()mf z z f zg z z a λ=-，这里)()()(z z f z λ=Φ在点z a =解析，且0)(≠Φa ，所以点z a =是函数)()(z g z f 的m 阶极点.同理可证点z a =是函数)()(z f z g 的m 阶极点. 定理9 若函数)(z f 在点z a =解析,点z a =为函数)(z g 的本质奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数)()(z g z f ，)()(z f z g 的本质奇点.证明 因为函数)(z f 在点z a =解析，所以()f z b =，点z a =为函数)(z g 的本质奇点 所以lim ()z ag z →不存在，假设lim[()()]lim ()z a z ag z f z g z b →→+=+存在，则lim ()(z ag z b c →+=有限数）或者∞； lim ()(z ag z c b →=-∞有限数）或者 矛盾，所以点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点.因为点z a =为函数)(z g 的本质奇点，所以lim ()z ag z →不存在；函数)(z f 在点z a =解析,且()0f a ≠，所以lim ()()z af z f a →=，假z a =不是函数)()(zg z f 的本质奇点，则lim ()()(z af zg z b →=∞有限数）或，lim[()()]lim (=()(z az af zg z bg z f a f a →→=∞）或）相矛盾， 所以z a =是函数)()(z g z f 的本质奇点.同理可证也是)()(z f z g 的本质奇点. 定理10 若)(z f 在点a 的某去心邻域内能表示成)()()(z g z h z f =，a 为()h z 的n 阶零点，为)(z g 的m 阶零点，当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a 为)(z f 的可去奇点.证明：0)()(,)()(,))(()(1111解析，且都不等于和z g z h a z g z g a z z h z h mn-=-=,于是，11()()()()n mh z z a f z g z --=，所以当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a为)(z f 的可去奇点.例1 判断()2z z z f z e+=∞=点函数的孤立奇点类型.解 令z 1=ξ则得ξξ211)1(+=e f ，记函数为)(ξϕ所以点0=ξ是此函数的解析点()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=''+-='++432112112214218)()21(2)(ξξξϕξξϕξξee所以e e e 12)0(,2)0(,)0(=''-='=ϕϕϕ，()() ++-=2621ξξξϕe ，()()+∞<<⎪⎭⎫⎝⎛++-=z z z e z f 26212 ，这里∞=z 是函数)(z f 的可去奇点. 例2 求下列函数奇点的类型 ⑴z z cos sin 1+ ⑵()321iz + ⑶z 2tan ； 解：⑴4ππ-=k z () ,2,1±±=k 是原式的孤立奇点，41limsin cos z k z zππ→-=∞+，4ππ-=k z 是函数)(z f =z z cos sin +的一阶零点，所以4ππ-=k z () ,2,1±±=k 是一阶极点.⑵()i z -±=122是孤立奇点，()i z -±=122是函数()32i z +的3阶零点，所以()i z -±=122是三阶极点. ⑶π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是孤立奇点，π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是函数z z 22sin cos 的2阶零点，所以π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是二阶极点.例3求下列函数在扩大平面上的孤立奇点，并确定它们的类别.⑴226)1(1++z z z (2)21ze z+ (3)1111---z z ee (4)ztge1解：（1）令原式为)(z f ，则)(z f 是有理分式，显然0z =是单极点，当z i =±时，此时分子分母均为零，)1)(1(12426+-+=+z z z z ，))((1)1()1)(1()(2422242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=， 可见z i =±也是)(z f 的一阶极点.