概率统计2
概率统计2-4
X pk 3
-1
1 8
0
1 8
1
1 4
2
1 2
Ch2-92
1 8
1 0
1 8
1
1 4
4
1 2
1 2
1 8
0
1 8
1
1 4
4
1 8
3 8
1 2
Ch2-93 例2 已知 X 的概率分布为 P( X = k ) = pqk , k = 0,1,2,⋯ 2 其中 p + q = 1, 0 < p < 1, 求 Y = Sin X 的概率分布 ∞ ∞ π p 2m 解 P(Y = 0) = ∑ P( X = 2m⋅ ) = ∑ pq = 2 1− q2 m=0 m=0
y =1− x
3
在R上是单调的，且 x = h(y) = (1 - y)3
x′ = 3(1− y)2
fY ( y) = f X (x)⋅ | x′ | = f X [(1− y)3 ]⋅ | 3(1− y)2 |
3(1− y)2 = ,−∞ < y < +∞ 6 π[1+ (1− y) ]
Ch2-99
∫
f X ( x ) d x ] ′ = f X [h( y)] ⋅ h′( y)
当y≥β时，F(y)=P(Y≤y)=1 所以结论成立
f ( y) = F′( y) = 0
例5 设 求 f Y (y) 解
1 f X (x) = , 2 π (1+ x )
Ch2-98
− ∞ < x < +∞
Y =1− 3 X
Ch2-94
0 F ( y) = * Y 1
概率统计第二章答案
概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第二章 随机变量及其分布教学要求：一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌握(0-1)分布、二项分布、Poisson 分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质，并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数.三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布．重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布．练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律1．填空、选择(1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量⎩⎨⎧=，，出现正面，，出现反面H T X 10 则随机变量X 在区间]221，（上取值的概率为21. (2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X 表示命中的次数,如果{}81801=≥X P ,则{}==1X P 8. (3)设离散型随机变量X 的概率分布为{},,2,1, ===i cp i X P i其中0>c 是常数，则（ B ） （A ）11-=c p ； （B ）11+=c p ； （C ）1+=c p ； （D ）0>p 为任意常数2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律.解：从1～5中随机取3个共有1035=C 种取法.以X 表示3个中的最大值.X 的所有可能取值为;5,4,3{}3=X 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则{}1013==X P ; {}4=X 表示取出的3个数以4为最大值,其余两个数可在1,2,3中任取2个,共有323=C 种取法,故{}10343523===C C X P ;{}5=X 表示取出的3个数以5为最大值,其余两个数是1,2,3,4中任取2个,共有624=C 种取法,故{}5310653524====C C X P .{}5=X P 也可由{}{}431=-=-X P X P 得到.3．设X 为随机变量，且k k X P 21)(==( ,2,1=k ), 则 (1)判断上面的式子是否为X 的概率分布； 解：令 ,2,1,21)(====k k X P p kk ， 显然 ① 10≤≤k p ，② 1121212111=-==∑∑∞=∞=k k k k p ；所以 ,2,1,21)(===k k X P k 为随机变量X 的概率分布。
概率论 2概率的统计定义、古典概型
个。
• 例８ 从1~100的一百个整数中任取一数，试求取到的整数能被 ６或８整除的概率。
几何概率( Geometric Probability)
将古典概率中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概率。
特点
有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点
事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率. 解：设A表示点数之和在4和10之间
1 2 5 P( A) 1 2 2 36 36 6
求
P A B, P A B, P A B
设 P A 0.4,
P AB P A B P A AB 0.2
A B 0.4 0.7 0.2 0.9
0.4 0.3 0.2 0.5
古典概率 (Classical Probability)
考察如下几个试验：
抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。 掷骰子一颗，观察其点数。 掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
它们都具备如下特点： （1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。 （2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。 满足这些条件的数学模型称作古典概率。
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
2概率统计第二讲
∑
k ≥1
pk＝1.
三、一维离散型r.v的几个常用分布 一维离散型 的几个常用分布
1. 退化分布 单点分布) 退化分布(单点分布 单点分布 X～P{X＝a}＝1，其中 为常数。 ～ 为常数。 ＝ ＝ ，其中a为常数 2. (0－1)分布 两点分布 － 分布 两点分布) 分布(两点分布 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 ～ ＝ ＝ － － ＝ ， 3. 几何分布 X～P{X＝k}＝ (1－p)k－1 p, (0<p<1) k＝1, 2, … ～ ＝ ＝ － － ＝ 4. 二项分布 二项分布B(n, p) － － X～P{X＝k}＝ Ck pk(1－p)n－k, ～ ＝ ＝ n (0<p<1) k＝0, 1, 2, …, n ＝
3. [04(一)(三)(四)一(6)] 设r.v.X服从参数为λ的指数分布 则 服从参数为λ 一 三 四一 服从参数为 的指数分布,
P { X > DX } = _____ .
