大学物理 振动和波

二、不同频率平行简谐振动的合成
问题：物理量同时参与两个不 同频率、相同振幅、相同初相 位的平行简谐振动
1 A0 cos(1t) 2 A0 cos(2t)
合振动


2
A0
cos
2
2
1
t cos 2 1 t
2
讨论:合振动振幅的变化规律
A

2 A0
cos 2
1
位移 Acos(t )
速度 v d Asin(t )
dt
加速度
a

d 2
dt 2Leabharlann 2 Acos(t )
x、 、a
2A
a
A
A
x
o
-A
- A
T t
- 2A > 0 a<0 减速
<0 <0 加速
<0
>0 减速
>0 >0 加速
初相位与时间零点的选择有关
③ 相位差 Δ Ф
两个振动在同一时刻的相位差 ΔФ=（w2t+Φ2）–（w1t+Φ1） 同一振动在不同时刻的相位差 ΔФ=（wt2+Φ）–（wt1+Φ）
说明（两个振动）：
✍ Δ Ф >0 振动（2）超前于振动（1） ✍ Δ Ф <0 振动（2）落后于振动（1） ✍ Δ Ф ＝±2kπ ，k＝0,1,2…，同相（步调相同） ✍ Δ Ф ＝±(2k+1)π ，k＝0,1,2…，反相（步调相反）
例，如图，两轮的轴互相平行，相距为2d，其转速相同，转向相 反，将质量为m的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系 数为μ ，当木板偏离对称位置后，它将如何运动？
o
c.
2d
o c. x
二、简谐振动的特征量
1、振幅 A ——反映振动幅度的大小
定义：振动量ψ 在振动过程中所能达到的最大值
说明： ✤ A恒为正值 ✤ A的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件决定
1 A1 cost 1 , 2 A2 cost 2
1 2
1、应用解析法 Acost
其中
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1) tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
A2sin2 A1sin1
A1cos1 A2cos2
Ψ
3、讨论（分振动同频同方向） ① 合振动仍然是简谐振动，且频率为ω ② 合振动的振幅不仅与原振幅有关，而且与初相位差有关 ③ 上述结论可推广到多个同频率平行简谐振动的合成
合振动也是简谐振动
Acost
振动的标量和用旋转 矢量和的投影描述
d2x dt 2

2 x
( k )
m
2、LC振荡电路
L dI q dt C
d 2q dt 2

2q
(
1) LC
CK L
3、简谐振动的微分方程（动力学方程）
d 2
dt 2
2
物理量对时间的二阶导数与物理量自身成正比，但符号相反
4、简谐振动的运动学方程
Acos(t )
四、简谐振动的能量
1、弹簧振子的能量
Ek

1 2
kA2
sin2 (t
)
EP

1 kA2cos2 (t
2
)
ox
E

EK

EP

1 2
kA2
2、LC振荡电路
We

Q2 2C
cos2 (t
)
Wm

Q2 2C
sin2 (t
)
W
We
Wm

Q2 2C
五、旋转矢量法
1、旋转矢量图示法
注意： 旋转是匀速的，旋转矢量的
矢端在X轴上的投影点作简谐振动
Yω
M A t M0
o ψP X
参考圆
2、旋转矢量的应用 ✤ 作振动图
✤ 求初相位 ✤ 求速度和加速度 ✤ 振动的合成
§9－2简谐振动的合成
振动叠加原理——系统的合振动等于各分振动的“和”。
一、同频率的平行简谐振动的合成
问题：物理量同时参与两个同频率的平行简谐振动
2、应用旋转矢量法
圆频率: 合振幅: A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
初相位: tan1 A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
合振动:
Acost
A2
A1
2 1
A
第九章振动和波动基础
机械振动， 电磁振动 …… 广义振动——任一物理量在某一数值附近作周期往复变化
§9－1简谐振动
一、简谐振动
1、弹簧振子的往复运动
第九章振动和波动基础
机械振动， 电磁振动 …… 广义振动——任一物理量在某一数值附近作周期往复变化
§9－1简谐振动
一、简谐振动
1、弹簧振子的往复运动 f kx
Acos(t ) Acos( 2 t ) Acos(2 t )
T
3、相位(ω t+Ф )——反映振动的状态 ① 相位： (ω t+Ф )是决定简谐系统状态的物理量
t－t0
t+Ф
ψ
v
0
0
A
0
T/4
/2
0
A
T/2

A
0
T
2
A
0
② 初相位 Ф —— t＝0 时刻的相位
三、A 和Ф 的确定
t 0 : 0 Acos ,

t
v0
t 0
A sin

A

2 0


v0

2
tan1( v0 ) w 0
注意：Ф 一般取值在-π~π（或0 ~ 2π）
例，已知某质点作简谐运动，振动 曲线如图所示，试根据图中数据写 出振动表达式。
5、简谐振动的特点（以弹簧振子为例）
① 从受力角度看 合外力大小与位移成正比，方向与位移方向 相反
（线性回复力） ② 从加速度角度看，加速度大小与位移成正比，方向与位移方
向相反
③ 从位移角度看 位移是时间的周期性函数（正弦或余弦）
说明： ① 证明物理量的简谐运动，只需证明以上三项中的一个 ② 最简单的方法，证明合外力是否为回复力。
2、周期和频率——反映振动的快慢
① 周期 T
定义：完成一次全振动所需要的时间，单位秒（s）
T 2
② 频率 ν
定义：单位时间内的全振动次数，单位赫兹（Hz）
1 T 2
③ 圆频率 ω
定义：2π秒时间内的全振动次数，单位弧度/秒（rad·s-1）
2 2
T
说明： 简谐振动的基本特征是其周期性 周期或频率均由系统本身性质决定 简谐振动的表达式