当z =∞时))((1)1()1)(1()(2422242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=，可见z =∞是)(z f 的一阶极点.（2）显然z i =±是)(z f 的一阶极点. 当z =∞时，令0z x =>211lim lim 0()x x x x f x e→∞→∞+==, ()()2110,lim lim x x x x z x x f x e-→∞→∞+=->==∞-,因此极限1lim()z f z →∞不存在（包括不为∞），所以，z =∞是)(1z f 的本性奇点，故z =∞是)(z f 的本质奇点.注：若lim ()z f z →∞不存在，则z =∞是)(z f 的本性奇点，这是显然的，否则若z =∞是可去奇点（正则点）或极点，则lim ()z f z →∞存在且有限，或lim ()z f z →∞=∞，矛盾.（3）显然k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是分母的零点，而分子仅有),0(10==k z 分子为零，所以k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是)(z f 的一阶极点. 当10==z z 时，令1,-==x y x z ，则()11lim lim 1yy x y ef x e ++→→==+∞-11lim ()lim 0,(),1pp x p ef x p y e -+--→→===--所以1lim ()z f z →不存在，故1=z 是)(z f 的本性奇点.又∞→k z （∞→k ），故z =∞不是孤立奇点.（4）由下列注知：函数ζe 仅有唯一的奇点∞=ζ，且它是本质奇点，于是令ztg1=ζ，则)(z f 仅为函数ζe 又由z 1cos =0知，当k z =π)12(2+k （0k =， ,1±）时，∞=ζ所以k z 是的)(z f 本质奇点.显然0z =是)(z f 的本质奇点.当z =∞时，若定义,01=∞则z =∞是)(z f 可去奇点.综上对孤立奇点的研究，要判断孤立奇点类型主要有2种方法：①根据主要部分，但有一些函数的洛朗展开式不容易求出；②函数的极限值，当极点时，无法判断极点的阶数.所以求函数的奇点类型一般方法先求函数在孤立奇点的极限值，如果我们求出的是极点，在根据极点和零点的关系求出极点的阶数.结束语本论文所论述的判定孤立奇点类型的方法只是为了判定孤立奇点的类型提供参考，在具体的判定孤立奇点类型时，可以根据函数的不同采用不同的判定方法判定孤立奇点类型.本文中的方法不一定是解题时最简便的判定孤立奇点的方法.参考文献[1]尹水仿，李寿贵，复变函数与积分变换[M],科学出版社，2009.[2]苏变萍，陈东立,复变函数与积分变换（第二版）[M], 高等教育出版社 ，2010. [3]陈宗煊，孙道椿，刘名生, 复变函数[M],科学出版社 ，2010. [4]钟玉泉, 复变函数论（第三版）[M], 高等教育出版社， 2004. [5]沈燮昌, 复变函数论基础[M], 上海科学技术出版社,1982. [6]庄圻泰, 复变函数[M], 北京大学出版社， 1984. [7]冯复科，复变函数与积分变换[M]，科学出版社,2008.[8]Brown, James Ward., Complex variables and applications[M], China Machine Press ， 2004.Types and Their Judgment of The Isolated SingularityAuthor ：Dong Zhaolin Supervisor: Wu DaiyongAbstract ：This article generalizes type and main determination way of the isolated singularity.Respectively studying function in finite number of points and infinite point of the isolated singularity, we get three to determine the method which are definition of law , limit law and poles and zeros relations act with isolated singularity type. This