4. [98(三)(四)二(5)] 设F1(x)与F2(x)分别为 r.v.X1与X2的 三 四二 与 分别为 分布函数, 为使F(x)=a F1(x)−b F2(x)是某一 的分布函数 是某一r.v.的分布函数 分布函数 为使 − 是某一 的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取 (A) a=3/5, b= −2/5 (C) a= −1/2, b= 3/2 5. 已知 ~ 已知X X P (B) a=2/3, b= 2/3 (D) a=1/3, b= −3/2 [ ]
2. 多维离散型随机变量函数的分布律
定理2 定理 设X1，X2，… , Xn是一个n维随机变量，若y＝ 则 Y＝g(X1，X2，…, Xn)也是一个随机变量。 以二维为例，若 (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yk)＝pik ，i, k＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zl}＝
概率统计2-2
Ch2-16
作业 P 70习题二 1、2、4、6、
例3 某人独立射击，若每次击中目标的概率为p (0 < p < 1), X表示首次击中目标时已射击的次数，求 X 的概率分布. 解 P(X = k) = P(前 k –1次没击中，第 k 次击中目标) k −1 P(X = k) = ( − p) 1 ⋅ p 通常称此分布为 几何分布 例4 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目标的概率为p (0 < p < 1), 且 各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求 所需轰击次数 X 的概率分布. 解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次，第 k 次击中目标)
应用 场合 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1 分布描述, 如产品是否合格、人
口性别统计、系统是否正常、电力消耗 是否超标等等.
Ch2-19
(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若
P (k) = P( X = k) = C p (1− p) n
k!
,
k = 0,1 2,⋯ ,
证 记 npn = λn k n−k λn ) ) k k n−k n(n −1 ⋯(n − k +1 λn Cn pn (1− pn ) = 1− k! n n n n−k − ⋅(−λ ) k λ n 1 k −1 λn λn
问题 如何计算？P( X ≥ 2500) Possion定理 若 X n ~ B( n, pn ), 定理 设 npn = λ > 0 , 则对固定的 k λk k k limCn pn (1− pn )n−k = e−λ ,2, k = 0,1 ⋯ n→∞ k! Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 而 np = λ 适中, 则可以用近似公式
概率统计2-3
1−p o p 1
p x
9
例题与解答
例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 ξ,η表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两 射手的技术.
ξ
P
8
9
10
η
P
8
9
10
0.3 0.1 0.6
0.2 0.5 0.3
解 Eξ=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3 Eη=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1 这表明, 如多次射击, 他们得分的平均值分 别是9.3和9.1, 故甲射手较乙射手的技术好。
+ ∫ ( 55 − x )dx + ∫ ( 65 − x )dx ]
25 55
55
60
E(Y)=E(g(X))=
∫
+∞
−∞
g( x ) f ( x )dx
1 = ( 12.5 + 200 + 450 + 37.5 ) 60 =11.67(分)
21
例题与解答
*例8.假定世界市场对我国某种出口商品的需求量 X(吨)是个随机变量，它服从区间[2000,4000]上的均 匀分布，设该商品每出售一吨，可获利3万美元外汇， 但若销售不出去而压库，则每吨支付保养费1万美元， 问如何计划年出口量，可使期望获利最多。 解：设计划年出口量为y吨，年创利Y万美元，显然 X≥y 3y y∈[2000,4000],且有 Y = g( X ) = 3X − ( y − X ) X < y +∞ 4000 1 EY = ∫ g( x) f ( x)dx = 2000 g ( x ) dx −∞ 由微积分可知： 由微积分可知： 2000 4000 y 1 y=3500时 = 2000 [ ∫ ( 4 x − y ) dx + ∫ 3 ydx 当y=3500时， 2000 y EY最大 EY最大。 最大。 2
概率统计 第二章 随机变量及其分布
引入适当的随机变量描述下列事件： 例1：引入适当的随机变量描述下列事件： 个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有 个空格} B={有 个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球 全有球} C={全有球}。 进行5次试验， D={试验成功一次 试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次 试验至少成功一次} G={至多成功 至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为 设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的 可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应 可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应 值的概率;反之 反之,如果某随机变量的分布函数 值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数 是阶梯函数,则该随机变量必为离散型 则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数 则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
P( X > a) = 1 − F (a)
概率统计2-3
f ( x )d x
a
b
F (b) F (a)
b x
a
Ch2-51
P( X a ) P( X a) 1 F ( a )
p ( x)
0.06 0.04 0.02
-5
5
a a
x
例1 设连续型 r.v 的 d.f 为
Ch2-52
1 其分布函数 F ( x) 2
作变量代换 s
t
x
(t )2 2 2
e
d t P( X x)
x F ( x)
P(a X b) F (b) F (a)
b a P( X a) 1 F (a)
(t ) e P(T t ) P( N (t ) 0) 0!