article describes relationship of new function which two functions and, difference, product, business receive with the original function in isolated singularity type. Combination of what the example describes the application of the three methods to determine the type of isolated singularity.Keywords: removable singularity extreme essential singularity。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点
复变函数有许多性质，其中一些比实变函数更加有趣，例如，复变函数的孤立奇点。
在数学中，孤立奇点是复数平面上某个点处的奇点，该点周围的一个充分小的半径范围内函数无定义。
孤立奇点可以被分类为三种类型：可去奇点、极点和本性奇点。
这些类型的定义如下：
1.可去奇点：如果一个函数在这个点处的极限是有限的，则该奇点为可去奇点。
孤立奇点的性质不止是一般奇点的性质。
对于孤立奇点，我们可以将整个函数拆分为主函数和解析部分。
主函数在孤立奇点处没有定义，而解析部分可以使用洛朗级数展开式表示。
这种展开式是一种类型的级数，可以帮助我们更好地理解和研究复变函数的行为。
当我们通过洛朗级数展开来研究孤立奇点时，我们发现级数中的常数项是解析部分。
这个解析部分没有奇点，可以扩展到整个复平面上，那么它就是整个函数的主函数。
这种展开式在很多数学和工程应用中都有很好的应用，例如电子电路和信号处理。
对孤立奇点的研究在数学和应用领域都有重要意义。
在数学研究中，这些奇点是理解多复变数函数的关键。
在物理学研究中，例如在量子力学中，对解析函数的研究也是重要的。
而在工程中，对展开式的应用则是帮助我们计算信号的傅立叶变换或者在电子电路中分析振荡器和滤波器的行为。
总结来说，复变函数中的孤立奇点是复杂数学的一个亮点。
它们有着很多有趣的性质和应用，对于研究多元函数和应用技术都有重要的意义。
因此，深入研究复变函数的孤立奇点，不仅只是一个数学课题，也是应用和工程领域探索的前沿。
判断孤立奇点的类型的方法
判断孤立奇点的类型的方法
咱先说说啥是孤立奇点哈。
孤立奇点呢，就是在一个函数的定义域里，有那么一个点，它周围一圈都是函数有定义的地方，就它自己有点特殊。
那怎么判断它是啥类型的孤立奇点呢？
对于可去奇点呢，就像是一个调皮但又很容易改正的小错误。
如果函数在这个奇点处的极限存在，那这个奇点就是可去奇点啦。
比如说，函数在这个点看起来好像没定义，但是只要给它补上一个合适的值，函数就能在这个点变得完美无缺，就像给一个有小缺口的漂亮花瓶补上一点泥，马上就完整了。
再说说极点。
极点就有点像一个比较严重的问题点。
如果函数在这个奇点附近，函数值会变得超级大或者超级小，而且当我们把函数写成一种分式的形式，分子分母都是解析函数的时候，分母在这个点是零，分子在这个点不是零，那这个点就是极点。
这就好比是在一个道路上突然出现了一个大坑，所有靠近它的东西都会受到很大的影响。
还有本性奇点呢。
本性奇点就像是一个完全捉摸不透的小怪兽。
函数在这个奇点附近的极限不存在，不管你怎么去研究，它都不会有一个稳定的趋向。
比如说，当你靠近这个点的时候，函数值会跳来跳去，一会儿大得不得了，一会儿又小得可怜，完全没有规律可循。
咱判断的时候啊，就像是在玩一个解谜游戏。
先看看函数在那个孤立奇点的极限存不存在，如果存在，那很可能就是可去奇点。
要是极限不存在，再看看能不能写成那种分式的形式来判断是不是极点。
要是前面两种情况都不是，那大概率就是本性奇点啦。
你看，判断孤立奇点的类型也没有那么难对不对？就像认识不同性格的小伙伴一样，只要了解了它们各自的特点，就能轻松把它们分辨出来啦。
谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法
谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法有限孤立奇点是一种重要的数学概念，它是一种有限、孤立的特殊点，具有解析函数的性质。
有限孤立奇点的存在及其判断具有重要的理论和应用价值。
本文主要就解析函数中的有限孤立奇点作一深入的研究，主要介绍以下内容：一、有限孤立奇点的定义有限孤立奇点是指一类有限的孤立的点，这些点具有解析函数的性质。
可定义为：若函数f（x）在x=x_0处及它的邻域内无有限值，则称x_0是f（x）的有限孤立奇点。
这里，f（x）一般指定义域上的可导分析函数，并且特征点x_0也要满足函数f（x）在有限范围内无有限值。
二、有限孤立奇点的重要性有限孤立奇点对于解析函数有着重要的意义。
首先，有限孤立奇点可以帮助数学研究人员更加深入地研究函数，从而有助于函数分析。
其次，有限孤立奇点也可以用来分析一些特定问题，比如求解方程。
在应用中，有限孤立奇点的存在也可以提供一种有力的理论基础，涉及到一些数学上的研究，如解析函数的求解、有限元素分析等。
三、有限孤立奇点的判定方法判断一个点是否为有限孤立奇点，有多种方法可以实现。
首先，是通过函数的求导，利用极值定理，从而判断函数是否有孤立的极值点，若是的话，这个点就可能是有限孤立奇点。
其次，还可以利用超参数曲面，观察曲面的拐点以及曲线的行为来判定。
再次，可以利用数值求解的方法，给定函数的定义域，进行穷举，并利用精确数值计算和迭代法，不断收敛，最后达到极值点。
最后，还可以通过分离变量法来进行求解。
四、总结本文讨论了解析函数中有限孤立奇点的判定方法，提出了多种判定方法，以便解析函数中有限孤立奇点的判断。
借助这些方法，可以更深入地了解函数的性质，为函数分析和应用提供有力的理论支持。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数中的孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，在这篇文章中，我们将对复变函数中的孤立奇点进行一次浅析。
我们需要了解什么是复变函数。
复变函数是指定义在复平面上的函数，它包含了实部和虚部两个变量。
通常表示为f(z)，其中z是复平面上的变量。
复变函数在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和数学分析等领域中。
在复变函数中，孤立奇点是一个非常重要的概念。
孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，它可能是函数的奇点或者极点。
奇点是指函数在该点处不可导，而极点是指函数在该点处具有无穷级数的发散性质。
孤立奇点可以分为三种类型：可去奇点、极点和本质奇点。
可去奇点是指在该点处函数可以通过改变定义来使之变得连续，极点是指在该点处函数趋于无穷大，本质奇点是指在该点处函数无法通过局部解析式来表示。
在复变函数中，孤立奇点具有许多重要的性质和应用。
对于复变函数f(z)，如果f(z)在孤立奇点处全纯（即在该点的领域内可以展开为幂级数），那么其必为可去奇点。
这一性质为我们研究复变函数的奇点提供了一个很好的判断条件。
孤立奇点也与柯西定理密切相关。
柯西定理是复变函数理论中非常重要的一个定理，它表明了全纯函数沿闭合曲线的积分为零。
在柯西定理中，孤立奇点的存在对于积分路径和积分结果有着重要的影响。
孤立奇点也与洛朗级数展开相关。
洛朗级数是一种复变函数在孤立奇点处的展开形式，它由幂级数和Laurent级数组成。
洛朗级数展开为我们研究复变函数在孤立奇点处的性质提供了一个非常有力的工具。
复变函数中的孤立奇点是一个非常重要而又复杂的概念。
它具有丰富的性质和广泛的应用，对于理解复变函数的性质和行为有着重要的作用。
在实际问题中，对于复变函数的解析和计算都离不开对孤立奇点的研究和分析。
对于复变函数中的孤立奇点有一个深入的理解和掌握是非常有必要的。
解析函数的孤立奇点
例
有理分式函数
f (z)
z
3z 2 2(z 2)
,
z 0是二级极点, z 2 是一级极点.
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由定义判别： f (z)的Laurent展开式中含有 z z0
的负幂项为有限项.
由定义的等价形式判别：在点 z0的某去心邻域内
(z)
f (z) (z z0 )m
其中 (在z) 的z邻0 域内解析, 且
k
因为 lim 1 0，
k k
(k 1, 2,)
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z 0 不是孤立奇点.
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3
讨论函数在孤立奇点的情况
如果点
z
为函数
0
f的(z)孤立奇点，则在点
某去z 0
心邻域
0 内z 可z设0 的Laurenf t(级z) 数展开式
当z iy 0, 有f (z) cos 1 i sin 1 无极限。
y
y
于是当z 0, f(z)无极限，也不以 为极限。
1
ez
1 zn
n0 n!