0
1 P(T t ), t 0
t
e
t
t0 t0 0, 0, f (t ) t F (t ) t e , t 0 1 e , t 0
即
T ~ E ( )
P( X ) F ( )
Ch2-72
1 F ( ) P( X )
1 2
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Ch2-73
正态变量的条件
若 r.v. X
① 受众多相互独立的随机因素影响 ② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加
1
x 0
对于任意的 0 < a < b, b x P(a X b) a e d x
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
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概率统计模拟题 2
一、 填空题：
.____2
1
)1,0(.1的概率为两数之差小于中随机地取两个数，则在区间
.________),()(),2,6(~.22=<=≥k k X P k X P N X 则常数且设
.
__________)1(_________,)(,0,
00
,1)(.32=≤=⎩⎨⎧≤>-=-X P x f X x x e x F X x 的密度函数则
的分布函数为设 .
__________),,0(.42==+=ξηρηξσ的相关系数－和
则分布相互独立且都服从正态和设随机变量bY aX bY aX N Y X
当___________________,==βα时，X 和Y 相互独立。
二、 选择题：
23
,21)(23,21)(32
,32)(52,53)(_________
)()()(.)()(.1212121-
===-==
=-==-=b a D b a C b a B b a A x bF x aF x F X X x F x F 布函数，则也是某一随机变量的分若的分布函数与分别为随机变量与设
2
12
121212122)()()()(____
__________}3{},2{)3,(),2,(~.2p p D p p C p p B p p A Y P p X P p N Y N X =><=-≤=+≥==的个别值，有对，有对任意实数，有对任意实数，有对任意实数则，
，记设随机变量μμμμμμμμ9
.18)D (2
.15)C (8.14)B (6.12)A (__
__________)2(4.0,10(~),3.0,10(~,.32=-Y X E B Y B X Y X ），则
相互独立，且设随机变量
3
)(5
1
)D ()
53
()C ()
(5)B ()
35()A (______)(35)(.4++-=y F y F y F y F y F X Y x F X X X X X Y X 为的分布函数－，则的分布函数为已知随机变量
三、 计算题：
多少？
那他乘火车来的概率是？如果他确实迟到了，问他迟到的概率是多少，而乘飞机则不会迟到，，为车来，迟到的概率分别如果乘火车、轮船、汽，，，机的概率分别为火车、轮船、汽车、飞有朋友自远方来，他乘.
12
13141.4.01.02.03.0.1,
.2的分布律如下已知X
.
2的分布律求X Y =
X
2- 1- 0 1 2
P a 2a
41 4
1
2a |13.()0,1
(1);(2)(||)(3).
2
x X f x A P X X <=⎩
≤设随机变量的密度函数为
其它求：常数；的分布函数 ).(tan )2
,2(.4y f X Y X Y 的概率密度变量上的均匀分布，求随机服从设随机变量=-
π
πe ,05.()(,)0,(1)();
(2)(1)
y Y x y X Y f x y Y f y P X Y -⎧<<⎪
=⎨
⎪⎩+≤设二维随机变量，的概率密度为其他
求随机变量的边缘密度求概率
解：
2
111x
21
1
e
2e 1d e d d d ),(}1{)2(0,00
ye )()1.(5---≤+-+===
≤+⎩⎨
⎧≤>=⎰
⎰⎰⎰－，－x y y x y Y y x y x y x f Y X P y y y f
6.某保险公司由10000人参加保险，每人一年付12元保险费。
设在一年内一个人出意外的概率为0.006，出意外时保险公司付给家属2500元保险金。
问保险公司亏本的概率是多少？（用()x Φ表示） 解：
)
55.1()48(),72.7,60()006.0,10000(~.62Φ≈>≈X P N X B X 亏本由中心极限定理
7. 设随机变量 X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x ,
求X e Y 2-= 的数学期望.
解：⎰⎰+∞--+∞∞--==022)()(dx e e dx x f e Y E x x x 3103
1
3=∞-=-x e
8．设总体X 的概率密度为
.1,1,
0,
),(1≤>⎪⎩⎪⎨⎧=+x x x x f βββ
其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求： (1)β的矩估计量；(2)β的极大似然估计量. 解：（1） 1
);(1
1
-=⋅
==⎰⎰+∞
++∞
∞
-βββ
ββdx x
x dx x xf EX ，
令
X =-1
ββ，解得 β的矩估计量为 .1
ˆ-=X X
β
（2）似然函数为⎪⎩
⎪
⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L i n n
n
i i ββββ
当),,2,1(1n i x i =>时，
∑=-=n i i x n d L d 1ln )(ln βββ，令0)
(ln =β
βd L d ， 可得 ∑==
n
i i
x
n
1
ln β，故β的最大似然估计量为 .ln ˆ1
∑==n
i i
X
n
β。