定理 若z = a为f(z)的本性奇点，且在点的充分小去心
邻域内不为零，则
z=a
亦必为φ（z）=
1 的本质奇点。 f(z)
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1
1 1 z 1(z),
z 2! 3!
z
(z)解析且 (0) 0
所以 z 0不是二级极点, 而是一级极点.
思考
z 0是
sin z z3
的几级极点?
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
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浅谈复变函数中有限孤立奇点的类型判断
浅谈复变函数中有限孤立奇点的类型判断桂林电子科技大学!王会勇!摘!要"本文就工科复变函数课程中有关孤立奇点类型判断的教学提出了建议"!关键词"极点!判断!解析!!留数与留数定理是复变函数课程中的重要内容!同时也是一个难点"在实际的教学中!笔者发现!很多学生在完成’留数定理在定积分计算上的应用(部分的学习后!对本章内容感觉很生涩!并难于下手解题"笔者调查发现!多数同学反映此部分的难点在于对孤立奇点的类型的判断和计算极点处的留数两方面"这与现行通用教材%如文献#和文献)&中对该部分的总结和选取有关"根据实际的教学经验!并参考相关文献!笔者建议该部分教学内容和顺序简列如下$简捷报数起卦佛山科学技术学院!谭伟良!摘!要"本文介绍一些报数快速起卦的八卦预测方法!文中透露了一些起卦等预测方面的奥妙" !关键词"易!起卦!预测!占卜#C什么是报数起卦本文重点介绍报两数起卦$要起卦时!想一下有关要预测的事!然后报或想出两个数!其中小的数除以E余数作外%上&卦!大的数除以E余数作内%下&卦!报或想出的两个数的和除以Q余数作动爻位"报数起卦法还有一数时辰法#两数时辰法和二数多数法""C报数起卦法的特点和注意事项报数起卦法不用知方向!纯两数起卦法则连时间也不用知道#不用时辰的运算!相当吸引人"用两数时辰法计算变爻位的方法设定了所问事物的存在值由所报两数和时辰三部分的组成!而纯两数起卦法则设定了所问事物的存在值分别由报出的两数组成"由于各个人的敏感点不一定相同!因工作或体育爱好而习惯腰#身转动的人!可能容易体会到转动身体起卦!%用多方向或方位起卦时!如果提问包含的时间和空间太长#太大或界定不太清楚!则变数很多!身体转很多次)一个多爻变的卦相当于一口气起了多个卦!可根据变爻出现先后分为多个卦&!方向和报数两种方法灵活运用也行"天机不可泄露!就像还没有到站的时候不要下车一样!什么时候出现什么都有一定的规则或惯性或过程!所以知道某些预测结果时!不要轻易泄露!以知而不太知#不太执着等技巧调整自我!以保安全!请参考本人其他文章")C介绍某些重要原理%#&设定原理$设起卦的方法为<!外卦为]!内卦为F!则我们可以在<#]和F中定义不同的模式"所以同时报出的两个数!有人把先报的数设定为外卦!有人却把先报的数设定为内卦"刚运用某种方法起卦时!应该想一下本次预测所用方法的具体内容!除非你一直只用某种方法来预测!形成了习惯"所以!起卦时可以设定自己的时间系统!如外国人到我国旅游!要起卦!他可以以他在自己国家的时间系统来计算时辰数!也可以以我国的北京时间或当地的地方时来计算时辰数"设定的行为与自然助力有关系"%"&自然助力原理$将自然界中或大众中存在的某种思想或运动模式作为起卦时的设定模式!如用身体起卦中的身体前后左右法的设定值可以为地图方向模式!结果是身体前面或上方设定为’北(!先天卦数为Q!身体的左边为’西(!先天卦数为""也可以让设定值为南阳北阴模式!因为人的前面为阳面!背面为阴面!所以人的前面或上方为’南(!先天卦数为)!身体的左边为’东(!先天卦数为I"一般而言!一个模式越多人知道#支持或运用!则那个模式就越容易或越值得为我们去采用!一个模式存在的自然气势越明显!则那个模式就越容易或越值得为我们去采用"因为从中我们得到的助力较大!办事助力大!有如顺水行舟!较顺利"就如运算中的加法!在推测彩票号码的某些时候是很多人采用的方法!前期彩票号码)和A!我们就可能会在这期想到)L A M E!而)!A M#A就较少想到!)L A M E的助力#气势或场比) !A M#A大!因为懂得)L A M E的人比懂得)!A M#A的人多"但自然助力原理受多方面关系影响着!不是凡有)和A就一定是E"%)&存在值原理$这是本人目前较为难以说明的原理"所问事物所包含的运动或活动的能量单位!即所问事物赖以存在或生存的能力数值"如问同一事时!如果设定用纯二数法!报数E和E#!则所问之事赖以存在的总能量单位为E L E# M EW)若设定用两数时辰法!则所问之事的场会规定我们报出两数!使存在的时辰数与所报出两数的和等于EW!这是理解计算变爻位的思路"一个有点象!又不完全象的比喻!如两人先后负责挑同一东西上山!一人的体力允许他挑着走)DD 米!另一人能挑着走ADD米!则’两人先后挑同一东西上山的事(的存在值就是)DD L ADD M EDD米"一走到EDD米!’两人先后挑同一东西上山的事(就发生变化或不能继续存在了"IC实际例子某天在商家那里发现某产品与广告宣传状况有出入!不知道要改变事先设定的购买方案否1有点犹豫!于是轻易报出"#)!革!知道要改变方案"。
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解析函数的孤立奇点类型判断及应用摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。
解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。
本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。
并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。
关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算前言在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。
目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。
但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。
本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。
此项研究容可以对以后学习此部分容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。
在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。
在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。
通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。
本文通过对已学知识的回顾总结，和相关资料的查阅，在老师的指导下自拟题目，将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明，通过分析、整理、归纳、总结，对其进行更深入的研究。
正文一、孤立奇点的定义及类型（一）定义如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{(即除去圆心a 的某圆)解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点。
如果a 为函数)(z f 的一个孤立奇点，则必存在正数 R ，使得)(z f 在点a 的去心邻域 R a z a K <-<-0:}{ 可展成洛朗级数。
（二）孤立奇点的类型如0z 为)(z f 的孤立奇点，则)(z f 在点0z 的去心邻域 R z z z K <-<-000:}{可展成洛朗级数0(z)(z )nnn f z c ∞=-∞=-∑。
其中称负幂部分01(z )n n n z c ∞--=-∑为)(z f 在点0z 的主要部分。
孤立奇点按函数在0z 的去心邻域的洛朗展开式中负幂项的个数分类： 1.可去奇点：展开式中不含0z z -的负幂项；()()()201020f z c c z z c z z =+-+-+2.极点：展开式中含有限项0z z -的负幂项；()(1)21010201000()()()()()m mm m c c c f z c c z z c z z z z z z z z -----=+++++-+-+---()0,()mg z z z =- 其中()1(1)01000()()()m m m m g z c c z z c z z c z z -----=+-++-+-+在0z 解析，且()00,1,0m g z m c -≠≥≠；3.本性奇点：展开式中含无穷多项0z z -的负幂项； ()1010000()()()()m mm mc c f z c c z z c z z z z z z --=+++++-++-+--二、孤立奇点类型的判别方法（一）可去奇点如果)(z f 在0z z =的洛朗级数中不含0z z -的负幂项，则称孤立奇点0z 是)(z f 的可去奇点。
以下三个条件是等价的：（1）0z z =是)(z f 的可去奇点⇔)(z f 在0z 的洛朗级数不含0z z -的负幂项； （2）0z z =是)(z f 的可去奇点⇔0lim (z)z z f →存在；（3）0z z =是)(z f 的可去奇点⇔)(z f 在0z 的某去心邻域有界.（二）极点如果)(z f 在0z 的洛朗级数中只有（0z z -）的有限个负幂项，则孤立奇点0z 称为极点。
若负幂的最高项为0(z z )m --，则0z 称为m 级极点。
与之等价的条件是：0z 是)(z f 的极点⇔0lim (z)z z f →=∞.零点和极点的关系： 不恒等于零的解析函数)(z f 若能表示为 0(z)(z z )(z)m f ϕ=-，其中(z)ϕ在0z 解析，且0(z )0ϕ≠，m 为一正整数，则称0z 为)(z f 的m 级零点.（1） 若)(z f 在0z 解析，则0z 为)(z f 的m 级零点的充要条件是 (n)0(z )0f =， 0,1,2,,1n m =-；(m)0(z )0f ≠.（2） 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的. （3） 若0z 是)(z f 的m 级极点，则0z 是1(z)f 的m 级零点.反之也成立. 下面的定理说明了怎样由m 级零点得到m 级极点. 定理1 假设（i ）两个函数p 和q 在点0z 解析； （ii ）0(z )0p ≠,0z 是q 的m 级零点. 则0z 是(z)(z)p q 的m 级极点. 定理2 设两个函数p 和q 在0z 解析.如果 0(z )0p ≠，0(z )0q = 和 0(z )0q '≠， 则0z 是商(z)(z)p q 的简单极点且 )()()()(Re 000z q z p z q z p sz z '==. （三）本质奇点如果)(z f 在0z 的洛朗级数中含有（0z z -）的无穷多个负幂项，则孤立奇点0z 称为本质奇点。
与之等价的条件是：0z 是)(z f 的本质奇点⇔0lim (z)z z f →不存在且不等于∞.在本质奇点的邻域，复变函数)(z f 具有以下性质：（1）维尔斯特拉斯定理 若0z z =是)(z f 的本质奇点，则对于任一复数0ω及任给的0ε>，任意的0r >，在区域00z z r <-<中必存在一点z '，使得εω<-'0)(z f .推论 在任意一个圆环域00z z r <-<中，必存在序列{}n z ，使得0lim (z)n z z f ω→=.（2）皮卡定理 解析函数)(z f 在本质奇点0z z =的任何邻域，能够取任意一个有限值（复数）无穷次，至多有一个值例外. （四）函数在无穷远点的性态如果)(z f 在无穷远点z =∞的去心邻域z R <<+∞解析，则称点∞是)(z f 的孤立奇点.作变换1t z=（规定把扩充z 平面上的无穷远点z =∞映射为扩充t 平面上的点0t =），把扩充z 平面上的邻域0R z z <-<+∞映射成扩充t 平面的去心邻域10t R<<，且有)(z f =1()f t =(t)ϕ.于是，可以把在z R <<+∞上对)(z f 的研究化为在10t R<<对(t)ϕ的研究.（1）如果0t =是(t)ϕ的可去奇点、m 级极点或本质奇点，则z =∞是)(z f 的可去奇点、m 级极点或本质奇点.（2）若)(z f 在z R <<+∞可以展开为洛朗级数，那么，在)(z f 的洛朗级数中，如果：不含正幂项，则z =∞为)(z f 的可去奇点； 含有限个正幂项，则z =∞为)(z f 的极点； 含无穷多正幂项，则z =∞为)(z f 的本质奇点.三、留数定理及留数计算方法（一）留数定义 若0z z =是解析函数)(z f 的一个孤立奇点，)(z f 在0z 的去心邻域解析，C 为0z 邻域任一简单闭曲线，则称dz z f iC ⎰)(21π为)(z f 在0z 处的留数，记作]),([Re 0z z f s ，即10)(21]),([Re -==⎰c dz z f iz z f s C π. 1-c 是)(z f 在以0z 为中心的圆环域的洛朗级数中10)(--z z 项的系数.（二）留数定理 设函数)(z f 在区域D 除有限个孤立奇点1z ，2z ，…，n z 外处处解析，C 是D 包围诸奇点的一条简单闭曲线，则 ∑⎰==nk k Cz z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π.利用定理，可以将求沿封闭曲线C 的积分，转化为求被积函数在C 各孤立奇点处的留数.（三）留数的计算与极点处留数的计算规则.计算留数最基础的依据是定义10)(21]),([Re -==⎰c dz z f i z z f s cπ,C 为0z 某去心邻域一条简单闭曲线，1-c 是以0z 为中心某邻域洛朗级数10)(--z z 项的系数.即，可通过求积分dz z f i C⎰)(21π的值或求洛朗级数1)(--z z 项系数来计算留数，所以若0z 为)(z f 的可去奇点，则0]),([Re 0=z z f s . 若0z 为)(z f 的本质奇点，则10]),([Re -=c z z f s . 若0z 为)(z f 的极点，则有以下规则： 规则I 若0z 是)(z f 的一级极点，有)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=→.规则II 若0z 是)(z f 的m 级极点，有)]()[(lim )!1(1]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=--→.规则III 当)()()(z Q z P z f =，)(z P 和)(z Q 都在0z 解析，如果0)(0≠z P ，0)(0=z Q ，0)(0≠'z Q ，则0z 为)(z f 的一级极点，且有)()(]),([Re 000z Q z P z z f s '=. 实际计算时，可以用规则，也可以用定义求洛朗级数的1-c ，或计算⎰C dz z f i)(21π. （四）若函数)(z f 在z R <<+∞解析，C 为圆环域绕原点的任何一条正向简单闭曲线，则称积分⎰C dz z f i)(21π为)(z f 在∞点的留数，记为 ⎰--==∞C c dz z f iz f s 1)(21]),([Re π. 定理 如果函数)(z f 在扩充的复平面只有有限个孤立奇点，则)(z f 在所有各奇点（包括∞点）的留数总和比等于零.规则IV ]0,1)1([Re ]),([Re 2zz f s z f s ⋅-=∞.以上定理和规则提供了计算复变函数沿闭曲线积分的一种方法，这些方法使用恰当的话会使计算更简便.四、孤立奇点类型的判别及其在留数计算中的应用相关例题例1 指出下列函数在零点z=0的级： （1）)1(22-z ez（2）)6(sin 6633-+z z z .解（1）用求导数验证：记0)0(,)1()(22=-=f e z z f z ，不难计算,0)0(,)(22)(23='++-='f e z z z z f z ,0)0(,2)2104()(224=''-++=''f e z z z f z,0)0(,)24368()(235='''++='''f e z z z z f z ,24)0(,)2415611216()()4(24642=+++=f e z z z z fz ）（即 0)0(,0)0()0()0()0()4(=='''=''='=ff f f f故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点.由泰勒展式：由展开式)(!1!2112422+∞<+++++=z z n z z e n z可知 )()!21()1(442222z z z z z e z z ϕ=++=- 其中)(!1!211)(222+∞<++++=-z z n z z n 在 ϕ解析，10=）（ϕ. 故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点. （2）由展开式)()!12()1(!51!31sin 3615933+∞<++-+-+-=+z n z z z z z n n可知)6(sin 6633-+z z z393615936)!12()1(!51!316z z n z z z z n n -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+-=+ )(15z z ϕ=其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-=+ )!12()1(!71!516)(1266n z z z n nϕ 在+∞<z 解析，0560≠=！）（ϕ.故0=z 是函数)6(sin 6633-+z z z 的15阶零点.例2 判断下列函数的奇点类型？如果是极点，指出它的级数. （1）22)1(1+z z ； （2）3sin z z ； （3）1123+--z z z ； （4）zz )1ln(+； （5）)1)(1(2z e z z π++； （6）11-z e ；（7）)1(12-z e z ； （8）n n z z +12（n 为正整数）.解 （1）令0)1(22=+z z ，得i z z ±==,0。